Теория кратности для нормальных операторов: полная система унитарных инвариантов

Пусть $A$ и $B$ — операторы на $\mathcal{H}$ и $\mathcal{K}$ соответственно. Пусть $\mathcal{H}_0$ и $\mathcal{K}_0$ — приводящие подпространства для $A$ и $B$, и предположим, что $A \cong B | \mathcal{K}_0$ и $B \cong A | \mathcal{H}_0$. Покажите, что $A \cong B$.

Пусть $\mu_1, \mu_2, \dots$ — финитные меры на $\mathbb {C}$ такие, что $\mu_{n+1} \ll \mu_n$ для всех $n$. Покажите, что если $M$ — произвольный нормальный оператор, спектральная мера которого абсолютно непрерывна относительно каждой $\mu_n$, то

Если $\mu$ — мера Лебега на $[0, 1]$, покажите, что $N_\mu \cong N_\mu^p$ для $0 < p < \infty$.

Пусть $\mu$ — мера Лебега на $[0, 1]$; охарактеризуйте функции $\phi$ в $L^\infty (\mu )$ такие, что $N_\mu \cong \phi (N_\mu )$.

Пусть $\mu$ — мера площади на $\mathbb {D}$; покажите, что $N_\mu$ и $N_\mu^2$ не унитарно эквивалентны.

Пусть $\mu$ — мера Лебега на $[0, 1]$, а $\nu$ — мера Лебега на $[-1, 1]$. Покажите, что $N_\nu^2 \cong N_\mu \oplus N_\mu$. А что можно сказать про $N_\nu^3$?

Пусть $\mu$ — мера Лебега на $\mathbb {R}$, и $N =$ умножение на $\sin x$ на $L^2(\mu )$. Найдите разложения $N$, полученные в теореме 10.1 и теореме 10.16, сформулированных ниже.

Теорема 10.1: (a) Если $N$ — нормальный оператор, то существует последовательность (возможно, конечная) мер $\{ \mu_n\}$ на $\mathbb {C}$ такая, что $\mu_{n+1} \ll \mu_n$ для всех $n$ и $N \cong N_{\mu_1} \oplus N_{\mu_2} \oplus \cdots$. (b) Если $N$ и $\{ \mu_n\}$ такие же, как в (a), и $M \cong N_{\nu_1} \oplus N_{\nu_2} \oplus \cdots$, где $\nu_{n+1} \ll \nu_n$ для всех $n$, то $N \cong M$ тогда и только тогда, когда $[\mu_n] = [\nu_n]$ для всех $n$.

Теорема 10.16: Если $N$ — нормальный оператор, то существуют взаимно сингулярные меры $\mu_\infty , \mu_1, \mu_2, \dots$ (некоторые из которых могут быть нулевыми) такие, что

Если $M$ — другой нормальный оператор с соответствующими мерами $\nu_\infty , \nu_1, \nu_2, \dots$, то $N \cong M$ тогда и только тогда, когда $[\mu_n] = [\nu_n]$ для $1 \leq n \leq \infty$.

Если $\mu$ — мера Лебега на $\mathbb {R}$, и $N =$ умножение на $e^{ix}$ на $L^2(\mu )$, покажите, что $N \cong N_m^{(\infty )}$, где $m =$ мера длины дуги на $\partial \mathbb {D}$.

Определим $U: L^2(\mathbb {R}) \to L^2(\mathbb {R})$ формулой $(Uf)(t) = f(t - 1)$. Покажите, что $U$ унитарен, и найдите его скалярнозначную спектральную меру и функцию кратности.

Представьте $N$ так, как в следующей теореме (теорема 10.1(a): если $N$ — нормальный оператор, то существует последовательность (возможно, конечная) мер $\{ \mu_n\}$ на $\mathbb {C}$ такая, что $\mu_{n+1} \ll \mu_n$ для всех $n$ и $N \cong N_{\mu_1} \oplus N_{\mu_2} \oplus \cdots$), и найдите соответствующее представление для $N \oplus N = N^{(2)}$; для $N^{(3)}$; для $N^{(\infty )}$. (Удивил ли вас результат для $N^{(\infty )}$?)

Докажите результаты и решите упражнения из II.8.

Пусть $N$ — нормальный оператор; покажите, что $N \cong N^{(2)}$ тогда и только тогда, когда существует $*$-циклический нормальный оператор $M$ такой, что $N \cong M^{(\infty )}$. Что это говорит о функции кратности для $N$?

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — измеримое пространство такое, что $L^2(\mu )$ сепарабельно, пусть $\phi \in L^\infty (\mu )$, и пусть $N = M_\phi$ на $L^2(\mu )$. Найдите разложения $N$, полученные в теореме 10.1 и теореме 10.16, сформулированных ниже.

Теорема 10.1: (a) Если $N$ — нормальный оператор, то существует последовательность (возможно, конечная) мер $\{ \mu_n\}$ на $\mathbb {C}$ такая, что $\mu_{n+1} \ll \mu_n$ для всех $n$ и $N \cong N_{\mu_1} \oplus N_{\mu_2} \oplus \cdots$. (b) Если $N$ и $\{ \mu_n\}$ такие же, как в (a), и $M \cong N_{\nu_1} \oplus N_{\nu_2} \oplus \cdots$, где $\nu_{n+1} \ll \nu_n$ для всех $n$, то $N \cong M$ тогда и только тогда, когда $[\mu_n] = [\nu_n]$ для всех $n$.

Теорема 10.16: Если $N$ — нормальный оператор, то существуют взаимно сингулярные меры $\mu_\infty , \mu_1, \mu_2, \dots$ (некоторые из которых могут быть нулевыми) такие, что

Если $M$ — другой нормальный оператор с соответствующими мерами $\nu_\infty , \nu_1, \nu_2, \dots$, то $N \cong M$ тогда и только тогда, когда $[\mu_n] = [\nu_n]$ для $1 \leq n \leq \infty$.

Пусть $\mu$ — финитная мера на $\mathbb {C}$, $\phi$ — ограниченная борелевская функция на $\mathbb {C}$, и предположим, что $\{ \Delta_n\}$ — попарно непересекающиеся борелевские множества такие, что $\phi$ инъективна на каждом $\Delta_n$ и $\mu (\mathbb {C} \setminus \bigcup_{n=1}^\infty \Delta_n) = 0$. Пусть $\phi_n = \phi \chi_{\Delta_n}$ и $\mu_n = \mu \circ \phi_n^{-1}$ для $n \geq 1$. Докажите, что $M_\phi$ на $L^2(\mu )$ унитарно эквивалентен $\bigoplus_{n=1}^\infty N_{\mu_n}$.