Топологии на $\mathcal{B}(\mathcal{H})$

Пусть $\mathcal{A}$ — подалгебра $\mathcal{B}(\mathcal{H})$, содержащая $1$. Напомним, что для $1 \leq n \leq \infty$ через $\mathcal{H}^{(n)}$ обозначается прямая сумма $\mathcal{H}$ с самим собой $n$ раз, и если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, то $A^{(n)}$ — оператор на $\mathcal{H}^{(n)}$, определённый формулой $A^{(n)}(h_1, \dots , h_n) = (Ah_1, \dots , Ah_n)$; если $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{B}(\mathcal{H})$, то $\mathcal{S}^{(n)} \equiv \{ A^{(n)} : A \in \mathcal{S}\}$. Предложение 5.3 утверждает, что СОТ-замыкание $\mathcal{A}$ есть

Покажите, что если $B \in \text{СОТ-}\operatorname {cl} \mathcal{A}$, то $B$ принадлежит множеству, определённому выше.

Покажите, что $\mathcal{B}_{00}$ плотно по СОТ в $\mathcal{B}$.

Если $\{ A_k\}$ и $\{ B_k\}$ — последовательности в $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ такие, что $A_k \to A$ (в СОТ) и $B_k \to B$ (в СОТ), то $A_k B_k \to AB$ (в СОТ).

В обозначениях упражнения 3, покажите, что если $A_k \to A$ (в СОТ), то $A_k B_k \to AB$ (в СОТ).

Пусть $S$ — односторонний сдвиг на $l^2(\mathbb {N})$ (II.2.10). Исследуйте последовательности $\{ S^k\}$ и $\{ S^{*k}\}$ и их связь с упражнениями 3 и 4.

(Халмош) Зафиксируем ортонормированный базис $\{ e_n : n \geq 1\}$ для $\mathcal{H}$.