Некоторые приложения спектральной теоремы

Если $N$ — нормальный оператор, покажите, что $\operatorname {ran} N$ замкнут тогда и только тогда, когда $0$ не является предельной точкой $\sigma (N)$.

Приведите пример ненормального оператора $A$ такого, что $0$ — изолированная точка $\sigma (A)$ и $\operatorname {ran} A$ замкнут. Приведите пример ненормального оператора $B$ такого, что $\operatorname {ran} B$ замкнут, а $0$ не является изолированной точкой $\sigma (B)$.

Если $\mathcal{H}$ — несепарабельное гильбертово пространство, найдите пример нетривиального замкнутого идеала $\mathcal{B}(\mathcal{H})$, отличного от $\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — пространство с мерой, полученное в доказательстве следующей теоремы (теорема 4.6: если $N$ — нормальный оператор на $\mathcal{H}$, то существует пространство с мерой $(X, \Omega , \mu )$ и функция $\phi$ из $L^\infty (X, \Omega , \mu )$ такие, что $N$ унитарно эквивалентен $M_\phi$ на $L^2(X, \Omega , \mu )$), и покажите, что $L^1(X, \Omega , \mu )^*$ изометрически изоморфно $L^\infty (X, \Omega , \mu )$.

Покажите, что $\mathcal{H}$ сепарабельно тогда и только тогда, когда каждая совокупность попарно ортогональных проекций в $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ счётна.

Если $(X, \Omega , \mu )$ — пространство с мерой, то $(X, \Omega , \mu )$ $\sigma$-конечно или $L^2(\mu )$ конечномерно тогда и только тогда, когда каждая совокупность попарно ортогональных проекций в $\{ M_\phi \in L^\infty (\mu )\}$ счётна.

Если $N = \int z \, dE(z)$ и $\varepsilon > 0$, покажите, что $\operatorname {ran} E(\{ z : \left|z\right| > \varepsilon \} ) \subseteq \operatorname {ran} N$.

(Калкин) Пусть $\mathcal{M}$ — линейное многообразие в $\mathcal{H}$; покажите, что $\mathcal{M}$ обладает тем свойством, что $\mathcal{M}$ не содержит замкнутых бесконечномерных подпространств тогда и только тогда, когда всякий раз, когда $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $\operatorname {ran} A \subseteq \mathcal{M}$, оператор $A$ компактен.

Покажите, что крайними точками множества $\{ A \in \mathcal{B}(\mathcal{H}) : 0 \leq A \leq 1\}$ являются проекции.

(Халмош) Если $N$ — нормальный оператор, покажите, что существует эрмитов оператор $A$ и непрерывная функция $f$ такие, что $N = f(A)$. (Указание: Используйте следующий результат, теорему 4.6. Если $N$ — нормальный оператор на $\mathcal{H}$, то существует пространство с мерой $(X, \Omega , \mu )$ и функция $\phi$ из $L^\infty (X, \Omega , \mu )$ такие, что $N$ унитарно эквивалентен $M_\phi$ на $L^2(X, \Omega , \mu )$.)