14.3

Вычеты и их применения

[66/42%]
Показать
LaTeX
Задача 5423

Найти вычеты функции 1z3−z5\dfrac {1}{z^{3}-z^{5}} в точках z=0z = 0, z=±1z = \pm 1.

?
Задача 5424

Найти вычеты функции z2(z2+1)2\dfrac {z^{2}}{(z^{2}+1)^{2}} в точках z=±iz = \pm i.

?
Задача 5425

Найти вычеты функции z2n(z+1)n\dfrac {z^{2n}}{(z+1)^{n}} в точках z=−1z = -1 и z=∞z = \infty.

?
Задача 5426

Найти вычет функции ezln⁡z−αz−βe^{z}\ln \dfrac {z-\alpha }{z-\beta } в точке z=∞z = \infty.

?
Задача 5427

Вычислить интеграл ∫dzz4+1\displaystyle \int \frac{dz}{z^{4}+1} вдоль окружности x2+y2=2xx^{2}+y^{2} = 2x, беря обход против часовой стрелки.

?
Задача 5428

Вычислить интеграл ∫dz(z−1)2(z2+1)\displaystyle \int \frac{dz}{(z-1)^{2}(z^{2}+1)} вдоль окружности x2+y2=2x+2yx^{2}+y^{2} = 2x+2y, беря обход против часовой стрелки.

?
Задача 5429

Вычислить интеграл ∫dz(z2−1)2(z−3)2\displaystyle \int \frac{dz}{(z^{2}-1)^{2}(z-3)^{2}} по астроиде x23+y23=223x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}, беря обход против часовой стрелки.

?
Задача 5430

Вычислить интеграл ∫∣z∣=1dz(z−a)n(z−b)n\displaystyle \int_{\left|z\right|=1} \frac{dz}{(z-a)^{n}(z-b)^{n}}; ∣a∣<1\left|a\right| < 1, ∣b∣<1\left|b\right| < 1, беря обход против часовой стрелки.

?
Задача 5431

Вычислить интеграл ∫dz(z2−1)(z3−1)\displaystyle \int \frac{dz}{(z^{2}-1)(z^{3}-1)} по окружности ∣z∣=r≠1\left|z\right| = r \neq 1, беря обход против часовой стрелки.

?
Задача 5432

Вычислить интеграл ∫dzz3(z10−2)\displaystyle \int \frac{dz}{z^{3}(z^{10}-2)} по окружности ∣z∣=2\left|z\right| = 2, беря обход против часовой стрелки.

?
Задача 5433

Вычислить интеграл ∫z2e2πiz3−1 dz\displaystyle \int \frac{z^{2}}{e^{2\pi i z^{3}}-1}\, dz по краю полуокружности ∣z∣=R\left|z\right| = R, при условиях n<R3<n+1n < R^{3} < n+1, где nn --- целое число, беря обход против часовой стрелки.

?
Задача 5434

Найти интеграл ∫dt(z4+1)z2+1\displaystyle \int \frac{dt}{(z^{4}+1)\sqrt{z^{2}+1}}, взятый по параболе x=y2x = y^{2} в направлении возрастающих yy, считая, что значение z2+1\sqrt{z^{2}+1} равно единице при z=0z = 0.

?
Задача 5435

При каком соотношении между aa и bb будет однозначна функция

∫0tatsin⁡t+bcos⁡tt2 dt. \int _{0}^{t} \frac{at\sin t+b\cos t}{t^{2}}\, dt.
?
Задача 5436

Вычислить интегрированием по контуру интеграл ∫−∞∞x2+1x4+1 dx\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } \frac{x^{2}+1}{x^{4}+1}\, dx.

?
Задача 5437

Вычислить интегрированием по контуру интеграл ∫−∞∞x4+1x6+1 dx\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } \frac{x^{4}+1}{x^{6}+1}\, dx.

?
Задача 5438

Вычислить интегрированием по контуру интеграл ∫−∞∞x2(x2+a2)2 dx\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } \frac{x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{2}}\, dx.

?
Задача 5439

Вычислить интегрированием по контуру интеграл ∫−∞∞dx(x2+a2)2(x2+b2)\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } \frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}(x^{2}+b^{2})}.

?
Задача 5440

Вычислить интегрированием по контуру интеграл ∫−∞∞x2m1+x2n dx\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } \frac{x^{2m}}{1+x^{2n}}\, dx; m<nm < n.

?
Задача 5441

Вычислить интегрированием по контуру интеграл ∫02πdφcos⁡φ+a\displaystyle \int_{0}^{2\pi } \frac{d\varphi }{\cos \varphi +a}; a>1a > 1 (положить z=eiφz = e^{i\varphi }).

?
Задача 5442

Вычислить интегрированием по контуру интеграл ∫02πcos⁡22φ1−2pcos⁡φ+p2 dφ\displaystyle \int_{0}^{2\pi } \frac{\cos^{2} 2\varphi }{1-2p\cos \varphi +p^{2}}\, d\varphi; ∣p∣<1\left|p\right| < 1.

?
Задача 5443

Вычислить интегрированием по контуру интеграл ∫02πcos⁡23φ1−2pcos⁡2φ+p2 dφ\displaystyle \int_{0}^{2\pi } \frac{\cos^{2} 3\varphi }{1-2p\cos 2\varphi +p^{2}}\, d\varphi; ∣p∣<1\left|p\right| < 1.

?
Задача 5444

Вычислить интегрированием по контуру интеграл ∫0πctg⁡(x−a) dx\displaystyle \int_{0}^{\pi } \ctg (x-a)\, dx; Im(a)≠0\mathrm{Im}\left(a\right) \neq 0.

?
Задача 5445

Доказать равенство lim⁡r→∞∫CemizQ(z) dz=0\displaystyle \lim_{r\to \infty } \int_{C} e^{miz}Q(z)\, dz = 0, где CC --- полуокружность: z=reφiz = re^{\varphi i}; 0⩽φ⩽π0 \leqslant \varphi \leqslant \pi; m>0m > 0, а функция Q(z)Q(z) равномерно стремится к нулю при ∣z∣→∞\left|z\right| \to \infty в угле 0⩽φ⩽π0 \leqslant \varphi \leqslant \pi и регулярна в верхней полуплоскости. (Лемма Жордана.)

?
Задача 5446

Вычислить интегралы I1=∫−∞∞eiazz−ir dzI_{1} = \displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } \frac{e^{iaz}}{z-ir}\, dz; I2=∫−∞∞eiazz+ir dzI_{2} = \displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } \frac{e^{iaz}}{z+ir}\, dz; Re(r)>0\mathrm{Re}\left(r\right) > 0; a>0a > 0.

?
Задача 5447

Вычислить интеграл ∫0∞xsin⁡axx2+r2 dx\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{x\sin ax}{x^{2}+r^{2}}\, dx.

?
Задача 5448

Вычислить интеграл ∫0∞cos⁡axx2+r2 dx\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{\cos ax}{x^{2}+r^{2}}\, dx.

?
Задача 5449

Вычислить интеграл ∫0∞sin⁡xx dx\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{\sin x}{x}\, dx.

?
Задача 5450

Вычислить интеграл ∫0∞cos⁡ax1+x4 dx\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{\cos ax}{1+x^{4}}\, dx; a>0a > 0.

?
Задача 5451

Вычислить интеграл ∫0∞sin⁡axx(x2+b2) dx\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{\sin ax}{x(x^{2}+b^{2})}\, dx; a>0a > 0, b>0b > 0.

?
Задача 5452

Исходя из равенства ∫0∞e−x2 dx=12π\displaystyle \int_{0}^{\infty } e^{-x^{2}}\, dx = \frac{1}{2}\sqrt{\pi }, доказать формулы для интегралов Френеля:

∫0∞cos⁡(x2) dx=∫0∞sin⁡(x2) dx=12π2. \int _{0}^{\infty } \cos (x^{2})\, dx = \int _{0}^{\infty } \sin (x^{2})\, dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{2}}.
?
Задача 5453

Доказать равенство: ∫0∞xs−1e−ix dx=Γ(s)e−πsi2\displaystyle \int_{0}^{\infty } x^{s-1}e^{-ix}\, dx = \Gamma (s)e^{-\frac{\pi si}{2}}; 0<Re(s)<10 < \mathrm{Re}\left(s\right) < 1.

?
Задача 5454

Доказать равенство: ∫0∞cos⁡xn dx=1nΓ(1n)cos⁡π2n\displaystyle \int_{0}^{\infty } \cos x^{n}\, dx = \frac{1}{n}\Gamma \left(\frac{1}{n}\right)\cos \frac{\pi }{2n}; n>1n > 1.

?
Задача 5455

Доказать равенство: ∫0∞sin⁡xn dx=1nΓ(1n)sin⁡π2n\displaystyle \int_{0}^{\infty } \sin x^{n}\, dx = \frac{1}{n}\Gamma \left(\frac{1}{n}\right)\sin \frac{\pi }{2n}; ∣n∣>1\left|n\right| > 1.

?
Задача 5456

Доказать равенство: ∫0∞sin⁡xnxn dx=1n−1Γ(1n)cos⁡π2n\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{\sin x^{n}}{x^{n}}\, dx = \frac{1}{n-1}\Gamma \left(\frac{1}{n}\right)\cos \frac{\pi }{2n}; 0<1n<20 < \frac{1}{n} < 2.

?
Задача 5457

Доказать равенство 12πi∫a−∞ia+∞iΓ(s)z−s ds=e−z\displaystyle \frac{1}{2\pi i}\int_{a-\infty i}^{a+\infty i} \Gamma (s)z^{-s}\, ds = e^{-z}; a>0a > 0; Re(z)>0\mathrm{Re}\left(z\right) > 0.

?
Примечание.
?

Воспользоваться теоремой:

lim⁡∣s∣→∞(ln⁡Γ(s)−(s−12)ln⁡s+s−12ln⁡2π)=0, \lim _{\left|s\right|\to \infty }\left(\ln \Gamma (s)-\left(s-\frac{1}{2}\right)\ln s+s-\frac{1}{2}\ln 2\pi \right) = 0,

если ss находится направо от любой данной вертикальной прямой.

Задача 5458

Доказать равенство

12πi∫a−∞ia+∞ixss ds={1,если x>1;0,если x<1;a>0. \frac{1}{2\pi i}\int _{a-\infty i}^{a+\infty i} \frac{x^{s}}{s}\, ds = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 1; \\ 0, & \text{если } x < 1; \end{cases} \qquad a > 0.
?
Задача 5459

Доказать равенство

12πi∫a−∞ia+∞ixss2 ds={ln⁡x,если x>1;0,если x<1;a>0. \frac{1}{2\pi i}\int _{a-\infty i}^{a+\infty i} \frac{x^{s}}{s^{2}}\, ds = \begin{cases} \ln x, & \text{если } x > 1; \\ 0, & \text{если } x < 1; \end{cases} \qquad a > 0.
?
Задача 5460

Доказать равенство

12πi∫a−∞ia+∞ixs+2s(s+1)(s+2) ds={(x−1)22,если x>1;0,если x<1;a>0. \frac{1}{2\pi i}\int _{a-\infty i}^{a+\infty i} \frac{x^{s+2}}{s(s+1)(s+2)}\, ds = \begin{cases} \dfrac {(x-1)^{2}}{2}, & \text{если } x > 1; \\ 0, & \text{если } x < 1; \end{cases} \qquad a > 0.
?
Задача 5461

Доказать равенство ∫0π/2f(eiφ)−f(e−iφ)eiφ−e−iφ dφ=π2f(1)−∫01f(ix)+f(−ix)1+x2 dx\displaystyle \int_{0}^{\pi /2} \frac{f(e^{i\varphi })-f(e^{-i\varphi })}{e^{i\varphi }-e^{-i\varphi }}\, d\varphi = \frac{\pi }{2}f(1)-\int_{0}^{1} \frac{f(ix)+f(-ix)}{1+x^{2}}\, dx, если f(x)f(x) голоморфна в правой половине круга ∣z∣<1\left|z\right| < 1.

?
Задача 5462

Доказать равенство ∫0∞cos⁡x−e−xx dx=0\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{\cos x-e^{-x}}{x}\, dx = 0.

?
Задача 5463

Доказать равенство ∫0∞x2−a2x2+a2⋅sin⁡xx dx=π(e−a−12)\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{x^{2}-a^{2}}{x^{2}+a^{2}}\cdot \frac{\sin x}{x}\, dx = \pi \left(e^{-a}-\frac{1}{2}\right); a>0a > 0.

?
Задача 5464

Пользуясь контуром, который целиком или частью состоит из краев разреза вдоль положительной или отрицательной части OXOX и окружностей вокруг начала радиусов ρ→0\rho \to 0 и R→∞R \to \infty, доказать равенство: ∫0∞xp−11+x dx=πsin⁡πp\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{x^{p-1}}{1+x}\, dx = \frac{\pi }{\sin \pi p}; 0<p<10 < p < 1.

?
Задача 5465

Пользуясь тем же приемом, доказать равенство: v.p.∫0∞xa−11−x dx=πctg⁡aπ\displaystyle \int_{0}^{\infty } \frac{x^{a-1}}{1-x}\, dx = \pi \ctg a\pi; 0<a<10 < a < 1, где

v.p.∫0∞xa−11−x dx=lim⁡σ→+0(∫01−σxa−11−x dx+∫1+σ∞xa−11−x dx). \text{v.p.}\int _{0}^{\infty } \frac{x^{a-1}}{1-x}\, dx = \lim _{\sigma \to +0}\left(\int _{0}^{1-\sigma } \frac{x^{a-1}}{1-x}\, dx+\int _{1+\sigma }^{\infty } \frac{x^{a-1}}{1-x}\, dx\right).
?
Задача 5466

Пользуясь тем же приемом, доказать равенство:

∫−∞∞eax−ebx1−ex dx=π(ctg⁡aπ−ctg⁡bπ);0<a<1,0<b<1. \int _{-\infty }^{\infty } \frac{e^{ax}-e^{bx}}{1-e^{x}}\, dx = \pi (\ctg a\pi -\ctg b\pi ); \qquad 0 < a < 1, \quad 0 < b < 1.
?
Задача 5467

Пользуясь тем же приемом, доказать равенство:

∫−∞∞∑λνeaνx1−ex dx=π∑λνctg⁡πaν;0<aν<1,∑λν=0. \int _{-\infty }^{\infty } \frac{\sum \lambda _{\nu }e^{a_{\nu }x}}{1-e^{x}}\, dx = \pi \sum \lambda _{\nu }\ctg \pi a_{\nu }; \qquad 0 < a_{\nu } < 1, \quad \sum \lambda _{\nu } = 0.
?
Задача 5468

Пользуясь тем же приемом, доказать равенство:

∫0∞x−p1+2xcos⁡λ+x2 dx=πsin⁡πp⋅sin⁡pλsin⁡λ;−1<p<1,−π<λ<π. \int _{0}^{\infty } \frac{x^{-p}}{1+2x\cos \lambda +x^{2}}\, dx = \frac{\pi }{\sin \pi p}\cdot \frac{\sin p\lambda }{\sin \lambda }; \qquad -1 < p < 1, -\pi < \lambda < \pi .
?
Задача 5469

Пользуясь контуром, в состав которого входит разрез по оси OXOX между точками z=0z=0 и z=1z=1, дополненный кружками радиуса ρ→0\rho \to 0 вокруг этих точек, получить при −1<p<2-1 < p < 2 равенство:

∫01x1−p(1−x)p(1+x)3 dx=πp(1−p)8sin⁡πp⋅2p. \int _{0}^{1} \frac{x^{1-p}(1-x)^{p}}{(1+x)^{3}}\, dx = \frac{\pi p(1-p)}{8\sin \pi p}\cdot 2^{p}.
?
Задача 5470

Тем же приемом получить при −1<p<2-1 < p < 2 равенство:

∫01x1−p(1−x)p1+x2 dx=πsin⁡πp(2p2cos⁡πp4−1). \int _{0}^{1} \frac{x^{1-p}(1-x)^{p}}{1+x^{2}}\, dx = \frac{\pi }{\sin \pi p}\left(2^{\frac{p}{2}}\cos \frac{\pi p}{4}-1\right).
?
Задача 5471

Тем же приемом получить при −1<p<2-1 < p < 2 равенство:

∫01x1−p(1−x)p(a+x)2 dx=πsin⁡πp(1+a−pa(1+aa)p−1−1). \int _{0}^{1} \frac{x^{1-p}(1-x)^{p}}{(a+x)^{2}}\, dx = \frac{\pi }{\sin \pi p}\left(\frac{1+a-p}{a}\left(\frac{1+a}{a}\right)^{p-1}-1\right).
?
Задача 5472

Тем же приемом получить при −1<p<2-1 < p < 2 равенство:

∫01x1−p(1−x)p1+x dx=πsin⁡πp(1+p−2p). \int _{0}^{1} \frac{x^{1-p}(1-x)^{p}}{1+x}\, dx = \frac{\pi }{\sin \pi p}(1+p-2^{p}).
?
Задача 5473

Тем же приемом доказать равенство:

∫−11(1+x)1−p(1−x)p1+x2 dx=πsin⁡πp(sin⁡πp2+cos⁡πp2−1). \int _{-1}^{1} \frac{(1+x)^{1-p}(1-x)^{p}}{1+x^{2}}\, dx = \frac{\pi }{\sin \pi p}\left(\sin \frac{\pi p}{2}+\cos \frac{\pi p}{2}-1\right).
?
Задача 5474

Доказать равенство:

∫0∞dx(x2+a2)(ln⁡2x+π2)=π2a⋅1ln⁡2a+π24−11+a2;a>0. \int _{0}^{\infty } \frac{dx}{(x^{2}+a^{2})(\ln ^{2} x+\pi ^{2})} = \frac{\pi }{2a}\cdot \frac{1}{\ln ^{2} a+\frac{\pi ^{2}}{4}}-\frac{1}{1+a^{2}}; \quad a > 0.
?
Задача 5475

Доказать равенство:

∫0∞dx(x2+a2)(ln⁡2x+(2n+1)2π2)=12n+1⋅π2a∑k=−nn4k+1(ln⁡2a+(4k+1)2π24)−11+a2. \int _{0}^{\infty } \frac{dx}{(x^{2}+a^{2})(\ln ^{2} x+(2n+1)^{2}\pi ^{2})} = \frac{1}{2n+1}\cdot \frac{\pi }{2a}\sum _{k=-n}^{n} \frac{4k+1}{\left(\ln ^{2} a+(4k+1)^{2}\frac{\pi ^{2}}{4}\right)}-\frac{1}{1+a^{2}}.
?
Задача 5476

Доказать равенство

∫0∞xa−1φ(x) dx=2πi1−e2aπi∑\Resza−1(φ(z)), \int _{0}^{\infty } x^{a-1}\varphi (x)\, dx = \frac{2\pi i}{1-e^{2a\pi i}}\sum \Res z^{a-1}\left(\varphi (z)\right),

где ∑\Resza−1(φ(z))\sum \Res z^{a-1}\left(\varphi (z)\right) означает сумму вычетов функции za−1φ(z)z^{a-1}\varphi (z), взятую по всем полюсам рациональной функции φ(z)\varphi (z). Предполагается, что φ(z)→0\varphi (z) \to 0 при z→∞z \to \infty.

?
Задача 5477

Доказать равенство

∫0∞φ(x)ln⁡2x+π2 dx=∑\Res(φ(z))ln⁡z−πi, \int _{0}^{\infty } \frac{\varphi (x)}{\ln ^{2} x+\pi ^{2}}\, dx = \sum \Res \frac{\left(\varphi (z)\right)}{\ln z-\pi i},

где φ(z)\varphi (z) --- рациональная функция, не имеющая полюсов на положительной вещественной оси, zφ(z)→0z\varphi (z) \to 0 при z→∞z \to \infty и ln⁡z\ln z соответствует изменению arg⁡z\arg z от 00 до 2π2\pi.

?
Задача 5478

Доказать теорему: если ряд ∑−∞∞f(n)\sum_{-\infty }^{\infty } f(n) абсолютно сходится, а f(z)f(z) --- мероморфная функция, регулярная при всех целых zz, и существует последовательность расширяющихся контуров C1,C2,…,Cn,…C_{1}, C_{2}, \ldots , C_{n}, \ldots, удаляющихся по всем направлениям в бесконечность при n→∞n \to \infty так, что

∫Cnf(z)ctg⁡πz dz→0,(*) \int _{C_{n}} f(z)\ctg \pi z\, dz \to 0, \tag {*}

то справедливо равенство

∑n=−∞∞f(n)=−π∑\Resctg⁡πz(f(z)), \sum _{n=-\infty }^{\infty } f(n) = -\pi \sum \Res \ctg \pi z\left(f(z)\right),

где ∑\Resφ(z)(f(z))\sum \Res \varphi (z)\left(f(z)\right) означает сумму вычетов функции φ(z)f(z)\varphi (z)f(z), взятую по полюсам f(z)f(z).

?
Задача 5479

При подобных же условиях, что и в предыдущей задаче, где вместо условия (∗)(*) дано условие:

∫Cnf(z)sin⁡πz dz→0при n→∞, \int _{C_{n}} \frac{f(z)}{\sin \pi z}\, dz \to 0 \quad \text{при } n \to \infty ,

доказать, что справедливо равенство

∑n=−∞∞(−1)nf(n)=−∑\Resπsin⁡πz(f(z)). \sum _{n=-\infty }^{\infty } (-1)^{n}f(n) = -\sum \Res \frac{\pi }{\sin \pi z}\left(f(z)\right).
?
Задача 5480

Доказать равенство:

∑n=−∞∞1(a+bn)2=π2b2cosec⁡2πab. \sum _{n=-\infty }^{\infty } \frac{1}{(a+bn)^{2}} = \frac{\pi ^{2}}{b^{2}}\operatorname {cosec}^{2}\frac{\pi a}{b}.
?
Задача 5481

Доказать равенство:

∑n=1∞1n2+a2=−12a2+π2acth⁡πa. \sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}+a^{2}} = -\frac{1}{2a^{2}}+\frac{\pi }{2a}\cth \pi a.
?
Задача 5482

Доказать равенство:

∑n=1∞(−1)nn2+a2=−12a2+π2a⋅1sh⁡πa. \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+a^{2}} = -\frac{1}{2a^{2}}+\frac{\pi }{2a}\cdot \frac{1}{\sh \pi a}.
?
Задача 5483

Доказать равенство:

∑n=1∞(−1)nnsh⁡πan=−12πa−1a2∑n=1∞(−1)nnsh⁡πna. \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}n}{\sh \pi an} = -\frac{1}{2\pi a}-\frac{1}{a^{2}}\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}n}{\sh \frac{\pi n}{a}}.
?
Задача 5484

Доказать равенство:

1eπ−e−π−2e2π−e−2π+3e3π−e−3π−…=18π. \frac{1}{e^{\pi }-e^{-\pi }}-\frac{2}{e^{2\pi }-e^{-2\pi }}+\frac{3}{e^{3\pi }-e^{-3\pi }}-\ldots = \frac{1}{8\pi }.
?
Задача 5485

Полагая по определению

f(u)=∫γe−πiz2+2πiuzeπiz−e−πiz dz, f(u) = \int _{\gamma } \frac{e^{-\pi i z^{2}+2\pi i uz}}{e^{\pi i z}-e^{-\pi i z}}\, dz,

где интегрирование идет снизу вверх по всей прямой x+y=12x+y = \frac{1}{2}, проверить тождество:

f(u+1)−f(u)=eπi(u+12)2∫γe−πiz2 dz. f\left(u+1\right)-f(u) = e^{\pi i \left(u+\frac{1}{2}\right)^{2}}\int _{\gamma } e^{-\pi i z^{2}}\, dz.
?
Задача 5486

Передвинув в предыдущей задаче контур интегрирования на прямую x+y=−12x+y = -\frac{1}{2}, где f(u)=∫γe−πiz2+2πiuzeπiz−e−πiz dzf(u) = \int_{\gamma } \dfrac {e^{-\pi i z^{2}+2\pi i uz}}{e^{\pi i z}-e^{-\pi i z}}\, dz (задача 5485), доказать равенство:

f(u)=e−2πiuf(u+1)+1. f(u) = e^{-2\pi i u}f(u+1)+1.
?
Задача 5487

Доказать, что ∫γe−πiz2 dz=e3πi4\displaystyle \int_{\gamma } e^{-\pi i z^{2}}\, dz = e^{\frac{3\pi i}{4}} (где γ\gamma --- прямая x+y=12x+y = \frac{1}{2}, интегрирование снизу вверх, задача 5485) и, пользуясь предыдущими результатами, вывести формулу Римана:

∫γe−πiz2+2πiuzeπiz−e−πiz dz=eπiu−eπiu2eπiu−e−πiu. \int _{\gamma } \frac{e^{-\pi i z^{2}+2\pi i uz}}{e^{\pi i z}-e^{-\pi i z}}\, dz = \frac{e^{\pi i u}-e^{\pi i u^{2}}}{e^{\pi i u}-e^{-\pi i u}}.
?
Задача 5488

Рассмотреть интеграл от функции e2πiz2n1−e2πiz\dfrac {e^{\frac{2\pi i z^{2}}{n}}}{1-e^{2\pi i z}}, где nn --- целое положительное, по краю области

0<x<n2,−ω<y<ω,∣z∣>ρ,∣z−n2∣>π. 0 < x < \frac{n}{2}, \quad -\omega < y < \omega , \quad \left|z\right| > \rho , \quad \left|z-\frac{n}{2}\right| > \pi .

Предельным переходом, при ρ→0\rho \to 0, ω→∞\omega \to \infty, получить формулу для суммы Гаусса:

∑ν=0n−1e2πiν2n=1+(−i)n1−i⋅n. \sum _{\nu =0}^{n-1} e^{\frac{2\pi i \nu ^{2}}{n}} = \frac{1+(-i)^{n}}{1-i}\cdot \sqrt{n}.
?