Спектральные меры и представления коммутативных C*-алгебр

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство и пусть $\{ A_i\}$ — сеть в $\mathcal{B}(\mathcal{H})$. Докажите следующие утверждения.

Покажите, что шар $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ WOT-компактен.

Покажите, что $\operatorname {Re} \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $\mathcal{B}(\mathcal{H})_+$ WOT- и SOT-замкнуты.

Если $L: \mathcal{B}(\mathcal{H}) \to \mathbb {C}$ — линейный функционал, покажите, что следующие утверждения эквивалентны:

1. $L$ SOT-непрерывен;

2. $L$ WOT-непрерывен;

3. существуют векторы $h_1, \dots , h_n, g_1, \dots , g_n$ из $\mathcal{H}$ такие, что $L(A) = \sum_{j=1}^n \left\langle Ah_j, g_j \right\rangle$.

Покажите, что выпуклое подмножество $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ WOT-замкнуто тогда и только тогда, когда оно SOT-замкнуто.

Проверьте следующее утверждение (Пример 1.5). Если $\{ E_n\}$ — последовательность попарно ортогональных проекций на $\mathcal{H}$, то $\sum_1^\infty E_n$ сходится (SOT) к проекции $\mathcal{H}$ на $\bigvee \{ E_n(\mathcal{H}): n \geq 1\}$.

Проверьте утверждения, сделанные в следующих трёх примерах.

• (Пример 1.6) Пусть $X$ — компактное множество, $\Omega$ — борелевские подмножества $X$, $\mu$ — мера на $\Omega$, и $\mathcal{H} = L^2(\mu )$. Для $\Delta$ из $\Omega$ пусть $E(\Delta ) =$ умножение на $\chi_\Delta$, характеристическую функцию $\Delta$. Тогда $E$ является спектральной мерой для $(X, \Omega , \mathcal{H})$.

• (Пример 1.7) Если $E$ — спектральная мера для $(X, \Omega , \mathcal{H})$, то инфляция $E^{(n)}$ меры $E$, определённая как $E^{(n)}(\Delta ) = E(\Delta )^{(n)}$, является спектральной мерой для $(X, \Omega , \mathcal{H}^{(n)})$.

• (Пример 1.8) Пусть $X$ — произвольное множество, $\Omega =$ все подмножества $X$, $\mathcal{H} =$ произвольное сепарабельное гильбертово пространство, и зафиксируем последовательность $\{ x_n\}$ в $X$. Если $\{ e_1, e_2, \dots \}$ — некоторый ортонормированный базис $\mathcal{H}$, определим $E(\Delta ) =$ проекция на $\bigvee \{ e_n : x_n \in \Delta \}$. Тогда $E$ является спектральной мерой для $(X, \Omega , \mathcal{H})$.

Для спектральных мер из (1.6), (1.7) и (1.8) укажите соответствующие представления.

Если $\{ E_i\}$ — сеть проекций и $E$ — проекция, покажите, что $E_i \to E$ (WOT) тогда и только тогда, когда $E_i \to E$ (SOT).

Для представления из (VIII.5.5) найдите соответствующую спектральную меру.

В Примере VIII.5.4 представление не совсем покрывается Теоремой 1.14, поскольку это представление $L^\infty (\mu )$, а не $C(X)$. Тем не менее это представление задаётся спектральной мерой, определённой на $\Omega$. Найдите её.

Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство и пусть $\{ x_n\}$ — последовательность в $X$. Пусть $\{ e_n\}$ — ортонормированный базис $\mathcal{H}$, и для каждого $u$ из $C(X)$ определим $\rho (u)$ в $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ формулой $\rho (u) e_n = u(x_n) e_n$. Покажите, что $\rho$ является представлением, и найдите соответствующую спектральную меру.

Представление $\rho : \mathcal{A} \to \mathcal{B}(\mathcal{H})$ называется неприводимым, если единственные проекции в $\mathcal{B}(\mathcal{H})$, коммутирующие с каждым $\rho (a)$, $a$ из $\mathcal{A}$, — это $0$ и $1$. Докажите, что если $\mathcal{A}$ абелева и $\rho$ — неприводимое представление $\mathcal{A}$, то $\dim \mathcal{H} = 1$. Найдите соответствующую спектральную меру.

Покажите, что представление $\rho : C(X) \to \mathcal{B}(\mathcal{H})$ инъективно тогда и только тогда, когда $E(G) \neq 0$ для каждого непустого открытого множества $G$, где $E$ — соответствующая спектральная мера.

Пусть $\{ A_i\}$ — сеть эрмитовых операторов на $\mathcal{H}$, и предположим, что существует эрмитов оператор $T$ такой, что $A_i \leq T$ для всех $i$. Если $\{ \left\langle A_i h, h \right\rangle \}$ — возрастающая сеть в $\mathbb {R}$ для каждого $h$ из $\mathcal{H}$, то существует эрмитов оператор $A$ такой, что $A_i \to A$ (в СОТ).

Покажите, что существует сжатие $\tau : \mathcal{B}(\mathcal{H})^{**} \to \mathcal{B}(\mathcal{H})$ такое, что $\tau (T) = T$ для $T$ из $\mathcal{B}(\mathcal{H})$. Если $\rho : C(X) \to \mathcal{B}(\mathcal{H})$ — представление, покажите, что отображение $\tilde\rho : B(X) \to \mathcal{B}(\mathcal{H})$, построенное в доказательстве теоремы 1.14 (единственное продолжение $\rho$ на ограниченные борелевские функции $B(X)$, определяемое соотношением $\left\langle \tilde\rho (\phi ) g, h \right\rangle = \int \phi \, d\mu_{g,h}$ для всех $g, h$ из $\mathcal{H}$, где $\mu_{g,h} \in M(X)$ — мера, представляющая $u \mapsto \left\langle \rho (u) g, h \right\rangle$), задаётся формулой $\tilde\rho (\phi ) = \tau \circ \rho^{**}(\phi )$.