Коммутативные алгебры фон Неймана

Докажите следующее предложение (предложение 7.3).

Докажите следующее предложение (предложение 7.4). Пусть $\mathcal{A}_j$ — алгебра фон Неймана на $\mathcal{H}_j$, $j = 1, 2$. Если $U: \mathcal{H}_1 \to \mathcal{H}_2$ — изоморфизм такой, что $U \mathcal{A}_1 U^{-1} = \mathcal{A}_2$, то $U \mathcal{A}_1' U^{-1} = \mathcal{A}_2'$.

Почему $\mathcal{A}_\mu$ и $\mathcal{A}_\mu^{(2)}$ не являются пространственно изоморфными?

Покажите, что если $X$ — произвольное компактное метрическое пространство, то существует сепарабельное гильбертово пространство $\mathcal{H}$ и $*$-мономорфизм $\tau : C(X) \to \mathcal{B}(\mathcal{H})$. Найдите спектральную меру для $\tau$.

Пусть $\mathcal{A}$ — абелева $C^*$-подалгебра $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ такая, что $\mathcal{A}'$ не содержит несчётной совокупности попарно ортогональных проекций. Покажите, что следующие утверждения эквивалентны:

1. $\mathcal{A}$ — максимальная абелева алгебра фон Неймана;

2. $\mathcal{A} = \mathcal{A}'$;

3. $\mathcal{A}$ имеет циклический вектор и СОТ-замкнута;

4. существует конечное пространство с мерой $(X, \Omega , \mu )$ и изоморфизм $U: L^2(\mu ) \to \mathcal{H}$ такие, что $U \mathcal{A}_\mu U^{-1} = \mathcal{A}$.

Пусть $\{ P_n\}$ — последовательность коммутирующих проекций в $\mathcal{B}(\mathcal{H})$, и положим $A = \sum_{n=1}^\infty 3^{-n}(2P_n - 1)$. Покажите, что $C^*(A)$ является $C^*$-алгеброй, порождённой $\{ P_n\}$. (Видите ли вы связь между $A$ и функцией Кантора--Лебега?)

Если $\mathcal{A}$ — абелева алгебра фон Неймана на сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, покажите, что существует эрмитов оператор $A$ такой, что $\mathcal{A}$ равна наименьшей алгебре фон Неймана, содержащей $A$. (Указание: Пусть $\{ P_n\}$ — счётное СОТ-плотное подмножество множества проекций в $\mathcal{A}$, и используйте упражнение 6. Это доказательство принадлежит Rickart [1960], pp. 293--294. См. также Jenkins [1972].)

Если $X$ — компактное пространство, покажите, что $C(X)$ порождается как $C^*$-алгебра своими характеристическими функциями тогда и только тогда, когда $X$ вполне несвязно. Если $A$ такой же, как в упражнении 6, покажите, что $\sigma (A)$ вполне несвязно.

Если $X$ и $Y$ — компактные пространства, а $\tau : C(X) \to C(Y)$ — гомоморфизм с $\tau (1) = 1$, покажите, что существует непрерывная функция $\phi : Y \to X$ такая, что $\tau (u) = u \circ \phi$ для каждой $u$ из $C(X)$. Покажите, что $\tau$ инъективен тогда и только тогда, когда $\phi$ сюръективен, и в этом случае $\tau$ является изометрией. Покажите, что $\tau$ сюръективен тогда и только тогда, когда $\phi$ инъективен.

Пусть $X$ и $Z$ — компактные пространства, $Y = X \times Z$, и пусть $\phi : Y \to X$ — проекция на первую координату. Определим $\tau : C(X) \to C(Y)$ формулой $\tau (u) = u \circ \phi$. Опишите образ $\tau$.

Примем обозначения упражнения 9. Определим отношение эквивалентности $\sim$ на $Y$, полагая $y_1 \sim y_2$ тогда и только тогда, когда $\phi (y_1) = \phi (y_2)$. Пусть $q: Y \to Y/{\sim }$ — естественное отображение, а $q^*: C(Y/{\sim }) \to C(Y)$ — индуцированный гомоморфизм. Покажите, что существует $*$-эпиморфизм $\rho : C(X) \to C(Y/{\sim })$ такой, что диаграмма

коммутативна. Найдите соответствующее вложение $Y/{\sim } \to X$.

Если $X$ — произвольное компактное метрическое пространство, покажите, что существует вполне несвязное компактное метрическое пространство $Y$ и непрерывная сюръекция $\phi : Y \to X$. (Указание: Начните с вложения $C(X)$ в $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ и используйте упражнения 7 и 8.)

Покажите, что каждое вполне несвязное компактное метрическое пространство является непрерывным образом канторова троичного множества. (Сделайте это непосредственно; не пытайтесь использовать $C^*$-алгебры.) Объедините это с упражнением 12, чтобы получить, что каждое компактное метрическое пространство является непрерывным образом канторова множества.

Если $\mathcal{A}$ — абелева алгебра фон Неймана, а $X$ — её пространство максимальных идеалов, то $X$ является стоуновым пространством; то есть, если $U$ открыто в $X$, то $\operatorname {cl} U$ открыто в $X$.

В этом упражнении используется упражнение 2.21, где было доказано, что $\mathcal{B}_1^* = \mathcal{B}$. Говоря о слабой* топологии на $\mathcal{B} = \mathcal{B}(\mathcal{H})$, мы имеем в виду топологию, которую $\mathcal{B}$ имеет как банахово сопряжённое к $\mathcal{B}_1$.

Докажите утверждение, обратное к следующему предложению (предложение 7.6: если $e_0$ — циклический вектор для $\mathcal{A}$, то $e_0$ — разделяющий вектор для $\mathcal{A}'$).