Инвариантные подпространства нормальных операторов

(Андо) Используя следующий результат (следствие 9.6: если $N$ — нормальный оператор и $\mu$ — скалярнозначная спектральная мера для $N$, то $N$ редуктивен тогда и только тогда, когда $P^\infty (\mu ) = L^\infty (\mu )$), покажите, что каждый компактный нормальный оператор редуктивен.

Определите все инвариантные подпространства компактного нормального оператора.

(Андо) Покажите, что каждый редуктивный компактный оператор нормален. (См. также Rosenthal [1968].)

Покажите, что оператор $A$ редуктивен тогда и только тогда, когда $\operatorname {Lat} A = \operatorname {Lat} A^*$.

Пусть $N$ — нормальный оператор на гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, пусть $\mathcal{R}$ — инвариантное подпространство для $N$, и пусть $S = N | \mathcal{R}$. Покажите, что $S$ нормален тогда и только тогда, когда $\mathcal{R}$ — приводящее подпространство для $N$.

Пусть $\mu$ — финитная регулярная борелевская мера на $\mathbb {C}$, и пусть $P^2(\mu )$ обозначает замыкание в $L^2(\mu )$ аналитических многочленов; то есть $P^2(\mu )$ — замкнутая линейная оболочка $\{ z^n : n \geq 0\}$. Покажите, что $P^2(\mu )$ инвариантно относительно $N_\mu$ и что $N_\mu | P^2(\mu )$ нормален тогда и только тогда, когда $P^2(\mu ) = L^2(\mu )$.

В обозначениях упражнения 6 покажите, что если $\mathcal{R}$ — приводящее подпространство для $N_\mu$ и $P^2(\mu ) \subseteq \mathcal{R}$, то $\mathcal{R} = L^2(\mu )$.