Банк задач по математике

Задача 5674

Решить по способу Коши уравнение $y''-2y'+y = f(x)$ ; $y_{0} = a$ , $y_{0}' = b$ , при данных начальных условиях.

?

Примечание.

?

Способ Коши для нахождения интегралов линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

\frac{dx_{m}}{dt}+\sum _{\nu =1}^{n} \alpha _{m\nu }x_{\nu } = \varphi _{m}(t), \quad m = 1,2,\ldots ,n \tag {*}

состоит в следующем:

Введя символ $\delta_{\mu \nu } = 0$ при $\mu \neq \nu$ и $\delta_{\nu \nu } = 1$ , решаем уравнения
$\sum _{\nu =1}^{n} (\alpha _{\mu \nu }+s\delta _{\mu \nu })A_{\nu } = \xi _{\mu }; \quad \mu = 1,2,\ldots ,n; \tag {**}$
при этом получится:
$A_{\nu } = \frac{\sum _{\mu =1}^{n} B_{\nu \mu }(s)\xi _{\mu }}{\Delta (s)},$
где $\Delta (s)$ — определитель системы $(**)$ .
Составляем функции
$\omega _{m}(s) = \sum _{\mu =1}^{n} B_{m\mu }(s)\left(\xi _{\mu }+\int _{0}^{t} \varphi _{\mu }(\tau )e^{-s\tau }\, d\tau \right)e^{s\tau }.$

Тогда уравнения $(*)$ имеют систему частных интегралов:

x_{m} = \frac{1}{2\pi i}\int _{C} \frac{\omega _{m}(s)}{\Delta (s)}\, ds, \quad m = 1,2,\ldots ,n.

Здесь интегрирование берется в положительном направлении по кругу $\left|s\right| = R$ , настолько большому, что все корни уравнения $\Delta (s) = 0$ лежат внутри круга. При $t = 0$ величины $x_{m}$ обращаются в $\xi_{m}$ .

Для одного уравнения

y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+\ldots +a_{n}y = f(x)

правило Коши обращается в такое:

Составляем функцию
$\varphi (s) = \sum _{\nu =0}^{n-1} y_{0}^{(\nu )}\psi _{\nu }(s),$
где $\psi_{\nu }(s) = s^{n-\nu -1}+a_{1}s^{n-\nu -2}+\ldots +a_{n-\nu -1}$ .
Тогда
$y = \frac{1}{2\pi i}\int \frac{\sum _{\nu =0}^{n-1} y_{0}^{(\nu )}\psi _{\nu }(s)\cdot e^{sx}+\int _{0}^{x} e^{(x-t)s}f(t)\, dt}{s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\ldots +a_{n}}\, ds.$

Здесь $y_{0}, y_{0}', \ldots , y_{0}^{(n-1)}$ --- значения при $x = 0$ , а интегрирование идет по кругу $\left|s\right| = R$ , внутри которого лежат все корни знаменателя.

Задача 5675

Решить по способу Коши (задача 5674) систему уравнений $x'-x+y = 0$ , $y'+x+z = 0$ , $z'-x+y = 0$ ; $x_{0} = a$ , $y_{0} = b$ , $z_{0} = c$ при данных начальных условиях.

?

Задача 5676

Решить по способу Коши (задача 5674) систему уравнений $x'+x+y = e^{t}$ , $y'-x+3y = e^{-t}$ ; $x_{0} = -y_{0} = 1$ при данных начальных условиях.

?

Задача 5677

Решить по способу Коши (задача 5674) систему уравнений $x' = 4x+2y+2z$ , $y'+x+z = 0$ , $z'+2x+y = 0$ ; $-x_{0} = y_{0} = z_{0} = 1$ при данных начальных условиях.

?

Задача 5678

Решить по способу Коши (задача 5674) систему уравнений $x'' = 3x+4y$ , $y''+x+y = 0$ ; $x_{0} = y_{0}' = 1$ , $y_{0} = x_{0}' = 0$ при данных начальных условиях.

?

Задача 5679

Найти общий интеграл при помощи степенных рядов для уравнения $y''-xy = 0$ .

?

Задача 5680

Найти общий интеграл при помощи степенных рядов для уравнения $y''-x^{2}y = 0$ .

?

Задача 5681

Найти общий интеграл при помощи степенных рядов для уравнения $y'''+xy = 0$ .

?

Задача 5682

Найти общий интеграл при помощи степенных рядов для уравнения $y'''+x^{3}y = 0$ .

?

Задача 5683

Найти общий интеграл при помощи степенных рядов для уравнения $(1-x^{2})y''-4xy'-2y = 0$ .

?

Задача 5684

Найти общий интеграл при помощи степенных рядов для уравнения $xy''+y'+y = 0$ .

?

Задача 5685

Найти общий интеграл при помощи степенных рядов для уравнения $xy''+2y'+xy = 0$ .

?

Задача 5686

Доказать, что уравнению $(1-x^{2})y''-5xy'-4y = 0$ удовлетворяют ряды

\sum _{n=0}^{\infty } \frac{(n!)^{2}}{(2n)!}(2x)^{2n} \quad \text{и} \quad \sum _{n=0}^{\infty } \frac{(2n+1)!}{(n!)^{2}}\cdot \left(\frac{x}{2}\right)^{2n+1},

первый из которых равен $\dfrac {1}{2}\left((\arcsin x)^{2}\right)''$ .

?

Задача 5687

Доказать, что общий интеграл уравнения

(1-x^{2})y''-(\alpha +\beta +1)xy'-\alpha \beta y = 0

равен $C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}$ , где

y_{1} = 1+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\alpha (\alpha +2)\cdots (\alpha +2n-2)\beta (\beta +2)\cdots (\beta +2n-2)}{(2n)!}x^{2n},

y_{2} = \sum _{n=0}^{\infty } \left(\frac{1}{(2n-1)!}(\alpha +1)(\alpha +3)\cdots (\alpha +2n-1)(\beta +1)(\beta +3)\cdots (\beta +2n-1)x^{2n+1}\right).

?

Задача 5688

Доказать, что уравнению $x^{2}y'+(x-1)y+1 = 0$ , общий интеграл которого

y = \frac{C}{x}e^{-\frac{1}{x}}-\frac{1}{x}e^{-\frac{1}{x}}\int xe^{\frac{1}{x}}\, dx,

формально удовлетворяет ряд $\sum_{n=0}^{\infty } n!x^{n}$ , расходящийся при любом $x \neq 0$ .

?

Задача 5689

Найти интеграл уравнения

(1-x^{2})y''-2xy'+n(n+1)y = 0,

где $2n$ --- нецелое число, в виде ряда по положительным степеням $x$ .

?

Задача 5690

Найти интеграл уравнения $(1-x^{2})y''-2xy'+n(n+1)y = 0$ , где $2n$ --- нецелое число (задача 5689), в виде ряда по отрицательным степеням $x$ .

?

Задача 5691

Найти общий интеграл уравнения

4x(x-1)y''+4\left((a+2)x-a-1\right)y'+(2a+1)y = 0,

представив его равенством $y = C_{1}\varphi (x,a)+C_{2}x^{-a}\varphi (-a,x)$ , где $\varphi (a,x)$ --- ряд по степеням $x$ , равный $1$ при $x = 0$ .

?

Задача 5692

Найти интегралы предыдущего уравнения (задача 5691) при $a = 0$ в виде рядов, сходящихся в окрестности точки $x = 1$ .

?

Задача 5693

Найти интеграл уравнения Бесселя

x^{2}y''+xy'+(x^{2}-n^{2})y = 0,

полагая $y = C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}$ , где $y_{1}$ и $y_{2}$ --- обобщенные степенные ряды вида $x^{\sigma }(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots )$ , где $\sigma$ --- некоторая постоянная, не обязательно целая. Число $n$ предполагается отличным от целого числа.

?

Задача 5694

Показать, что общий интеграл уравнения Гаусса

x(x-1)y''+\left((\alpha +\beta +1)x-\gamma \right)y'+\alpha \beta y = 0

при $\left|x\right| < 1$ может быть представлен формулой

y = C_{1}F(\alpha ,\beta ,\gamma ;x)+C_{2}x^{1-\gamma }F(\alpha -\gamma +1,\beta -\gamma +1,2-\gamma ;x),

где через $F(\alpha ,\beta ,\gamma ;x)$ обозначен гипергеометрический ряд:

F(\alpha ,\beta ,\gamma ;x) = 1+\frac{\alpha }{1}\cdot \frac{\beta }{\gamma }x+\frac{\alpha (\alpha +1)}{1\cdot 2}\cdot \frac{\beta (\beta +1)}{\gamma (\gamma +1)}x^{2}+\ldots .

?

Задача 5695

При помощи преобразования Лапласа проинтегрировать уравнение $xy''+(2n+1)y'+xy = 0$ .

?

Примечание.

?

Дифференциальные операторы

M(u) = \sum _{\nu =0}^{n} p_{\nu }\frac{d^{n-\nu }u}{dx^{n-\nu }}, \qquad \overline{M}(v) = \sum _{\nu =0}^{n} (-1)^{n-\nu }\frac{d^{n-\nu }(p_{\nu }v)}{dx^{n-\nu }}

называются сопряженными. Если $v$ --- интеграл уравнения $\overline{M}(v) = 0$ , то $vM(u)$ --- полный дифференциал выражения $P(u,v)$ , билинейного относительно $u, u', \ldots , u^{(n-1)}, v, v', \ldots , v^{(n-1)}$ .

Преобразование Лапласа для уравнения $M(u) = 0$ состоит в том, что полагают $y = \int_{\alpha }^{\beta } e^{xt}v(t)\, dt$ и ищут функции $v(t)$ и пределы $\alpha$ и $\beta$ так, чтобы $y$ оказался интегралом данного уравнения. Для этого достаточно взять за $v(t)$ интеграл сопряженного уравнения $\overline{M}(v) = 0$ , а пределы $\alpha$ и $\beta$ выбрать так, чтобы величины

v(t), v'(t), \ldots , v^{(n-1)}(t)

обращались в нуль при $t = \alpha$ и при $t = \beta$ .

Задача 5696

При помощи преобразования Лапласа (задача 5695) проинтегрировать уравнение $xy''-(\alpha +\beta )(1+x)y'+\alpha \beta xy = 0$ .

?

Задача 5697

При помощи преобразования Лапласа (задача 5695) проинтегрировать уравнение $xy''+2ay'-q^{2}xy = 0$ ; $a > 0$ .

?

Задача 5698

Доказать, что при $0 < a < 2$ общий интеграл уравнения $xy''+ay'-q^{2}xy = 0$ можно представить формулой

y = \int _{0}^{\pi } e^{xq\cos \varphi }(A\sin ^{a-1}\varphi +Bx^{1-a}\sin ^{1-a}\varphi )\, d\varphi ,

а при $a = 1$ формулой:

y = \int _{0}^{\pi } e^{xq\cos \varphi }\left(A+B\ln (x\sin ^{2}\varphi )\right)\, d\varphi .

?

Задача 5699

Найти два частных интеграла уравнения $xy'''-y = 0$ , полагая:

y_{1} = \int \sin \frac{x}{t}\cdot u(t)\, dt; \quad y_{2} = \int \cos \frac{x}{t}\cdot v(t)\, dt.

?

Задача 5700

Найти две пары частных интегралов системы

2xy'+2z'+y = 0; \quad 2y' = 2xz'+z; \quad \mathrm{Im}\left(x\right) < 1,

отыскивая одну из неизвестных в виде интеграла $\int u(t)\sin xt\, dt$ , а другую в виде интеграла $\int v(t)\cos xt\, dt$ .

?

Задача 5701

Доказать, что интеграл уравнения Лежандра

(1-x^{2})y''-2xy'+n(n+1)y = 0

можно представить в одной из форм:

y = \int _{0}^{1} t^{-\frac{n+1}{2}}(1-t)^{-\frac{n+2}{2}}(x^{2}-t)^{\frac{n}{2}}\, dt; \quad n > 0,

y = \int _{0}^{1} t^{\frac{n}{2}}(1-t)^{\frac{n-1}{2}}(x^{2}-t)^{-\frac{n+1}{2}}\, dt; \quad n > -1.

?

Задача 5702

Пусть $\varphi (x,t) = t^{\beta -1}(1-t)^{\gamma -\beta -1}(1-tx)^{-\alpha }$ . Доказать, что каждый из интегралов

\int _{1}^{\infty } \varphi (x,t)\, dt; \qquad \alpha +1 > \gamma > \beta ;

\int _{0}^{1/x} \varphi (x,t)\, dt; \qquad \beta > 0, \ \alpha < 1;

\int _{0}^{1} \varphi (x,t)\, dt; \qquad \gamma > \beta > 0, \ \alpha < 1;

\int _{0}^{-\infty } \varphi (x,t)\, dt; \qquad \beta > 0, \ \alpha +1 > \gamma , \ \alpha < 1;

\int _{1}^{1/x} \varphi (x,t)\, dt; \qquad \gamma > \beta , \ \alpha < 1;

\int _{1/x}^{\infty } \varphi (x,t)\, dt; \qquad \alpha +1 > \gamma , \ \alpha < 1

есть частный интеграл гипергеометрического уравнения

x(x-1)y''+\left((\alpha +\beta +1)x-\gamma \right)y'+\alpha \beta y = 0.

?

Задача 5703

Показать, что уравнение

(Ax^{2}+Bx+C)y''+(Dx+E)y'+Fy = 0

простой заменой переменных приводится к гипергеометрическому уравнению.

?

Задача 5704

Доказать равенство: $(1+x)^{n} = F(-n,\beta ,\beta ,-x)$ , где $F$ --- гипергеометрический ряд (задача 5694).

?

Задача 5705

Доказать равенство: $e^{x} = \lim_{n\to \infty } F\left(1,n,1,\dfrac {x}{n}\right)$ , где $F$ --- гипергеометрический ряд (задача 5694).

?

Задача 5706

Доказать равенство: $\ln (1+x) = xF(1,1,2,-x)$ , где $F$ --- гипергеометрический ряд (задача 5694).

?

Задача 5707

Доказать равенство: $\dfrac {1}{2x}\ln \dfrac {1+x}{1-x} = F\left(\dfrac {1}{2},1,\dfrac {3}{2},x^{2}\right)$ , где $F$ --- гипергеометрический ряд (задача 5694).

?

Задача 5708

Доказать равенство: $(1+x)^{n}+(1-x)^{n} = 2F\left(-\dfrac {n}{2},\dfrac {1-n}{2},\dfrac {1}{2},x^{2}\right)$ , где $F$ --- гипергеометрический ряд (задача 5694).

?

Задача 5709

Доказать равенство: $\ch x = \lim_{\alpha ,\beta \to \infty } F\left(\alpha ,\beta ,\dfrac {1}{2},\dfrac {x^{2}}{4\alpha \beta }\right)$ , где $F$ --- гипергеометрический ряд (задача 5694).

?

Задача 5710

Доказать равенство: $\cos n\arccos x = F\left(n,-n,\dfrac {1}{2},\dfrac {1-x}{2}\right)$ , где $F$ --- гипергеометрический ряд (задача 5694).

?

Задача 5711

Доказать равенство:

J_{n}(x) = \lim _{\alpha ,\beta \to \infty } \left(\frac{x}{2}\right)^{n}\frac{1}{\Gamma (n+1)}F\left(\alpha ,\beta ,n+1,-\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha \beta }}\right)^{2}\right),

где $F$ --- гипергеометрический ряд (задача 5694), а $J_{n}(x)$ --- функция Бесселя, равная

\sum _{\nu =0}^{\infty } \frac{(-1)^{\nu }\left(\dfrac {x}{2}\right)^{n+2\nu }}{\nu !\Gamma (n+\nu +1)}.

?

Задача 5712

Обозначая $F\left(\alpha +n,\beta +n,\gamma +n,\dfrac {1-x}{2}\right)$ (задача 5694) через $F_{n}$ , доказать, что

\left((1-x)^{\gamma }(1+x)^{\alpha +\beta -\gamma +1}F_{1}\right)' = -2\gamma (1-x)^{\gamma -1}(1+x)^{\alpha +\beta -\gamma }F_{0}.

?

Задача 5713

Пользуясь предыдущим (задача 5712), показать, что

\left((1-x)^{\gamma +n-1}(1+x)^{\alpha +\beta -\gamma +n}F_{n}\right)^{(n)} = (-1)^{n}2^{n}\gamma (\gamma +1)\cdots (\gamma +n-1)(1-x)^{\gamma -1}(1+x)^{\alpha +\beta -\gamma }F_{0}.

?

Задача 5714

Полагая $\gamma = \beta +1$ , $\beta = -n$ , $\alpha = p+q+n+1$ для многочлена Якоби (задача 5581)

Q = \frac{n!}{(p+1)\cdots (p+n)}P_{n}^{(p,q)}(x) = F\left(p+q+n+1,-n,p+1,\frac{1-x}{2}\right),

доказать равенство:

(1-x)^{p}(1+x)^{q}Q = \frac{(-1)^{n}}{2^{n}(p+1)\cdots (p+n)}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left((1-x)^{p+n}(1+x)^{q+n}\right).

?

Задача 5715

В частном случае при $p = q = 0$ (задача 5714) получить формулу Родрига для многочленов Лежандра (задача 5582):

P_{n}(x) = \frac{(-1)^{n}}{2^{n}\cdot n!}\frac{d^{n}(1-x^{2})^{n}}{dx^{n}}.

?

Задача 5716

Доказать тождество для многочленов Чебышева (задача 5583):

T_{n}(x) = \frac{\cos n\arccos x}{2^{n-1}} = \frac{1}{2^{n-1}}F\left(n,-n,\frac{1}{2},\frac{1-x}{2}\right) = \frac{(-1)^{n}}{1\cdot 3\cdots (2n-1)}\cdot \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{2^{n-1}}\cdot \frac{d^{n}(1-x)^{n-\frac{1}{2}}}{dx^{n}}.

?

Задача 5717

Доказать равенство: $\displaystyle \int_{0}^{x} u^{p-1}(1-u)^{q-1}\, du = \frac{x^{p}}{p}F(1-q,p,p+1,x)$ , где $F$ --- гипергеометрический ряд (задача 5694).

?

Задача 5718

Доказать равенство: $\displaystyle \int_{0}^{x} u^{p-1}e^{-u}\, du = \frac{x^{p}}{p}\lim_{n\to \infty } F\left(1-n,p,p+1,\frac{x}{n}\right)$ , где $F$ --- гипергеометрический ряд (задача 5694).

?

Задача 5719

Доказать равенство: $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{du}{\sqrt{(1-u^{2})(1-k^{2}u^{2})}} = \frac{\pi }{2}F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,k^{2}\right)$ , где $F$ --- гипергеометрический ряд (задача 5694).

?

Дифференциальные уравнения при комплексной переменной