Функциональное исчисление для нормальных операторов: завершение истории

Что такое скалярнозначная спектральная мера для диагонализируемого нормального оператора?

Пусть $N_1$ и $N_2$ — нормальные операторы со скалярнозначными спектральными мерами $\mu_1$ и $\mu_2$. Что такое скалярная спектральная мера для $N_1 \oplus N_2$?

Пусть $\{ e_n\}$ — ортонормированный базис в $\mathcal{H}$, и положим $\mu (\Delta ) = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \left\| E(\Delta ) e_n\right\|^2$. Покажите, что $\mu$ — скалярнозначная спектральная мера для $N$.

Приведите пример нормального оператора на несепарабельном пространстве, который не имеет скалярнозначной спектральной меры.

Докажите, что отображение $\rho$ в следующей теореме (теорема 8.10: если $N$ — нормальный оператор на сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ и $\mu$ — скалярнозначная спектральная мера для $N$, то существует корректно определённое отображение $\rho : L^\infty (\mu ) \to W^*(N)$, задаваемое формулой $\rho (\phi ) = \phi (N)$, такое что (a) $\rho$ является $*$-изоморфизмом и изометрией; (b) $\rho : (L^\infty (\mu ), \text{слабая*}) \to (W^*(N), \text{WOT})$ является гомеоморфизмом) является изометрией, не используя (VIII.4.8).

Докажите следующее предложение (предложение 8.12). Пусть $N$ — нормальный оператор на сепарабельном пространстве со скалярнозначной спектральной мерой $\mu$, и пусть $\phi \in L^\infty (\mu )$ (тогда по теореме об отображении спектра $\sigma (\phi (N))$ является $\mu$-существенной областью значений $\phi$). Если $N = \int z \, dE$, то $\mu \circ \phi^{-1}$ — скалярнозначная спектральная мера для $\phi (N)$, а $E \circ \phi^{-1}$ — её спектральная мера.

Покажите, что если $\mu$ и $\nu$ — финитные меры на $\mathbb {C}$, то следующие утверждения эквивалентны:

1. $N_\mu \oplus N_\nu$ $*$-циклический;

2. $W^*(N_\mu \oplus N_\nu ) = W^*(N_\mu ) \oplus W^*(N_\nu )$;

3. $\mu \perp \nu$.

Если $M$ и $N$ — нормальные операторы со скалярнозначными спектральными мерами $\mu$ и $\nu$ соответственно, покажите, что следующие условия эквивалентны:

1. $W^*(M \oplus N) = W^*(M) \oplus W^*(N)$;

2. $\{ M \oplus N\} ' = \{ M\} ' \oplus \{ N\} '$;

3. не существует оператора $A$, отличного от $A = 0$, такого что $MA = AN$;

4. $\mu \perp \nu$.

Если $M$ и $N$ — нормальные операторы, покажите, что $C^*(M \oplus N) = C^*(M) \oplus C^*(N)$ тогда и только тогда, когда $\sigma (M) \cap \sigma (N) = \varnothing$.

Приведите пример двух нормальных операторов $M$ и $N$ таких, что $W^*(M \oplus N) = W^*(M) \oplus W^*(N)$, но $C^*(M \oplus N) \neq C^*(M) \oplus C^*(N)$. Более того, найдите $M$ и $N$ такие, что $W^*(M \oplus N)$ распадается, но $\sigma (M) = \sigma (N)$.

Если $U$ — двусторонний сдвиг, а $V$ — произвольный унитарный оператор, покажите, что $W^*(U \oplus V) = W^*(U) \oplus W^*(V)$ тогда и только тогда, когда $V$ имеет спектральную меру, сингулярную относительно длины дуги на $\partial \mathbb {D}$. (См. упражнение 3.7.)

Если $\mathcal{A}$ — абелева алгебра фон Неймана на сепарабельном пространстве, покажите, что существует финитная мера $\mu$ на $\mathbb {R}$ такая, что $\mathcal{A}$ $*$-изоморфна $L^\infty (\mu )$. (Указание: используйте упражнение 7.7.)

(В этом упражнении предполагается знакомство с упражнением 2.21.) Пусть $N = \int z \, dE(z)$ — нормальный оператор со скалярнозначной спектральной мерой $\mu$, и определим $\alpha : \mathcal{B}_1(\mathcal{H}) \to L^1(\mu )$ формулой $\alpha (T)(\Delta ) = \operatorname {tr}(TE(\Delta ))$. Покажите, что $\alpha$ — сюръективное сжатие. Чему равно $\alpha^*$? [$L^1(\mu )$ отождествляется, посредством теоремы Радона--Никодима, с множеством комплекснозначных мер, абсолютно непрерывных относительно $\mu$.]

Пусть $\pi : \mathcal{B}(\mathcal{H}) \to \mathcal{B}(\mathcal{H})/\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$ — естественное отображение, и пусть $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$.

(Л. Г. Браун) Если $\pi : \mathcal{B}(\mathcal{H}) \to \mathcal{B}(\mathcal{H})/\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$ — естественное отображение, а $A$ и $B$ — эрмитовы операторы такие, что $\pi (A) \leq 0 \leq \pi (B)$, то существует эрмитов компактный оператор $K$ такой, что $A \leq K \leq B$.