Банк задач по математике

Задача IX.6.1

Если $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{B}(\mathcal{H})$ , покажите, что $\mathcal{S}' = \mathcal{S}'''$ .

?

Задача IX.6.2

Если $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{B}(\mathcal{H})$ , покажите, что $\mathcal{S}'$ всегда является СОТ-замкнутой подалгеброй $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ .

?

Задача IX.6.3

(a)(b)

Докажите следующее предложение (предложение 6.1).

?

(a)

Если $A = A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots$ — ограниченный оператор на $\mathcal{H} = \mathcal{H}_1 \oplus \mathcal{H}_2 \oplus \cdots$ , а $B = [B_{ij}] \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ , то $AB = BA$ тогда и только тогда, когда $B_{ij} A_j = A_i B_{ij}$ для всех $i, j$ .

(b)

Если $B = [B_{ij}] \in \mathcal{B}(\mathcal{H}^{(n)})$ , то $BA^{(n)} = A^{(n)} B$ тогда и только тогда, когда $B_{ij} A = A B_{ij}$ для всех $i, j$ .

Задача IX.6.4

(a)(b)

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство размерности $\alpha$ , и определим $S: \mathcal{H}^{(\infty )} \to \mathcal{H}^{(\infty )}$ формулой $S(h_1, h_2, \dots ) = (0, h_1, h_2, \dots )$ . $S$ называется односторонним сдвигом кратности $\alpha$ .

?

(a)

Покажите, что $A = [A_{ij}] \in \{ S\} '$ тогда и только тогда, когда $A_{ij} = 0$ при $j > i$ и $A_{ij} = A_{i+1, j+1}$ при $i \geq j$ .

(b)

Покажите, что $A = [A_{ij}] \in \{ S\} ''$ тогда и только тогда, когда $A_{ij} = 0$ при $j > i$ и $A_{ij} = A_{i+1, j+1} =$ кратное тождественного оператора при $i \geq j$ .

Задача IX.6.5

Чему равно $\{ N_\mu \oplus N_\mu \} '$ ? $\{ N_\mu \oplus N_\mu \} ''$ ?

?

Задача IX.6.6

Если $\mathcal{A}$ — подалгебра $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ , покажите, что $\mathcal{A}$ является максимальной абелевой подалгеброй $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{A} = \mathcal{A}'$ .

?

Задача IX.6.7

Найдите ненормальный оператор, подобный нормальному оператору. (Указание: Попробуйте $\dim \mathcal{H} = 2$ .)

?

Задача IX.6.8

Пусть $\mu$ — мера с компактным носителем на $\mathbb {C}$ , а $\mathcal{X}$ — сепарабельное гильбертово пространство. Функция $f: \mathbb {C} \to \mathcal{X}$ является борелевской функцией, если $f^{-1}(G)$ — борелевское множество, когда $G$ слабо открыто в $\mathcal{X}$ . Определим $L^2(\mu , \mathcal{X})$ как классы эквивалентности борелевских функций $f: \mathbb {C} \to \mathcal{X}$ таких, что $\int \left\| f(x)\right\|^2 \, d\mu (x) < \infty$ . Определим $\left\langle f, g \right\rangle = \int \left\langle f(x), g(x) \right\rangle \, d\mu (x)$ для $f$ и $g$ из $L^2(\mu , \mathcal{X})$ .

?

(a)

Покажите, что $L^2(\mu , \mathcal{X})$ — гильбертово пространство. Определим $N$ на $L^2(\mu , \mathcal{X})$ формулой $(Nf)(z) = zf(z)$ .

(b)

Покажите, что $N$ — нормальный оператор и $\sigma (N) =$ носитель $\mu$ . Вычислите $N^*$ .

(c)

Покажите, что $N \cong N_\mu^{(\alpha )}$ , где $\alpha = \dim \mathcal{X}$ .

(d)

Найдите $\{ N\} '$ . (Указание: Используйте (6.1).)

(e)

Найдите $\{ N\} ''$ .

Задача IX.6.9

Пусть $\mathcal{H}$ сепарабельно с базисом $\{ e_n\}$ . Пусть $A$ — диагональный оператор на $\mathcal{H}$ , задаваемый формулой $Ae_n = \lambda_n e_n$ , где $\sup_n \left|\lambda_n\right| < \infty$ . Определите $\{ A\} '$ и $\{ A\} ''$ . Приведите необходимые и достаточные условия на $\{ \lambda_n\}$ , при которых $\{ A\} ' = \{ A\} ''$ .

?

Задача IX.6.10

Пусть $\mathcal{A}$ — $C^*$ -подалгебра $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ , но не предполагаем, что $\mathcal{A}$ содержит тождественный оператор. Пусть $\mathcal{M} = \bigvee \{ \operatorname {ran} A : A \in \mathcal{A}\}$ , и пусть $P =$ проекция $\mathcal{H}$ на $\mathcal{M}$ . Покажите, что $\text{СОТ-}\operatorname {cl} \mathcal{A} = \mathcal{A}'' P = P \mathcal{A}''$ .

?

Задача IX.6.11

Сформулируйте и докажите полярное разложение для операторов, действующих между различными гильбертовыми пространствами.

?

Задача IX.6.12

(a)(b)(c)

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — произвольное пространство с мерой, и пусть $L \in L^1(\mu )^*$ .

?

(a)

Покажите, что для каждой $f$ из $L^2(\mu )$ существует $h$ из $L^2(\mu )$ такая, что $L(g\bar{f}) = \int g \bar{h} \, d\mu$ для всех $g$ из $L^2(\mu )$ .

(b)

Если $f \in L^2(\mu )$ , пусть $Tf$ — функция $h$ из $L^2(\mu )$ , полученная в пункте (a). Покажите, что $T: L^2(\mu ) \to L^2(\mu )$ определяет ограниченный линейный оператор и $T$ коммутирует с $M_\phi$ для каждой $\phi$ из $L^\infty (\mu )$ .

(c)

В свете пунктов (a) и (b) сравните теорему 6.6 и пример 20.17 у Hewitt и Stromberg [1975].

Коммутирующие операторы