14.5

Разложение функций на простейшие дроби

[30/0%]
LaTeX
Задача 5512

Доказать справедливость разложения в ряд дробей, имеющего место во всех точках, где разлагаемая функция регулярна:

ctg⁡(z−a)+ctg⁡a=∑n=−∞∞(1z−a−nπ+1a+nπ). \ctg (z-a)+\ctg a = \sum _{n=-\infty }^{\infty } \left(\frac{1}{z-a-n\pi }+\frac{1}{a+n\pi }\right).
?
Задача 5513

Доказать справедливость разложения в ряд дробей, имеющего место во всех точках, где разлагаемая функция регулярна:

1sin⁡z=1z+∑n=1∞(−1)n2zz2−n2π2. \frac{1}{\sin z} = \frac{1}{z}+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}2z}{z^{2}-n^{2}\pi ^{2}}.
?
Задача 5514

Доказать справедливость разложения в ряд дробей, имеющего место во всех точках, где разлагаемая функция регулярна:

1cos⁡z=π∑n=1∞(−1)n(2n−1)z2−(2n−1)2π24. \frac{1}{\cos z} = \pi \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}(2n-1)}{z^{2}-(2n-1)^{2}\frac{\pi ^{2}}{4}}.
?
Задача 5515

Доказать справедливость разложения в ряд дробей, имеющего место во всех точках, где разлагаемая функция регулярна:

sin⁡zcos⁡2z=∑n=−∞∞(−1)n(z−(2n+1)π2)2. \frac{\sin z}{\cos ^{2} z} = \sum _{n=-\infty }^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{\left(z-(2n+1)\frac{\pi }{2}\right)^{2}}.
?
Задача 5516

Доказать справедливость разложения в ряд дробей, имеющего место во всех точках, где разлагаемая функция регулярна:

π2cos⁡2πz=∑n=−∞∞1(z+12−n)2. \frac{\pi ^{2}}{\cos ^{2} \pi z} = \sum _{n=-\infty }^{\infty } \frac{1}{\left(z+\frac{1}{2}-n\right)^{2}}.
?
Задача 5517

Доказать справедливость разложения в ряд дробей, имеющего место во всех точках, где разлагаемая функция регулярна:

eazez−1=1z+∑n=1∞2zcos⁡2πna−4πnsin⁡2πnaz2+4n2π2;0<a<1. \frac{e^{az}}{e^{z}-1} = \frac{1}{z}+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{2z\cos 2\pi na-4\pi n\sin 2\pi na}{z^{2}+4n^{2}\pi ^{2}}; \quad 0 < a < 1.
?
Задача 5518

Доказать справедливость разложения в ряд дробей, имеющего место во всех точках, где разлагаемая функция регулярна:

sin⁡azsin⁡πz=2π∑n=1∞(−1)nn⋅sin⁡naz2−n2;−π<a<π. \frac{\sin az}{\sin \pi z} = \frac{2}{\pi }\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}n\cdot \sin na}{z^{2}-n^{2}}; \quad -\pi < a < \pi .
?
Задача 5519

Доказать справедливость разложения в ряд дробей, имеющего место во всех точках, где разлагаемая функция регулярна:

ch⁡azsh⁡πz=1πz+1π∑n=1∞(−1)n2zcos⁡naz2+n2;−π⩽a⩽π. \frac{\ch az}{\sh \pi z} = \frac{1}{\pi z}+\frac{1}{\pi }\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}2z\cos na}{z^{2}+n^{2}}; \quad -\pi \leqslant a \leqslant \pi .
?
Задача 5520

Доказать справедливость разложения в ряд дробей, имеющего место во всех точках, где разлагаемая функция регулярна:

1ch⁡2z−cos⁡2z=14z2+4z2∑n=1∞(−1)nnsh⁡πn⋅14z4+n4π4. \frac{1}{\ch 2z-\cos 2z} = \frac{1}{4z^{2}}+4z^{2}\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}n}{\sh \pi n}\cdot \frac{1}{4z^{4}+n^{4}\pi ^{4}}.
?
Задача 5521

Доказать справедливость разложения в ряд дробей, имеющего место во всех точках, где разлагаемая функция регулярна:

zsin⁡zsin⁡z−zcos⁡z=3z+∑n=1∞2zz2−λn2;tg⁡λn=λn>0. \frac{z\sin z}{\sin z-z\cos z} = \frac{3}{z}+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{2z}{z^{2}-\lambda _{n}^{2}}; \quad \tg \lambda _{n} = \lambda _{n} > 0.
?
Задача 5522

Доказать справедливость разложения в бесконечное произведение:

cos⁡πz2=∏n=0∞(1−z2(2n+1)2). \cos \frac{\pi z}{2} = \prod _{n=0}^{\infty } \left(1-\frac{z^{2}}{(2n+1)^{2}}\right).
?
Задача 5523

Доказать справедливость разложения в бесконечное произведение:

sin⁡z−asin⁡a=e−zctg⁡a∏n=−∞∞(1−za+nπ)⋅eza+nπ. \frac{\sin z-a}{\sin a} = e^{-z\ctg a}\prod _{n=-\infty }^{\infty } \left(1-\frac{z}{a+n\pi }\right)\cdot e^{\frac{z}{a+n\pi }}.
?
Задача 5524

Доказать справедливость разложения в бесконечное произведение:

cos⁡πz−cos⁡πa=−π22(z2−a2)∏n=1∞(1−(z+a2n)2)⋅(1−(z−a2n)2). \cos \pi z-\cos \pi a = -\frac{\pi ^{2}}{2}(z^{2}-a^{2})\prod _{n=1}^{\infty } \left(1-\left(\frac{z+a}{2n}\right)^{2}\right)\cdot \left(1-\left(\frac{z-a}{2n}\right)^{2}\right).
?
Задача 5525

Доказать справедливость разложения в бесконечное произведение:

ez−ea=ez+a2⋅(z−a)⋅∏n=1∞(1+(z−a2πn)2). e^{z}-e^{a} = e^{\frac{z+a}{2}}\cdot (z-a)\cdot \prod _{n=1}^{\infty } \left(1+\left(\frac{z-a}{2\pi n}\right)^{2}\right).
?
Задача 5526

Доказать справедливость разложения в бесконечное произведение:

ch⁡z−cos⁡z=z2∏n=1∞(1+z44π4n4). \ch z-\cos z = z^{2}\prod _{n=1}^{\infty } \left(1+\frac{z^{4}}{4\pi ^{4}n^{4}}\right).
?
Задача 5527

Доказать справедливость разложения в бесконечное произведение:

sin⁡z−zcos⁡z=z23∏n=1∞(1−z2λn2);tg⁡λn=λn>0. \sin z-z\cos z = \frac{z^{2}}{3}\prod _{n=1}^{\infty } \left(1-\frac{z^{2}}{\lambda _{n}^{2}}\right); \quad \tg \lambda _{n} = \lambda _{n} > 0.
?
Задача 5528

Доказать справедливость разложения в бесконечное произведение:

sin⁡πzπz(1−z)=∏n=1∞(1+z−z2n+n2). \frac{\sin \pi z}{\pi z(1-z)} = \prod _{n=1}^{\infty } \left(1+\frac{z-z^{2}}{n+n^{2}}\right).
?
Задача 5529

Доказать справедливость разложения в бесконечное произведение:

∏n=1∞(1−zan)=∑n=0∞cnzn;∣a∣>1;∏ν=1n(aν−1)=(−1)ncn. \prod _{n=1}^{\infty } \left(1-\frac{z}{a^{n}}\right) = \sum _{n=0}^{\infty } c_{n}z^{n}; \quad \left|a\right| > 1; \quad \prod _{\nu =1}^{n} (a^{\nu }-1) = \frac{(-1)^{n}}{c_{n}}.
?
Задача 5530

Доказать справедливость разложения в бесконечное произведение:

∑ν=0∞zν(3ν)!=∏ν=1∞(1+z8rν3). \sum _{\nu =0}^{\infty } \frac{z^{\nu }}{(3\nu )!} = \prod _{\nu =1}^{\infty } \left(1+\frac{z}{8r_{\nu }^{3}}\right). 2cos⁡rν3+e−3rν=0,rν>0. 2\cos r_{\nu }\sqrt{3}+e^{-3r_{\nu }} = 0, \quad r_{\nu } > 0.
?
Задача 5531

При Re(s)>0\mathrm{Re}\left(s\right) > 0 для гамма-функции Эйлера существует представление в виде интеграла Γ(s)=∫0∞e−xxs−1 dx\Gamma (s) = \int_{0}^{\infty } e^{-x}x^{s-1}\, dx. Легко доказать, что при 0<x<n0 < x < n справедливы формулы:

e−x(1−x2n)<(1−xn)n<e−x. e^{-x}\left(1-\frac{x^{2}}{n}\right) < \left(1-\frac{x}{n}\right)^{n} < e^{-x}.

Пользуясь этим, доказать данное Эйлером представление Γ(s)\Gamma (s) в виде бесконечного произведения:

Γ(s)=lim⁡n→∞1⋅2⋅3⋯n⋅nss(s+1)⋯(s+n). \Gamma (s) = \lim _{n\to \infty } \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots n\cdot n^{s}}{s(s+1)\cdots (s+n)}.
?
Задача 5532

Пользуясь предыдущим представлением Γ(s)=lim⁡n→∞1⋅2⋅3⋯n⋅nss(s+1)⋯(s+n)\Gamma (s) = \lim_{n\to \infty } \dfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdots n\cdot n^{s}}{s(s+1)\cdots (s+n)} (задача 5531), а также формулой

lim⁡n→∞(1+12+13+…+1n−ln⁡n)=C, \lim _{n\to \infty } \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n}-\ln n\right) = C,

где CC --- постоянная Эйлера, доказать формулу Вейерштрасса

1Γ(s)=seCs∏ν=1∞(1+sν)e−sν. \frac{1}{\Gamma (s)} = se^{Cs}\prod _{\nu =1}^{\infty } \left(1+\frac{s}{\nu }\right)e^{-\frac{s}{\nu }}.
?
Задача 5533

Доказать равенство:

∏n=1∞n(a+b+n)(a+n)(b+n)=Γ(a+1)Γ(b+1)Γ(a+b+1). \prod _{n=1}^{\infty } \frac{n(a+b+n)}{(a+n)(b+n)} = \frac{\Gamma (a+1)\Gamma (b+1)}{\Gamma (a+b+1)}.
?
Задача 5534

Доказать равенство:

Γ′(s)Γ(s)=−C−1s+∑n=1∞(1n−1n+s). \frac{\Gamma '(s)}{\Gamma (s)} = -C-\frac{1}{s}+\sum _{n=1}^{\infty } \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+s}\right).
?
Задача 5535

Доказать равенство:

(Γ′(s)Γ(s))′=∑ν=0∞1(s+ν)2. \left(\frac{\Gamma '(s)}{\Gamma (s)}\right)' = \sum _{\nu =0}^{\infty } \frac{1}{(s+\nu )^{2}}.
?
Задача 5536

Доказать равенство:

ln⁡sΓ(s)=(1+12+13+14−C)s+ln⁡1⋅2⋅3⋅4(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)+∑ν=2∞(−1)νsννσν, \ln s\Gamma (s) = \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-C\right)s+\ln \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)}+\sum _{\nu =2}^{\infty } \frac{(-1)^{\nu }s^{\nu }}{\nu }\sigma _{\nu },

где σν=15ν+16ν+17ν+…\sigma_{\nu } = \dfrac {1}{5^{\nu }}+\dfrac {1}{6^{\nu }}+\dfrac {1}{7^{\nu }}+\ldots.

?
Задача 5537

Доказать равенство:

lg⁡10xΓ(x)=lg⁡101⋅2⋅3⋅4(1+x)(2+x)(3+x)(4+x)+0,65409856x−0,00005089x5+ \lg _{10} x\Gamma (x) = \lg _{10} \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{(1+x)(2+x)(3+x)(4+x)}+0{,}65409856x-0{,}00005089x^{5}+ +0,04805967x2+0,00000740x6−0,00353152x3−0,00000116x7+ +0{,}04805967x^{2}+0{,}00000740x^{6}-0{,}00353152x^{3}-0{,}00000116x^{7}+ +0,00038775x4+0,00000019x8−0,00000003x9… +0{,}00038775x^{4}+0{,}00000019x^{8}-0{,}00000003x^{9}\ldots

Здесь ∣x∣<5\left|x\right| < 5.

?
Задача 5538

Из эйлеровского произведения для Γ(s)\Gamma (s) следует, что

S=−∑ν=0mln⁡(s+ν)+ln⁡m!+sln⁡m→ln⁡Γ(s). S = -\sum _{\nu =0}^{m} \ln (s+\nu )+\ln m!+s\ln m \to \ln \Gamma (s).

Если множитель −1-1, имеющийся в сумме, заменить по формуле −1=(s+ν−12)−(s+ν+12)-1 = \left(s+\nu -\frac{1}{2}\right)-\left(s+\nu +\frac{1}{2}\right), то легко получить равенства:

S=∑ν=0m((s+ν+12)ln⁡s+ν+1s+ν−1)+(s−12)ln⁡s−(s+m+12)ln⁡(s+m+1)+ S = \sum _{\nu =0}^{m} \left(\left(s+\nu +\frac{1}{2}\right)\ln \frac{s+\nu +1}{s+\nu }-1\right)+\left(s-\frac{1}{2}\right)\ln s-\left(s+m+\frac{1}{2}\right)\ln (s+m+1)+ +ln⁡m!+sln⁡m+m+1= +\ln m!+s\ln m+m+1 = =∑ν=0m((s+ν+12)ln⁡s+ν+1s+ν−1)+(s−12)ln⁡s−s+m+ln⁡m!−mln⁡m−12ln⁡m+Mm, = \sum _{\nu =0}^{m} \left(\left(s+\nu +\frac{1}{2}\right)\ln \frac{s+\nu +1}{s+\nu }-1\right)+\left(s-\frac{1}{2}\right)\ln s-s+m+\ln m!-m\ln m-\frac{1}{2}\ln m+\frac{M}{m},

где MM ограничено при m→∞m \to \infty. Пользуясь сказанным, получить ряд Гудермана:

ln⁡Γ(s)=(s−12)ln⁡s−s+A+∑ν=0∞((s+ν+12)ln⁡s+ν+1s+ν−1), \ln \Gamma (s) = \left(s-\frac{1}{2}\right)\ln s-s+A+\sum _{\nu =0}^{\infty } \left(\left(s+\nu +\frac{1}{2}\right)\ln \frac{s+\nu +1}{s+\nu }-1\right),

где AA --- соответствующая постоянная, а равенство справедливо при всех ss, отличных от чисел 0,−1,−2,−3,…0, -1, -2, -3, \ldots.

?
Задача 5539

Применяя разложение cos⁡πz2\cos \dfrac {\pi z}{2} в бесконечное произведение (задача 5522), доказать формулу Валлиса:

π2=lim⁡n→∞(2⋅4⋅6⋯2n3⋅5⋅7⋯(2n+1))2⋅(2n+2), \frac{\pi }{2} = \lim _{n\to \infty } \left(\frac{2\cdot 4\cdot 6\cdots 2n}{3\cdot 5\cdot 7\cdots (2n+1)}\right)^{2}\cdot (2n+2),

а пользуясь ею, доказать, что постоянная AA в ряде Гудермана (задача 5538) равна ln⁡2π\ln \sqrt{2\pi }.

?
Задача 5540

С помощью ряда Гудермана (задача 5538) доказать, что

ln⁡Γ(s)−((s−12)ln⁡s−s)→ln⁡2π, \ln \Gamma (s)-\left(\left(s-\frac{1}{2}\right)\ln s-s\right) \to \ln \sqrt{2\pi },

если расстояние точки ss до отрицательной части вещественной оси безгранично растет, а Re(s)\mathrm{Re}\left(s\right) ограничена снизу.

?
Задача 5541

Доказать справедливость разложения:

Γ(a)Γ(x)Γ(a+x)=1x+∑n=1∞(−1)n(a−1)(a−2)…(a−n)1⋅2⋅3⋯n⋅1x+n;a>0. \frac{\Gamma (a)\Gamma (x)}{\Gamma (a+x)} = \frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}(a-1)(a-2)\ldots (a-n)}{1\cdot 2\cdot 3\cdots n}\cdot \frac{1}{x+n}; \quad a > 0.
?