*-циклические нормальные операторы

Если $\mu$ — мера с компактным носителем на $\mathbb {C}$ и $f \in L^2(\mu )$, то $f$ является звёздно-циклическим вектором для $N_\mu$ тогда и только тогда, когда $\mu (\{ x : f(x) = 0\} ) = 0$.

Докажите следующее предложение (предложение 3.2).

Если $\mu_1$ и $\mu_2$ — меры с компактным носителем на $\mathbb {C}$, покажите, что следующие утверждения эквивалентны.

1. $\mu_1$ и $\mu_2$ ограниченно взаимно абсолютно непрерывны.

2. Существует изоморфизм $V: L^2(\mu_1) \to L^2(\mu_2)$ такой, что $VN_{\mu_1}V^{-1} = N_{\mu_2}$ и $VL^\infty (\mu_1) = L^\infty (\mu_2)$.

3. Существует ограниченная биекция $R: L^2(\mu_1) \to L^2(\mu_2)$ такая, что $Rp(z, \bar{z}) = p(z, \bar{z})$ для каждого многочлена от $z$ и $\bar{z}$.

Покажите, что если $N$ — звёздно-циклический нормальный оператор и $\lambda \in \sigma_p(N)$, то $\dim \ker (N - \lambda ) = 1$.

Если $N$ диагонализируем и звёздно-циклический, а $\sigma_p(N) = \{ \lambda_1, \lambda_2, \dots \}$, покажите, что $N$ унитарно эквивалентен $N_\mu$, где $\mu = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \delta_{\lambda_n}$ (см. упражнение 2.11).

Пусть $N$ — диагонализируемый нормальный оператор. Покажите, что $N \cong M$ тогда и только тогда, когда $M$ — диагонализируемый нормальный оператор, $\sigma_p(N) = \sigma_p(M)$ и $\dim \ker (N - \lambda ) = \dim \ker (M - \lambda )$ для всех $\lambda$. (Сравните это с теоремой II.8.3.)

Пусть $U$ — двусторонний сдвиг на $l^2(\mathbb {Z})$. Если $e_0$ — вектор в $l^2(\mathbb {Z})$, имеющий $1$ на нулевом месте и нули на остальных, то $e_0$ является звёздно-циклическим вектором для $U$. Если $\mu$ — мера с компактным носителем на $\mathbb {C}$, а $V: l^2(\mathbb {Z}) \to L^2(\mu )$ — изоморфизм такой, что $Ve_0 = 1$ и $VUV^{-1} = N_\mu$, то

Предположим, $N_1, \dots , N_d$ — нормальные операторы такие, что $N_j N_k^* = N_k^* N_j$ при $1 \leq j, k \leq d$, и предположим, что существует вектор $e_0$ в $\mathcal{H}$ такой, что $\mathcal{H}$ является единственным подпространством $\mathcal{H}$, содержащим $e_0$ и приводящим каждый из операторов $N_1, \dots , N_d$. Покажите, что существует мера $\mu$ с компактным носителем на $\mathbb {C}^d$ и изоморфизм $V: \mathcal{H} \to L^2(\mu )$ такие, что $VN_k V^{-1} f = z_k f$ для $f$ из $L^2(\mu )$ и $1 \leq k \leq d$ ($z_k =$ $k$-я координатная функция) (см. упражнение 2.17).