Конформные преобразования

Какая кривая описывается точкой $z$ плоскости комплексной переменной, если $z = e^{(a+bi)t}$, где $z$ выражена через вещественную переменную $t$, меняющуюся от $-\infty$ до $\infty$, а коэффициенты $a$, $b$ --- вещественные?

Какая кривая описывается точкой $z$ плоскости комплексной переменной, если $z = at+be^{i\omega t}$, где $z$ выражена через вещественную переменную $t$, меняющуюся от $-\infty$ до $\infty$, а коэффициенты $a$, $b$, $\omega$ --- вещественные?

Какая кривая описывается точкой $z$ плоскости комплексной переменной, если $z = ae^{it}+a^{-1}e^{-it}$, где $z$ выражена через вещественную переменную $t$, меняющуюся от $-\infty$ до $\infty$, а коэффициент $a$ --- вещественный?

Какая кривая описывается точкой $z$ плоскости комплексной переменной, если $z = a(1+e^{it})^{-2}$, где $z$ выражена через вещественную переменную $t$, меняющуюся от $-\infty$ до $\infty$, а коэффициент $a$ --- вещественный?

Какая кривая описывается точкой $z$ плоскости комплексной переменной, если $z = a(1+it)e^{-it}$, где $z$ выражена через вещественную переменную $t$, меняющуюся от $-\infty$ до $\infty$, а коэффициент $a$ --- вещественный?

Какая линия или область в плоскости переменной $z$ определяется условием $\left|z-2\right| < \left|z\right|$?

Какая линия или область в плоскости переменной $z$ определяется условием $\left|z-1\right| \geqslant 2\left|z-i\right|$?

Какая линия или область в плоскости переменной $z$ определяется условием $\left|z^{2}-1\right| < 1$?

Какая линия или область в плоскости переменной $z$ определяется условием $\mathrm{Im}\left(z^{-1}\right) = 2$?

Какая линия или область в плоскости переменной $z$ определяется условием $0 < \arg \dfrac {z-i}{z+i} < \dfrac {\pi }{4}$?

Какая линия или область в плоскости переменной $z$ определяется условием $\left|2z\right| < \left|1+z^{2}\right|$?

Показать, что все корни уравнения

лежат на одной окружности.

Показать, что функция $w = z^{2}$ отображает данную область плоскости $z = x+iy$ конформно и взаимно однозначно в указанную область плоскости $w = u+iv$: первый квадрант плоскости $z$ --- в верхнюю полуплоскость $w$.

Показать, что функция $w = e^{z}$ отображает данную область плоскости $z = x+iy$ конформно и взаимно однозначно в указанную область плоскости $w = u+iv$: полосу $0 < y < \dfrac {\pi }{2}$ --- в первый квадрант плоскости $w$.

Показать, что функция $w = \ln z$ отображает данную область плоскости $z = x+iy$ конформно и взаимно однозначно в указанную область плоскости $w = u+iv$: область $x^{2}+y^{2} = 1$; $y > 0$ --- в полосу $u > 0$, $0 < v < \pi$.

Показать, что функция $w = \cos z$ отображает данную область плоскости $z = x+iy$ конформно и взаимно однозначно в указанную область плоскости $w = u+iv$: полосу $-\dfrac {\pi }{2} < x < \dfrac {\pi }{2}$ --- в полуплоскость $v > 0$.

Показать, что функция $w = \dfrac {1}{z+i}$ отображает данную область плоскости $z = x+iy$ конформно и взаимно однозначно в указанную область плоскости $w = u+iv$: полуплоскость $y \geqslant 0$ --- в круг $u^{2}+v^{2}+v \leqslant 0$.

Показать, что функция $w = \dfrac {i-z}{i+z}$ отображает данную область плоскости $z = x+iy$ конформно и взаимно однозначно в указанную область плоскости $w = u+iv$: первый квадрант $z$ --- в верхний полукруг $\left|w\right| < 1$.

Во что переходят линии $\left|z\right| = C$ и $\arg z = C$ и область $\left|z\right| > C > 1$; $a < \arg z < \pi -a$, где $0 < a < \dfrac {\pi }{2}$ при конформном преобразовании $2w = z+z^{-1}$?

Во что преобразуется верхняя полуплоскость $z$ на плоскости $w$, если $\cos w = \ch a\cos z$ и при $z = \dfrac {\pi }{2}$ величина $w = \dfrac {\pi }{2}$.

Функция $w = \arctg z$ преобразует круг $\left|z\right| < 1$ на полосу в плоскости $w$. Найти ширину этой полосы.

На какую область отображается круг $\left|z\right| < 1$ функцией $w = a(nz-z^{n})$, где $a > 0$, $n > 1$ --- целое? Найти площадь этой области.

Функция $w = \left(1+\dfrac {z}{n}\right)^{n}$ отображает некоторую область $S_{n}$ в верхнюю полуплоскость. Найти $S_{n}$ и $\lim_{n\to \infty } S_{n}$.

Точка $w = \dfrac {a^{2}}{z}$ называется отражением точки $z$ относительно окружности $\left|z\right| = a$. Найти отражение в этой окружности полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) > 2a$.

Доказать, что при дробно-линейном преобразовании $w = \dfrac {az+b}{cz+d}$, где $ad-bc \neq 0$, точка и ее отражение относительно окружности переходят в точку и ее отражение относительно преобразованной окружности.

Доказать, что равенство

дает дробно-линейную функцию $w(z)$, переводящую точки $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$ в точки $w_{1}$, $w_{2}$, $w_{3}$.

Доказать, что круг $\left|z\right| < 1$ переходит в себя при дробно-линейном отображении лишь при $w = e^{i\theta }\cdot \dfrac {z-a}{1-\overline{a}z}$, где $\left|a\right| < 1$.

Найти условия, при которых дробно-линейная функция $w = \dfrac {az+b}{cz+d}$ переводит круг $\left|z\right| < 1$ в верхнюю полуплоскость.

Найти функцию, дающую конформное отображение круга $\left|z\right| < 1$ на полуплоскость $\mathrm{Im}\left(w\right) < 0$ так, чтобы точки $1$, $i$, $-i$ переходили в точки $w = +1, 0, -1$.

Найти функцию, дающую конформное отображение того же круга (задача 5617) в себя так, чтобы точки $z = -1, i, 1$ переходили в точки $w = -1, \dfrac {3i+4}{5}, 1$.

Найти функцию, дающую конформное отображение двуугольника, ограниченного дугами окружностей, пересекающихся в точках $z = a$, $z = b$ под углом $\dfrac {\pi }{\alpha }$, на полуплоскость $\mathrm{Im}\left(w\right) > 0$ так, чтобы точки $z = a$, $z = b$ переходили в $w = 0$, $w = \infty$.

Найти функцию, дающую конформное отображение верхнего полукруга $\left|z\right| < 1$ на верхнюю полуплоскость $\mathrm{Im}\left(w\right) > 0$ так, чтобы при $z = 0, 1, -1$ было $w = 0, 1, -1$.

Найти функцию, дающую конформное отображение квадранта $0 < \arg z < \dfrac {\pi }{2}$ на круг $\left|w\right| < 1$ так, чтобы при $z = 1+i, 0$ было бы $w = 0, 1$.

Найти функцию, дающую конформное отображение круга $\left|z\right| < 1$ на плоскость с разрезом вдоль положительной части вещественной оси.

Найти функцию, дающую конформное отображение плоскости с разрезом вдоль всей вещественной оси, кроме отрезка между точками $a$ и $b$, на область $\mathrm{Im}\left(w\right) > 0$.

Найти функцию, дающую конформное отображение плоскости с разрезом вдоль отрезка $a < z < b$ на $\mathrm{Im}\left(w\right) < 0$.

Найти функцию, дающую конформное отображение круга $\left|z\right| < 1$ с вырезом по отрезку $0 < z < 1$ на полуплоскость $\mathrm{Im}\left(w\right) > 0$.

Найти функцию, дающую конформное отображение полосы $0 < \mathrm{Re}\left(z\right) < a$ на полуплоскость $\mathrm{Im}\left(w\right) > 0$.

Найти функцию, дающую конформное отображение области $\left|z-a\right| > a$; $\left|z-b\right| < b$, где $0 < a < b$, на полосу $0 < \mathrm{Im}\left(w\right) < \pi$.

Найти функцию, дающую конформное отображение области $0 < a < \left|z\right| < b$, $0 < \arg z < \pi$ на прямоугольник.

Найти функцию, дающую конформное отображение области $\left|z-3\right| > 9$; $\left|z-8\right| < 16$ на кольцо между кругами: $\rho < \left|w\right| < 1$.

Найти функцию, дающую конформное отображение внутренней области эллипса $4x^{2}+5y^{2} = 20$ с разрезом между фокусами на внутренность кольца $1 < \left|w\right| < A$, и найти $A$.

Найти функцию, дающую конформное отображение внутренней части параболы $y^{2} = 4x$ на полуплоскость $\mathrm{Im}\left(w\right) > 0$.

Найти функцию, дающую конформное отображение внутренней части гиперболы $x^{2}\sin^{2}\alpha -y^{2}\cos^{2}\alpha = \sin^{2} 2\alpha$ на полуплоскость $\mathrm{Im}\left(w\right) > 0$.

Найти функцию, дающую конформное отображение внутренности правой половины лемнискаты $z^{2} = 2a^{2}\cos 2\varphi$ на круг $\left|w\right| \leqslant 1$.

Доказать, что функция $w = \int_{0}^{z} z^{\frac{1}{3}-1}(1-z)^{\frac{1}{3}-1}\, dz$ отображает верхнюю полуплоскость $z$ на равносторонний треугольник со стороной $\dfrac {\sqrt{3}}{2\pi }\Gamma^{3}\left(\dfrac {1}{3}\right)$.

Доказать, что функция $w = \int_{0}^{z} \dfrac {dz}{\sqrt{1-z^{4}}}$ отображает круг $\left|z\right| < 1$ на квадрат со стороной

Доказать, что функция

отображает внутренность круга $\left|z\right| < 1$ на площадь ромба с углом $60°$ и со стороной $\dfrac {1}{4\sqrt{\pi }}\Gamma \left(\dfrac {1}{3}\right)\Gamma \left(\dfrac {1}{6}\right)$.

Доказать, что функция

отображает внутренность круга $\left|z\right| < 1$ на площадь правильного $n$-угольника, длина стороны которого равна

На какую область отображает внутренность круга $\left|z\right| < 1$ функция $\left(-1 < \lambda < 1-\dfrac {2}{n}\right)$

Найти функцию, дающую конформное отображение круга $\left|z\right| < 1$ на правильную пятиконечную звезду.

Найти функцию, дающую конформное отображение того же круга (задача 5639) на внешность правильного $n$-угольника.

Найти функцию, дающую конформное отображение полуплоскости $\mathrm{Im}\left(z\right) > 0$ на ту же полуплоскость с разрезом между точками $w = 0$ и $w = i$.

Найти функцию, дающую конформное отображение полуплоскости $\mathrm{Im}\left(z\right) > 0$ на плоскость с вертикальными разрезами от точек $w = n\pi$ вниз до бесконечности.

Найти функцию, дающую конформное отображение круга $\left|z\right| < 1$ на круг $\left|w\right| < 1$ с радиальным разрезом между точками $w = \dfrac {1}{2}$ и $w = 1$.

Найти функцию, дающую конформное отображение плоскости с разрезом по оси $OX$ от точки $z = 1$ до $\infty$ на круг $\left|w\right| < 1$.