Банк задач по математике

Задача 5542

Разложить по возрастающим степеням $w$ тот корень уравнения $w = 2z+z^{2}$ относительно $z$ , который обращается в $0$ при $w = 0$ .

?

Примечание.

?

Некоторые из задач этого параграфа решаются с помощью теоремы о ряде Лагранжа. В силу этой теоремы, если в области $S$ расположена точка $z=a$ , а на контуре имеется неравенство $\left|tf(z)\right| < \left|z-a\right|$ , то уравнение относительно $z$ : $z = a+tf(z)$ имеет в этой области единственный корень, представляющий функцию $t$ . Если $F(z)$ --- функция этого корня, регулярная в $S$ , то имеет место разложение (ряд Лагранжа):

F(z) = F(a)+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\left\{ F'(a)[f(a)]^{n}\right\} ^{(n-1)}}{n!}t^{n}.

В частности, например:

z = a+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\left\{ [f(a)]^{n}\right\} ^{(n-1)}}{n!}t^{n}.

Задача 5543

Разложить по возрастающим степеням $w$ тот корень уравнения $w = ze^{-z}$ относительно $z$ , который обращается в $0$ при $w = 0$ .

?

Задача 5544

Разложить по возрастающим степеням $w$ тот корень уравнения $(1-z^{2})w = 2z$ относительно $z$ , который обращается в $0$ при $w = 0$ .

?

Задача 5545

Разложить по возрастающим степеням $w$ тот корень уравнения $(z^{m+1}-b)w = -z$ относительно $z$ , который обращается в $0$ при $w = 0$ .

?

Задача 5546

Разложить $e^{z}$ по возрастающим степеням $w$ , если

(z+1)^{2}w = z.

?

Задача 5547

Найти подобное же разложение (задача 5546) для $e^{-z}$ , где $zw = z-a$ .

?

Задача 5548

Разложить в ряд по степеням эксцентриситета $e$ эллиптической орбиты эксцентрическую аномалию $E$ , связанную со средней аномалией $M$ уравнением Кеплера:

E = M+e\sin E.

?

Задача 5549

Найти особые точки уравнения $y^{3}-3y+2x = 0$ .

?

Примечание.

?

Алгебраические функции удовлетворяют уравнению $f(x,y) = 0$ , где $f(x,y)$ --- многочлен относительно комплексных переменных $x$ и $y$ . Если обе эти переменные остаются вещественными, то написанное уравнение изображает алгебраическую кривую. Если уравнение имеет степень $n$ относительно $y$ , то оно определяет $n$ ветвей $y_{1}, y_{2}, \ldots , y_{n}$ многозначной функции от $x$ . Они представляют регулярные функции от $x$ в области, где их значения конечные и неравные. Если $x_{0}$ --- точка, лежащая в такой области, то каждая из функций $y_{\nu }$ разлагается по целым степеням $x-x_{0}$ . Если же в точке $x_{0}$ несколько из $y_{\nu }$ равны, то в окрестности этой точки функции $y_{\nu }$ разлагаются по дробным степеням $x-x_{0}$ по формуле

y = \sum _{\mu =\mu _{0}}^{\infty } a_{\nu }(x-x_{0})^{\frac{\mu }{m}},

где число $\mu_{0}$ может быть и отрицательным, а $m$ не превосходит $n$ . Значения $a_{\nu }$ можно найти подстановкой этих рядов в уравнение. Сами особые точки могут быть найдены из уравнений:

f(x,y) = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 0.

Задача 5550

Найти особые точки уравнения $y^{3}-3y^{2}+x^{6} = 0$ .

?

Задача 5551

Найти особые точки уравнения $y^{3}-3y+2x^{2}(2-x^{2}) = 0$ .

?

Задача 5552

Найти особые точки уравнения $y^{3}-3y+2x^{3}(2-x^{3}) = 0$ .

?

Задача 5553

Найти первые два члена в разложении $y$ по возрастающим степеням $x$ для проходящих через начало ветвей кривой $x^{3}-3xy+y^{3} = 0$ .

?

Задача 5554

Найти первые два члена в разложении $y$ по возрастающим степеням $x$ для проходящих через начало ветвей кривой $y^{4}-4y = x$ .

?

Задача 5555

Найти особые точки уравнения $y^{5}+ax^{4}-b^{2}xy^{2} = 0$ .

?

Задача 5556

Найти особые точки уравнения $4(x-1)y^{5}+2xy^{3}-3x^{3}y+x^{4} = 0$ .

?

Задача 5557

Доказать теорему: функция $f(z)$ , регулярная внутри эллипса с фокусами $z = \pm 1$ и контуром $C$ , разлагается в этом эллипсе в ряд:

f(z) = \sum _{n=1}^{\infty } A_{n}\frac{\left(z+\sqrt{z^{2}-1}\right)^{n}-\left(z-\sqrt{z^{2}-1}\right)^{n}}{\sqrt{z^{2}-1}},

где

A_{n} = \frac{1}{2\pi i}\int _{C} f(z)\left(z-\sqrt{z^{2}-1}\right)^{n}\, dz; \quad \left|z+\sqrt{z^{2}-1}\right| \geqslant 1.

?

Задача 5558

Доказать, что при тех же условиях (задача 5557) справедливо разложение:

f(z) = B_{0}+\sum _{n=1}^{\infty } B_{n}\left(\left(z+\sqrt{z^{2}-1}\right)^{n}+\left(z-\sqrt{z^{2}-1}\right)^{n}\right),

где

B_{n} = \frac{1}{2\pi i}\int _{C} f(z)\frac{\left(z-\sqrt{z^{2}-1}\right)^{n}}{\sqrt{z^{2}-1}}\, dz.

?

Задача 5559

Применяя разложение Коши (см. ниже) при $\psi (z) = e^{\pi z}+1$ ; $\varphi (z) = -1$ , получить разложение:

f(x) = \sum _{n=0}^{\infty } \frac{2}{\pi }\int _{-\pi /2}^{\pi /2} \cos (2n+1)(x-\mu )\cdot f(\mu )\, d\mu ; \qquad -\frac{\pi }{2} < x < \frac{\pi }{2}.

?

Примечание.

?

По теореме Коши для функции $f(x)$ , удовлетворяющей в интервале $a < x < b$ условиям Дирихле внутри этого промежутка, имеет место разложение:

\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2} = \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\varphi (\lambda _{n})}{\psi '(\lambda _{n})}e^{\lambda _{n}x}\int _{a}^{b} e^{-\lambda _{n}\mu }f(\mu )\, d\mu .

Здесь $\varphi (z)$ и $\psi (z)$ --- целые функции, нули функции $\psi (z)$ простые и равны числам $\lambda_{n}$ , а при $-\frac{\pi }{2} < \theta < \frac{\pi }{2}$ справедливы равенства:

\lim _{r\to \infty } \left(\frac{\psi (re^{i\theta })-\varphi (re^{i\theta })}{\psi (re^{i\theta })}e^{(x-a)re^{i\theta }}\right) = \lim _{r\to \infty } \left(\frac{\varphi (-re^{i\theta })}{\psi (-re^{i\theta })}e^{(b-x)re^{i\theta }}\right) = 0.

Задача 5560

С помощью функций $\psi (z) = e^{az}-z$ ; $\varphi (z) = e^{az}$ ; $a > 0$ , получить разложение:

f(x) = \sum _{n=0}^{\infty } \frac{\lambda _{n}}{a\lambda _{n}-1}e^{\lambda _{n}x}\int _{-a/2}^{a/2} e^{-\lambda _{n}\mu }f(\mu )\, d\mu ; \qquad -\frac{a}{2} < x < \frac{a}{2},

где $\lambda_{n}$ --- корни уравнения $z = e^{az}$ .

?

Задача 5561

Доказать равенство при прежних $\lambda_{n}$ (задача 5560, корнях уравнения $z = e^{az}$ ):

e^{x} = \sum _{n=1}^{\infty } \frac{2\lambda _{n}\sh \frac{a(1-\lambda _{n})}{2}}{(a\lambda _{n}-1)(1-\lambda _{n})}e^{\lambda _{n}x}.

?

Задача 5562

Доказать равенство для суммы ряда аналитических функций:

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{z^{n}}{(1-z^{n})(1-z^{n+1})} = \begin{cases} \dfrac {z}{(1-z)^{2}} & \text{при } \left|z\right| < 1; \\ \dfrac {1}{(1-z)^{2}} & \text{при } \left|z\right| > 1. \end{cases}

?

Задача 5563

Доказать равенство для суммы ряда аналитических функций:

\frac{1}{1-z}+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{z^{2^{n-1}}}{z^{2^{n}}-1} = \begin{cases} 1 & \text{при } \left|z\right| < 1; \\ 0 & \text{при } \left|z\right| > 1. \end{cases}

?

Задача 5564

Доказать равенство для суммы ряда аналитических функций:

1-z+\frac{z(z-1)}{1\cdot 2}-\frac{z(z-1)(z-2)}{1\cdot 2\cdot 3}+\ldots = 0 \text{ при } \mathrm{Re}\left(z\right) > 0; \text{ или} = \infty \text{ при } \mathrm{Re}\left(z\right) < 0.

?

Задача 5565

Доказать равенство для суммы ряда аналитических функций:

1-\frac{z^{2}}{1}+\frac{z^{2}(z^{2}-1)}{2!^{2}}-\frac{z^{2}(z^{2}-1)(z^{2}-4)}{3!^{2}}+\ldots = \frac{\sin \pi z}{\pi z}.

?

Задача 5566

Найти область сходимости ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } \frac{z^{n}}{(1+z)(1+z^{2})\ldots (1+z^{n})}$ .

?

Задача 5567

Найти область сходимости ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{z+n}$ .

?

Задача 5568

Найти область сходимости ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } \left(\frac{z(z+n)}{n}\right)^{n}$ .

?

Задача 5569

Найти область сходимости ряда $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{n!}\cdot \frac{1}{1+a^{2n}z^{2}}$ ; $\left|a\right| > 1$ .

?

Задача 5570

Доказать, что функция

f(z) = \sum _{m,n=-\infty }^{\infty } \frac{1}{(m+nz)^{2}}, \quad m^{2}+n^{2} > 0,

рассматриваемая в верхней полуплоскости $\mathrm{Im}\left(z\right) > 0$ , там регулярна и имеет вещественную ось существенной купюрой.

?

Задача 5571

Доказать, что функция $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}}\cdot \frac{1}{z-e^{2\pi ni\sqrt{2}}}$ , регулярная при $\left|z\right| < 1$ , не продолжается за окружность $\left|z\right| = 1$ .

?

Задача 5572

Доказать, что такой же особенностью (задача 5571, отсутствием продолжения за границу круга сходимости) отличаются ряды:

\sum _{n=0}^{\infty } z^{n!}; \qquad \sum _{n=0}^{\infty } \frac{1}{2^{n}}z^{2^{n}}; \qquad \sum _{n=0}^{\infty } a_{n}z^{2^{n}},

если $\sum_{n=0}^{\infty } a_{n}$ расходится.

?

Задача 5573

Пусть $a$ , $b$ , $c$ --- числа, изображаемые тремя вершинами треугольника, а $x$ , $y$ , $z$ --- правильные дроби. Ряд:

\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{p=0}^{\infty } \frac{x^{m}y^{n}z^{p}}{\dfrac {ma+nb+pc}{m+n+p}-\zeta }, \quad m+n+p > 0,

представляет вне треугольника аналитическую функцию $\zeta$ , которая не продолжается внутри треугольника. Доказать, что, вопреки сказанному в книге Эрмита <<Курс анализа>>, ряд сходится и внутри треугольника на всюду плотном множестве точек.

?

Задача 5574

Доказать теорему: если общий ряд Дирихле сходится при $\sigma = \sigma_{0}$ , то он сходится при любом $s$ , у которого $\sigma > \sigma_{0}$ .

?

Примечание.

?

Преобразование Абеля состоит в тождестве:

\sum _{\nu =1}^{n} a_{\nu }b_{\nu } = \sum _{\nu =1}^{n-1} s_{\nu }(b_{\nu }-b_{\nu +1})+b_{n}s_{n},

где $s_{\nu } = a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{\nu }$ .

Рядом Дирихле называется ряд вида $\sum_{n=1}^{\infty } \dfrac {a_{n}}{n^{s}}$ , где $a_{n}$ --- коэффициент. Обобщенным рядом Дирихле называется ряд вида $\sum_{n=1}^{\infty } \dfrac {a_{n}}{p_{n}^{s}}$ , где $p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{n}, \ldots$ --- некоторая бесконечно возрастающая последовательность чисел. Положим еще $s = \sigma +i\tau$ . Равенство $u = O(v)$ означает, что отношение $\left|u/v\right|$ остается ограниченным при бесконечном возрастании $v$ .

У всякого ряда Дирихле $\sum_{n=1}^{\infty } \dfrac {a_{n}}{n^{s}}$ существует число $s_{0}$ такое, что ряд сходится при $s > s_{0}$ и расходится при $s < s_{0}$ . Оно называется абсциссой сходимости.

Задача 5575

Доказать теорему: если для величины $A_{n} = \sum_{\nu =1}^{n} a_{\nu }$ имеется равенство $A_{n} = O(n^{\sigma_{0}})$ , $\sigma_{0} \geqslant 0$ , то ряд Дирихле $\sum \dfrac {a_{n}}{n^{s}}$ сходится при $\sigma > \sigma_{0}$ , сходится абсолютно и равномерно при $\sigma > \sigma_{0}+1+\delta$ , где $\delta$ --- любая положительная постоянная.

?

Задача 5576

Доказать теорему: если ряд $\sum_{n=1}^{\infty } \dfrac {a_{n}}{n^{s}}$ сходится при $\sigma = \sigma_{0} \geqslant 0$ , то $A_{n} = O(n^{\sigma_{0}})$ .

?

Задача 5577

Пользуясь теоремой Прингсхейма, доказать, что абсциссой сходимости общего ряда Дирихле $\sum p_{n}^{-s}$ является $\overline{\lim }\dfrac {\ln n}{\ln p_{n}}$ .

?

Примечание.

?

Верхний предел бесконечной последовательности чисел $v_{\nu }$ обозначается через $\overline{\lim } v_{\nu }$ . Он представляет наибольшую из точек сгущения последовательности $v_{\nu }$ .

Теорема Прингсхейма: у сходящегося ряда положительных убывающих слагаемых $\sum u_{\nu }$ должно выполняться условие $nu_{n} \to 0$ при $n \to \infty$ .

Другие разложения в ряды