Банк задач по математике

Задача IX.2.1

Пусть $N$ — нормальный оператор на $\mathcal{H}$ со спектральной мерой $E$ . Покажите, что $\lambda \in \sigma_p(N)$ тогда и только тогда, когда $E(\{ \lambda \} ) \neq 0$ . Более того, если $\lambda \in \sigma_p(N)$ , то $E(\{ \lambda \} )$ является ортогональной проекцией на $\ker (N - \lambda )$ .

?

Задача IX.2.2

Пусть $N$ — нормальный оператор на $\mathcal{H}$ со спектральной мерой $E$ . Если $\Delta$ — открыто-замкнутое подмножество $\sigma (N)$ , покажите, что $E(\Delta )$ является идемпотентом Рисса, ассоциированным с $\Delta$ .

?

Задача IX.2.3

Докажите теорему II.5.1 и её следствия, используя спектральную теорему.

?

Задача IX.2.4

Докажите теорему II.7.6 и её следствия, используя спектральную теорему.

?

Задача IX.2.5

Выведите теорему II.7.11 как следствие следующего результата (теорема 2.3). Если $N$ — нормальный оператор на $\mathcal{H}$ со спектральной мерой $E$ , а $B(\sigma (N))$ — $C^*$ -алгебра ограниченных борелевских функций на $\sigma (N)$ , то отображение $\phi \mapsto \phi (N)$ является представлением $C^*$ -алгебры $B(\sigma (N))$ . Если $\{ \phi_i\}$ — сеть в $B(\sigma (N))$ такая, что $\int \phi_i \, d\mu \to 0$ для каждой $\mu$ из $M(\sigma (N))$ , то $\phi_i(N) \to 0$ (в СОТ). Это отображение единственно в том смысле, что если $\tau : B(\sigma (N)) \to \mathcal{B}(\mathcal{H})$ — представление такое, что $\tau (z) = N$ и $\tau (\phi_i) \to 0$ (в СОТ) всякий раз, когда $\{ \phi_i\}$ — ограниченная сеть в $B(\sigma (N))$ такая, что $\int \phi_i \, d\mu \to 0$ для каждой $\mu$ из $M(\sigma (N))$ , то $\tau (\phi ) = \phi (N)$ для всех $\phi$ из $B(\sigma (N))$ .

?

Задача IX.2.6

(a)(b)(c)

Проверьте утверждения из следующего примера (пример 2.5). Если $\mu$ — регулярная борелевская мера на $\mathbb {C}$ с компактным носителем $K$ , определим $N_\mu$ на $L^2(\mu )$ формулой $N_\mu f = zf$ для каждой $f$ из $L^2(\mu )$ . Легко проверить, что $N_\mu^* f = \bar{z} f$ , и, следовательно, $N_\mu$ нормален.

?

(a)

$\sigma (N_\mu ) = K =$ носитель $\mu$ .

(b)

Если для ограниченной борелевской функции $\phi$ мы определим $M_\phi$ на $L^2(\mu )$ формулой $M_\phi f = \phi f$ , то $\phi (N_\mu ) = M_\phi$ .

(c)

Если $E$ — спектральная мера для $N_\mu$ , то $E(\Delta ) = M_{\chi_\Delta }$ .

Задача IX.2.7

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — произвольное $\sigma$ -конечное пространство с мерой, и положим $\mathcal{H} = L^2(X, \Omega , \mu )$ . Для $\phi$ из $L^\infty (\mu ) \equiv L^\infty (X, \Omega , \mu )$ определим $M_\phi$ на $\mathcal{H}$ формулой $M_\phi f = \phi f$ ; тогда $M_\phi$ нормален, причём $M_\phi^* = M_{\bar\phi }$ , и $\sigma (M_\phi ) = \operatorname {ess-ran}(\phi )$ — существенная область значений $\phi$ , определяемая как

\operatorname {ess-ran}(\phi ) \equiv \bigcap \{ \operatorname {cl}(\phi (\Delta )) : \Delta \in \Omega \text{ и } \mu (X \setminus \Delta ) = 0\} .

Проверьте следующее утверждение (пример 2.6(e)). Если $E$ — спектральная мера для $M_\phi$ [так что $E$ определена на борелевских подмножествах $\sigma (M_\phi ) = \operatorname {ess-ran}(\phi ) \subseteq \mathbb {C}$ ], то для каждого борелевского подмножества $\Delta$ множества $\sigma (M_\phi )$

E(\Delta ) = M_{\chi _{\phi ^{-1}(\Delta )}}.

?

Задача IX.2.8

Пусть $N$ — нормальный оператор на $\mathcal{H}$ со спектральной мерой $E$ . Покажите, что если $\mathcal{H}$ сепарабельно, то существует не более чем счётное число точек $\{ z_n\}$ из $\sigma (N)$ таких, что $E(z_n) \neq 0$ . По упражнению 1, это собственные значения $N$ .

?

Задача IX.2.9

(a)(b)(c)

Покажите, что нормальный оператор $N$ является

?

(a)

эрмитовым тогда и только тогда, когда $\sigma (N) \subseteq \mathbb {R}$ ;

(b)

положительным тогда и только тогда, когда $\sigma (N) \subseteq [0, \infty )$ ;

(c)

унитарным тогда и только тогда, когда $\sigma (N) \subseteq \partial \mathbb {D}$ .

Задача IX.2.10

(a)(b)(c)(d)

Пусть $A$ — эрмитов оператор со спектральной мерой $E$ на сепарабельном пространстве. Для каждого действительного числа $t$ определим проекцию $P(t) = E(-\infty , t)$ . Покажите:

?

(a)

$P(s) \leq P(t)$ при $s \leq t$ ;

(b)

если $t_n \leq t_{n+1}$ и $t_n \to t$ , то $P(t_n) \to P(t)$ (в СОТ);

(c)

для всех точек $t$ , кроме, возможно, счётного числа, $P(t_n) \to P(t)$ (в СОТ), если $t_n \to t$ ;

(d)

для $f$ из $C(\sigma (A))$ , $f(A) = \int_{-\infty }^\infty f(t) \, dP(t)$ , где этот интеграл должен быть определён (читателем самостоятельно) в смысле Римана--Стилтьеса.

Задача IX.2.11

Пусть $N$ — нормальный оператор на $\mathcal{H}$ со спектральной мерой $E$ . Если $\sigma_p(N)$ — борелевское множество, покажите, что $E(\sigma (N) \setminus \sigma_p(N)) = 0$ тогда и только тогда, когда $N$ диагонализируем; то есть существует базис $\mathcal{H}$ , состоящий из собственных векторов $N$ . Если не предполагается, что $\sigma_p(N)$ является борелевским множеством, можно ли по-прежнему аналогичным образом охарактеризовать диагонализируемые нормальные операторы? Приведите пример нормального оператора $N$ такого, что $\sigma_p(N)$ не является борелевским множеством.

?

Задача IX.2.12

Пусть $N$ — нормальный оператор на $\mathcal{H}$ . Покажите, что если $N = U|N|$ ( $|N| = (N^*N)^{1/2}$ ) — полярное разложение $N$ , то $U = \phi (N)$ для некоторой борелевской функции $\phi$ на $\sigma (N)$ . Следовательно, $U|N| = |N|U$ (см. упражнение VIII.3.21).

?

Задача IX.2.13

Пусть $N$ — нормальный оператор на $\mathcal{H}$ . Покажите, что $N = W|N|$ для некоторого унитарного $W$ , являющегося функцией от $N$ .

?

Задача IX.2.14

Докажите, что если $A$ эрмитов, то $\exp (iA)$ унитарен. Верно ли обратное?

?

Задача IX.2.15

Пусть $N$ — нормальный оператор на $\mathcal{H}$ . Покажите, что существует нормальный оператор $M$ такой, что $M^2 = N$ и $M = \phi (N)$ для некоторой борелевской функции $\phi$ . Сколько существует таких нормальных операторов $M$ ?

?

Задача IX.2.16

Определим $N: L^2(\mathbb {R}) \to L^2(\mathbb {R})$ формулой $(Nf)(t) = f(t+1)$ . Покажите, что $N$ нормален, и найдите его спектральное разложение. (Здесь полезна задача (X.6.17).)

?

Задача IX.2.17

Предположим, что $N_1, \dots , N_d$ — нормальные операторы такие, что $N_j N_k^* = N_k^* N_j$ при $1 \leq j, k \leq d$ . Покажите, что существует подмножество $X$ множества $\mathbb {C}^d$ и спектральная мера $E$ , определённая на борелевских подмножествах $X$ , такие, что $N_k = \int z_k \, dE(z)$ при $1 \leq k \leq d$ ( $z_k =$ $k$ -я координатная функция) (см. упражнение VIII.2.2).

?

Задача IX.2.18

Если $N_1, \dots , N_d$ такие же, как в упражнении 17, и каждый из них компактен, покажите, что существует базис $\mathcal{H}$ , состоящий из собственных векторов для каждого $N_k$ . (Это одновременная диагонализация операторов $N_1, \dots , N_d$ .)

?

Задача IX.2.19

В этой задаче приводятся свойства операторов Гильберта--Шмидта (определяемых ниже).

?

(a)

Если $\{ e_i\}$ и $\{ f_j\}$ — два ортонормированных базиса $\mathcal{H}$ и $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ , то

\sum _i \left\| Ae_i\right\| ^2 = \sum _j \left\| Af_j\right\| ^2 = \sum _i \sum _j \left| \left\langle Ae_i, f_j \right\rangle \right|^2.

(b)

Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $\{ e_i\}$ — базис $\mathcal{H}$ , определим

\left\| A\right\| _{2} = \left[ \sum _i \left\| Ae_i\right\| ^2 \right]^{1/2}.

По пункту (a) $\left\| A\right\|_{2}$ не зависит от выбора базиса и, следовательно, определено корректно. Если $\left\| A\right\|_{2} < \infty$ , оператор $A$ называется оператором Гильберта–Шмидта. $\mathcal{B}_2 = \mathcal{B}_2(\mathcal{H})$ обозначает множество всех операторов Гильберта--Шмидта.

(c)

$\left\| A\right\| \leq \left\| A\right\|_{2}$ для каждого $A$ из $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ , и $\left\| \cdot \right\|_{2}$ является нормой на $\mathcal{B}_2$ .

(d)

Если $T \in \mathcal{B} = \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $A \in \mathcal{B}_2$ , то $\left\| TA\right\|_{2} \leq \left\| T\right\| \left\| A\right\|_{2}$ , $\left\| A^*\right\|_{2} = \left\| A\right\|_{2}$ и $\left\| AT\right\|_{2} \leq \left\| A\right\|_{2} \left\| T\right\|$ .

(e)

$\mathcal{B}_2$ — идеал в $\mathcal{B}$ , содержащий $\mathcal{B}_{00}$ — операторы конечного ранга.

(f)

$A \in \mathcal{B}_2$ тогда и только тогда, когда $\left|A\right| \equiv (A^*A)^{1/2} \in \mathcal{B}_2$ ; в этом случае $\left\| A\right\|_{2} = \left\| \left|A\right|\right\|_{2}$ .

(g)

$\mathcal{B}_2 \subseteq \mathcal{B}_0$ (компактные операторы); более того, если $A$ — компактный оператор, а $\lambda_1, \lambda_2, \dots$ — собственные значения $\left|A\right|$ , каждое повторённое столько раз, какова его кратность, то $A \in \mathcal{B}_2(\mathcal{H})$ тогда и только тогда, когда $\sum_{n=1}^\infty \lambda_n^2 < \infty$ . В этом случае $\left\| A\right\|_{2} = (\sum \lambda_n^2)^{1/2}$ .

(h)

Если $(X, \Omega , \mu )$ — пространство с мерой и $k \in L^2(\mu \times \mu )$ , пусть $K: L^2(\mu ) \to L^2(\mu )$ — интегральный оператор с ядром $k$ . Тогда $K \in \mathcal{B}_2(L^2(\mu ))$ и $\left\| K\right\|_{2} = \left\| k\right\|_{2}$ (см. предложение II.4.7 и лемму II.4.8).

(i)

Интерпретируйте пункт (h) для чисто атомического пространства с мерой.

Больше информации о $\mathcal{B}_2$ содержится в следующей задаче.

Задача IX.2.20

В этой задаче обсуждаются операторы со следом (ядерные операторы, определяемые ниже) и предполагается знание упражнения 19. $\mathcal{B}_1(\mathcal{H}) = \{ AB : A \text{ и } B \in \mathcal{B}_2(\mathcal{H})\}$ . Операторы, принадлежащие $\mathcal{B}_1(\mathcal{H})$ , называются ядерными операторами (операторами со следом), а $\mathcal{B}_1(\mathcal{H}) = \mathcal{B}_1$ называется классом операторов со следом.

?

(a)

Если $A \in \mathcal{B}_1(\mathcal{H})$ и $\{ e_i\}$ — базис, то $\sum \left| \left\langle Ae_i, e_i \right\rangle \right| < \infty$ . Более того, сумма $\sum \left\langle Ae_i, e_i \right\rangle$ не зависит от выбора базиса. (Указание: Если $A = C^*B$ , где $B, C \in \mathcal{B}_2$ , покажите, что $\left| \left\langle Ae_i, e_i \right\rangle \right| \equiv \frac{1}{2}(\left\| Be_i\right\|^2 + \left\| Ce_i\right\|^2)$ .)

(b)

Если $\{ e_i\}$ — базис $\mathcal{H}$ , определим $\operatorname {tr}: \mathcal{B}_1 \to \mathbb {C}$ формулой

\operatorname {tr}(A) = \sum _i \left\langle Ae_i, e_i \right\rangle .

По пункту (a) определение $\operatorname {tr}(A)$ не зависит от выбора базиса; $\operatorname {tr}(A)$ называется следом $A$ . Если $\dim \mathcal{H} < \infty$ , то $\operatorname {tr}(A)$ в точности равен сумме диагональных элементов любого матричного представления $A$ .

(c)

Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ , то следующие утверждения эквивалентны: (1) $A \in \mathcal{B}_1$ ; (2) $\left|A\right| = (A^*A)^{1/2} \in \mathcal{B}_1$ ; (3) $\left|A\right|^{1/2} \in \mathcal{B}_2$ ; (4) $\operatorname {tr}(\left|A\right|) < \infty$ .

(d)

Если $A \in \mathcal{B}_1$ и $T \in \mathcal{B}$ , то $AT$ и $TA$ принадлежат $\mathcal{B}_1$ и $\operatorname {tr}(AT) = \operatorname {tr}(TA)$ . Более того, $\operatorname {tr}: \mathcal{B}_1 \to \mathbb {C}$ — положительный линейный функционал такой, что если $A \in \mathcal{B}_1$ , $A \geq 0$ и $\operatorname {tr}(A) = 0$ , то $A = 0$ .

(e)

Если $A \in \mathcal{B}_1$ , определим $\left\| A\right\|_{1} \equiv \operatorname {tr}(\left|A\right|)$ . Если $A \in \mathcal{B}_1$ и $T \in \mathcal{B}$ , покажите, что $\left|\operatorname {tr}(TA)\right| \leq \left\| T\right\| \left\| A\right\|_{1}$ .

(f)

$\left\| A\right\|_{1} = \left\| A^*\right\|_{1}$ , если $A \in \mathcal{B}_1$ .

(g)

Если $T \in \mathcal{B}$ и $A \in \mathcal{B}_1$ , то $\left\| TA\right\|_{1} \leq \left\| T\right\| \left\| A\right\|_{1}$ и $\left\| AT\right\|_{1} \leq \left\| T\right\| \left\| A\right\|_{1}$ .

(h)

$\left\| \cdot \right\|_{1}$ является нормой на $\mathcal{B}_1$ . Она называется нормой следа.

(i)

$\mathcal{B}_1$ — идеал в $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ , содержащий $\mathcal{B}_{00}$ .

(j)

Если $A \in \mathcal{B}_1$ , а $\{ e_i\}$ и $\{ f_i\}$ — два базиса $\mathcal{H}$ , то $\sum_i \left| \left\langle Ae_i, f_i \right\rangle \right| \leq \left\| A\right\|_{1}$ .

(k)

$\mathcal{B}_1 \subseteq \mathcal{B}_0$ . Кроме того, если $A \in \mathcal{B}_0$ , а $\lambda_1, \lambda_2, \dots$ — собственные значения $\left|A\right|$ , каждое повторённое столько раз, какова его кратность, то $A \in \mathcal{B}_1$ тогда и только тогда, когда $\sum_{n=1}^\infty \lambda_n < \infty$ . В этом случае $\left\| A\right\|_{1} = \sum_{n=1}^\infty \lambda_n$ .

(l)

Если $A$ и $B \in \mathcal{B}_2$ , определим $(A, B) = \operatorname {tr}(B^*A)$ . Тогда $(\cdot , \cdot )$ — скалярное произведение на $\mathcal{B}_2$ , $\left\| \cdot \right\|_{2}$ — норма, определяемая этим скалярным произведением, и $\mathcal{B}_2$ полно относительно $\left\| \cdot \right\|_{2}$ . Другими словами, $\mathcal{B}_2$ — гильбертово пространство.

(m)

$(\mathcal{B}_1, \left\| \cdot \right\|_{1})$ — банахово пространство.

(n)

$\mathcal{B}_{00}$ плотно как в $\mathcal{B}_1$ , так и в $\mathcal{B}_2$ . (Подробнее об этом см. Ringrose [1971] и Schatten [1960].)

Задача IX.2.21

В этой задаче предполагается знание упражнения 20. Если $g, h \in \mathcal{H}$ , обозначим через $g \otimes h$ оператор ранга один, определённый формулой $(g \otimes h)(f) = \left\langle f, h \right\rangle g$ .

?

(a)

Если $g, h \in \mathcal{H}$ и $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ , то $\operatorname {tr}(A(g \otimes h)) = \left\langle Ag, h \right\rangle$ .

(b)

Если $T \in \mathcal{B}_1$ , то $\left\| T\right\|_{1} = \sup \{ \left|\operatorname {tr}(CT)\right| : C \in \mathcal{B}_0, \left\| C\right\| \leq 1\}$ .

(c)

Если $T \in \mathcal{B}_1$ , определим $L_T: \mathcal{B}_0 \to \mathbb {C}$ формулой $L_T(C) = \operatorname {tr}(TC)$ ( $= \operatorname {tr}(CT)$ ). Покажите, что отображение $T \mapsto L_T$ является изометрическим изоморфизмом $\mathcal{B}_1$ на $\mathcal{B}_0^*$ .

(d)

Если $B \in \mathcal{B}$ , определим $F_B: \mathcal{B}_1 \to \mathbb {C}$ формулой $F_B(T) = \operatorname {tr}(BT)$ . Покажите, что отображение $B \mapsto F_B$ является изометрическим изоморфизмом $\mathcal{B}$ на $\mathcal{B}_1^*$ .

(e)

Если $L \in \mathcal{B}^*$ , покажите, что $L = L_0 + L_1$ , где $L_0, L_1 \in \mathcal{B}^*$ , $L_1(B) = \operatorname {tr}(BT)$ для некоторого $T$ из $\mathcal{B}_1$ , а $L_0(C) = 0$ для каждого компактного оператора $C$ . Покажите, что $\left\| L\right\| = \left\| L_0\right\| + \left\| L_1\right\|$ и что $L_0$ и $L_1$ единственны. Приведите необходимые и достаточные условия на $\mathcal{H}$ для того, чтобы $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ было рефлексивным банаховым пространством.

Задача IX.2.22

Докажите, что если $U$ — произвольный унитарный оператор на $\mathcal{H}$ , то существует непрерывная функция $u: [0, 1] \to \mathcal{B}(\mathcal{H})$ такая, что $u(t)$ унитарен при всех $t$ , $u(0) = U$ и $u(1) = 1$ .

?

Задача IX.2.23

Если $N$ нормален, покажите, что существует последовательность обратимых нормальных операторов, сходящаяся к $N$ .

?

Спектральная теорема