Глава IX

Нормальные операторы в гильбертовом пространстве

[127/0%]
LaTeX
§
IX.1 · Спектральные меры и представления коммутативных C*-алгебр[16/0%]
Задача IX.1.1

Пусть H\mathcal{H} — гильбертово пространство и пусть {Ai}\{ A_i\} — сеть в B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}). Докажите следующие утверждения.

?
(a)

Ai→AA_i \to A (WOT) тогда и только тогда, когда ⟨Aih,k⟩→⟨Ah,k⟩\left\langle A_i h, k \right\rangle \to \left\langle Ah, k \right\rangle для всех h,kh, k из H\mathcal{H}.

(b)

Если sup⁡i∥Ai∥<∞\sup_i \left\| A_i\right\| < \infty и T\mathcal{T} — тотальное подмножество H\mathcal{H}, то Ai→AA_i \to A (WOT) тогда и только тогда, когда ⟨Aih,k⟩→⟨Ah,k⟩\left\langle A_i h, k \right\rangle \to \left\langle Ah, k \right\rangle для всех h,kh, k из T\mathcal{T}.

(c)

Ai→AA_i \to A (SOT) тогда и только тогда, когда ∥Aih−Ah∥→0\left\| A_i h - Ah\right\| \to 0 для всех hh из H\mathcal{H}.

(d)

Если sup⁡i∥Ai∥<∞\sup_i \left\| A_i\right\| < \infty и T\mathcal{T} — тотальное подмножество H\mathcal{H}, то Ai→AA_i \to A (SOT) тогда и только тогда, когда ∥Aih−Ah∥→0\left\| A_i h - Ah\right\| \to 0 для всех hh из T\mathcal{T}.

(e)

Если H\mathcal{H} сепарабельно, то WOT и SOT метризуемы на ограниченных подмножествах B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}).

Задача IX.1.2

Покажите, что шар B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}) WOT-компактен.

?
Задача IX.1.3

Покажите, что Re⁡B(H)\operatorname {Re} \mathcal{B}(\mathcal{H}) и B(H)+\mathcal{B}(\mathcal{H})_+ WOT- и SOT-замкнуты.

?
Задача IX.1.4

Если L:B(H)→CL: \mathcal{B}(\mathcal{H}) \to \mathbb {C} — линейный функционал, покажите, что следующие утверждения эквивалентны:

  1. LL SOT-непрерывен;

  2. LL WOT-непрерывен;

  3. существуют векторы h1,…,hn,g1,…,gnh_1, \dots , h_n, g_1, \dots , g_n из H\mathcal{H} такие, что L(A)=∑j=1n⟨Ahj,gj⟩L(A) = \sum_{j=1}^n \left\langle Ah_j, g_j \right\rangle.

?
Задача IX.1.5

Покажите, что выпуклое подмножество B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}) WOT-замкнуто тогда и только тогда, когда оно SOT-замкнуто.

?
Задача IX.1.6

Проверьте следующее утверждение (Пример 1.5). Если {En}\{ E_n\} — последовательность попарно ортогональных проекций на H\mathcal{H}, то ∑1∞En\sum_1^\infty E_n сходится (SOT) к проекции H\mathcal{H} на ⋁{En(H):n≥1}\bigvee \{ E_n(\mathcal{H}): n \geq 1\}.

?
Задача IX.1.7

Проверьте утверждения, сделанные в следующих трёх примерах.

  • (Пример 1.6) Пусть XX — компактное множество, Ω\Omega — борелевские подмножества XX, μ\mu — мера на Ω\Omega, и H=L2(μ)\mathcal{H} = L^2(\mu ). Для Δ\Delta из Ω\Omega пусть E(Δ)=E(\Delta ) = умножение на χΔ\chi_\Delta, характеристическую функцию Δ\Delta. Тогда EE является спектральной мерой для (X,Ω,H)(X, \Omega , \mathcal{H}).

  • (Пример 1.7) Если EE — спектральная мера для (X,Ω,H)(X, \Omega , \mathcal{H}), то инфляция E(n)E^{(n)} меры EE, определённая как E(n)(Δ)=E(Δ)(n)E^{(n)}(\Delta ) = E(\Delta )^{(n)}, является спектральной мерой для (X,Ω,H(n))(X, \Omega , \mathcal{H}^{(n)}).

  • (Пример 1.8) Пусть XX — произвольное множество, Ω=\Omega = все подмножества XX, H=\mathcal{H} = произвольное сепарабельное гильбертово пространство, и зафиксируем последовательность {xn}\{ x_n\} в XX. Если {e1,e2,… }\{ e_1, e_2, \dots \} — некоторый ортонормированный базис H\mathcal{H}, определим E(Δ)=E(\Delta ) = проекция на ⋁{en:xn∈Δ}\bigvee \{ e_n : x_n \in \Delta \}. Тогда EE является спектральной мерой для (X,Ω,H)(X, \Omega , \mathcal{H}).

?
Задача IX.1.8

Для спектральных мер из (1.6), (1.7) и (1.8) укажите соответствующие представления.

?
Задача IX.1.9

Если {Ei}\{ E_i\} — сеть проекций и EE — проекция, покажите, что Ei→EE_i \to E (WOT) тогда и только тогда, когда Ei→EE_i \to E (SOT).

?
Задача IX.1.10

Для представления из (VIII.5.5) найдите соответствующую спектральную меру.

?
Задача IX.1.11

В Примере VIII.5.4 представление не совсем покрывается Теоремой 1.14, поскольку это представление L∞(μ)L^\infty (\mu ), а не C(X)C(X). Тем не менее это представление задаётся спектральной мерой, определённой на Ω\Omega. Найдите её.

?
Задача IX.1.12

Пусть XX — компактное хаусдорфово пространство и пусть {xn}\{ x_n\} — последовательность в XX. Пусть {en}\{ e_n\} — ортонормированный базис H\mathcal{H}, и для каждого uu из C(X)C(X) определим ρ(u)\rho (u) в B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}) формулой ρ(u)en=u(xn)en\rho (u) e_n = u(x_n) e_n. Покажите, что ρ\rho является представлением, и найдите соответствующую спектральную меру.

?
Задача IX.1.13

Представление ρ:A→B(H)\rho : \mathcal{A} \to \mathcal{B}(\mathcal{H}) называется неприводимым, если единственные проекции в B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}), коммутирующие с каждым ρ(a)\rho (a), aa из A\mathcal{A}, — это 00 и 11. Докажите, что если A\mathcal{A} абелева и ρ\rho — неприводимое представление A\mathcal{A}, то dim⁡H=1\dim \mathcal{H} = 1. Найдите соответствующую спектральную меру.

?
Задача IX.1.14

Покажите, что представление ρ:C(X)→B(H)\rho : C(X) \to \mathcal{B}(\mathcal{H}) инъективно тогда и только тогда, когда E(G)≠0E(G) \neq 0 для каждого непустого открытого множества GG, где EE — соответствующая спектральная мера.

?
Задача IX.1.15

Пусть {Ai}\{ A_i\} — сеть эрмитовых операторов на H\mathcal{H}, и предположим, что существует эрмитов оператор TT такой, что Ai≤TA_i \leq T для всех ii. Если {⟨Aih,h⟩}\{ \left\langle A_i h, h \right\rangle \} — возрастающая сеть в R\mathbb {R} для каждого hh из H\mathcal{H}, то существует эрмитов оператор AA такой, что Ai→AA_i \to A (в СОТ).

?
Задача IX.1.16

Покажите, что существует сжатие τ:B(H)∗∗→B(H)\tau : \mathcal{B}(\mathcal{H})^{**} \to \mathcal{B}(\mathcal{H}) такое, что τ(T)=T\tau (T) = T для TT из B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}). Если ρ:C(X)→B(H)\rho : C(X) \to \mathcal{B}(\mathcal{H}) — представление, покажите, что отображение ρ~:B(X)→B(H)\tilde\rho : B(X) \to \mathcal{B}(\mathcal{H}), построенное в доказательстве теоремы 1.14 (единственное продолжение ρ\rho на ограниченные борелевские функции B(X)B(X), определяемое соотношением ⟨ρ~(ϕ)g,h⟩=∫ϕ dμg,h\left\langle \tilde\rho (\phi ) g, h \right\rangle = \int \phi \, d\mu_{g,h} для всех g,hg, h из H\mathcal{H}, где μg,h∈M(X)\mu_{g,h} \in M(X) — мера, представляющая u↦⟨ρ(u)g,h⟩u \mapsto \left\langle \rho (u) g, h \right\rangle), задаётся формулой ρ~(ϕ)=τ∘ρ∗∗(ϕ)\tilde\rho (\phi ) = \tau \circ \rho^{**}(\phi ).

?
§
IX.2 · Спектральная теорема[23/0%]
Задача IX.2.1

Пусть NN — нормальный оператор на H\mathcal{H} со спектральной мерой EE. Покажите, что λ∈σp(N)\lambda \in \sigma_p(N) тогда и только тогда, когда E({λ})≠0E(\{ \lambda \} ) \neq 0. Более того, если λ∈σp(N)\lambda \in \sigma_p(N), то E({λ})E(\{ \lambda \} ) является ортогональной проекцией на ker⁡(N−λ)\ker (N - \lambda ).

?
Задача IX.2.2

Пусть NN — нормальный оператор на H\mathcal{H} со спектральной мерой EE. Если Δ\Delta — открыто-замкнутое подмножество σ(N)\sigma (N), покажите, что E(Δ)E(\Delta ) является идемпотентом Рисса, ассоциированным с Δ\Delta.

?
Задача IX.2.3

Докажите теорему II.5.1 и её следствия, используя спектральную теорему.

?
Задача IX.2.4

Докажите теорему II.7.6 и её следствия, используя спектральную теорему.

?
Задача IX.2.5

Выведите теорему II.7.11 как следствие следующего результата (теорема 2.3). Если NN — нормальный оператор на H\mathcal{H} со спектральной мерой EE, а B(σ(N))B(\sigma (N)) — C∗C^*-алгебра ограниченных борелевских функций на σ(N)\sigma (N), то отображение ϕ↦ϕ(N)\phi \mapsto \phi (N) является представлением C∗C^*-алгебры B(σ(N))B(\sigma (N)). Если {ϕi}\{ \phi_i\} — сеть в B(σ(N))B(\sigma (N)) такая, что ∫ϕi dμ→0\int \phi_i \, d\mu \to 0 для каждой μ\mu из M(σ(N))M(\sigma (N)), то ϕi(N)→0\phi_i(N) \to 0 (в СОТ). Это отображение единственно в том смысле, что если τ:B(σ(N))→B(H)\tau : B(\sigma (N)) \to \mathcal{B}(\mathcal{H}) — представление такое, что τ(z)=N\tau (z) = N и τ(ϕi)→0\tau (\phi_i) \to 0 (в СОТ) всякий раз, когда {ϕi}\{ \phi_i\} — ограниченная сеть в B(σ(N))B(\sigma (N)) такая, что ∫ϕi dμ→0\int \phi_i \, d\mu \to 0 для каждой μ\mu из M(σ(N))M(\sigma (N)), то τ(ϕ)=ϕ(N)\tau (\phi ) = \phi (N) для всех ϕ\phi из B(σ(N))B(\sigma (N)).

?
Задача IX.2.6

Проверьте утверждения из следующего примера (пример 2.5). Если μ\mu — регулярная борелевская мера на C\mathbb {C} с компактным носителем KK, определим NμN_\mu на L2(μ)L^2(\mu ) формулой Nμf=zfN_\mu f = zf для каждой ff из L2(μ)L^2(\mu ). Легко проверить, что Nμ∗f=zˉfN_\mu^* f = \bar{z} f, и, следовательно, NμN_\mu нормален.

?
(a)

σ(Nμ)=K=\sigma (N_\mu ) = K = носитель μ\mu.

(b)

Если для ограниченной борелевской функции ϕ\phi мы определим MϕM_\phi на L2(μ)L^2(\mu ) формулой Mϕf=ϕfM_\phi f = \phi f, то ϕ(Nμ)=Mϕ\phi (N_\mu ) = M_\phi.

(c)

Если EE — спектральная мера для NμN_\mu, то E(Δ)=MχΔE(\Delta ) = M_{\chi_\Delta }.

Задача IX.2.7

Пусть (X,Ω,μ)(X, \Omega , \mu ) — произвольное σ\sigma-конечное пространство с мерой, и положим H=L2(X,Ω,μ)\mathcal{H} = L^2(X, \Omega , \mu ). Для ϕ\phi из L∞(μ)≡L∞(X,Ω,μ)L^\infty (\mu ) \equiv L^\infty (X, \Omega , \mu ) определим MϕM_\phi на H\mathcal{H} формулой Mϕf=ϕfM_\phi f = \phi f; тогда MϕM_\phi нормален, причём Mϕ∗=MϕˉM_\phi^* = M_{\bar\phi }, и σ(Mϕ)=ess-ran⁡(ϕ)\sigma (M_\phi ) = \operatorname {ess-ran}(\phi ) — существенная область значений ϕ\phi, определяемая как

ess-ran⁡(ϕ)≡⋂{cl⁡(ϕ(Δ)):Δ∈Ω и μ(X∖Δ)=0}. \operatorname {ess-ran}(\phi ) \equiv \bigcap \{ \operatorname {cl}(\phi (\Delta )) : \Delta \in \Omega \text{ и } \mu (X \setminus \Delta ) = 0\} .

Проверьте следующее утверждение (пример 2.6(e)). Если EE — спектральная мера для MϕM_\phi [так что EE определена на борелевских подмножествах σ(Mϕ)=ess-ran⁡(ϕ)⊆C\sigma (M_\phi ) = \operatorname {ess-ran}(\phi ) \subseteq \mathbb {C}], то для каждого борелевского подмножества Δ\Delta множества σ(Mϕ)\sigma (M_\phi )

E(Δ)=Mχϕ−1(Δ). E(\Delta ) = M_{\chi _{\phi ^{-1}(\Delta )}}.
?
Задача IX.2.8

Пусть NN — нормальный оператор на H\mathcal{H} со спектральной мерой EE. Покажите, что если H\mathcal{H} сепарабельно, то существует не более чем счётное число точек {zn}\{ z_n\} из σ(N)\sigma (N) таких, что E(zn)≠0E(z_n) \neq 0. По упражнению 1, это собственные значения NN.

?
Задача IX.2.9

Покажите, что нормальный оператор NN является

?
(a)

эрмитовым тогда и только тогда, когда σ(N)⊆R\sigma (N) \subseteq \mathbb {R};

(b)

положительным тогда и только тогда, когда σ(N)⊆[0,∞)\sigma (N) \subseteq [0, \infty );

(c)

унитарным тогда и только тогда, когда σ(N)⊆∂D\sigma (N) \subseteq \partial \mathbb {D}.

Задача IX.2.10

Пусть AA — эрмитов оператор со спектральной мерой EE на сепарабельном пространстве. Для каждого действительного числа tt определим проекцию P(t)=E(−∞,t)P(t) = E(-\infty , t). Покажите:

?
(a)

P(s)≤P(t)P(s) \leq P(t) при s≤ts \leq t;

(b)

если tn≤tn+1t_n \leq t_{n+1} и tn→tt_n \to t, то P(tn)→P(t)P(t_n) \to P(t) (в СОТ);

(c)

для всех точек tt, кроме, возможно, счётного числа, P(tn)→P(t)P(t_n) \to P(t) (в СОТ), если tn→tt_n \to t;

(d)

для ff из C(σ(A))C(\sigma (A)), f(A)=∫−∞∞f(t) dP(t)f(A) = \int_{-\infty }^\infty f(t) \, dP(t), где этот интеграл должен быть определён (читателем самостоятельно) в смысле Римана--Стилтьеса.

Задача IX.2.11

Пусть NN — нормальный оператор на H\mathcal{H} со спектральной мерой EE. Если σp(N)\sigma_p(N) — борелевское множество, покажите, что E(σ(N)∖σp(N))=0E(\sigma (N) \setminus \sigma_p(N)) = 0 тогда и только тогда, когда NN диагонализируем; то есть существует базис H\mathcal{H}, состоящий из собственных векторов NN. Если не предполагается, что σp(N)\sigma_p(N) является борелевским множеством, можно ли по-прежнему аналогичным образом охарактеризовать диагонализируемые нормальные операторы? Приведите пример нормального оператора NN такого, что σp(N)\sigma_p(N) не является борелевским множеством.

?
Задача IX.2.12

Пусть NN — нормальный оператор на H\mathcal{H}. Покажите, что если N=U∣N∣N = U|N| (∣N∣=(N∗N)1/2|N| = (N^*N)^{1/2}) — полярное разложение NN, то U=ϕ(N)U = \phi (N) для некоторой борелевской функции ϕ\phi на σ(N)\sigma (N). Следовательно, U∣N∣=∣N∣UU|N| = |N|U (см. упражнение VIII.3.21).

?
Задача IX.2.13

Пусть NN — нормальный оператор на H\mathcal{H}. Покажите, что N=W∣N∣N = W|N| для некоторого унитарного WW, являющегося функцией от NN.

?
Задача IX.2.14

Докажите, что если AA эрмитов, то exp⁡(iA)\exp (iA) унитарен. Верно ли обратное?

?
Задача IX.2.15

Пусть NN — нормальный оператор на H\mathcal{H}. Покажите, что существует нормальный оператор MM такой, что M2=NM^2 = N и M=ϕ(N)M = \phi (N) для некоторой борелевской функции ϕ\phi. Сколько существует таких нормальных операторов MM?

?
Задача IX.2.16

Определим N:L2(R)→L2(R)N: L^2(\mathbb {R}) \to L^2(\mathbb {R}) формулой (Nf)(t)=f(t+1)(Nf)(t) = f(t+1). Покажите, что NN нормален, и найдите его спектральное разложение. (Здесь полезна задача (X.6.17).)

?
Задача IX.2.17

Предположим, что N1,…,NdN_1, \dots , N_d — нормальные операторы такие, что NjNk∗=Nk∗NjN_j N_k^* = N_k^* N_j при 1≤j,k≤d1 \leq j, k \leq d. Покажите, что существует подмножество XX множества Cd\mathbb {C}^d и спектральная мера EE, определённая на борелевских подмножествах XX, такие, что Nk=∫zk dE(z)N_k = \int z_k \, dE(z) при 1≤k≤d1 \leq k \leq d (zk=z_k = kk-я координатная функция) (см. упражнение VIII.2.2).

?
Задача IX.2.18

Если N1,…,NdN_1, \dots , N_d такие же, как в упражнении 17, и каждый из них компактен, покажите, что существует базис H\mathcal{H}, состоящий из собственных векторов для каждого NkN_k. (Это одновременная диагонализация операторов N1,…,NdN_1, \dots , N_d.)

?
Задача IX.2.19

В этой задаче приводятся свойства операторов Гильберта--Шмидта (определяемых ниже).

?
(a)

Если {ei}\{ e_i\} и {fj}\{ f_j\} — два ортонормированных базиса H\mathcal{H} и A∈B(H)A \in \mathcal{B}(\mathcal{H}), то

∑i∥Aei∥2=∑j∥Afj∥2=∑i∑j∣⟨Aei,fj⟩∣2. \sum _i \left\| Ae_i\right\| ^2 = \sum _j \left\| Af_j\right\| ^2 = \sum _i \sum _j \left| \left\langle Ae_i, f_j \right\rangle \right|^2.
(b)

Если A∈B(H)A \in \mathcal{B}(\mathcal{H}) и {ei}\{ e_i\} — базис H\mathcal{H}, определим

∥A∥2=[∑i∥Aei∥2]1/2. \left\| A\right\| _{2} = \left[ \sum _i \left\| Ae_i\right\| ^2 \right]^{1/2}.

По пункту (a) ∥A∥2\left\| A\right\|_{2} не зависит от выбора базиса и, следовательно, определено корректно. Если ∥A∥2<∞\left\| A\right\|_{2} < \infty, оператор AA называется оператором Гильберта–Шмидта. B2=B2(H)\mathcal{B}_2 = \mathcal{B}_2(\mathcal{H}) обозначает множество всех операторов Гильберта--Шмидта.

(c)

∥A∥≤∥A∥2\left\| A\right\| \leq \left\| A\right\|_{2} для каждого AA из B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}), и ∥⋅∥2\left\| \cdot \right\|_{2} является нормой на B2\mathcal{B}_2.

(d)

Если T∈B=B(H)T \in \mathcal{B} = \mathcal{B}(\mathcal{H}) и A∈B2A \in \mathcal{B}_2, то ∥TA∥2≤∥T∥∥A∥2\left\| TA\right\|_{2} \leq \left\| T\right\| \left\| A\right\|_{2}, ∥A∗∥2=∥A∥2\left\| A^*\right\|_{2} = \left\| A\right\|_{2} и ∥AT∥2≤∥A∥2∥T∥\left\| AT\right\|_{2} \leq \left\| A\right\|_{2} \left\| T\right\|.

(e)

B2\mathcal{B}_2 — идеал в B\mathcal{B}, содержащий B00\mathcal{B}_{00} — операторы конечного ранга.

(f)

A∈B2A \in \mathcal{B}_2 тогда и только тогда, когда ∣A∣≡(A∗A)1/2∈B2\left|A\right| \equiv (A^*A)^{1/2} \in \mathcal{B}_2; в этом случае ∥A∥2=∥∣A∣∥2\left\| A\right\|_{2} = \left\| \left|A\right|\right\|_{2}.

(g)

B2⊆B0\mathcal{B}_2 \subseteq \mathcal{B}_0 (компактные операторы); более того, если AA — компактный оператор, а λ1,λ2,…\lambda_1, \lambda_2, \dots — собственные значения ∣A∣\left|A\right|, каждое повторённое столько раз, какова его кратность, то A∈B2(H)A \in \mathcal{B}_2(\mathcal{H}) тогда и только тогда, когда ∑n=1∞λn2<∞\sum_{n=1}^\infty \lambda_n^2 < \infty. В этом случае ∥A∥2=(∑λn2)1/2\left\| A\right\|_{2} = (\sum \lambda_n^2)^{1/2}.

(h)

Если (X,Ω,μ)(X, \Omega , \mu ) — пространство с мерой и k∈L2(μ×μ)k \in L^2(\mu \times \mu ), пусть K:L2(μ)→L2(μ)K: L^2(\mu ) \to L^2(\mu ) — интегральный оператор с ядром kk. Тогда K∈B2(L2(μ))K \in \mathcal{B}_2(L^2(\mu )) и ∥K∥2=∥k∥2\left\| K\right\|_{2} = \left\| k\right\|_{2} (см. предложение II.4.7 и лемму II.4.8).

(i)

Интерпретируйте пункт (h) для чисто атомического пространства с мерой.

Больше информации о B2\mathcal{B}_2 содержится в следующей задаче.

Задача IX.2.20

В этой задаче обсуждаются операторы со следом (ядерные операторы, определяемые ниже) и предполагается знание упражнения 19. B1(H)={AB:A и B∈B2(H)}\mathcal{B}_1(\mathcal{H}) = \{ AB : A \text{ и } B \in \mathcal{B}_2(\mathcal{H})\}. Операторы, принадлежащие B1(H)\mathcal{B}_1(\mathcal{H}), называются ядерными операторами (операторами со следом), а B1(H)=B1\mathcal{B}_1(\mathcal{H}) = \mathcal{B}_1 называется классом операторов со следом.

?
(a)

Если A∈B1(H)A \in \mathcal{B}_1(\mathcal{H}) и {ei}\{ e_i\} — базис, то ∑∣⟨Aei,ei⟩∣<∞\sum \left| \left\langle Ae_i, e_i \right\rangle \right| < \infty. Более того, сумма ∑⟨Aei,ei⟩\sum \left\langle Ae_i, e_i \right\rangle не зависит от выбора базиса. (Указание: Если A=C∗BA = C^*B, где B,C∈B2B, C \in \mathcal{B}_2, покажите, что ∣⟨Aei,ei⟩∣≡12(∥Bei∥2+∥Cei∥2)\left| \left\langle Ae_i, e_i \right\rangle \right| \equiv \frac{1}{2}(\left\| Be_i\right\|^2 + \left\| Ce_i\right\|^2).)

(b)

Если {ei}\{ e_i\} — базис H\mathcal{H}, определим tr⁡:B1→C\operatorname {tr}: \mathcal{B}_1 \to \mathbb {C} формулой

tr⁡(A)=∑i⟨Aei,ei⟩. \operatorname {tr}(A) = \sum _i \left\langle Ae_i, e_i \right\rangle .

По пункту (a) определение tr⁡(A)\operatorname {tr}(A) не зависит от выбора базиса; tr⁡(A)\operatorname {tr}(A) называется следом AA. Если dim⁡H<∞\dim \mathcal{H} < \infty, то tr⁡(A)\operatorname {tr}(A) в точности равен сумме диагональных элементов любого матричного представления AA.

(c)

Если A∈B(H)A \in \mathcal{B}(\mathcal{H}), то следующие утверждения эквивалентны: (1) A∈B1A \in \mathcal{B}_1; (2) ∣A∣=(A∗A)1/2∈B1\left|A\right| = (A^*A)^{1/2} \in \mathcal{B}_1; (3) ∣A∣1/2∈B2\left|A\right|^{1/2} \in \mathcal{B}_2; (4) tr⁡(∣A∣)<∞\operatorname {tr}(\left|A\right|) < \infty.

(d)

Если A∈B1A \in \mathcal{B}_1 и T∈BT \in \mathcal{B}, то ATAT и TATA принадлежат B1\mathcal{B}_1 и tr⁡(AT)=tr⁡(TA)\operatorname {tr}(AT) = \operatorname {tr}(TA). Более того, tr⁡:B1→C\operatorname {tr}: \mathcal{B}_1 \to \mathbb {C} — положительный линейный функционал такой, что если A∈B1A \in \mathcal{B}_1, A≥0A \geq 0 и tr⁡(A)=0\operatorname {tr}(A) = 0, то A=0A = 0.

(e)

Если A∈B1A \in \mathcal{B}_1, определим ∥A∥1≡tr⁡(∣A∣)\left\| A\right\|_{1} \equiv \operatorname {tr}(\left|A\right|). Если A∈B1A \in \mathcal{B}_1 и T∈BT \in \mathcal{B}, покажите, что ∣tr⁡(TA)∣≤∥T∥∥A∥1\left|\operatorname {tr}(TA)\right| \leq \left\| T\right\| \left\| A\right\|_{1}.

(f)

∥A∥1=∥A∗∥1\left\| A\right\|_{1} = \left\| A^*\right\|_{1}, если A∈B1A \in \mathcal{B}_1.

(g)

Если T∈BT \in \mathcal{B} и A∈B1A \in \mathcal{B}_1, то ∥TA∥1≤∥T∥∥A∥1\left\| TA\right\|_{1} \leq \left\| T\right\| \left\| A\right\|_{1} и ∥AT∥1≤∥T∥∥A∥1\left\| AT\right\|_{1} \leq \left\| T\right\| \left\| A\right\|_{1}.

(h)

∥⋅∥1\left\| \cdot \right\|_{1} является нормой на B1\mathcal{B}_1. Она называется нормой следа.

(i)

B1\mathcal{B}_1 — идеал в B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}), содержащий B00\mathcal{B}_{00}.

(j)

Если A∈B1A \in \mathcal{B}_1, а {ei}\{ e_i\} и {fi}\{ f_i\} — два базиса H\mathcal{H}, то ∑i∣⟨Aei,fi⟩∣≤∥A∥1\sum_i \left| \left\langle Ae_i, f_i \right\rangle \right| \leq \left\| A\right\|_{1}.

(k)

B1⊆B0\mathcal{B}_1 \subseteq \mathcal{B}_0. Кроме того, если A∈B0A \in \mathcal{B}_0, а λ1,λ2,…\lambda_1, \lambda_2, \dots — собственные значения ∣A∣\left|A\right|, каждое повторённое столько раз, какова его кратность, то A∈B1A \in \mathcal{B}_1 тогда и только тогда, когда ∑n=1∞λn<∞\sum_{n=1}^\infty \lambda_n < \infty. В этом случае ∥A∥1=∑n=1∞λn\left\| A\right\|_{1} = \sum_{n=1}^\infty \lambda_n.

(l)

Если AA и B∈B2B \in \mathcal{B}_2, определим (A,B)=tr⁡(B∗A)(A, B) = \operatorname {tr}(B^*A). Тогда (⋅,⋅)(\cdot , \cdot ) — скалярное произведение на B2\mathcal{B}_2, ∥⋅∥2\left\| \cdot \right\|_{2} — норма, определяемая этим скалярным произведением, и B2\mathcal{B}_2 полно относительно ∥⋅∥2\left\| \cdot \right\|_{2}. Другими словами, B2\mathcal{B}_2 — гильбертово пространство.

(m)

(B1,∥⋅∥1)(\mathcal{B}_1, \left\| \cdot \right\|_{1}) — банахово пространство.

(n)

B00\mathcal{B}_{00} плотно как в B1\mathcal{B}_1, так и в B2\mathcal{B}_2. (Подробнее об этом см. Ringrose [1971] и Schatten [1960].)

Задача IX.2.21

В этой задаче предполагается знание упражнения 20. Если g,h∈Hg, h \in \mathcal{H}, обозначим через g⊗hg \otimes h оператор ранга один, определённый формулой (g⊗h)(f)=⟨f,h⟩g(g \otimes h)(f) = \left\langle f, h \right\rangle g.

?
(a)

Если g,h∈Hg, h \in \mathcal{H} и A∈B(H)A \in \mathcal{B}(\mathcal{H}), то tr⁡(A(g⊗h))=⟨Ag,h⟩\operatorname {tr}(A(g \otimes h)) = \left\langle Ag, h \right\rangle.

(b)

Если T∈B1T \in \mathcal{B}_1, то ∥T∥1=sup⁡{∣tr⁡(CT)∣:C∈B0,∥C∥≤1}\left\| T\right\|_{1} = \sup \{ \left|\operatorname {tr}(CT)\right| : C \in \mathcal{B}_0, \left\| C\right\| \leq 1\}.

(c)

Если T∈B1T \in \mathcal{B}_1, определим LT:B0→CL_T: \mathcal{B}_0 \to \mathbb {C} формулой LT(C)=tr⁡(TC)L_T(C) = \operatorname {tr}(TC) (=tr⁡(CT)= \operatorname {tr}(CT)). Покажите, что отображение T↦LTT \mapsto L_T является изометрическим изоморфизмом B1\mathcal{B}_1 на B0∗\mathcal{B}_0^*.

(d)

Если B∈BB \in \mathcal{B}, определим FB:B1→CF_B: \mathcal{B}_1 \to \mathbb {C} формулой FB(T)=tr⁡(BT)F_B(T) = \operatorname {tr}(BT). Покажите, что отображение B↦FBB \mapsto F_B является изометрическим изоморфизмом B\mathcal{B} на B1∗\mathcal{B}_1^*.

(e)

Если L∈B∗L \in \mathcal{B}^*, покажите, что L=L0+L1L = L_0 + L_1, где L0,L1∈B∗L_0, L_1 \in \mathcal{B}^*, L1(B)=tr⁡(BT)L_1(B) = \operatorname {tr}(BT) для некоторого TT из B1\mathcal{B}_1, а L0(C)=0L_0(C) = 0 для каждого компактного оператора CC. Покажите, что ∥L∥=∥L0∥+∥L1∥\left\| L\right\| = \left\| L_0\right\| + \left\| L_1\right\| и что L0L_0 и L1L_1 единственны. Приведите необходимые и достаточные условия на H\mathcal{H} для того, чтобы B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}) было рефлексивным банаховым пространством.

Задача IX.2.22

Докажите, что если UU — произвольный унитарный оператор на H\mathcal{H}, то существует непрерывная функция u:[0,1]→B(H)u: [0, 1] \to \mathcal{B}(\mathcal{H}) такая, что u(t)u(t) унитарен при всех tt, u(0)=Uu(0) = U и u(1)=1u(1) = 1.

?
Задача IX.2.23

Если NN нормален, покажите, что существует последовательность обратимых нормальных операторов, сходящаяся к NN.

?
§
IX.3 · *-циклические нормальные операторы[8/0%]
Задача IX.3.1

Если μ\mu — мера с компактным носителем на C\mathbb {C} и f∈L2(μ)f \in L^2(\mu ), то ff является звёздно-циклическим вектором для NμN_\mu тогда и только тогда, когда μ({x:f(x)=0})=0\mu (\{ x : f(x) = 0\} ) = 0.

?
Задача IX.3.2

Докажите следующее предложение (предложение 3.2).

?
(a)

Вектор e0e_0 является звёздно-циклическим вектором для AA тогда и только тогда, когда H=cl⁡{Te0:T∈C∗(A)}\mathcal{H} = \operatorname {cl}\{ Te_0 : T \in C^*(A)\}, где C∗(A)=C^*(A) = C∗C^*-алгебра, порождённая AA.

(b)

Вектор e0e_0 является циклическим вектором для AA тогда и только тогда, когда H=cl⁡{p(A)e0:p=многочлен}\mathcal{H} = \operatorname {cl}\{ p(A)e_0 : p = \text{многочлен}\}.

Задача IX.3.3

Если μ1\mu_1 и μ2\mu_2 — меры с компактным носителем на C\mathbb {C}, покажите, что следующие утверждения эквивалентны.

  1. μ1\mu_1 и μ2\mu_2 ограниченно взаимно абсолютно непрерывны.

  2. Существует изоморфизм V:L2(μ1)→L2(μ2)V: L^2(\mu_1) \to L^2(\mu_2) такой, что VNμ1V−1=Nμ2VN_{\mu_1}V^{-1} = N_{\mu_2} и VL∞(μ1)=L∞(μ2)VL^\infty (\mu_1) = L^\infty (\mu_2).

  3. Существует ограниченная биекция R:L2(μ1)→L2(μ2)R: L^2(\mu_1) \to L^2(\mu_2) такая, что Rp(z,zˉ)=p(z,zˉ)Rp(z, \bar{z}) = p(z, \bar{z}) для каждого многочлена от zz и zˉ\bar{z}.

?
Задача IX.3.4

Покажите, что если NN — звёздно-циклический нормальный оператор и λ∈σp(N)\lambda \in \sigma_p(N), то dim⁡ker⁡(N−λ)=1\dim \ker (N - \lambda ) = 1.

?
Задача IX.3.5

Если NN диагонализируем и звёздно-циклический, а σp(N)={λ1,λ2,… }\sigma_p(N) = \{ \lambda_1, \lambda_2, \dots \}, покажите, что NN унитарно эквивалентен NμN_\mu, где μ=∑n=1∞2−nδλn\mu = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \delta_{\lambda_n} (см. упражнение 2.11).

?
Задача IX.3.6

Пусть NN — диагонализируемый нормальный оператор. Покажите, что N≅MN \cong M тогда и только тогда, когда MM — диагонализируемый нормальный оператор, σp(N)=σp(M)\sigma_p(N) = \sigma_p(M) и dim⁡ker⁡(N−λ)=dim⁡ker⁡(M−λ)\dim \ker (N - \lambda ) = \dim \ker (M - \lambda ) для всех λ\lambda. (Сравните это с теоремой II.8.3.)

?
Задача IX.3.7

Пусть UU — двусторонний сдвиг на l2(Z)l^2(\mathbb {Z}). Если e0e_0 — вектор в l2(Z)l^2(\mathbb {Z}), имеющий 11 на нулевом месте и нули на остальных, то e0e_0 является звёздно-циклическим вектором для UU. Если μ\mu — мера с компактным носителем на C\mathbb {C}, а V:l2(Z)→L2(μ)V: l^2(\mathbb {Z}) \to L^2(\mu ) — изоморфизм такой, что Ve0=1Ve_0 = 1 и VUV−1=NμVUV^{-1} = N_\mu, то

?
(a)

μ=m=\mu = m = нормированная длина дуги на ∂D\partial \mathbb {D};

(b)

V−1=V^{-1} = преобразование Фурье на L2(m)=L2(∂D)L^2(m) = L^2(\partial \mathbb {D}).

Задача IX.3.8

Предположим, N1,…,NdN_1, \dots , N_d — нормальные операторы такие, что NjNk∗=Nk∗NjN_j N_k^* = N_k^* N_j при 1≤j,k≤d1 \leq j, k \leq d, и предположим, что существует вектор e0e_0 в H\mathcal{H} такой, что H\mathcal{H} является единственным подпространством H\mathcal{H}, содержащим e0e_0 и приводящим каждый из операторов N1,…,NdN_1, \dots , N_d. Покажите, что существует мера μ\mu с компактным носителем на Cd\mathbb {C}^d и изоморфизм V:H→L2(μ)V: \mathcal{H} \to L^2(\mu ) такие, что VNkV−1f=zkfVN_k V^{-1} f = z_k f для ff из L2(μ)L^2(\mu ) и 1≤k≤d1 \leq k \leq d (zk=z_k = kk-я координатная функция) (см. упражнение 2.17).

?
§
IX.4 · Некоторые приложения спектральной теоремы[10/0%]
Задача IX.4.1

Если NN — нормальный оператор, покажите, что ran⁡N\operatorname {ran} N замкнут тогда и только тогда, когда 00 не является предельной точкой σ(N)\sigma (N).

?
Задача IX.4.2

Приведите пример ненормального оператора AA такого, что 00 — изолированная точка σ(A)\sigma (A) и ran⁡A\operatorname {ran} A замкнут. Приведите пример ненормального оператора BB такого, что ran⁡B\operatorname {ran} B замкнут, а 00 не является изолированной точкой σ(B)\sigma (B).

?
Задача IX.4.3

Если H\mathcal{H} — несепарабельное гильбертово пространство, найдите пример нетривиального замкнутого идеала B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}), отличного от B0(H)\mathcal{B}_0(\mathcal{H}).

?
Задача IX.4.4

Пусть (X,Ω,μ)(X, \Omega , \mu ) — пространство с мерой, полученное в доказательстве следующей теоремы (теорема 4.6: если NN — нормальный оператор на H\mathcal{H}, то существует пространство с мерой (X,Ω,μ)(X, \Omega , \mu ) и функция ϕ\phi из L∞(X,Ω,μ)L^\infty (X, \Omega , \mu ) такие, что NN унитарно эквивалентен MϕM_\phi на L2(X,Ω,μ)L^2(X, \Omega , \mu )), и покажите, что L1(X,Ω,μ)∗L^1(X, \Omega , \mu )^* изометрически изоморфно L∞(X,Ω,μ)L^\infty (X, \Omega , \mu ).

?
Задача IX.4.5

Покажите, что H\mathcal{H} сепарабельно тогда и только тогда, когда каждая совокупность попарно ортогональных проекций в B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}) счётна.

?
Задача IX.4.6

Если (X,Ω,μ)(X, \Omega , \mu ) — пространство с мерой, то (X,Ω,μ)(X, \Omega , \mu ) σ\sigma-конечно или L2(μ)L^2(\mu ) конечномерно тогда и только тогда, когда каждая совокупность попарно ортогональных проекций в {Mϕ∈L∞(μ)}\{ M_\phi \in L^\infty (\mu )\} счётна.

?
Задача IX.4.7

Если N=∫z dE(z)N = \int z \, dE(z) и ε>0\varepsilon > 0, покажите, что ran⁡E({z:∣z∣>ε})⊆ran⁡N\operatorname {ran} E(\{ z : \left|z\right| > \varepsilon \} ) \subseteq \operatorname {ran} N.

?
Задача IX.4.8

(Калкин) Пусть M\mathcal{M} — линейное многообразие в H\mathcal{H}; покажите, что M\mathcal{M} обладает тем свойством, что M\mathcal{M} не содержит замкнутых бесконечномерных подпространств тогда и только тогда, когда всякий раз, когда A∈B(H)A \in \mathcal{B}(\mathcal{H}) и ran⁡A⊆M\operatorname {ran} A \subseteq \mathcal{M}, оператор AA компактен.

?
Задача IX.4.9

Покажите, что крайними точками множества {A∈B(H):0≤A≤1}\{ A \in \mathcal{B}(\mathcal{H}) : 0 \leq A \leq 1\} являются проекции.

?
Задача IX.4.10

(Халмош) Если NN — нормальный оператор, покажите, что существует эрмитов оператор AA и непрерывная функция ff такие, что N=f(A)N = f(A). (Указание: Используйте следующий результат, теорему 4.6. Если NN — нормальный оператор на H\mathcal{H}, то существует пространство с мерой (X,Ω,μ)(X, \Omega , \mu ) и функция ϕ\phi из L∞(X,Ω,μ)L^\infty (X, \Omega , \mu ) такие, что NN унитарно эквивалентен MϕM_\phi на L2(X,Ω,μ)L^2(X, \Omega , \mu ).)

?
§
IX.5 · Топологии на B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H})[6/0%]
Задача IX.5.1

Пусть A\mathcal{A} — подалгебра B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}), содержащая 11. Напомним, что для 1≤n≤∞1 \leq n \leq \infty через H(n)\mathcal{H}^{(n)} обозначается прямая сумма H\mathcal{H} с самим собой nn раз, и если A∈B(H)A \in \mathcal{B}(\mathcal{H}), то A(n)A^{(n)} — оператор на H(n)\mathcal{H}^{(n)}, определённый формулой A(n)(h1,…,hn)=(Ah1,…,Ahn)A^{(n)}(h_1, \dots , h_n) = (Ah_1, \dots , Ah_n); если S⊆B(H)\mathcal{S} \subseteq \mathcal{B}(\mathcal{H}), то S(n)≡{A(n):A∈S}\mathcal{S}^{(n)} \equiv \{ A^{(n)} : A \in \mathcal{S}\}. Предложение 5.3 утверждает, что СОТ-замыкание A\mathcal{A} есть

{B∈B(H):для каждого конечного n, Lat⁡A(n)⊆Lat⁡B(n)}. \{ B \in \mathcal{B}(\mathcal{H}) : \text{для каждого конечного } n, \ \operatorname {Lat} \mathcal{A}^{(n)} \subseteq \operatorname {Lat} B^{(n)}\} .

Покажите, что если B∈СОТ-cl⁡AB \in \text{СОТ-}\operatorname {cl} \mathcal{A}, то BB принадлежит множеству, определённому выше.

?
Задача IX.5.2

Покажите, что B00\mathcal{B}_{00} плотно по СОТ в B\mathcal{B}.

?
Задача IX.5.3

Если {Ak}\{ A_k\} и {Bk}\{ B_k\} — последовательности в B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}) такие, что Ak→AA_k \to A (в СОТ) и Bk→BB_k \to B (в СОТ), то AkBk→ABA_k B_k \to AB (в СОТ).

?
Задача IX.5.4

В обозначениях упражнения 3, покажите, что если Ak→AA_k \to A (в СОТ), то AkBk→ABA_k B_k \to AB (в СОТ).

?
Задача IX.5.5

Пусть SS — односторонний сдвиг на l2(N)l^2(\mathbb {N}) (II.2.10). Исследуйте последовательности {Sk}\{ S^k\} и {S∗k}\{ S^{*k}\} и их связь с упражнениями 3 и 4.

?
Задача IX.5.6

(Халмош) Зафиксируем ортонормированный базис {en:n≥1}\{ e_n : n \geq 1\} для H\mathcal{H}.

?
(a)

Покажите, что 0∈0 \in слабое замыкание {nen:n≥1}\{ \sqrt{n} e_n : n \geq 1\} (Halmos [1982], Solution 28).

(b)

Пусть {ni}\{ n_i\} — сеть целых чисел такая, что nieni→0\sqrt{n_i} e_{n_i} \to 0 слабо. Определим Aif=ni⟨f,eni⟩eniA_i f = \sqrt{n_i} \left\langle f, e_{n_i} \right\rangle e_{n_i} для ff из H\mathcal{H}. Покажите, что Ai→0A_i \to 0 (в СОТ), но {Ai2}\{ A_i^2\} не сходится к 00 (в СОТ).

§
IX.6 · Коммутирующие операторы[12/0%]
Задача IX.6.1

Если S⊆B(H)\mathcal{S} \subseteq \mathcal{B}(\mathcal{H}), покажите, что S′=S′′′\mathcal{S}' = \mathcal{S}'''.

?
Задача IX.6.2

Если S⊆B(H)\mathcal{S} \subseteq \mathcal{B}(\mathcal{H}), покажите, что S′\mathcal{S}' всегда является СОТ-замкнутой подалгеброй B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}).

?
Задача IX.6.3

Докажите следующее предложение (предложение 6.1).

?
(a)

Если A=A1⊕A2⊕⋯A = A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots — ограниченный оператор на H=H1⊕H2⊕⋯\mathcal{H} = \mathcal{H}_1 \oplus \mathcal{H}_2 \oplus \cdots, а B=[Bij]∈B(H)B = [B_{ij}] \in \mathcal{B}(\mathcal{H}), то AB=BAAB = BA тогда и только тогда, когда BijAj=AiBijB_{ij} A_j = A_i B_{ij} для всех i,ji, j.

(b)

Если B=[Bij]∈B(H(n))B = [B_{ij}] \in \mathcal{B}(\mathcal{H}^{(n)}), то BA(n)=A(n)BBA^{(n)} = A^{(n)} B тогда и только тогда, когда BijA=ABijB_{ij} A = A B_{ij} для всех i,ji, j.

Задача IX.6.4

Пусть H\mathcal{H} — гильбертово пространство размерности α\alpha, и определим S:H(∞)→H(∞)S: \mathcal{H}^{(\infty )} \to \mathcal{H}^{(\infty )} формулой S(h1,h2,… )=(0,h1,h2,… )S(h_1, h_2, \dots ) = (0, h_1, h_2, \dots ). SS называется односторонним сдвигом кратности α\alpha.

?
(a)

Покажите, что A=[Aij]∈{S}′A = [A_{ij}] \in \{ S\} ' тогда и только тогда, когда Aij=0A_{ij} = 0 при j>ij > i и Aij=Ai+1,j+1A_{ij} = A_{i+1, j+1} при i≥ji \geq j.

(b)

Покажите, что A=[Aij]∈{S}′′A = [A_{ij}] \in \{ S\} '' тогда и только тогда, когда Aij=0A_{ij} = 0 при j>ij > i и Aij=Ai+1,j+1=A_{ij} = A_{i+1, j+1} = кратное тождественного оператора при i≥ji \geq j.

Задача IX.6.5

Чему равно {Nμ⊕Nμ}′\{ N_\mu \oplus N_\mu \} '? {Nμ⊕Nμ}′′\{ N_\mu \oplus N_\mu \} ''?

?
Задача IX.6.6

Если A\mathcal{A} — подалгебра B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}), покажите, что A\mathcal{A} является максимальной абелевой подалгеброй B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}) тогда и только тогда, когда A=A′\mathcal{A} = \mathcal{A}'.

?
Задача IX.6.7

Найдите ненормальный оператор, подобный нормальному оператору. (Указание: Попробуйте dim⁡H=2\dim \mathcal{H} = 2.)

?
Задача IX.6.8

Пусть μ\mu — мера с компактным носителем на C\mathbb {C}, а X\mathcal{X} — сепарабельное гильбертово пространство. Функция f:C→Xf: \mathbb {C} \to \mathcal{X} является борелевской функцией, если f−1(G)f^{-1}(G) — борелевское множество, когда GG слабо открыто в X\mathcal{X}. Определим L2(μ,X)L^2(\mu , \mathcal{X}) как классы эквивалентности борелевских функций f:C→Xf: \mathbb {C} \to \mathcal{X} таких, что ∫∥f(x)∥2 dμ(x)<∞\int \left\| f(x)\right\|^2 \, d\mu (x) < \infty. Определим ⟨f,g⟩=∫⟨f(x),g(x)⟩ dμ(x)\left\langle f, g \right\rangle = \int \left\langle f(x), g(x) \right\rangle \, d\mu (x) для ff и gg из L2(μ,X)L^2(\mu , \mathcal{X}).

?
(a)

Покажите, что L2(μ,X)L^2(\mu , \mathcal{X}) — гильбертово пространство. Определим NN на L2(μ,X)L^2(\mu , \mathcal{X}) формулой (Nf)(z)=zf(z)(Nf)(z) = zf(z).

(b)

Покажите, что NN — нормальный оператор и σ(N)=\sigma (N) = носитель μ\mu. Вычислите N∗N^*.

(c)

Покажите, что N≅Nμ(α)N \cong N_\mu^{(\alpha )}, где α=dim⁡X\alpha = \dim \mathcal{X}.

(d)

Найдите {N}′\{ N\} '. (Указание: Используйте (6.1).)

(e)

Найдите {N}′′\{ N\} ''.

Задача IX.6.9

Пусть H\mathcal{H} сепарабельно с базисом {en}\{ e_n\}. Пусть AA — диагональный оператор на H\mathcal{H}, задаваемый формулой Aen=λnenAe_n = \lambda_n e_n, где sup⁡n∣λn∣<∞\sup_n \left|\lambda_n\right| < \infty. Определите {A}′\{ A\} ' и {A}′′\{ A\} ''. Приведите необходимые и достаточные условия на {λn}\{ \lambda_n\}, при которых {A}′={A}′′\{ A\} ' = \{ A\} ''.

?
Задача IX.6.10

Пусть A\mathcal{A} — C∗C^*-подалгебра B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}), но не предполагаем, что A\mathcal{A} содержит тождественный оператор. Пусть M=⋁{ran⁡A:A∈A}\mathcal{M} = \bigvee \{ \operatorname {ran} A : A \in \mathcal{A}\}, и пусть P=P = проекция H\mathcal{H} на M\mathcal{M}. Покажите, что СОТ-cl⁡A=A′′P=PA′′\text{СОТ-}\operatorname {cl} \mathcal{A} = \mathcal{A}'' P = P \mathcal{A}''.

?
Задача IX.6.11

Сформулируйте и докажите полярное разложение для операторов, действующих между различными гильбертовыми пространствами.

?
Задача IX.6.12

Пусть (X,Ω,μ)(X, \Omega , \mu ) — произвольное пространство с мерой, и пусть L∈L1(μ)∗L \in L^1(\mu )^*.

?
(a)

Покажите, что для каждой ff из L2(μ)L^2(\mu ) существует hh из L2(μ)L^2(\mu ) такая, что L(gfˉ)=∫ghˉ dμL(g\bar{f}) = \int g \bar{h} \, d\mu для всех gg из L2(μ)L^2(\mu ).

(b)

Если f∈L2(μ)f \in L^2(\mu ), пусть TfTf — функция hh из L2(μ)L^2(\mu ), полученная в пункте (a). Покажите, что T:L2(μ)→L2(μ)T: L^2(\mu ) \to L^2(\mu ) определяет ограниченный линейный оператор и TT коммутирует с MϕM_\phi для каждой ϕ\phi из L∞(μ)L^\infty (\mu ).

(c)

В свете пунктов (a) и (b) сравните теорему 6.6 и пример 20.17 у Hewitt и Stromberg [1975].

§
IX.7 · Коммутативные алгебры фон Неймана[16/0%]
Задача IX.7.1

Докажите следующее предложение (предложение 7.3).

?
(a)

Если A1,A2,…\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \dots — алгебры фон Неймана, то таковой является и A1⊕A2⊕⋯\mathcal{A}_1 \oplus \mathcal{A}_2 \oplus \cdots.

(b)

Если A\mathcal{A} — алгебра фон Неймана и 1≤n≤∞1 \leq n \leq \infty, то A(n)\mathcal{A}^{(n)} — алгебра фон Неймана.

Задача IX.7.2

Докажите следующее предложение (предложение 7.4). Пусть Aj\mathcal{A}_j — алгебра фон Неймана на Hj\mathcal{H}_j, j=1,2j = 1, 2. Если U:H1→H2U: \mathcal{H}_1 \to \mathcal{H}_2 — изоморфизм такой, что UA1U−1=A2U \mathcal{A}_1 U^{-1} = \mathcal{A}_2, то UA1′U−1=A2′U \mathcal{A}_1' U^{-1} = \mathcal{A}_2'.

?
Задача IX.7.3

Почему Aμ\mathcal{A}_\mu и Aμ(2)\mathcal{A}_\mu^{(2)} не являются пространственно изоморфными?

?
Задача IX.7.4

Покажите, что если XX — произвольное компактное метрическое пространство, то существует сепарабельное гильбертово пространство H\mathcal{H} и ∗*-мономорфизм τ:C(X)→B(H)\tau : C(X) \to \mathcal{B}(\mathcal{H}). Найдите спектральную меру для τ\tau.

?
Задача IX.7.5

Пусть A\mathcal{A} — абелева C∗C^*-подалгебра B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}) такая, что A′\mathcal{A}' не содержит несчётной совокупности попарно ортогональных проекций. Покажите, что следующие утверждения эквивалентны:

  1. A\mathcal{A} — максимальная абелева алгебра фон Неймана;

  2. A=A′\mathcal{A} = \mathcal{A}';

  3. A\mathcal{A} имеет циклический вектор и СОТ-замкнута;

  4. существует конечное пространство с мерой (X,Ω,μ)(X, \Omega , \mu ) и изоморфизм U:L2(μ)→HU: L^2(\mu ) \to \mathcal{H} такие, что UAμU−1=AU \mathcal{A}_\mu U^{-1} = \mathcal{A}.

?
Задача IX.7.6

Пусть {Pn}\{ P_n\} — последовательность коммутирующих проекций в B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}), и положим A=∑n=1∞3−n(2Pn−1)A = \sum_{n=1}^\infty 3^{-n}(2P_n - 1). Покажите, что C∗(A)C^*(A) является C∗C^*-алгеброй, порождённой {Pn}\{ P_n\}. (Видите ли вы связь между AA и функцией Кантора--Лебега?)

?
Задача IX.7.7

Если A\mathcal{A} — абелева алгебра фон Неймана на сепарабельном гильбертовом пространстве H\mathcal{H}, покажите, что существует эрмитов оператор AA такой, что A\mathcal{A} равна наименьшей алгебре фон Неймана, содержащей AA. (Указание: Пусть {Pn}\{ P_n\} — счётное СОТ-плотное подмножество множества проекций в A\mathcal{A}, и используйте упражнение 6. Это доказательство принадлежит Rickart [1960], pp. 293--294. См. также Jenkins [1972].)

?
Задача IX.7.8

Если XX — компактное пространство, покажите, что C(X)C(X) порождается как C∗C^*-алгебра своими характеристическими функциями тогда и только тогда, когда XX вполне несвязно. Если AA такой же, как в упражнении 6, покажите, что σ(A)\sigma (A) вполне несвязно.

?
Задача IX.7.9

Если XX и YY — компактные пространства, а τ:C(X)→C(Y)\tau : C(X) \to C(Y) — гомоморфизм с τ(1)=1\tau (1) = 1, покажите, что существует непрерывная функция ϕ:Y→X\phi : Y \to X такая, что τ(u)=u∘ϕ\tau (u) = u \circ \phi для каждой uu из C(X)C(X). Покажите, что τ\tau инъективен тогда и только тогда, когда ϕ\phi сюръективен, и в этом случае τ\tau является изометрией. Покажите, что τ\tau сюръективен тогда и только тогда, когда ϕ\phi инъективен.

?
Задача IX.7.10

Пусть XX и ZZ — компактные пространства, Y=X×ZY = X \times Z, и пусть ϕ:Y→X\phi : Y \to X — проекция на первую координату. Определим τ:C(X)→C(Y)\tau : C(X) \to C(Y) формулой τ(u)=u∘ϕ\tau (u) = u \circ \phi. Опишите образ τ\tau.

?
Задача IX.7.11

Примем обозначения упражнения 9. Определим отношение эквивалентности ∼\sim на YY, полагая y1∼y2y_1 \sim y_2 тогда и только тогда, когда ϕ(y1)=ϕ(y2)\phi (y_1) = \phi (y_2). Пусть q:Y→Y/∼q: Y \to Y/{\sim } — естественное отображение, а q∗:C(Y/∼)→C(Y)q^*: C(Y/{\sim }) \to C(Y) — индуцированный гомоморфизм. Покажите, что существует ∗*-эпиморфизм ρ:C(X)→C(Y/∼)\rho : C(X) \to C(Y/{\sim }) такой, что диаграмма

C(X)→ τ C(Y)ρ↓↑q∗C(Y/∼) \begin{array}{ccc} C(X) & \xrightarrow {\ \tau \ } & C(Y) \\ {\scriptstyle \rho } \downarrow & & \uparrow {\scriptstyle q^*} \\ & C(Y/{\sim }) & \end{array}

коммутативна. Найдите соответствующее вложение Y/∼→XY/{\sim } \to X.

?
Задача IX.7.12

Если XX — произвольное компактное метрическое пространство, покажите, что существует вполне несвязное компактное метрическое пространство YY и непрерывная сюръекция ϕ:Y→X\phi : Y \to X. (Указание: Начните с вложения C(X)C(X) в B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}) и используйте упражнения 7 и 8.)

?
Задача IX.7.13

Покажите, что каждое вполне несвязное компактное метрическое пространство является непрерывным образом канторова троичного множества. (Сделайте это непосредственно; не пытайтесь использовать C∗C^*-алгебры.) Объедините это с упражнением 12, чтобы получить, что каждое компактное метрическое пространство является непрерывным образом канторова множества.

?
Задача IX.7.14

Если A\mathcal{A} — абелева алгебра фон Неймана, а XX — её пространство максимальных идеалов, то XX является стоуновым пространством; то есть, если UU открыто в XX, то cl⁡U\operatorname {cl} U открыто в XX.

?
Задача IX.7.15

В этом упражнении используется упражнение 2.21, где было доказано, что B1∗=B\mathcal{B}_1^* = \mathcal{B}. Говоря о слабой* топологии на B=B(H)\mathcal{B} = \mathcal{B}(\mathcal{H}), мы имеем в виду топологию, которую B\mathcal{B} имеет как банахово сопряжённое к B1\mathcal{B}_1.

?
(a)

Покажите, что на ограниченных подмножествах B\mathcal{B} слабая* топология == WOT.

(b)

Покажите, что C∗C^*-подалгебра в B(H)\mathcal{B}(\mathcal{H}) является алгеброй фон Неймана тогда и только тогда, когда A\mathcal{A} слабо* замкнута.

(c)

Покажите, что WOT и слабая* топология совпадают на абелевых алгебрах фон Неймана (см. Takeda [1951] и Pallu de la Barriere [1954]).

(d)

Приведите пример слабо* замкнутого подпространства в B\mathcal{B}, которое не замкнуто в WOT. (См. von Neumann [1936].)

Задача IX.7.16

Докажите утверждение, обратное к следующему предложению (предложение 7.6: если e0e_0 — циклический вектор для A\mathcal{A}, то e0e_0 — разделяющий вектор для A′\mathcal{A}').

?
§
IX.8 · Функциональное исчисление для нормальных операторов: завершение истории[15/0%]
Задача IX.8.1

Что такое скалярнозначная спектральная мера для диагонализируемого нормального оператора?

?
Задача IX.8.2

Пусть N1N_1 и N2N_2 — нормальные операторы со скалярнозначными спектральными мерами μ1\mu_1 и μ2\mu_2. Что такое скалярная спектральная мера для N1⊕N2N_1 \oplus N_2?

?
Задача IX.8.3

Пусть {en}\{ e_n\} — ортонормированный базис в H\mathcal{H}, и положим μ(Δ)=∑n=1∞2−n∥E(Δ)en∥2\mu (\Delta ) = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \left\| E(\Delta ) e_n\right\|^2. Покажите, что μ\mu — скалярнозначная спектральная мера для NN.

?
Задача IX.8.4

Приведите пример нормального оператора на несепарабельном пространстве, который не имеет скалярнозначной спектральной меры.

?
Задача IX.8.5

Докажите, что отображение ρ\rho в следующей теореме (теорема 8.10: если NN — нормальный оператор на сепарабельном гильбертовом пространстве H\mathcal{H} и μ\mu — скалярнозначная спектральная мера для NN, то существует корректно определённое отображение ρ:L∞(μ)→W∗(N)\rho : L^\infty (\mu ) \to W^*(N), задаваемое формулой ρ(ϕ)=ϕ(N)\rho (\phi ) = \phi (N), такое что (a) ρ\rho является ∗*-изоморфизмом и изометрией; (b) ρ:(L∞(μ),слабая*)→(W∗(N),WOT)\rho : (L^\infty (\mu ), \text{слабая*}) \to (W^*(N), \text{WOT}) является гомеоморфизмом) является изометрией, не используя (VIII.4.8).

?
Задача IX.8.6

Докажите следующее предложение (предложение 8.12). Пусть NN — нормальный оператор на сепарабельном пространстве со скалярнозначной спектральной мерой μ\mu, и пусть ϕ∈L∞(μ)\phi \in L^\infty (\mu ) (тогда по теореме об отображении спектра σ(ϕ(N))\sigma (\phi (N)) является μ\mu-существенной областью значений ϕ\phi). Если N=∫z dEN = \int z \, dE, то μ∘ϕ−1\mu \circ \phi^{-1} — скалярнозначная спектральная мера для ϕ(N)\phi (N), а E∘ϕ−1E \circ \phi^{-1} — её спектральная мера.

?
Задача IX.8.7

Покажите, что если μ\mu и ν\nu — финитные меры на C\mathbb {C}, то следующие утверждения эквивалентны:

  1. Nμ⊕NνN_\mu \oplus N_\nu ∗*-циклический;

  2. W∗(Nμ⊕Nν)=W∗(Nμ)⊕W∗(Nν)W^*(N_\mu \oplus N_\nu ) = W^*(N_\mu ) \oplus W^*(N_\nu );

  3. μ⊥ν\mu \perp \nu.

?
Задача IX.8.8

Если MM и NN — нормальные операторы со скалярнозначными спектральными мерами μ\mu и ν\nu соответственно, покажите, что следующие условия эквивалентны:

  1. W∗(M⊕N)=W∗(M)⊕W∗(N)W^*(M \oplus N) = W^*(M) \oplus W^*(N);

  2. {M⊕N}′={M}′⊕{N}′\{ M \oplus N\} ' = \{ M\} ' \oplus \{ N\} ';

  3. не существует оператора AA, отличного от A=0A = 0, такого что MA=ANMA = AN;

  4. μ⊥ν\mu \perp \nu.

?
Задача IX.8.9

Если MM и NN — нормальные операторы, покажите, что C∗(M⊕N)=C∗(M)⊕C∗(N)C^*(M \oplus N) = C^*(M) \oplus C^*(N) тогда и только тогда, когда σ(M)∩σ(N)=∅\sigma (M) \cap \sigma (N) = \varnothing.

?
Задача IX.8.10

Приведите пример двух нормальных операторов MM и NN таких, что W∗(M⊕N)=W∗(M)⊕W∗(N)W^*(M \oplus N) = W^*(M) \oplus W^*(N), но C∗(M⊕N)≠C∗(M)⊕C∗(N)C^*(M \oplus N) \neq C^*(M) \oplus C^*(N). Более того, найдите MM и NN такие, что W∗(M⊕N)W^*(M \oplus N) распадается, но σ(M)=σ(N)\sigma (M) = \sigma (N).

?
Задача IX.8.11

Если UU — двусторонний сдвиг, а VV — произвольный унитарный оператор, покажите, что W∗(U⊕V)=W∗(U)⊕W∗(V)W^*(U \oplus V) = W^*(U) \oplus W^*(V) тогда и только тогда, когда VV имеет спектральную меру, сингулярную относительно длины дуги на ∂D\partial \mathbb {D}. (См. упражнение 3.7.)

?
Задача IX.8.12

Если A\mathcal{A} — абелева алгебра фон Неймана на сепарабельном пространстве, покажите, что существует финитная мера μ\mu на R\mathbb {R} такая, что A\mathcal{A} ∗*-изоморфна L∞(μ)L^\infty (\mu ). (Указание: используйте упражнение 7.7.)

?
Задача IX.8.13

(В этом упражнении предполагается знакомство с упражнением 2.21.) Пусть N=∫z dE(z)N = \int z \, dE(z) — нормальный оператор со скалярнозначной спектральной мерой μ\mu, и определим α:B1(H)→L1(μ)\alpha : \mathcal{B}_1(\mathcal{H}) \to L^1(\mu ) формулой α(T)(Δ)=tr⁡(TE(Δ))\alpha (T)(\Delta ) = \operatorname {tr}(TE(\Delta )). Покажите, что α\alpha — сюръективное сжатие. Чему равно α∗\alpha^*? [L1(μ)L^1(\mu ) отождествляется, посредством теоремы Радона--Никодима, с множеством комплекснозначных мер, абсолютно непрерывных относительно μ\mu.]

?
Задача IX.8.14

Пусть π:B(H)→B(H)/B0(H)\pi : \mathcal{B}(\mathcal{H}) \to \mathcal{B}(\mathcal{H})/\mathcal{B}_0(\mathcal{H}) — естественное отображение, и пусть A∈B(H)A \in \mathcal{B}(\mathcal{H}).

?
(a)

Если π(A)\pi (A) эрмитов, покажите, что существует эрмитов оператор BB такой, что A−BA - B компактен.

(b)

Если π(A)\pi (A) положителен, покажите, что существует положительный оператор BB такой, что A−BA - B компактен. (См. упражнение XI.3.14.)

Задача IX.8.15

(Л. Г. Браун) Если π:B(H)→B(H)/B0(H)\pi : \mathcal{B}(\mathcal{H}) \to \mathcal{B}(\mathcal{H})/\mathcal{B}_0(\mathcal{H}) — естественное отображение, а AA и BB — эрмитовы операторы такие, что π(A)≤0≤π(B)\pi (A) \leq 0 \leq \pi (B), то существует эрмитов компактный оператор KK такой, что A≤K≤BA \leq K \leq B.

?
§
IX.9 · Инвариантные подпространства нормальных операторов[7/0%]
Задача IX.9.1

(Андо) Используя следующий результат (следствие 9.6: если NN — нормальный оператор и μ\mu — скалярнозначная спектральная мера для NN, то NN редуктивен тогда и только тогда, когда P∞(μ)=L∞(μ)P^\infty (\mu ) = L^\infty (\mu )), покажите, что каждый компактный нормальный оператор редуктивен.

?
Задача IX.9.2

Определите все инвариантные подпространства компактного нормального оператора.

?
Задача IX.9.3

(Андо) Покажите, что каждый редуктивный компактный оператор нормален. (См. также Rosenthal [1968].)

?
Задача IX.9.4

Покажите, что оператор AA редуктивен тогда и только тогда, когда Lat⁡A=Lat⁡A∗\operatorname {Lat} A = \operatorname {Lat} A^*.

?
Задача IX.9.5

Пусть NN — нормальный оператор на гильбертовом пространстве H\mathcal{H}, пусть R\mathcal{R} — инвариантное подпространство для NN, и пусть S=N∣RS = N | \mathcal{R}. Покажите, что SS нормален тогда и только тогда, когда R\mathcal{R} — приводящее подпространство для NN.

?
Задача IX.9.6

Пусть μ\mu — финитная регулярная борелевская мера на C\mathbb {C}, и пусть P2(μ)P^2(\mu ) обозначает замыкание в L2(μ)L^2(\mu ) аналитических многочленов; то есть P2(μ)P^2(\mu ) — замкнутая линейная оболочка {zn:n≥0}\{ z^n : n \geq 0\}. Покажите, что P2(μ)P^2(\mu ) инвариантно относительно NμN_\mu и что Nμ∣P2(μ)N_\mu | P^2(\mu ) нормален тогда и только тогда, когда P2(μ)=L2(μ)P^2(\mu ) = L^2(\mu ).

?
Задача IX.9.7

В обозначениях упражнения 6 покажите, что если R\mathcal{R} — приводящее подпространство для NμN_\mu и P2(μ)⊆RP^2(\mu ) \subseteq \mathcal{R}, то R=L2(μ)\mathcal{R} = L^2(\mu ).

?
§
IX.10 · Теория кратности для нормальных операторов: полная система унитарных инвариантов[14/0%]
Задача IX.10.1

Пусть AA и BB — операторы на H\mathcal{H} и K\mathcal{K} соответственно. Пусть H0\mathcal{H}_0 и K0\mathcal{K}_0 — приводящие подпространства для AA и BB, и предположим, что A≅B∣K0A \cong B | \mathcal{K}_0 и B≅A∣H0B \cong A | \mathcal{H}_0. Покажите, что A≅BA \cong B.

?
Задача IX.10.2

Пусть μ1,μ2,…\mu_1, \mu_2, \dots — финитные меры на C\mathbb {C} такие, что μn+1≪μn\mu_{n+1} \ll \mu_n для всех nn. Покажите, что если MM — произвольный нормальный оператор, спектральная мера которого абсолютно непрерывна относительно каждой μn\mu_n, то

Nμ1⊕Nμ2⊕⋯≅(Nμ1⊕Nμ2⊕⋯ )⊕M. N_{\mu _1} \oplus N_{\mu _2} \oplus \cdots \cong (N_{\mu _1} \oplus N_{\mu _2} \oplus \cdots ) \oplus M.
?
Задача IX.10.3

Если μ\mu — мера Лебега на [0,1][0, 1], покажите, что Nμ≅NμpN_\mu \cong N_\mu^p для 0<p<∞0 < p < \infty.

?
Задача IX.10.4

Пусть μ\mu — мера Лебега на [0,1][0, 1]; охарактеризуйте функции ϕ\phi в L∞(μ)L^\infty (\mu ) такие, что Nμ≅ϕ(Nμ)N_\mu \cong \phi (N_\mu ).

?
Задача IX.10.5

Пусть μ\mu — мера площади на D\mathbb {D}; покажите, что NμN_\mu и Nμ2N_\mu^2 не унитарно эквивалентны.

?
Задача IX.10.6

Пусть μ\mu — мера Лебега на [0,1][0, 1], а ν\nu — мера Лебега на [−1,1][-1, 1]. Покажите, что Nν2≅Nμ⊕NμN_\nu^2 \cong N_\mu \oplus N_\mu. А что можно сказать про Nν3N_\nu^3?

?
Задача IX.10.7

Пусть μ\mu — мера Лебега на R\mathbb {R}, и N=N = умножение на sin⁡x\sin x на L2(μ)L^2(\mu ). Найдите разложения NN, полученные в теореме 10.1 и теореме 10.16, сформулированных ниже.

Теорема 10.1: (a) Если NN — нормальный оператор, то существует последовательность (возможно, конечная) мер {μn}\{ \mu_n\} на C\mathbb {C} такая, что μn+1≪μn\mu_{n+1} \ll \mu_n для всех nn и N≅Nμ1⊕Nμ2⊕⋯N \cong N_{\mu_1} \oplus N_{\mu_2} \oplus \cdots. (b) Если NN и {μn}\{ \mu_n\} такие же, как в (a), и M≅Nν1⊕Nν2⊕⋯M \cong N_{\nu_1} \oplus N_{\nu_2} \oplus \cdots, где νn+1≪νn\nu_{n+1} \ll \nu_n для всех nn, то N≅MN \cong M тогда и только тогда, когда [μn]=[νn][\mu_n] = [\nu_n] для всех nn.

Теорема 10.16: Если NN — нормальный оператор, то существуют взаимно сингулярные меры μ∞,μ1,μ2,…\mu_\infty , \mu_1, \mu_2, \dots (некоторые из которых могут быть нулевыми) такие, что

N≅Nμ∞(∞)⊕Nμ1⊕Nμ2(2)⊕⋯ . N \cong N_{\mu _\infty }^{(\infty )} \oplus N_{\mu _1} \oplus N_{\mu _2}^{(2)} \oplus \cdots .

Если MM — другой нормальный оператор с соответствующими мерами ν∞,ν1,ν2,…\nu_\infty , \nu_1, \nu_2, \dots, то N≅MN \cong M тогда и только тогда, когда [μn]=[νn][\mu_n] = [\nu_n] для 1≤n≤∞1 \leq n \leq \infty.

?
Задача IX.10.8

Если μ\mu — мера Лебега на R\mathbb {R}, и N=N = умножение на eixe^{ix} на L2(μ)L^2(\mu ), покажите, что N≅Nm(∞)N \cong N_m^{(\infty )}, где m=m = мера длины дуги на ∂D\partial \mathbb {D}.

?
Задача IX.10.9

Определим U:L2(R)→L2(R)U: L^2(\mathbb {R}) \to L^2(\mathbb {R}) формулой (Uf)(t)=f(t−1)(Uf)(t) = f(t - 1). Покажите, что UU унитарен, и найдите его скалярнозначную спектральную меру и функцию кратности.

?
Задача IX.10.10

Представьте NN так, как в следующей теореме (теорема 10.1(a): если NN — нормальный оператор, то существует последовательность (возможно, конечная) мер {μn}\{ \mu_n\} на C\mathbb {C} такая, что μn+1≪μn\mu_{n+1} \ll \mu_n для всех nn и N≅Nμ1⊕Nμ2⊕⋯N \cong N_{\mu_1} \oplus N_{\mu_2} \oplus \cdots), и найдите соответствующее представление для N⊕N=N(2)N \oplus N = N^{(2)}; для N(3)N^{(3)}; для N(∞)N^{(\infty )}. (Удивил ли вас результат для N(∞)N^{(\infty )}?)

?
Задача IX.10.11

Докажите результаты и решите упражнения из II.8.

?
Задача IX.10.12

Пусть NN — нормальный оператор; покажите, что N≅N(2)N \cong N^{(2)} тогда и только тогда, когда существует ∗*-циклический нормальный оператор MM такой, что N≅M(∞)N \cong M^{(\infty )}. Что это говорит о функции кратности для NN?

?
Задача IX.10.13

Пусть (X,Ω,μ)(X, \Omega , \mu ) — измеримое пространство такое, что L2(μ)L^2(\mu ) сепарабельно, пусть ϕ∈L∞(μ)\phi \in L^\infty (\mu ), и пусть N=MϕN = M_\phi на L2(μ)L^2(\mu ). Найдите разложения NN, полученные в теореме 10.1 и теореме 10.16, сформулированных ниже.

Теорема 10.1: (a) Если NN — нормальный оператор, то существует последовательность (возможно, конечная) мер {μn}\{ \mu_n\} на C\mathbb {C} такая, что μn+1≪μn\mu_{n+1} \ll \mu_n для всех nn и N≅Nμ1⊕Nμ2⊕⋯N \cong N_{\mu_1} \oplus N_{\mu_2} \oplus \cdots. (b) Если NN и {μn}\{ \mu_n\} такие же, как в (a), и M≅Nν1⊕Nν2⊕⋯M \cong N_{\nu_1} \oplus N_{\nu_2} \oplus \cdots, где νn+1≪νn\nu_{n+1} \ll \nu_n для всех nn, то N≅MN \cong M тогда и только тогда, когда [μn]=[νn][\mu_n] = [\nu_n] для всех nn.

Теорема 10.16: Если NN — нормальный оператор, то существуют взаимно сингулярные меры μ∞,μ1,μ2,…\mu_\infty , \mu_1, \mu_2, \dots (некоторые из которых могут быть нулевыми) такие, что

N≅Nμ∞(∞)⊕Nμ1⊕Nμ2(2)⊕⋯ . N \cong N_{\mu _\infty }^{(\infty )} \oplus N_{\mu _1} \oplus N_{\mu _2}^{(2)} \oplus \cdots .

Если MM — другой нормальный оператор с соответствующими мерами ν∞,ν1,ν2,…\nu_\infty , \nu_1, \nu_2, \dots, то N≅MN \cong M тогда и только тогда, когда [μn]=[νn][\mu_n] = [\nu_n] для 1≤n≤∞1 \leq n \leq \infty.

?
Задача IX.10.14

Пусть μ\mu — финитная мера на C\mathbb {C}, ϕ\phi — ограниченная борелевская функция на C\mathbb {C}, и предположим, что {Δn}\{ \Delta_n\} — попарно непересекающиеся борелевские множества такие, что ϕ\phi инъективна на каждом Δn\Delta_n и μ(C∖⋃n=1∞Δn)=0\mu (\mathbb {C} \setminus \bigcup_{n=1}^\infty \Delta_n) = 0. Пусть ϕn=ϕχΔn\phi_n = \phi \chi_{\Delta_n} и μn=μ∘ϕn−1\mu_n = \mu \circ \phi_n^{-1} для n≥1n \geq 1. Докажите, что MϕM_\phi на L2(μ)L^2(\mu ) унитарно эквивалентен ⨁n=1∞Nμn\bigoplus_{n=1}^\infty N_{\mu_n}.

?