Распределение нулей функции

По теореме Руше функции $\varphi (z)$ и $\psi (z)$, регулярные внутри контура, имеют там одинаковое число нулей, если на контуре $\left|\varphi (z)-\psi (z)\right| < \left|\varphi (z)\right|$. Пользуясь этим, найти число корней, лежащих в круге $\left|z\right| < 1$, для уравнения $z^{4}-5z+1 = 0$.

По теореме Руше функции $\varphi (z)$ и $\psi (z)$, регулярные внутри контура, имеют там одинаковое число нулей, если на контуре $\left|\varphi (z)-\psi (z)\right| < \left|\varphi (z)\right|$. Пользуясь этим, найти число корней, лежащих в круге $\left|z\right| < 1$, для уравнения $z^{6}-6z+10 = 0$.

По теореме Руше функции $\varphi (z)$ и $\psi (z)$, регулярные внутри контура, имеют там одинаковое число нулей, если на контуре $\left|\varphi (z)-\psi (z)\right| < \left|\varphi (z)\right|$. Пользуясь этим, найти число корней, лежащих в круге $\left|z\right| < 1$, для уравнения $z^{8}-4z^{5}+z^{2}-1 = 0$.

По теореме Руше функции $\varphi (z)$ и $\psi (z)$, регулярные внутри контура, имеют там одинаковое число нулей, если на контуре $\left|\varphi (z)-\psi (z)\right| < \left|\varphi (z)\right|$. Пользуясь этим, найти число корней, лежащих в круге $\left|z\right| < 1$, для уравнения $z = \varphi (z)$, где $\left|\varphi (z)\right| < 1$ при $\left|z\right| \leqslant 1$.

Сколько корней в каждом квадрате имеет уравнение $z^{4}+2z^{3}+3z^{2}+z+2 = 0$.

Сколько корней в каждом квадрате имеет уравнение $2z^{4}-3z^{3}+3z^{2}-z+1 = 0$.

Доказать, что при $\lambda > 1$ уравнение $z = \lambda -e^{-z}$ в полуплоскости $x > 0$ имеет единственный и притом вещественный корень.

Доказать, что $z = ae^{z}$ имеет при $0 < a < \frac{1}{e}$ лишь один корень в круге $\left|z\right| \leqslant 1$.

Доказать, что уравнение $z^{2} = ae^{z}$, где $0 < a < \frac{1}{e}$, в круге $\left|z\right| < 1$ имеет два корня. Они вещественны и разных знаков.

Доказать, что уравнение $1+z+az^{n} = 0$, где $n$ --- целое число, большее единицы, имеет в круге $\left|z\right| \leqslant 2$ при любом $a$ по крайней мере один корень.

Доказать, что уравнение $z = \tg z$ имеет только вещественные корни --- трехкратный корень $z = 0$ и корни $z_{n} = (2n+1)\frac{\pi }{2}-\rho_{n}$, где $\rho_{n} > 0$, $\rho_{n} \to 0$ при $n \to \infty$.

Доказать, что уравнение $\ch z\cos z = 1$ имеет четырехкратный корень $z = 0$ и корни вида $\pm r_{n}$, $\pm ir_{n}$, $r_{n} = \left(n+\frac{1}{2}\right)\pi +(-1)^{n-1}\rho_{n}$, где $\rho_{n} > 0$ и $\rho_{n} \to 0$ при $n \to \infty$.

Доказать, что если последовательность функций $\left\{ f_{n}(z)\right\}$, регулярных в области $G$, равномерно сходится внутри этой области к некоторой функции $f(z) \not\equiv 0$, то каждый нуль функции $f(z)$ является пределом соответствующих нулей функций $f_{n}(z)$.

Доказать, что если, в условиях предыдущей задачи (задача 5501), функция $f(z)$ имеет внутри области $G$ нуль $z = z_{0}$ кратности $m$, то можно указать постоянные $\rho_{0} > 0$ и $C > 0$ такие, что коль скоро на границе области $G$ выполняется соотношение $\left|f_{n}(z)-f(z)\right| < \rho < \rho_{0}$, то функция $f_{n}(z)$ имеет в круге $\left|z-z_{0}\right| < C\sqrt[m]{\rho }$ ровно $m$ нулей.

Доказать, что если $\mathrm{Im}\left(z_{\nu }\right) > 0$, а $\prod_{\nu =1}^{n}(z-z_{\nu }) = \varphi (z)+i\psi (z)$, где $\varphi (z)$ и $\psi (z)$ --- многочлены с вещественными коэффициентами, то корни этих многочленов будут вещественными, простыми и перемежающимися.

Доказать, что при тех же условиях (задача 5503) и при $a > 0$ такими же свойствами обладают и корни уравнений:

Доказать, что число корней вещественного тригонометрического многочлена $\sum_{\nu =m}^{n}(a_{\nu }\cos \nu \varphi +b_{\nu }\sin \nu \varphi )$, в интервале $0 \leqslant \varphi < 2\pi$ не меньше $2m$ и не больше $2n$.

Доказать, что при $a_{0} < a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{n}$ легко доказать умножением на $1-z$, что многочлен $\sum_{\nu =0}^{n} a_{\nu }z^{\nu }$ не имеет корней в области $\left|z\right| \geqslant 1$. Пользуясь этим, показать, что тригонометрический многочлен $\sum_{\nu =0}^{n} a_{\nu }\cos \nu \varphi$, с теми же $a_{\nu }$, имеет в интервале $0 \leqslant \varphi < 2\pi$ ровно $2n$ различных корней (так же, как и многочлен $\sum_{\nu =1}^{n} a_{\nu }\sin \nu \varphi$).

Пусть при $0 < t < a$ функция $f(t)$ положительна и не убывает, а интеграл $\int_{0}^{a} f(t)\, dt$ имеет смысл. Доказать, что целая функция $f(z) = \int_{0}^{a} f(t)\cos zt\, dt$ имеет только вещественные нули. (Теорема Полиа.)

Доказать, что при тех же условиях (задача 5507) и при $b > 0$ целые функции

тоже имеют только вещественные нули.

Пусть $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| \leqslant r$ и имеет внутри круга корни $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$, отличные от нуля. Соединяя каждый из нулей $a_{\nu }$ разрезом с окружностью $\left|z\right| = r$ и интегрируя по полученному контуру соответствующую функцию, доказать формулу Иенсена:

Доказать, что если в условиях предыдущей задачи (задача 5509) максимум $\left|f(z)\right|$ равен $M$, $\left|f(0)\right| = m$ и $N$ --- число нулей $f(z)$ в круге $\left|z\right| \leqslant \frac{r}{e}$, то

Доказать теорему: корни функции

где $a > b > \cdots > m$, а числа $A$ и $M$ отличны от нуля, расположены в полосе $-\sigma < \mathrm{Re}\left(z\right) < \sigma$, а $N$ --- число их в прямоугольнике $-\sigma < \mathrm{Re}\left(z\right) < \sigma$, $0 < \mathrm{Im}\left(z\right) < T$ --- выражается формулой

где $O(1)$ ограничено при $T \to \infty$.