Приложения к задачам математической физики

Найти линии равного потенциала, линии тока и величину скорости и ее проекции на оси, если движение жидкости определяется функцией движения $w = az$; $a > 0$.

Найти линии равного потенциала, линии тока и величину скорости и ее проекции на оси, если движение жидкости определяется функцией движения $w = iaz$; $a > 0$.

Найти линии равного потенциала, линии тока и величину скорости и ее проекции на оси, если движение жидкости определяется функцией движения $w = z^{2}$.

Найти линии равного потенциала, линии тока и величину скорости и ее проекции на оси, если движение жидкости определяется функцией движения $w = \dfrac {1}{z}$.

Найти линии равного потенциала, линии тока и величину скорости и ее проекции на оси, если движение жидкости определяется функцией движения $w = \dfrac {1}{z^{2}}$.

Найти линии равного потенциала, линии тока и величину скорости и ее проекции на оси, если движение жидкости определяется функцией движения $w = \ln z$.

Потенциал скорости имеет вид

Найти уравнение линий тока и показать, что дуги окружности $\left|z\right| = a$ и оси координат вне точек $z = \pm a$, $z = \pm ia$ суть линии тока.

Функция тока имеет вид

где $z = re^{\theta i}$. Найти потенциал $\varphi$.

Функция тока определяется уравнением:

Найти функцию движения $w$.

Линии тока --- окружности $x^{2}+y^{2} = 2ax$. Найти отношение скорости жидкости в точках $(2a,0)$ и $(a,a)$.

Такой же вопрос (задача 5729, отношение скорости жидкости в двух точках) для лемнискаты $r^{2} = a^{2}\cos 2\theta$ и точек $(a,0)$ и $\left(a\sqrt{\dfrac {3}{8}}, \dfrac {a}{\sqrt{8}}\right)$.

Для источника $z = a$ обильности $E$ найти линии равного тока и равного потенциала.

Движение жидкости вызывается источником обильности $E$ (задача 5731), помещенным в точке $a$. Доказать, что поток сквозь простой замкнутый контур $C$ равен нулю, если точка $a$ вне контура, и равен $E$, если точка $a$ внутри контура.

При тех же условиях (задача 5732) доказать, что циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю.

Получить соответствующие результаты (задачи 5732--5733) для движения, вызванного вихрем интенсивности $\Gamma$ в точке $a$ (задача 5731).

Движение жидкости создается источником $E$ и вихрем $\Gamma$, помещенными в точке $a$ (задача 5731). Доказать, что линии тока --- логарифмические спирали.

Функция движения $w = \ln \sh \pi z$. Найти величину потока сквозь окружность $2\left|z\right| = 3$ и циркуляцию по ней.

Функция движения $w = 2i\ln (z^{2}-a^{2})$. Найти циркуляцию по окружностям $\left|z-a\right| = a$; $\left|z+a\right| = a$.

Функция движения $w = \ln (z^{2}+z^{-2})$. Каковы источники?

Доказать, что вещественная ось есть линия тока, если движение создается источниками обильности $E$, помещенными в точках $a \pm bi$.

Доказать, что отражением в вещественной оси вихря $\Gamma$ в точке $a+bi$ является вихрь $-\Gamma$ в точке $a-bi$.

В точке $a$ вне круга $\left|z\right| = R$ помещен источник $E$. Доказать, что его отражением в окружности (задача 5740) являются два источника: источник $E$ в точке $\dfrac {R^{2}}{\overline{a}}$ и источник с обильностью $-E$ в точке $z = 0$.

Вихрь интенсивности $\Gamma$ помещен вне круга $\left|z\right| = R$. Доказать, что его отражением в окружности (задача 5740) является вихрь $-\Gamma$ в точке $\dfrac {R^{2}}{\overline{a}}$.

Найти движение жидкости вне круга $\left|z\right| = 1$, вызываемое источником обильности $E$ в точке $a$, где $a > 1$.

То же (задача 5743) для вихря интенсивности $\Gamma$.

Найти движение жидкости в области $\left|z\right| > 1$, $\mathrm{Im}\left(z\right) > 0$, вызванное вихрем в точке $z = ai$, $a > 1$ с интенсивностью $\Gamma$.

Положительные части осей координат --- непроницаемые стенки. Только в точке $z = 1$ имеется точечный источник (точнее, источник вдоль по щели, перпендикулярной к плоскости $XOY$ и проходящей через $z = 1$), из которого в пространстве высотой $1$ в первый квадрант втекает $Q$ единиц в $1$ секунду. Найти движение жидкости.

Найти движение жидкости в области $0 < y < x\sqrt{3}$, вызванное источником обильности $E$ в точке $z = ae^{\frac{\pi i}{6}}$; $a > 0$.

Найти движение жидкости в первом квадранте, если в точках $z = 1$ и $z = i$ в стенках квадранта имеются точечные источники, через которые соответственно входит и выходит $Q$ единиц объема жидкости в секунду.

Источники обильности $\pm \dfrac {E}{a}$ находятся в точках $z = \pm a$, где $a \to 0$ (диполь). Найти предельное движение жидкости.

На окружности, непроницаемой в остальных точках для жидкости, помещены два источника обильности $E$ и $-E$. Доказать, что линии тока внутри круга представляют дуги окружностей, проходящих через оба источника.

Два вихря $\Gamma$ и $-\Gamma$ помещены в двух точках. Доказать, что в движении, вызванном ими, линии тока --- окружности.

Движение жидкости вызвано потоком из бесконечности, имеющим скорость, равную $a$ и направленную в отрицательную сторону оси $Ox$, и источником $E = 1$ в начале координат. Доказать, что жидкость, поступающая из источника, заполняет область внутри кривой $x\tg 2\pi ay = y$.

Движение в полуплоскости $y > 0$ вызвано источником в точке $z = ai$. Доказать, что линии тока являются гиперболами $x^{2}-y^{2}+a^{2} = Cxy$.

Движение жидкости создано наложением источников $z = 0, \pm \pi i, \pm 2\pi i, \ldots$ с обильностью $E = 2\pi$ каждый. Доказать, что скорость движения стремится к единице при удалении от $OY$ и направлена от оси $OY$ почти перпендикулярно к ней.

В тех же точках (задача 5754) расположены вихри интенсивности $\Gamma$. Доказать, что в точках, далеких от оси $OY$, скорость по величине близка к $\dfrac {\Gamma }{2\pi }$, а по направлению почти параллельна оси $OY$.

Движение жидкости создано наложением источников с обильностью $E = 2\pi$ в точках $z = 0, \pm \pi i, \pm 2\pi i, \ldots$ и течения со скоростью $v > 1$, параллельного отрицательному направлению оси $OX$. Доказать, что наибольшая абсцисса точек, куда заходит жидкость из источников, равна $\dfrac {1}{2}\ln \dfrac {v+1}{v-1}$.

Доказать, что при условиях предыдущей задачи (задача 5756) область, заполняемая жидкостью из источника $z = 0$, ограничена кривой $\cth x\cdot \tg y = \tg vy$, расстояние между ветвями которой стремится к $\dfrac {2\pi }{v+1}$ при $x \to -\infty$.

Источник обильности $E = 2\pi$ расположен в точке $z = ai$, где $0 < a < \dfrac {\pi }{2}$. Доказать, что движение, созданное им в полосе $0 < y < \dfrac {\pi }{2}$, имеет функцию движения:

Источник обильности $E = 2\pi$ расположен в точке $z_{0} = a+bi$, где $a > 0$; $0 < b < \dfrac {\pi }{2}$. Доказать, что функция движения, созданного им в области $0 < y < \dfrac {\pi }{2}$; $x > 0$, дается формулой:

Движение жидкости в области $\left|z\right| > 1$, вызванное источником обильности $E$ в точке $a > 1$, характеризуется функцией $w = \dfrac {E}{2\pi }\ln \left(z+\dfrac {1}{z}-a-\dfrac {1}{a}\right)$. Полагая $E = 2\pi b\left(a+\dfrac {1}{a}\right)$ и $a \to \infty$, найти движение при обтекании круга $\left|z\right| < 1$ потоком, у которого скорость на бесконечности $v_{\infty } = v$ и направлена в сторону отрицательной оси $OX$.

Вдоль вещественной оси --- непроницаемая стенка. На расстоянии $h$ от нее помещен вихрь интенсивности $\Gamma$. Доказать, что он движется параллельно оси $OX$ со скоростью $\dfrac {\Gamma }{4\pi h}$.

Доказать, что вихрь, помещенный в непроницаемую окружность, движется по концентрической окружности.

Движение в области $x > 0$, $y > 0$ вызывается вихрем с интенсивностью $\Gamma$, помещенным в точке $(\xi ,\eta )$. Доказать, что траектория вихря выражается уравнением $\xi^{-2}+\eta^{-2} = C$, а проекции скорости вихря выражаются формулами:

Доказать, что функция движения, вызванного бесконечной цепочкой вихрей, каждого с интенсивностью $\Gamma = 2\pi$, помещенных в точках $z = 0, \pm \pi , \pm 2\pi , \ldots$, выражается формулой

Найти функцию движения, вызванного наличием вихрей двух родов: а) с интенсивностью $\Gamma$ в точках $l\left(n+\dfrac {1}{4}\right)+\dfrac {hi}{2}$, б) с интенсивностью $-\Gamma$ в точках $l\left(n-\dfrac {1}{4}\right)-\dfrac {hi}{2}$. Здесь $n = 0,1,2,3,\ldots$.

Найти скорость вихря интенсивности $\Gamma$, помещенного между параллельными стенками, на расстоянии $h$ от одной из них, если расстояние между стенками $d$.

Найти движение в области $-\dfrac {\pi }{2} < x < \dfrac {\pi }{2}$, если в точке $(0,0)$ находится источник мощности $Q$.

Найти движение в области $-\dfrac {\pi }{2} < x < \dfrac {\pi }{2}$ (задача 5767), если источник находится в точке $\left(\dfrac {\pi }{2},h\right)$.

Найти функцию движения при симметричном и непрерывном обтекании цилиндра с круглым основанием $\left|z\right| = a$, если скорость потока на бесконечности равна $v$ и направлена в сторону отрицательной оси $OX$. (Один из путей решения --- отобразить область $\left|z\right| > a$, $\mathrm{Im}\left(z\right) > 0$ на верхнюю полуплоскость нового переменного.)

Найти функцию движения при обтекании прежним потоком (задача 5769) отрезка между точками $z = \pm i$. Обтекание ищется непрерывное и симметричное.

Функция $w(z) = a\left(z+\dfrac {R^{2}}{z}\right)+\dfrac {\Gamma }{2\pi i}\ln z$ дает несимметричное непрерывное обтекание круга $\left|z\right| = R$. Найти $v_{\infty }$, циркуляцию вдоль по окружности и точки, где скорость равна нулю.

Найти функцию движения при течении жидкости из полуплоскости $y > 0$ в полуплоскость $y < 0$ сквозь отверстие в стенке $y = 0$ между точками $z = \pm 1$. Скорость на бесконечности равна нулю.

Найти функцию течения $w(z)$ для непрерывного симметричного обтекания эллиптического цилиндра с сечением $b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2} = a^{2}b^{2}$ потоком, имеющим на бесконечности скорость $v_{x} = v$; $v_{y} = 0$.

Доказать, что функция $w = i\ln (1+z^{-1})$ дает обтекание жидкостью пространства, ограниченного прямой и кругом, при условии $v_{\infty } = 0$.

Найти функцию, дающую обтекание полукруга $\left|z+\dfrac {4}{3}\right| < \dfrac {2}{3}$, $\mathrm{Im}\left(z\right) > 0$ при условии на бесконечности $v_{x} = -v$, $v_{y} = 0$.

Показать, что функция $w = 2i\delta \ln \dfrac {R}{z}$ определяет электрическое поле вне кругового цилиндра $\left|z\right| = R$, на котором равномерно распределен заряд, равный $\delta$ для цилиндра единичной высоты.

Найти силовые и потенциальные линии в предыдущей задаче (задача 5776).

Найти силовое поле между поверхностями двух цилиндров с круглыми основаниями $\left|z\right| = 1$, $\left|z-1\right| = 4$, если потенциал на первом равен $1$, а на втором --- нулю.

На изолированном цилиндре с круглым сечением $\left|z-2i\right| = 1$ плотность электричества $\sigma = 1$. Как она распределяется, если заземлить плоскость, параллельную образующей и пересекающую плоскость $XOY$ по вещественной оси (электростатическая индукция)?

На цилиндре $\left|z-5\right| = 4$ потенциал равен $1$, а на цилиндре $\left|z+5\right| = 4$ он равен нулю. Найти наибольшую и наименьшую плотности электричества на обоих цилиндрах.

В точке $z = 2$ точечный заряд $\delta$. Мнимая ось заземлена. Чему равен потенциал в точке $z = 1$?

Представив уравнение параболы $y^{2} = 2px$ в параметрическом виде:

доказать, что функция $w$, определяемая равенством $z = 2p(w^{2}+iw)$, дает поле вне параболы, в котором потенциал на самой параболе равен нулю и в котором нет зарядов.

Найти поле вне эллипса

представляющего одну из эквипотенциальных линий поля.

Потенциал равен $\nu_{0}$ в точках прямой $z = x+ih$ и равен нулю на вещественной оси. Найти функцию $w(z)$, дающую электростатическое поле.

На линии $3x^{2}+4y^{2} = 12$ потенциал равен единице, а на отрезке между фокусами он равен нулю. Найти потенциал в точке $z = i$.

Найти наибольшую и наименьшую плотности на эллипсе предыдущей задачи (задача 5785).

На линии $z = x > 1$ потенциал равен $\nu_{0}$, а на линии $z = x < -1$ он равен $-\nu_{0}$. Найти функцию $w(z)$, дающую электростатическое поле.

На линии $z = iy$, где $y > 1$, потенциал равен $1$, а на вещественной оси равен нулю. Найти плотность распределения электричества на оси $OX$.

Потенциал равен $\pi$ на ломаной, состоящей из линий:

На оси $OX$ потенциал равен нулю. Найти электростатическое поле в области, ограниченной указанными линиями, пользуясь интегралом Кристоффеля--Шварца.

Найти поле вне эллипса $b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2} = a^{2}b^{2}$.

Найти поле вне квадрата $-1 < x < 1$, $-1 < y < 1$, на котором расположен заряд $q$.

На окружности $\left|z\right| = 1$ температура $0°$, а на окружности $\left|z-1\right| = \dfrac {5}{2}$ она $100°$. Найти температуру $t$ в кольце между кругами.

На окружности $\left|z-5i\right| = 4$ температура $100°$, а на оси $OX$ она нуль. Найти температуру $t$ в точке $z = i+1$.

Найти распределение температуры в области $0 < \varphi < \pi$, $r > a$, где $z = re^{\varphi i}$, если температура равна нулю на вещественной оси и единице на полукруге $z = ae^{\varphi i}$, $0 < \varphi < \pi$.

Найти распределение тепла внутри полукруга $\left|z\right| < 1$, $0 < \arg z < \pi$, если температура равна нулю на полуокружности и единице на диаметре.

Та же задача (задача 5795), что и для сектора круга: $0 < \varphi < \alpha$, $0 < r < a$, где $z = re^{\varphi i}$, а температура $0°$ на радиусах и $1°$ на дуге круга.