Особые точки функции. Ряд Тейлора и Маклорена

Найти особые точки функции $\dfrac {z}{z^{2}+1}$.

Найти особые точки функции $\dfrac {1}{z-z^{3}}$.

Найти особые точки функции $\dfrac {1}{\sin z}$.

Найти особые точки функции $\dfrac {1}{e^{z}-1}-\dfrac {1}{z}$.

Найти особые точки функции $\sin \dfrac {1}{z}$.

Найти особые точки функции $\sqrt{1-z^{2}}$.

Найти особые точки функции $\sqrt{1-z^{3}}$.

Построить линии равного модуля и равного аргумента для функции $w = e^{\frac{1}{z}}$.

Показать, что при любом $A \neq 0$ уравнение $e^{1/z} = A$ в любой данной окрестности точки $z = 0$ имеет бесконечное множество корней.

Показать, что в той же области уравнение $\cos \dfrac {1}{z} = A$ имеет бесконечное множество корней при любом значении $A$.

Изучить изменение $\arg \sqrt[n]{z-a}$, если точка $z$ описывает простой замкнутый контур, обходящий точку $z = a$ в положительном направлении.

Изучить изменение функции $\sqrt{1-z^{2}}$, если точка $z$ описывает простой замкнутый контур одного из трех видов:

Найти в точке $z = -e$ значение функции $w = z^{z} = e^{z\ln z}$, если $\ln 1 = 0$ и если $w$ изменяется непрерывным образом при движении $z$ в верхней полуплоскости или при движении в нижней полуплоскости.

Найти при $z = e^{-\varphi i}$ значение той ветви функции $\sqrt{z-e^{\varphi i}}$, которая при $z = 0$ имеет значение $ie^{\frac{\varphi }{2}i}$ и которая непрерывно продолжается при движении $z$ вдоль по радиусу из начала координат в точку $z = e^{-\varphi i}$.

В плоскости $z$ проведен разрез по линиям: $y = 0$; $\left|x\right| > 1$ и $x^{2}+y^{2} = 1$; $y > 0$; функция $\ln (1-z^{2})$ равна нулю при $z = 0$. Найти ее значение при $z = 3$.

Показать, что функция $w = \ln (z+\sqrt{z^{2}-1})$ однозначна в плоскости с разрезами по вещественной оси при $-\infty < x < -1$ и $1 < x < \infty$. Найти значения $w$ при $z = +i$ и $z = -i$, исходя из условия, что на верхнем краю правого разреза $w$ положительна.

Пользуясь разложением в ряд для $\dfrac {1}{\cos z}$ и $z\ctg z$, доказать равенство:

$E_{n}$ --- числа Эйлера ($E_{0} = 1$).

Пользуясь разложением в ряд для $\dfrac {1}{\cos z}$ и $z\ctg z$, доказать равенство:

$B_{n}$ --- числа Бернулли.

Пользуясь разложением в ряд для $\dfrac {1}{\cos z}$ и $z\ctg z$, доказать равенство:

Пользуясь разложением в ряд для $\dfrac {1}{\cos z}$ и $z\ctg z$, доказать равенство:

Пользуясь разложением в ряд для $\dfrac {1}{\cos z}$ и $z\ctg z$, доказать равенство:

Найти первые шесть коэффициентов в разложении функций и определить области сходимости этих рядов:

Разложить в ряд по степеням $z$ ту ветвь функции $\sqrt{z+i}$, значение которой при $z = 0$ равно $\dfrac {1+i}{\sqrt{2}}$.

Найти круг сходимости для разложения по степеням $z$ для функций $\dfrac {\sin \pi z^{2}}{\sin \pi z}$ и $\dfrac {\cos 2\pi z^{2}}{\cos \pi z}$.

Разложить функцию $\dfrac {z}{(z^{2}-4)(z^{2}-1)}$ в ряд Лорана при $1 < \left|z\right| < 2$.

Разложить функцию $\dfrac {1}{(z^{2}-1)(z^{2}-4)^{2}}$ в ряд Лорана при $1 < \left|z\right| < 2$.

Разложить функцию $\dfrac {1}{(z^{2}-1)(z^{2}-4)^{2}}$ в ряд Лорана при $\left|z\right| > 2$ (то же, что и в предыдущей задаче, при другом условии на область).

Разложить функцию $\ctg z$ в ряд Лорана:

Разложить функцию $\dfrac {1}{z-2}\ln \dfrac {z-i}{z+i}$ в ряд Лорана при $1 < \left|z\right| < 2$, считая при $z = 2i$ величину логарифма вещественной.

Разложить функцию $\dfrac {1}{z-2}\ln \dfrac {z-i}{z+i}$ в ряд Лорана при $\left|z\right| > 2$ (то же, что и в предыдущей задаче, при другом условии на область, считая при $z = 2i$ величину логарифма вещественной).

Разложить функцию $z^{5}e^{1/z}$ в ряд Лорана.

Разложить функцию $e^{z+1/z}$ в ряд Лорана.

Доказать теорему: если ряд $\sum_{n=0}^{\infty } a_{n}z^{n}$ имеет на краю круга сходимости лишь одну особую точку, а именно полюс порядка $m$, то справедливо равенство: $a_{n} = \dfrac {An^{m-1}}{z_{0}^{n}}\left(1+\varepsilon (n)\right)$, где $\varepsilon (n) \to 0$ при $n \to \infty$, $A$ --- постоянная, $z_{0}$ --- полюс.

Доказать теорему: если радиус сходимости степенного ряда $\sum a_{n}z^{n}$ равен единице, а особые точки на круге сходимости лишь полюсы, порядок которых не больше, чем $m$, то коэффициенты ряда не превосходят $An^{m-1}$, где $A$ --- постоянная.

Доказать теорему: если у ряда $\sum a_{n}z^{n}$ все $a_{n} \geqslant 0$, а радиус круга равен $1$, то $z = 1$ является особой точкой.

Доказать теорему: если радиус сходимости рядов $\sum a_{n}z^{n}$ и $\sum \mathrm{Re}\left(a_{n}\right)\cdot z^{n}$ равен $1$ и все $\mathrm{Re}\left(a_{n}\right) \geqslant 0$, то точка $z = 1$ --- особая точка для сумм этих рядов.