Уравнения Коши--Римана

Найти аналитическую функцию $w(z)$ по следующим условиям: $u = x^{2}-y^{2}+xy$; $w(0) = 0$.

Найти аналитическую функцию $w(z)$ по следующим условиям: $u = x^{3}+6x^{2}y-3xy^{2}-2y^{3}$; $w(0) = 0$.

Найти аналитическую функцию $w(z)$ по следующим условиям: $v = \frac{y}{x^{2}+y^{2}}$; $w(2) = 0$.

Найти аналитическую функцию $w(z)$ по следующим условиям: $u = e^{x}(x\cos y - y\sin y)$; $w(0) = 0$.

Найти аналитическую функцию $w(z)$ по следующим условиям: $u = \frac{2\sin 2x}{e^{2y}+e^{-2y}-2\cos 2x}$.

Найти аналитическую функцию $w(z)$ по следующим условиям: $u = \varphi \left(\frac{y}{x}\right)$, где $\varphi$ --- некоторая функция.

Найти аналитическую функцию $w(z)$ по следующим условиям: $u = F(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}})$.

Найти аналитическую функцию $w(z)$ по следующим условиям: $v = f(x^{2}+y^{2})$.

Доказать, что уравнение $u(x,y) = C$ может изображать семейство линий равного потенциала только в том случае, если отношение величин

есть функция только одного $u$.

Доказать, что кривые $x^{n}+y^{n} = C$ могут быть линиями равного потенциала только при $n = 1$ и при $n = 2$.

Найти аналитическую функцию $w(z)$ по условиям: линии $\mathrm{Re}\left(w(z)\right) = c$ --- окружности $x^{2}+y^{2} = a^{2}$.

Найти аналитическую функцию $w(z)$ по условиям: линии $\left|w(z)\right| = c$ --- окружности $x^{2}+y^{2} = ax$.

Найти аналитическую функцию $w(z)$ по условиям: линии $\left|w(z)\right| = c$ --- лемнискаты $r^{2} = a^{2}\sin 2\varphi$.

Найти аналитическую функцию $w(z)$ по условиям: линии $\arg w(z) = c$ --- окружности $x^{2}+y^{2} = a^{2}$.

Доказать равенство:

Функция $w = f(z)$ регулярна в односвязной области, ограниченной кривой $\left|w(z)\right| = c$. Показать, что $\arg w$ изменяется монотонно, если $z$ пробегает кривую $\left|w(z)\right| = c$ в положительном направлении.