Часть III

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

[307/64%]
Показать
LaTeX
§
8 · Случайные величины[6/83%]
Задача 8.1

Пусть ξ\xi и η\eta — случайные величины. Доказать, что следующие множества являются событиями:

?
(а)

A={ω∈Ω:ξ(ω)<η(ω)}A = \left\{ \omega \in \Omega : \xi (\omega ) < \eta (\omega )\right\};

(б)

B={ω∈Ω:ξ(ω)⩽η(ω)}B = \left\{ \omega \in \Omega : \xi (\omega ) \leqslant \eta (\omega )\right\};

(в)

C={ω∈Ω:ξ(ω)=η(ω)}C = \left\{ \omega \in \Omega : \xi (\omega ) = \eta (\omega )\right\}.

Задача 8.2

Пусть функция ξ:Ω→R\xi : \Omega \rightarrow \mathbb {R} такова, что для каждого x∈Rx \in \mathbb {R} множество Ax={ω∈Ω:ξ(ω)=x}A_x = \left\{ \omega \in \Omega : \xi (\omega ) = x\right\} является событием. Верно ли, что в этом случае ξ\xi — случайная величина?

?
Задача 8.3

Построить вероятностное пространство (Ω,F,P)(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P}) и функцию ξ:Ω→R\xi : \Omega \rightarrow \mathbb {R} на нём такие, что ξ\xi не является случайной величиной.

?
Задача 8.4

Обязана ли функция ξ\xi быть случайной величиной, если случайной величиной является функция:

?
(а)

η=ξ2\eta = \xi^2;

(б)

η=eξ\eta = e^\xi;

(в)

η=∣ξ∣\eta = \left|\xi \right|;

(г)

η=ξ+1\eta = \xi + 1.

Задача 8.5

Пусть вероятностное пространство (Ω,F,P)(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P}) есть отрезок [0,1][0, 1] с σ\sigma-алгеброй борелевских множеств и мерой Лебега. Описать σ\sigma-алгебру, порождённую случайной величиной:

?
(а)

ξ(ω)=1/2\xi (\omega ) = 1/2;

(б)

ξ(ω)={ω,ω∈[0,1/2),1,ω∈[1/2,1];\xi (\omega ) = \begin{cases} \omega , & \omega \in [0, 1/2), \\ 1, & \omega \in [1/2, 1]; \end{cases}

(в)

ξ(ω)=ω/2\xi (\omega ) = \omega /2;

(г)

ξ(ω)={1/4,ω∈[0,1/4),1/2,ω∈[1/4,3/4),1,ω∈[3/4,1].\xi (\omega ) = \begin{cases} 1/4, & \omega \in [0, 1/4), \\ 1/2, & \omega \in [1/4, 3/4), \\ 1, & \omega \in [3/4, 1]. \end{cases}

Задача 8.6

Пусть вероятностное пространство (Ω,F,P)(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P}) есть прямая R\mathbb {R} с σ\sigma-алгеброй борелевских множеств и некоторой вероятностью. Описать σ\sigma-алгебру, порождённую случайной величиной:

?
(а)

ξ(ω)=ω2\xi (\omega ) = \omega^2;

(б)

ξ(ω)=cos⁡ω\xi (\omega ) = \cos \omega.

§
9 · Функции распределения[52/77%]
Задача 9.1

Какие из следующих функций являются функциями распределения:

?
(а)

  1x∈(0,1]\; \mathbb {1}_{x \in (0, 1]};

(б)

  1x∈(−∞,0]\; \mathbb {1}_{x \in (-\infty , 0]};

(в)

  1x∈(0,∞)\; \mathbb {1}_{x \in (0, \infty )};

(г)

  1x=0\; \mathbb {1}_{x = 0};

(д)

F(x)={0при x∈(−∞,0],1−1/nпри x∈(n−1,n], n∈N;F(x) = \begin{cases} 0 & \text{при } x \in (-\infty , 0], \\ 1 - 1/n & \text{при } x \in (n-1, n], \ n \in \mathbb {N}; \end{cases}

(е)

F(x)={0при x∈(−∞,0],1+(−1)n/nпри x∈(n−1,n], n∈N?F(x) = \begin{cases} 0 & \text{при } x \in (-\infty , 0], \\ 1 + (-1)^n/n & \text{при } x \in (n-1, n], \ n \in \mathbb {N}? \end{cases}

Задача 9.2

Дискретная случайная величина ξ\xi имеет функцию распределения

F(x)={0при x⩽2,3/10при 2<x⩽3,1/2при 3<x⩽4,1при x>4. F(x) = \begin{cases} 0 & \text{при } x \leqslant 2, \\ 3/10 & \text{при } 2 < x \leqslant 3, \\ 1/2 & \text{при } 3 < x \leqslant 4, \\ 1 & \text{при } x > 4. \end{cases}

Найти ряд распределения случайной величины:

?
(а)

ξ\xi;

(б)

ξ2−2\xi^2 - 2.

Задача 9.3

Дискретная случайная величина ξ\xi имеет ряд распределения

xi−101P{ξ=xi}1/31/31/3 \begin{array}{c|ccc} x_i & -1 & 0 & 1 \\ \hline \mathbb {P}\left\{ \xi = x_i\right\} & 1/3 & 1/3 & 1/3 \end{array}

Построить ряды распределения следующих случайных величин:

?
(а)

∣ξ∣\left|\xi \right|;

(б)

2ξ+52\xi + 5;

(в)

ξ2+1\xi^2 + 1;

(г)

2ξ2^\xi;

(д)

ξ(ξ2−1)\xi (\xi^2 - 1);

(е)

min⁡(ξ,1)\min (\xi , 1).

Задача 9.4

Дискретная случайная величина ξ\xi имеет ряд распределения

xi−2−1012P{ξ=xi}1/101/53/103/101/10 \begin{array}{c|ccccc} x_i & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline \mathbb {P}\left\{ \xi = x_i\right\} & 1/10 & 1/5 & 3/10 & 3/10 & 1/10 \end{array}

Построить ряды распределения следующих случайных величин:

?
(а)

3−ξ3 - \xi;

(б)

ξ2−1\xi^2 - 1;

(в)

∣ξ∣\left|\xi \right|;

(г)

max⁡(∣ξ∣,1)\max (\left|\xi \right|, 1);

(д)

min⁡(ξ,1)\min (\xi , 1);

(е)

1/(3−ξ)1/(3 - \xi ).

Задача 9.5

Дискретная случайная величина ξ\xi имеет ряд распределения

xi−2015P{ξ=xi}1/41/31/61/4 \begin{array}{c|cccc} x_i & -2 & 0 & 1 & 5 \\ \hline \mathbb {P}\left\{ \xi = x_i\right\} & 1/4 & 1/3 & 1/6 & 1/4 \end{array}

Построить ряды распределения следующих случайных величин:

?
(а)

1−2ξ1 - 2\xi;

(б)

ξ2+ξ−2\xi^2 + \xi - 2;

(в)

∣∣ξ∣−3∣\left|\left|\xi \right| - 3\right|;

(г)

2ξ2^\xi;

(д)

max⁡(ξ,1)\max (\xi , 1);

(е)

1/(3−ξ)1/(3 - \xi ).

Задача 9.6

С целью привлечения покупателей компания «Кока-кола» проводит рекламную акцию, в которой каждая десятая бутылка напитка, выпущенная фирмой, является призовой. Составить ряд распределения числа призовых из трёх приобретённых покупателем бутылок. Построить функцию распределения этой случайной величины.

?
Задача 9.7

Среди 7 купленных театральных билетов 3 билета в партер. Наудачу взяли 4 билета. Составить ряд распределения числа билетов в партер среди выбранных. Построить функцию распределения этой случайной величины.

?
Задача 9.8

Технический контроль проверяет изделия, каждое из которых независимо от других изделий может с вероятностью pp оказаться дефектным. Найти ряд распределения числа обнаруженных при проверке годных изделий между двумя последовательными дефектными.

?
Задача 9.9

Пусть вероятностное пространство (Ω,F,P)(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P}) есть отрезок [0,1][0, 1] с σ\sigma-алгеброй борелевских множеств и мерой Лебега. Найти функцию распределения случайной величины ξ\xi, если:

?
(а)

ξ(ω)=ω\xi (\omega ) = \omega;

(б)

ξ(ω)=ωα\xi (\omega ) = \omega^\alpha, α<0\alpha < 0;

(в)

ξ(ω)=ω2\xi (\omega ) = \omega^2;

(г)

ξ(ω)=sin⁡(πω)\xi (\omega ) = \sin (\pi \omega );

(д)

ξ(ω)={2ω,ω∈[0,1/2),2(1−ω),ω∈[1/2,1];\xi (\omega ) = \begin{cases} 2\omega , & \omega \in [0, 1/2), \\ 2(1-\omega ), & \omega \in [1/2, 1]; \end{cases}

(е)

ξ(ω)={ω,ω∈[0,1/3),−1,ω∈[1/3,2/3),−ω3,ω∈[2/3,1];\xi (\omega ) = \begin{cases} \omega , & \omega \in [0, 1/3), \\ -1, & \omega \in [1/3, 2/3), \\ -\omega^3, & \omega \in [2/3, 1]; \end{cases}

(ж)

ξ(ω)={1/4,ω∈[0,1/4),1,ω∈[1/4,3/4),1/4,ω∈[3/4,1].\xi (\omega ) = \begin{cases} 1/4, & \omega \in [0, 1/4), \\ 1, & \omega \in [1/4, 3/4), \\ 1/4, & \omega \in [3/4, 1]. \end{cases}

Задача 9.10

Найти плотности распределения (если они существуют) случайных величин, определённых в задаче 9.9.

?
(а)
(б)
(в)
(г)
(д)
(е)
(ж)
Задача 9.11

Найти медиану распределения случайных величин, определённых в задаче 9.9.

?
(а)
(б)
(в)
(г)
(д)
(е)
(ж)
Задача 9.12

Точка ω=(ω1,ω2)\omega = (\omega_1, \omega_2) выбирается наудачу в треугольнике с вершинами в точках (0,0)(0, 0), (2,1)(2, 1) и (2,0)(2, 0). Найти функцию распределения и плотность случайной величины ξ\xi, если:

?
(а)

ξ(ω)=ω1\xi (\omega ) = \omega_1;

(б)

ξ(ω)=ω2\xi (\omega ) = \omega_2.

Задача 9.13

Равнобедренный треугольник образован единичным вектором в направлении оси абсцисс и единичным вектором в случайном направлении (то есть с направлением, равномерно распределённым по всем направлениям в соответствующем пространстве). Найти функцию распределения длины третьей стороны (длины разности этих двух единичных векторов) в:

?
(а)

R2\mathbb {R}^{2};

(б)

R3\mathbb {R}^{3}.

Задача 9.14

Из точки (0,a)(0, a) на плоскости проведена прямая под углом ϕ\phi к оси ординат. Найти функцию распределения точки пересечения этой прямой с осью абсцисс, если угол ϕ\phi равномерно распределён в промежутке:

?
(а)

(0,π/2)(0, \pi /2);

(б)

(−π/2,π/2)(-\pi /2, \pi /2).

Задача 9.15

На окружность радиуса RR с центром в начале координат наудачу брошена точка. Найти:

?
(а)

плотность распределения абсциссы точки попадания;

(б)

плотность распределения длины хорды, соединяющей точку попадания с точкой (−R,0)(-R, 0).

Задача 9.16

На отрезок оси ординат между точками (0,0)(0, 0) и (0,R)(0, R) наудачу брошена точка. Через точку попадания проведена хорда окружности x2+y2=R2x^2 + y^2 = R^2, перпендикулярная оси ординат. Найти распределение длины этой хорды.

?
Задача 9.17

Диаметр круга измерен приближённо. Считая, что его величина равномерно распределена на отрезке [a,b][a, b], найти распределение площади круга.

?
Задача 9.18

Пусть p(x)p(x) — плотность распределения. Найти значение входящей в определение p(x)p(x) постоянной cc:

p(x)={ce−αxпри x>0,0при x⩽0, p(x) = \begin{cases} ce^{-\alpha x} & \text{при } x > 0, \\ 0 & \text{при } x \leqslant 0, \end{cases}

где α>0\alpha > 0.

?
Задача 9.19

Пусть p(x)p(x) — плотность распределения. Найти значение входящей в определение p(x)p(x) постоянной cc:

p(x)=c1+(x−α)2,α∈R. p(x) = \frac{c}{1 + (x - \alpha )^2}, \quad \alpha \in \mathbb {R}.
?
Задача 9.20

Пусть p(x)p(x) — плотность распределения. Найти значение входящей в определение p(x)p(x) постоянной cc:

p(x)={cxβe−αxпри x>0,0при x⩽0,α>0, β>0. p(x) = \begin{cases} cx^\beta e^{-\alpha x} & \text{при } x > 0, \\ 0 & \text{при } x \leqslant 0, \end{cases} \quad \alpha > 0, \ \beta > 0.
?
Задача 9.21

Пусть p(x)p(x) — плотность распределения. Найти значение входящей в определение p(x)p(x) постоянной cc:

p(x)=ce−x+ex. p(x) = \frac{c}{e^{-x} + e^x}.
?
Задача 9.22

Плотность распределения случайной величины ξ\xi имеет вид

p(x)={0при x<1,1/3при 1⩽x⩽c,0при x>c. p(x) = \begin{cases} 0 & \text{при } x < 1, \\ 1/3 & \text{при } 1 \leqslant x \leqslant c, \\ 0 & \text{при } x > c. \end{cases}

Найти:

?
(а)

значение постоянной cc;

(б)

функцию распределения случайной величины ξ\xi;

(в)

вероятность P{ξ⩾2}\mathbb {P}\left\{ \xi \geqslant 2\right\}.

Задача 9.23

Плотность распределения случайной величины ξ\xi имеет вид

p(x)={1/5при −1⩽x<2,cпри 2⩽x⩽3,0иначе. p(x) = \begin{cases} 1/5 & \text{при } -1 \leqslant x < 2, \\ c & \text{при } 2 \leqslant x \leqslant 3, \\ 0 & \text{иначе.} \end{cases}

Найти:

?
(а)

значение постоянной cc;

(б)

функцию распределения случайной величины ξ\xi;

(в)

вероятность P{0⩽ξ⩽2,5}\mathbb {P}\left\{ 0 \leqslant \xi \leqslant 2{,}5\right\}.

Задача 9.24

Можно ли подобрать постоянную cc так, чтобы функция cx−4cx^{-4} была плотностью распределения на множестве:

?
(а)

[1,∞)[1, \infty );

(б)

[0,∞)[0, \infty );

(в)

[−2,−1][-2, -1];

(г)

[−3,0)[-3, 0)?

Задача 9.25

Построить графики плотности:

?
(а)

стандартного нормального распределения;

(б)

нормального распределения с параметрами aa и σ2\sigma^2;

(в)

равномерного распределения на отрезке [a,b][a, b];

(г)

показательного распределения с параметром α\alpha;

(д)

распределения Коши с параметрами 0 и 1.

Задача 9.26

Что произойдёт с графиком функции распределения случайной величины ξ\xi, если:

?
(а)

прибавить к ξ\xi число 3;

(б)

умножить ξ\xi на число 3?

Задача 9.27

Что произойдёт с графиком плотности абсолютно непрерывного распределения случайной величины ξ\xi, если:

?
(а)

прибавить к ξ\xi число 3;

(б)

умножить ξ\xi на число 3?

Задача 9.28

Пусть случайная величина ξ\xi имеет нормальное распределение с параметрами aa и σ2\sigma^2. Доказать, что случайная величина η=ξ−aσ\eta = \dfrac {\xi - a}{\sigma } имеет стандартное нормальное распределение.

?
Задача 9.29

Пусть случайная величина ξ\xi имеет нормальное распределение. Известно, что P{ξ>2}=0,5\mathbb {P}\left\{ \xi > 2\right\} = 0{,}5, а P{ξ<3}=0,975\mathbb {P}\left\{ \xi < 3\right\} = 0{,}975. Найти плотность распределения ξ\xi и P{1<ξ<3}\mathbb {P}\left\{ 1 < \xi < 3\right\}.

?
Задача 9.30

Найти математическое ожидание и дисперсию нормально распределённой случайной величины ξ\xi, если известно, что P{ξ<0,44}=0,1\mathbb {P}\left\{ \xi < 0{,}44\right\} = 0{,}1, а P{ξ⩾3,88}=0,33\mathbb {P}\left\{ \xi \geqslant 3{,}88\right\} = 0{,}33.

?
Задача 9.31

Пусть случайная величина ξ\xi распределена равномерно на отрезке [0,1][0, 1]. Найти плотности распределения следующих случайных величин:

?
(а)

−ln⁡ξ-\ln \xi;

(б)

2ξ+12\xi + 1;

(в)

ξ−1/ξ\xi - 1/\xi;

(г)

−ln⁡(1−ξ)-\ln (1 - \xi );

(д)

ξ2\xi^2;

(е)

eξ−1e^\xi - 1.

Задача 9.32

Пусть случайная величина ξ\xi имеет показательное распределение с параметром α\alpha. Найти плотности распределения следующих случайных величин:

?
(а)

ξ\sqrt{\xi };

(б)

ξ2\xi^2;

(в)

2ξ2^\xi;

(г)

ln⁡(αξ)\ln (\alpha \xi );

(д)

e−αξe^{-\alpha \xi };

(е)

min⁡(ξ,ξ2)\min (\xi , \xi^2).

Задача 9.33

Пусть случайная величина ξ\xi имеет стандартное распределение Коши (a=0a = 0, σ2=1\sigma^2 = 1). Найти плотности распределения следующих случайных величин:

?
(а)

2ξ+12\xi + 1;

(б)

1/ξ1/\xi;

(в)

1/(1+ξ2)1/(1 + \xi^2);

(г)

ξ2/(1+ξ2)\xi^2/(1 + \xi^2).

Задача 9.34

Пусть случайная величина ξ\xi имеет стандартное нормальное распределение. Найти плотность распределения случайной величины η=eξ\eta = e^\xi (эта плотность называется логарифмически нормальной).

?
Задача 9.35

Пусть случайная величина ξ\xi имеет равномерное распределение на отрезке [0,2π][0, 2\pi ]. Найти плотность распределения тангенса ξ\xi.

?
Задача 9.36

Пусть случайная величина ξ\xi имеет плотность распределения p(x)p(x). Найти плотности распределения следующих величин:

?
(а)

aξ+ba\xi + b, a,b∈Ra, b \in \mathbb {R}, a≠0a \neq 0;

(б)

ξ−1\xi^{-1};

(в)

ξ2\xi^2;

(г)

min⁡(ξ,ξ2)\min (\xi , \xi^2);

(д)

cos⁡ξ\cos \xi;

(е)

дробной части ξ\xi;

(ж)

∣ξ−1∣\left|\xi - 1\right|;

(з)

max⁡(ξ,ξ2)\max (\xi , \xi^2).

Задача 9.37

Доказать, что для любой случайной величины ξ\xi с непрерывной функцией распределения FF выполняется равенство

P{F(ξ)<x}=x,x∈[0,1]. \mathbb {P}\left\{ F(\xi ) < x\right\} = x, \quad x \in [0, 1].
?
Задача 9.38

Что можно сказать о распределении случайной величины F(ξ)F(\xi ) в предыдущей задаче, если функция распределения FF не является непрерывной?

?
Задача 9.39

Пусть случайная величина ξ\xi имеет равномерное распределение на отрезке [0,1][0, 1]. Доказать, что для любой функции распределения FF существует измеримая функция ff такая, что случайная величина η=f(ξ)\eta = f(\xi ) имеет функцию распределения FF.

?
Задача 9.40

Пусть случайная величина ξ\xi имеет непрерывную функцию распределения FF. Найти функцию распределения случайной величины η=−ln⁡F(ξ)\eta = -\ln F(\xi ).

?
Задача 9.41

Привести пример случайной величины ξ\xi с абсолютно непрерывным распределением и непрерывной функции gg таких, что g(ξ)g(\xi ) имеет невырожденное дискретное распределение.

?
Задача 9.42

Случайная величина ξ\xi имеет функцию распределения FF. Найти функцию распределения случайной величины η=∣ξ∣s\eta = \left|\xi \right|^s, где s>0s > 0.

?
Задача 9.43

Пусть функция распределения FF случайной величины ξ\xi непрерывна в нуле. Найти распределение случайной величины η=ξ/∣ξ∣\eta = \xi /\left|\xi \right|.

?
Задача 9.44

Случайная величина ξ\xi имеет функцию распределения FF. Найти функции распределения случайных величин:

?
(а)

max⁡(0,ξ)\max (0, \xi );

(б)

min⁡(0,ξ)\min (0, \xi );

(в)

(ξ+∣ξ∣)/2(\xi + \left|\xi \right|)/2;

(г)

2−3ξ2 - 3\xi.

Задача 9.45

Доказать, что если случайная величина ξ\xi имеет абсолютно непрерывное распределение, то величина ∣ξ∣\left|\xi \right| также имеет абсолютно непрерывное распределение. Верно ли обратное утверждение?

?
Задача 9.46

Доказать, что любая функция распределения FF обладает следующими свойствами:

?
(а)

lim⁡x→∞x∫x∞1z dF(z)=0\displaystyle \lim_{x \to \infty } x \int_x^\infty \frac{1}{z}\, dF(z) = 0;

(б)

lim⁡x→+0x∫x∞1z dF(z)=0\displaystyle \lim_{x \to +0} x \int_x^\infty \frac{1}{z}\, dF(z) = 0.

Задача 9.47

Доказать, что для любой непрерывной функции распределения FF справедливы следующие равенства:

?
(а)

∫−∞∞F(x) dF(x)=12\displaystyle \int_{-\infty }^\infty F(x)\, dF(x) = \frac{1}{2};

(б)

∫−∞∞F2(x) dF(x)=13\displaystyle \int_{-\infty }^\infty F^2(x)\, dF(x) = \frac{1}{3}.

Задача 9.48

Доказать, что если F(x)F(x) — функция распределения, то при любом h>0h > 0 функции:

?
(а)

G(x)≡1h∫xx+hF(y) dyG(x) \equiv \dfrac {1}{h}\displaystyle \int_x^{x+h} F(y)\, dy;

(б)

H(x)≡12h∫x−hx+hF(y) dyH(x) \equiv \dfrac {1}{2h}\displaystyle \int_{x-h}^{x+h} F(y)\, dy

также являются функциями распределения.

Задача 9.49

Доказать, что множество точек разрыва функции распределения не более чем счётно.

?
Задача 9.50

Доказать, что любое распределение FF может быть представлено в виде F=αFd(x)+(1−α)Fa(x)F = \alpha F_d(x) + (1 - \alpha ) F_a(x), где α∈[0,1]\alpha \in [0, 1], Fd(x)F_d(x) — некоторое дискретное распределение, а Fa(x)F_a(x) — непрерывное.

?
Задача 9.51

Доказать, что функция распределения однозначно определяется своими значениями не более чем в счётном числе точек.

?
Задача 9.52

Какова мощность множества всех функций распределения?

?
§
10 · Совместное распределение. Независимость[39/74%]
Задача 10.1

Двумерное распределение пары целочисленных случайных величин ξ\xi и η\eta задаётся с помощью таблицы

η\ξ−101−11/81/127/2415/241/61/8 \begin{array}{c|ccc} {}_\eta \backslash ^\xi & -1 & 0 & 1 \\ \hline -1 & 1/8 & 1/12 & 7/24 \\ 1 & 5/24 & 1/6 & 1/8 \end{array}

где в пересечении столбца ξ=i\xi = i и строки η=j\eta = j находится вероятность P{ξ=i,η=j}\mathbb {P}\left\{ \xi = i, \eta = j\right\}. Выяснить, зависимы или нет случайные величины ξ\xi и η\eta. Найти:

?
(а)

одномерные распределения P{ξ=i}\mathbb {P}\left\{ \xi = i\right\} и P{η=j}\mathbb {P}\left\{ \eta = j\right\};

(б)

условные вероятности P{η=1∣ξ=0}\mathbb {P}\left\{ \eta = 1 \mid \xi = 0\right\} и P{ξ=1∣η=1}\mathbb {P}\left\{ \xi = 1 \mid \eta = 1\right\};

(в)

совместное распределение величин ξ+η\xi + \eta и ξη\xi \eta;

(г)

одномерные распределения величин ξ+η\xi + \eta и ξη\xi \eta;

(д)

совместное распределение величин max⁡(ξ,η)\max (\xi , \eta ) и min⁡(ξ,η)\min (\xi , \eta );

(е)

совместное распределение величин ∣ξ+2η∣\left|\xi + 2\eta \right| и ∣ξ−η∣\left|\xi - \eta \right|.

Задача 10.2

Решить задачу 10.1 для таблицы

η\ξ−20111/61/61/621/61/61/6 \begin{array}{c|ccc} {}_\eta \backslash ^\xi & -2 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\ 2 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \end{array}
?
(а)
(б)
(в)
(г)
(д)
Задача 10.3

Решить задачу 10.1 для таблицы

η\ξ−101−21/81/127/2401/121/121/1611/81/121/16 \begin{array}{c|ccc} {}_\eta \backslash ^\xi & -1 & 0 & 1 \\ \hline -2 & 1/8 & 1/12 & 7/24 \\ 0 & 1/12 & 1/12 & 1/16 \\ 1 & 1/8 & 1/12 & 1/16 \end{array}
?
(а)
(б)
(в)
(г)
(д)
(е)
Задача 10.4

Число ξ\xi выбирается случайно среди чисел 1, 2 и 3; число η\eta выбирается случайно среди ξ,ξ+1,…,ξ+3\xi , \xi +1, \ldots , \xi +3. Найти:

?
(а)

совместное распределение чисел ξ\xi и η\eta;

(б)

одномерное распределение ξ\xi;

(в)

одномерное распределение η\eta.

Задача 10.5

Пусть случайные величины ξ\xi и η\eta независимы и одинаково распределены, причём P{ξ=1}=p\mathbb {P}\left\{ \xi = 1\right\} = p и P{ξ=0}=1−p\mathbb {P}\left\{ \xi = 0\right\} = 1 - p. Введём новую случайную величину ζ\zeta, положив

ζ={0,если ξ+η чётное число,1,если ξ+η нечётное число. \zeta = \begin{cases} 0, & \text{если } \xi + \eta \text{ чётное число}, \\ 1, & \text{если } \xi + \eta \text{ нечётное число.} \end{cases}

При каких значениях pp случайные величины ξ\xi и ζ\zeta независимы?

?
Задача 10.6

Пусть ξ1\xi_1 и ξ2\xi_2 — независимые случайные величины, принимающие целые значения. При каких условиях события {ξ1 чётно}\left\{ \xi_1 \text{ чётно}\right\} и {ξ1+ξ2 чётно}\left\{ \xi_1 + \xi_2 \text{ чётно}\right\} независимы?

?
Задача 10.7

Пусть независимые случайные величины ξ\xi, η\eta и ζ\zeta имеют одинаковое геометрическое распределение с параметром pp. Найти:

?
(а)

P{ξ=η}\mathbb {P}\left\{ \xi = \eta \right\};

(б)

P{ξ⩾2η}\mathbb {P}\left\{ \xi \geqslant 2\eta \right\};

(в)

P{ξ+η⩽ζ}\mathbb {P}\left\{ \xi + \eta \leqslant \zeta \right\}.

Задача 10.8

Точка ω=(ω1,ω2)\omega = (\omega_1, \omega_2) выбрана наудачу в квадрате [0,1]2[0, 1]^2. Найти функцию распределения и плотность случайной величины ξ+η\xi + \eta, если:

?
(а)

ξ(ω)=ω1+ω2\xi (\omega ) = \omega_1 + \omega_2, η(ω)=ω1−ω2\eta (\omega ) = \omega_1 - \omega_2;

(б)

ξ(ω)=ω1\xi (\omega ) = \omega_1, η(ω)=ω2\eta (\omega ) = \omega_2;

(в)

ξ(ω)=1\xi (\omega ) = 1 при ω1=ω2\omega_1 = \omega_2 и ξ(ω)=0\xi (\omega ) = 0 при ω1≠ω2\omega_1 \neq \omega_2; η(ω)=ω1ω2\eta (\omega ) = \omega_1\omega_2.

Задача 10.9

Рассмотрим на плоскости область Ω\Omega, имеющую площадь 1/21/2 и являющуюся объединением четырёхугольника с вершинами (0,0)(0,0), (1,1)(1,1), (0,1/2)(0,1/2), (1/2,1)(1/2,1) и треугольника с вершинами (1/2,0)(1/2,0), (1,0)(1,0), (1,1/2)(1,1/2). Случайная точка (ξ,η)(\xi , \eta ) распределена равномерно в Ω\Omega. Доказать, что:

?
(а)

ξ\xi и η\eta распределены равномерно на [0,1][0, 1];

(б)

сумма ξ+η\xi + \eta имеет такую же плотность, как если бы ξ\xi и η\eta были независимыми.

Задача 10.10

Для данной линии трамвая известна функция F(a,b)F(a, b), равная вероятности того, что пассажир, едущий по этой линии, вошёл в точке x<ax < a и едет до точки y⩽by \leqslant b. Найти вероятность того, что пассажир:

?
(а)

вошёл в трамвай до пункта zz;

(б)

сошёл до пункта zz;

(в)

проезжает через точку zz.

Задача 10.11

Пусть F(x,y)F(x, y) обозначает двумерную функцию распределения. Положим G(x,y)=0G(x, y) = 0 при x<0x < 0 и y<0y < 0; G(x,y)=F(x,y)G(x, y) = F(x, y) во всех других точках. Доказать, что GG — монотонная функция каждой переменной, но GG необязательно является функцией распределения.

?
Задача 10.12

Пусть ξ\xi и η\eta — случайные величины с функциями распределения FF и GG соответственно. Доказать, что если P{ξ⩽η}=1\mathbb {P}\left\{ \xi \leqslant \eta \right\} = 1, то F(x)⩾G(x)F(x) \geqslant G(x) при любом xx.

?
Задача 10.13

На отрезок [0,a][0, a] наудачу независимо брошены две точки. Найти функцию распределения расстояния между ними.

?
Задача 10.14

Пусть p(x,y)p(x, y) — плотность совместного распределения случайных величин ξ\xi и η\eta. Найти:

?
(а)

P{ξ>η}\mathbb {P}\left\{ \xi > \eta \right\};

(б)

P{ξ>∣η∣}\mathbb {P}\left\{ \xi > \left|\eta \right|\right\};

(в)

P{max⁡(ξ,η)<a}\mathbb {P}\left\{ \max (\xi , \eta ) < a\right\};

(г)

P{∣ξ∣>η}\mathbb {P}\left\{ \left|\xi \right| > \eta \right\};

(д)

P{ξ−η>1}\mathbb {P}\left\{ \xi - \eta > 1\right\};

(е)

P{min⁡(ξ,η)<a}\mathbb {P}\left\{ \min (\xi , \eta ) < a\right\}.

Задача 10.15

Пусть случайные величины ξ\xi и η\eta независимы и имеют одинаковую непрерывную функцию распределения. Найти:

?
(а)

P{ξ=η}\mathbb {P}\left\{ \xi = \eta \right\};

(б)

P{ξ<η}\mathbb {P}\left\{ \xi < \eta \right\}.

Задача 10.16

Пусть независимые случайные величины ξ\xi и η\eta показательно распределены с параметрами α\alpha и β\beta соответственно. Найти P{ξ<η}\mathbb {P}\left\{ \xi < \eta \right\}.

?
Задача 10.17

Совместное распределение случайных величин ξ\xi и η\eta имеет плотность

p(x,y)={c(x+y)при 0⩽x⩽1, 0⩽y⩽1,0иначе. p(x, y) = \begin{cases} c(x+y) & \text{при } 0 \leqslant x \leqslant 1,\ 0 \leqslant y \leqslant 1, \\ 0 & \text{иначе.} \end{cases}

Найти:

?
(а)

постоянную cc;

(б)

плотность распределения ξ\xi;

(в)

плотность распределения η\eta;

(г)

плотность распределения max⁡(ξ,η)\max (\xi , \eta );

(д)

плотность распределения min⁡(ξ,η)\min (\xi , \eta ).

Задача 10.18

Случайная величина ξ\xi имеет плотность распределения p(x)p(x). Найти совместную функцию распределения случайного вектора (ξ,ξ2)(\xi , \xi^2).

?
Задача 10.19

Совместное распределение случайных величин ξ\xi и η\eta имеет плотность

p(x,y)={1,если x,y⩾0 и x+2y⩽2,0иначе. p(x, y) = \begin{cases} 1, & \text{если } x, y \geqslant 0 \text{ и } x + 2y \leqslant 2, \\ 0 & \text{иначе.} \end{cases}

Найти плотность распределения случайной величины ξ\xi.

?
Задача 10.20

Совместное распределение случайных величин ξ\xi и η\eta имеет плотность

p(x,y)=c1+x2+x2y2+y2. p(x, y) = \frac{c}{1 + x^2 + x^2y^2 + y^2}.

Установить, зависимы или нет случайные величины ξ\xi и η\eta. Найти:

?
(а)

постоянную cc;

(б)

плотность распределения ξ\xi;

(в)

плотность распределения η\eta;

(г)

вероятность P{∣ξ∣⩽1,∣η∣⩽1}\mathbb {P}\left\{ \left|\xi \right| \leqslant 1, \left|\eta \right| \leqslant 1\right\}.

Задача 10.21

Случайная точка (ξ,η)(\xi , \eta ) распределена равномерно внутри квадрата {(x,y):∣x∣+∣y∣⩽1}\left\{ (x, y) : \left|x\right| + \left|y\right| \leqslant 1\right\}. Установить, зависимы или нет случайные величины ξ\xi и η\eta. Найти:

?
(а)

плотность распределения ξ\xi;

(б)

плотность распределения η\eta;

(в)

вероятность P{ξ>η}\mathbb {P}\left\{ \xi > \eta \right\}.

Задача 10.22

Совместное распределение случайных величин ξ\xi и η\eta имеет плотность

p(x,y)={2π(x2+y2)3при x2+y2⩾1,0иначе. p(x, y) = \begin{cases} \dfrac {2}{\pi (x^2+y^2)^3} & \text{при } x^2 + y^2 \geqslant 1, \\ 0 & \text{иначе.} \end{cases}

Найти плотность распределения ξ2+η2\sqrt{\xi^2 + \eta^2}.

?
Задача 10.23

Случайная точка (ξ,η)(\xi , \eta ) распределена на плоскости по нормальному закону с плотностью

pξη(x,y)=12π2e−(2(x−1)2+(y+1)2)/4. p_{\xi \eta }(x, y) = \frac{1}{2\pi \sqrt{2}} e^{-(2(x-1)^2 + (y+1)^2)/4}.

Найти вероятность попадания случайной точки (ξ,η)(\xi , \eta ) в область, ограниченную эллипсом

(x−1)2+(y+1)22=1. \frac{(x-1)^2 + (y+1)^2}{2} = 1.
?
Задача 10.24

Случайные величины ξ\xi и η\eta независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Найти вероятность попадания случайной точки (ξ,η)(\xi , \eta )

?
(а)

в кольцо {(x,y):2⩽x2+y2⩽3}\left\{ (x, y) : 2 \leqslant \sqrt{x^2+y^2} \leqslant 3\right\};

(б)

в квадрат {(x,y):∣x∣+∣y∣⩽2}\left\{ (x, y) : \left|x\right| + \left|y\right| \leqslant \sqrt{2}\right\}.

Задача 10.25

Случайная точка (ξ,η)(\xi , \eta ) имеет равномерное распределение в круге {(x,y):x2+y2<1}\left\{ (x, y) : x^2 + y^2 < 1\right\}.

?
(а)

Найти вероятность P{∣ξ∣<1/2,∣η∣<1/2}\mathbb {P}\left\{ \left|\xi \right| < 1/\sqrt{2}, \left|\eta \right| < 1/\sqrt{2}\right\}.

(б)

Являются ли случайные величины ξ\xi и η\eta независимыми?

Задача 10.26

Случайный вектор (ξ,η,ζ)(\xi , \eta , \zeta ) имеет плотность распределения

p(x,y,z)={6(1+x+y+z)4при x>0, y>0, z>0,0иначе. p(x, y, z) = \begin{cases} \dfrac {6}{(1+x+y+z)^4} & \text{при } x > 0,\ y > 0,\ z > 0, \\ 0 & \text{иначе.} \end{cases}

Найти распределение величины ξ+η+ζ\xi + \eta + \zeta.

?
Задача 10.27

Две точки выбираются случайно и независимо на отрезке [0,1][0, 1]; третья точка выбирается случайно между первыми двумя. Доказать, что распределение координаты третьей точки абсолютно непрерывно. Найти его плотность.

?
Задача 10.28

Показать, что если ξ1,ξ2,…\xi_1, \xi_2, \ldots — независимые случайные величины, то обе случайные величины lim inf⁡n→∞ξn\liminf_{n \to \infty } \xi_n и lim sup⁡n→∞ξn\limsup_{n \to \infty } \xi_n вырождены.

?
Задача 10.29

Пусть случайные величины ξ\xi и η\eta таковы, что выполняется P{ξ>0}=P{η>0}=3/4\mathbb {P}\left\{ \xi > 0\right\} = \mathbb {P}\left\{ \eta > 0\right\} = 3/4 и P{ξ+η>0}=1/2\mathbb {P}\left\{ \xi + \eta > 0\right\} = 1/2. Доказать, что ξ\xi и η\eta зависимы.

?
Задача 10.30

Пусть ξ\xi имеет стандартное нормальное распределение, а η=1\eta = 1 при ξ>0\xi > 0 и η=0\eta = 0 при ξ⩽0\xi \leqslant 0. Доказать, что случайные величины ∣ξ∣\left|\xi \right| и η\eta независимы.

?
Задача 10.31

Пусть независимые случайные величины ξ\xi и η\eta имеют функции распределения F(x)F(x) и G(x)G(x) соответственно. Найти функции распределения следующих величин:

?
(а)

max⁡(ξ,η)\max (\xi , \eta );

(б)

min⁡(ξ,η)\min (\xi , \eta );

(в)

max⁡(3ξ,η)\max (3\xi , \eta );

(г)

min⁡(ξ,η3)\min (\xi , \eta^3).

Задача 10.32

К переговорному пункту с двумя кабинами подошли три клиента: первый и второй клиенты заняли соответственно кабины №1 и 2, а третий клиент остался ждать. Предполагая, что времена τ1\tau_1, τ2\tau_2 и τ3\tau_3 разговоров клиентов независимы и распределены показательно с параметром α\alpha, найти:

?
(а)

вероятность того, что третий клиент попадёт в кабину №1;

(б)

плотность распределения времени ожидания третьего клиента;

(в)

вероятность, что третий клиент закончит разговор раньше первого или второго клиента (т.е. раньше одного из них).

Задача 10.33

Когда случайная величина ξ\xi не зависит сама от себя?

?
Задача 10.34

При каких условиях на ξ\xi случайные величины ξ\xi и sin⁡ξ\sin \xi независимы?

?
Задача 10.35

Доказать, что если случайные величины ξ\xi и f(ξ)f(\xi ) (ff — борелевская функция) независимы, то f(ξ)f(\xi ) равно некоторой константе с вероятностью 1.

?
Задача 10.36

Доказать, что если случайные величины ξ\xi и η\eta, а также ξ\xi и ξ−η\xi - \eta независимы, то ξ\xi равно некоторой константе с вероятностью 1.

?
Задача 10.37

Пусть ξ\xi и η\eta — случайные величины. Обязаны ли они быть независимыми, если случайные величины ξ2\xi^2 и η2\eta^2 независимы?

?
Задача 10.38

Пусть независимые случайные величины ξ\xi, η\eta и ζ\zeta принимают лишь значения 0,1,2,…0, 1, 2, \ldots, причём каждое с положительной вероятностью. Доказать, что не существует целого n⩾2n \geqslant 2, для которого равенство ξn+ηn=ζn\xi^n + \eta^n = \zeta^n выполнялось бы с вероятностью 1.

?
Задача 10.39

Пусть ξ\xi и η\eta — независимые случайные величины, причём ξ+η\xi + \eta принимает значения 0, 1 и 2 с вероятностями 1/31/3 каждое. Доказать, что одна из величин ξ\xi или η\eta имеет вырожденное распределение.

?
§
11 · Преобразование независимых случайных величин[45/78%]
Задача 11.1

Пусть дискретные случайные величины ξ\xi и η\eta независимы и имеют распределения Пуассона с параметрами λ\lambda и μ\mu соответственно. Найти распределение суммы ξ+η\xi + \eta.

?
Задача 11.2

Пусть дискретные случайные величины ξ1,…,ξn\xi_1, \ldots , \xi_n независимы и имеют распределения Пуассона с параметрами λ1,…,λn\lambda_1, \ldots , \lambda_n соответственно. Найти распределение их суммы ξ1+…+ξn\xi_1 + \ldots + \xi_n.

?
Задача 11.3

Пусть случайные величины ξ\xi и η\eta независимы, причём ξ\xi имеет биномиальное распределение с параметрами pp и nn, а η\eta — биномиальное распределение с параметрами pp и mm. Найти распределение суммы ξ+η\xi + \eta.

?
Задача 11.4

Пусть ξ1,…,ξn\xi_1, \ldots , \xi_n — независимые случайные величины, каждая из которых принимает значения 0 и 1 с вероятностью 1/21/2. Найти распределение произведения η=∏i=1nξi\eta = \prod_{i=1}^n \xi_i.

?
Задача 11.5

Пусть независимые случайные величины ξ\xi и η\eta имеют одинаковое геометрическое распределение с параметром pp. Положим U=min⁡(ξ,η)U = \min (\xi , \eta ) и V=ξ−ηV = \xi - \eta. Доказать, что случайные величины UU и VV независимы.

?
Задача 11.6

Пусть ξ\xi и η\eta — независимые случайные величины, причём ξ\xi равномерно распределена на отрезке [0,a][0, a], а η\eta равномерно распределена на отрезке [0,b][0, b]. Найти распределение суммы ξ+η\xi + \eta, если:

?
(а)

a=b=1a = b = 1;

(б)

b>ab > a.

Задача 11.7

Пусть случайные величины ξ\xi и η\eta независимы и каждая имеет равномерное распределение на отрезке [0,2][0, 2]. Найти функции распределения и плотности следующих величин:

?
(а)

∣ξ−η∣\left|\xi - \eta \right|;

(б)

min⁡(ξ,η3)\min (\xi , \eta^3);

(в)

ξ−3η\xi - 3\eta;

(г)

max⁡(2ξ,η2)\max (2\xi , \eta^2);

(д)

max⁡(3ξ,η3)\max (3\xi , \eta^3).

Задача 11.8

Решить задачу 11.7 в предположении, что случайные величины ξ\xi и η\eta имеют показательное распределение с параметром α\alpha.

?
(а)
(б)
(в)
(г)
(д)
Задача 11.9

На отрезок [0,1][0, 1] брошены наудачу независимо друг от друга nn точек. Найти:

?
(а)

плотность распределения координаты самой правой точки;

(б)

плотность распределения координаты самой левой точки;

(в)

плотность распределения координаты kk-й слева точки;

(г)

совместную плотность распределения координат самой левой и самой правой точек;

(д)

совместную плотность распределения kk-й и mm-й точек слева (k<mk < m);

(е)

плотность распределения расстояния между самой левой и самой правой точками.

Задача 11.10

Пусть случайные величины ξ1,…,ξn\xi_1, \ldots , \xi_n независимы и каждая имеет симметричное распределение. Доказать, что сумма ξ1+…+ξn\xi_1 + \ldots + \xi_n также имеет симметричное распределение.

?
Задача 11.11

Величину Qξ(y)=sup⁡xP{x⩽ξ⩽x+y}Q_\xi (y) = \sup_x \mathbb {P}\left\{ x \leqslant \xi \leqslant x+y\right\} называют функцией концентрации случайной величины ξ\xi. Доказать, что для любой случайной величины η\eta, не зависящей от ξ\xi, функция концентрации суммы ξ+η\xi + \eta удовлетворяет неравенству

Qξ+η(y)⩽Qξ(y). Q_{\xi +\eta }(y) \leqslant Q_\xi (y).
?
Задача 11.12

Пусть случайные величины ξ\xi и η\eta независимы, причём ξ\xi имеет нормальное распределение с параметрами aa и σ2\sigma^2, а η\eta — нормальное распределение с параметрами bb и θ2\theta^2. Найти распределение суммы ξ+η\xi + \eta.

?
Задача 11.13

Пусть случайные величины ξ1,…,ξn\xi_1, \ldots , \xi_n независимы, причём ξi\xi_i имеет нормальное распределение с параметрами aia_i и σi2\sigma_i^2. Найти распределение суммы ξ1+…+ξn\xi_1 + \ldots + \xi_n.

?
Задача 11.14

Пусть независимые случайные величины ξ\xi и η\eta имеют стандартное нормальное распределение. Доказать, что случайные величины ξ+η\xi + \eta и ξ−η\xi - \eta независимы.

?
Задача 11.15

Совместное распределение случайных величин ξ\xi и η\eta имеет плотность

p(x,y)=12πe−(5x2−6xy+2y2)/2. p(x, y) = \frac{1}{2\pi } e^{-(5x^2 - 6xy + 2y^2)/2}.

Найти плотности распределения:

?
(а)

ξ\xi;

(б)

η\eta;

(в)

ξ+η\xi + \eta;

(г)

вектора (ξ+η,ξ−η)(\xi + \eta , \xi - \eta ).

Задача 11.16

Пусть случайные величины ξ1,…,ξn\xi_1, \ldots , \xi_n независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Найти совместную плотность распределения величин η=∑k=1nξk\eta = \sum_{k=1}^n \xi_k и ζ=∑k=1mξk\zeta = \sum_{k=1}^m \xi_k при m<nm < n.

?
Задача 11.17

Пусть независимые случайные величины ξ\xi и η\eta имеют стандартное нормальное распределение. Найти распределение случайной величины ξ2+η2\xi^2 + \eta^2.

?
Задача 11.18

Пусть случайные величины ξ\xi и η\eta независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Доказать, что величины ξ2+η2\xi^2 + \eta^2 и ξ/η\xi /\eta также независимы.

?
Задача 11.19

Пусть ξ\xi и η\eta — независимые случайные величины, причём ξ\xi имеет показательное распределение с параметром α\alpha, а η\eta — показательное распределение с параметром β\beta. Найти распределение суммы ξ+η\xi + \eta, если:

?
(а)

α=β\alpha = \beta;

(б)

α<β\alpha < \beta.

Задача 11.20

Пусть ξ1,…,ξn\xi_1, \ldots , \xi_n — независимые случайные величины, каждая из которых имеет показательное распределение с параметром α\alpha. Найти распределение суммы ξ1+…+ξn\xi_1 + \ldots + \xi_n.

?
Задача 11.21

Пусть случайные величины ξ\xi и η\eta независимы и имеют распределение Лапласа с параметром α\alpha. Найти плотность распределения суммы ξ+η\xi + \eta.

?
Задача 11.22

Пусть случайные величины ξ\xi и η\eta независимы и имеют распределения Коши с одним и тем же параметром масштаба σ\sigma и параметрами сдвига aa и bb соответственно. Найти плотность распределения суммы ξ+η\xi + \eta.

?
Задача 11.23

Пусть случайные величины ξ1,…,ξn\xi_1, \ldots , \xi_n независимы и имеют распределения Коши с одним и тем же параметром масштаба σ\sigma и с параметрами сдвига a1,…,ana_1, \ldots , a_n соответственно. Найти плотность распределения суммы ξ1+…+ξn\xi_1 + \ldots + \xi_n.

?
Задача 11.24

Пусть случайные величины ξ\xi и η\eta независимы, причём ξ\xi имеет гамма-распределение с параметрами α\alpha и β1\beta_1, а η\eta — гамма-распределение с параметрами α\alpha и β2\beta_2. Найти распределение суммы ξ+η\xi + \eta.

?
Задача 11.25

Пусть случайные величины ξ1,…,ξn\xi_1, \ldots , \xi_n независимы, причём ξi\xi_i имеет гамма-распределение с параметрами α\alpha и βi\beta_i. Найти распределение суммы ξ1+…+ξn\xi_1 + \ldots + \xi_n.

?
Задача 11.26

Пусть случайная величина имеет равномерное распределение на некотором отрезке. Выяснить, может ли она быть представлена в виде суммы двух независимых случайных величин с невырожденными распределениями.

?
Задача 11.27

Пусть ξ\xi и η\eta — независимые случайные величины, причём ξ\xi имеет показательное распределение с параметром α\alpha, а η\eta — показательное распределение с параметром β\beta. Найти распределение разности ξ−η\xi - \eta, если:

?
(а)

α=β\alpha = \beta;

(б)

α<β\alpha < \beta.

Задача 11.28

Пусть ξ\xi, η\eta и ζ\zeta — независимые случайные величины, имеющие одинаковое показательное распределение с параметром α\alpha. Найти совместную плотность распределения случайного вектора (η−ξ,ζ−ξ)(\eta - \xi , \zeta - \xi ).

?
Задача 11.29

Найти плотность распределения частного ξ/η\xi /\eta, если числитель и знаменатель независимы и каждый имеет:

?
(а)

показательное распределение с параметром α\alpha;

(б)

равномерное распределение на отрезке [0,1][0, 1];

(в)

стандартное нормальное распределение.

Задача 11.30

Совместное распределение случайных величин ξ\xi и η\eta имеет плотность p(x,y)=e−x−yp(x, y) = e^{-x-y}, x,y⩾0x, y \geqslant 0. Найти:

?
(а)

плотность совместного распределения случайных величин ξ+η\xi + \eta и ξ/η\xi /\eta;

(б)

доказать, что величины ξ+η\xi + \eta и ξ/η\xi /\eta независимы.

Задача 11.31

Найти плотность распределения произведения ξη\xi \eta, если сомножители независимы и каждый имеет равномерное распределение на отрезке [0,1][0, 1].

?
Задача 11.32

Частица единичной массы расщепляется случайным образом на два осколка с массами ξ\xi и 1−ξ1-\xi. Плотность ff случайной величины ξ\xi сосредоточена в [0,1][0, 1] и, из соображений симметрии, f(x)=f(1−x)f(x) = f(1-x). Массу наименьшего осколка обозначим через ξ1\xi_1, а наибольшего — через ξ2\xi_2. Предположим, что эти два осколка независимо друг от друга расщепляются таким же образом и дают в результате четыре осколка с массами ξ11,ξ12,ξ21\xi_{11}, \xi_{12}, \xi_{21} и ξ22\xi_{22} (то есть ξ11\xi_{11} и ξ12\xi_{12} — масса наименьшего и наибольшего осколков, полученных при расщеплении осколка массы ξ1\xi_1, аналогично для ξ2\xi_2). Найти плотность:

?
(а)

ξ1\xi_1;

(б)

ξ11\xi_{11}.

Задача 11.33

Пусть независимые случайные величины ξ1,…,ξn\xi_1, \ldots , \xi_n равномерно распределены на отрезке [0,1][0, 1]. Найти распределение произведения η=∏i=1nξi\eta = \prod_{i=1}^n \xi_i.

?
Задача 11.34

Случайные величины ξ\xi и η\eta независимы и имеют одинаковое распределение с плотностью

pξ(x)=pη(x)=c1+x4. p_\xi (x) = p_\eta (x) = \frac{c}{1 + x^4}.

Найти постоянную cc и доказать, что величина ξ/η\xi /\eta распределена по закону Коши.

?
Задача 11.35

Пусть ξ\xi и η\eta — независимые случайные величины, причём P{ξ=0}=P{ξ=1}=1/2\mathbb {P}\left\{ \xi = 0\right\} = \mathbb {P}\left\{ \xi = 1\right\} = 1/2, а P{η<x}=x\mathbb {P}\left\{ \eta < x\right\} = x при x∈[0,1]x \in [0, 1]. Найти функции распределения следующих случайных величин:

?
(а)

ξ+η\xi + \eta;

(б)

ξ/2+η\xi /2 + \eta;

(в)

ξ+η/2\xi + \eta /2;

(г)

ξη\xi \eta;

(д)

ηξ\eta^\xi;

(е)

∣ξ−η∣\left|\xi - \eta \right|.

Построить графики найденных функций распределения.

Задача 11.36

Пусть случайные величины ξ\xi и η\eta независимы, причём ξ\xi имеет показательное распределение с параметром α\alpha, а η\eta — равномерное на отрезке [0,h][0, h]. Найти плотности для:

?
(а)

суммы ξ+η\xi + \eta;

(б)

разности ξ−η\xi - \eta.

Задача 11.37

Независимые случайные величины ξ\xi, η\eta и ζ\zeta имеют одно и то же показательное распределение с параметром α\alpha. Найти плотности случайных величин:

?
(а)

ξ+ηξ\dfrac {\xi + \eta }{\xi };

(б)

ξ+ηζ\dfrac {\xi + \eta }{\zeta }.

Задача 11.38

Пусть ξ1,ξ2,…\xi_1, \xi_2, \ldots — независимые одинаково распределённые случайные величины, причём ξ1\xi_1 принимает значения 0,1,…,90, 1, \ldots , 9 с вероятностью 1/101/10 каждое. Найти распределение суммы ряда

∑i=1∞ξi10i. \sum _{i=1}^\infty \frac{\xi _i}{10^i}.
?
Задача 11.39

Пусть ξ1,ξ2,…\xi_1, \xi_2, \ldots — независимые одинаково распределённые случайные величины, причём ξ1\xi_1 принимает значения 0 и 1 с вероятностью 1/21/2 каждое. Найти распределения сумм следующих рядов:

?
(а)

∑i=1∞ξi2i\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \frac{\xi_i}{2^i};

(б)

23∑i=1∞ξi3i−1\dfrac {2}{3}\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \frac{\xi_i}{3^{i-1}}.

Задача 11.40

Пусть независимые случайные величины ξ\xi и η\eta имеют одинаковое показательное распределение с параметром α\alpha. Положим U=min⁡(ξ,η)U = \min (\xi , \eta ) и:

?
(а)

V=ξ−ηV = \xi - \eta;

(б)

V=  1ξ<ηV = \; \mathbb {1}_{\xi < \eta }.

Доказать, что случайные величины UU и VV независимы.

Задача 11.41

Обобщить результат пункта б) задачи 11.40 на произвольное непрерывное распределение.

?
Задача 11.42

Случайные величины ξ\xi и η\eta независимы и имеют показательное распределение с параметром 1. Доказать, что отношение ξξ+η\dfrac {\xi }{\xi + \eta } распределено равномерно на отрезке [0,1][0, 1].

?
Задача 11.43

Пусть независимые случайные величины ξ\xi и η\eta имеют нормальное распределение с параметрами α\alpha и σ2\sigma^2. Найти плотность распределения случайной величины

ξ+η−2αξ−η. \frac{\xi + \eta - 2\alpha }{\xi - \eta }.
?
Задача 11.44

Пусть ξ1,…,ξn\xi_1, \ldots , \xi_n — независимые одинаково распределённые случайные величины с непрерывной функцией распределения FF. Обозначим через νn(x)\nu_n(x) число величин ξi\xi_i, которые меньше xx. Доказать, что распределение случайной величины

Dn=sup⁡x∣νn(x)n−F(x)∣ D_n = \sup _x \left|\frac{\nu _n(x)}{n} - F(x)\right|

не зависит от FF.

?
Задача 11.45

Доказать, что интегральное уравнение

∫−∞∞x(t) dt(y−t)2+1=e−y2 \int _{-\infty }^{\infty } \frac{x(t)\, dt}{(y-t)^2 + 1} = e^{-y^2}

не имеет решения в классе неотрицательных функций.

?
§
12 · Моменты[62/66%]
Задача 12.1

Пусть случайная величина имеет:

?
(а)

биномиальное распределение;

(б)

распределение Пуассона с параметром λ\lambda;

(в)

геометрическое распределение с параметром pp;

(г)

равномерное распределение на отрезке [−a,a][-a, a];

(д)

равномерное распределение на отрезке [a,b][a, b];

(е)

распределение Коши с параметром сдвига aa;

(ж)

показательное распределение с параметром α\alpha;

(з)

распределение Лапласа;

(и)

нормальное распределение с параметрами aa и σ2\sigma^2.

Существует ли у неё математическое ожидание и дисперсия? Если да, посчитать соответствующие значения.

Задача 12.2

Дискретная случайная величина ξ\xi имеет ряд распределения

xi−1012P{ξ=xi}1/51/103/102/5 \begin{array}{c|cccc} x_i & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline \mathbb {P}\left\{ \xi = x_i\right\} & 1/5 & 1/10 & 3/10 & 2/5 \end{array}

Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин:

?
(а)

ξ\xi;

(б)

∣ξ∣\left|\xi \right|;

(в)

ξ2\xi^2;

(г)

2ξ2\xi.

Задача 12.3

Решить задачу 12.2, если дискретная случайная величина ξ\xi имеет ряд распределения

xi−101P{ξ=xi}1/31/61/2 \begin{array}{c|ccc} x_i & -1 & 0 & 1 \\ \hline \mathbb {P}\left\{ \xi = x_i\right\} & 1/3 & 1/6 & 1/2 \end{array}
?
(а)
(б)
(в)
(г)
Задача 12.4

Пусть случайная величина ξ\xi принимает значения −2-2, −1-1, 00, 11 и 22 с равными вероятностями. Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин:

?
(а)

ξ\xi;

(б)

−ξ-\xi;

(в)

∣ξ∣\left|\xi \right|;

(г)

ξ2\xi^2.

Задача 12.5

Двумерное распределение пары целочисленных случайных величин ξ\xi и η\eta задаётся с помощью таблицы

η\ξ−101−11/81/127/2415/241/61/8 \begin{array}{c|ccc} {}_\eta \backslash ^\xi & -1 & 0 & 1 \\ \hline -1 & 1/8 & 1/12 & 7/24 \\ 1 & 5/24 & 1/6 & 1/8 \end{array}

где в пересечении столбца ξ=i\xi = i и строки η=j\eta = j находится вероятность P{ξ=i,η=j}\mathbb {P}\left\{ \xi = i, \eta = j\right\}. Найти:

?
(а)

E[ξ]\mathbb {E}\left[\xi \right], Var⁡[ξ]\operatorname {Var}\left[\xi \right];

(б)

E[η]\mathbb {E}\left[\eta \right], Var⁡[η]\operatorname {Var}\left[\eta \right];

(в)

E[ξη]\mathbb {E}\left[\xi \eta \right];

(г)

E[ξ−2η]\mathbb {E}\left[\xi - 2\eta \right], Var⁡[ξ−2η]\operatorname {Var}\left[\xi - 2\eta \right].

Задача 12.6

Решить задачу 12.5, если двумерное распределение случайных величин ξ\xi и η\eta задаётся с помощью таблицы

η\ξ−201−11/61/61/621/61/61/6 \begin{array}{c|ccc} {}_\eta \backslash ^\xi & -2 & 0 & 1 \\ \hline -1 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\ 2 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \end{array}
?
(а)
(б)
(в)
Задача 12.7

Вероятность поражения цели при каждом выстреле постоянна и равна 3/53/5. Производится три выстрела. Вычислить математическое ожидание и дисперсию числа попаданий.

?
Задача 12.8

Вероятность поражения цели при каждом выстреле постоянна и равна 3/53/5. Стрельба ведётся до первого попадания. Вычислить математическое ожидание и дисперсию числа произведённых выстрелов, если у стрелка всего 4 патрона.

?
Задача 12.9

Дискретная случайная величина ξ\xi имеет ряд распределения

xi01x3P{ξ=xi}p10,30,6 \begin{array}{c|ccc} x_i & 0 & 1 & x_3 \\ \hline \mathbb {P}\left\{ \xi = x_i\right\} & p_1 & 0{,}3 & 0{,}6 \end{array}

Найти вероятность p1p_1 и значение x3x_3, если E[ξ]=2,7\mathbb {E}\left[\xi \right] = 2{,}7.

?
Задача 12.10

Случайная величина ξ\xi может принимать только следующие значения: −2-2, −1-1, 00, 11 и 22. С какими вероятностями ξ\xi принимает эти значения, если:

?
(а)

E[ξ]=E[ξ3]=0\mathbb {E}\left[\xi \right] = \mathbb {E}\left[\xi^3\right] = 0, E[ξ2]=1\mathbb {E}\left[\xi^2\right] = 1 и E[ξ4]=2\mathbb {E}\left[\xi^4\right] = 2;

(б)

E[ξ]=E[ξ3]=0\mathbb {E}\left[\xi \right] = \mathbb {E}\left[\xi^3\right] = 0, E[ξ2]=2\mathbb {E}\left[\xi^2\right] = 2 и E[ξ4]=6\mathbb {E}\left[\xi^4\right] = 6?

Задача 12.11

Случайная величина ξ\xi имеет биномиальное распределение. Определить параметры распределения, если E[ξ]=3,2\mathbb {E}\left[\xi \right] = 3{,}2, а σ2=0,64\sigma^2 = 0{,}64.

?
Задача 12.12

Вычислить E[(1+ξ)−1]\mathbb {E}\left[(1+\xi )^{-1}\right], если случайная величина ξ\xi имеет:

?
(а)

распределение Пуассона с параметром λ\lambda;

(б)

биномиальное распределение с параметрами nn и pp.

Задача 12.13

Находящийся в силовом поле электрон имеет энергию VV, принимающую значения vi=a(i+1/2)v_i = a(i + 1/2), i=1,2,…i = 1, 2, \ldots, с вероятностями, пропорциональными e−bvie^{-bv_i}; aa и bb — постоянные. Найти E[V]\mathbb {E}\left[V\right] и Var⁡[V]\operatorname {Var}\left[V\right].

?
Задача 12.14

Пусть ξ1,ξ2,…\xi_1, \xi_2, \ldots — независимые случайные величины, принимающие значения 1 и 0 с вероятностями pp и 1−p1-p соответственно. Найти среднее значение и дисперсию суммы ζ=η1+…+ηn\zeta = \eta_1 + \ldots + \eta_n, если:

?
(а)

ηi=ξiξi+1\eta_i = \xi_i \xi_{i+1};

(б)

ηi={0,если ξi+ξi+1 — число чётное,1,если ξi+ξi+1=1.\eta_i = \begin{cases} 0, & \text{если } \xi_i + \xi_{i+1} \text{ — число чётное}, \\ 1, & \text{если } \xi_i + \xi_{i+1} = 1. \end{cases}

Задача 12.15

Бросают nn игральных костей. Найти математическое ожидание и дисперсию суммы очков на всех костях.

?
Задача 12.16

Для группы из nn человек найти математическое ожидание числа дней в году, на каждый из которых:

?
(а)

приходятся дни рождения ровно kk человек;

(б)

приходятся дни рождения по крайней мере двух человек.

Задача 12.17

Доказать, что если случайная величина ξ\xi принимает лишь целые неотрицательные значения, то

E[ξ]=∑n=1∞P{ξ⩾n}. \mathbb {E}\left[\xi \right] = \sum _{n=1}^\infty \mathbb {P}\left\{ \xi \geqslant n\right\} .
?
Задача 12.18

Пусть rr занумерованных частиц случайно размещаются в nn ячейках. Найти среднее значение числа пустых ячеек.

?
Задача 12.19

Независимые случайные величины ξ1,…,ξn\xi_1, \ldots , \xi_n равномерно распределены в множестве {1,2,…,J}\left\{ 1, 2, \ldots , J\right\}. Определим случайную величину ν\nu равной числу различных значений среди ξ1,ξ2,…,ξn\xi_1, \xi_2, \ldots , \xi_n. Найти E[ν]\mathbb {E}\left[\nu \right].

?
Задача 12.20

Доказать, что если случайная величина ξ\xi принимает лишь неотрицательные значения, то

∑n=1∞P{ξ⩾n}⩽E[ξ]⩽∑n=1∞P{ξ⩾n}+1. \sum _{n=1}^\infty \mathbb {P}\left\{ \xi \geqslant n\right\} \leqslant \mathbb {E}\left[\xi \right] \leqslant \sum _{n=1}^\infty \mathbb {P}\left\{ \xi \geqslant n\right\} + 1.
?
Задача 12.21
?
(а)

Доказать, что E[∣ξ∣]\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|\right] конечно тогда и только тогда, когда ∑nP{∣ξ∣>n}<∞\displaystyle \sum_n \mathbb {P}\left\{ \left|\xi \right| > n\right\} < \infty.

(б)

Доказать, что E[ξ2]\mathbb {E}\left[\xi^2\right] конечно тогда и только тогда, когда ∑nnP{∣ξ∣>n}<∞\displaystyle \sum_n n\mathbb {P}\left\{ \left|\xi \right| > n\right\} < \infty.

Задача 12.22
?
(а)

Доказать, что если P{ξ⩾0}=1\mathbb {P}\left\{ \xi \geqslant 0\right\} = 1, то

E[ξ]=∫0∞P{ξ⩾x} dx. \mathbb {E}\left[\xi \right] = \int _0^\infty \mathbb {P}\left\{ \xi \geqslant x\right\} \, dx.
(б)

Доказать, что если E[∣ξ∣]<∞\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|\right] < \infty, то

E[ξ]=∫0∞P{ξ⩾x} dx−∫−∞0P{ξ<x} dx. \mathbb {E}\left[\xi \right] = \int _0^\infty \mathbb {P}\left\{ \xi \geqslant x\right\} \, dx - \int _{-\infty }^0 \mathbb {P}\left\{ \xi < x\right\} \, dx.
Задача 12.23

Пусть независимые случайные величины ξ1,ξ2,…\xi_1, \xi_2, \ldots имеют одну и ту же функцию распределения FF. Пусть xx — некоторое число такое, что 0<F(x)<10 < F(x) < 1. Обозначим через ν(x)\nu (x) номер первой случайной величины, значение которой больше или равно xx. Доказать, что E[ν(x)]=(1−F(x))−1\mathbb {E}\left[\nu (x)\right] = (1 - F(x))^{-1}.

?
Задача 12.24

Пусть ξ1,ξ2,…\xi_1, \xi_2, \ldots — независимые одинаково распределённые случайные величины со средним значением aa и дисперсией σ2\sigma^2. Пусть ν\nu — положительная целочисленная случайная величина, не зависящая от {ξn}\left\{ \xi_n\right\} и имеющая среднее значение bb и дисперсию θ2\theta^2. Найти среднее значение и дисперсию случайной суммы ξ1+…+ξν\xi_1 + \ldots + \xi_\nu.

?
Задача 12.25

Распределение случайной величины ξ\xi имеет плотность

p(x)={2xпри x∈[0,1],0при x∉[0,1]. p(x) = \begin{cases} 2x & \text{при } x \in [0, 1], \\ 0 & \text{при } x \notin [0, 1]. \end{cases}

Найти математические ожидания и дисперсии следующих величин:

?
(а)

ξ\xi;

(б)

∣ξ−1/2∣\left|\xi - 1/2\right|;

(в)

ξ2\xi^2;

(г)

ξ2+ξ\xi^2 + \xi.

Задача 12.26

Распределение случайной величины ξ\xi имеет плотность

p(x)={1/x2при x⩾1,0при x<1. p(x) = \begin{cases} 1/x^2 & \text{при } x \geqslant 1, \\ 0 & \text{при } x < 1. \end{cases}

Найти математические ожидания и дисперсии следующих величин:

?
(а)

ξ\xi;

(б)

1/ξ1/\xi.

Задача 12.27

Диаметр круга измерен приближённо. Считая, что его величина равномерно распределена на отрезке [a,b][a, b], найти среднее значение и дисперсию площади круга.

?
Задача 12.28

Пусть случайная величина ξ\xi имеет равномерное распределение на отрезке [0,1][0, 1]. Вычислить E[sin⁡2πξ]\mathbb {E}\left[\sin^2\pi \xi \right], Var⁡[sin⁡2πξ]\operatorname {Var}\left[\sin^2\pi \xi \right].

?
Задача 12.29

Пусть случайная величина ξ\xi имеет стандартное распределение Коши. Вычислить E[min⁡(∣ξ∣,1)]\mathbb {E}\left[\min (\left|\xi \right|, 1)\right].

?
Задача 12.30

Случайная величина ξ\xi имеет показательное распределение с параметром α\alpha. Установить, при каких значениях α\alpha существуют математическое ожидание и дисперсия случайной величины eξe^\xi.

?
Задача 12.31

Случайная величина ξ\xi имеет стандартное нормальное распределение. Найти:

?
(а)

E[∣ξ∣]\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|\right];

(б)

E[ξn]\mathbb {E}\left[\xi^n\right], n∈Nn \in \mathbb {N}.

Задача 12.32

Случайная величина ξ\xi имеет нормальное распределение с параметрами aa и σ2\sigma^2. Найти E[∣ξ−E[ξ]∣]\mathbb {E}\left[\left|\xi - \mathbb {E}\left[\xi \right]\right|\right].

?
Задача 12.33

В дополнение к условиям задачи 6.22 предположим, что организаторы матча учредили призовой фонд в 100 тугриков. Какую сумму денег следует присудить игроку А?

?
Задача 12.34

Случайные величины ξ\xi и η\eta независимы, причём ξ\xi имеет нормальное распределение с параметрами 2 и 1/21/2, а η\eta — равномерное распределение на отрезке [0,4][0, 4]. Найти:

?
(а)

E[ξ+η]\mathbb {E}\left[\xi + \eta \right];

(б)

E[ξη]\mathbb {E}\left[\xi \eta \right];

(в)

E[ξ2]\mathbb {E}\left[\xi^2\right];

(г)

E[ξ−η2]\mathbb {E}\left[\xi - \eta^2\right];

(д)

Var⁡[ξ+η]\operatorname {Var}\left[\xi + \eta \right];

(е)

Var⁡[ξ−η]\operatorname {Var}\left[\xi - \eta \right].

Задача 12.35

Случайные величины ξ\xi и η\eta независимы, причём E[ξ]=2\mathbb {E}\left[\xi \right] = 2, Var⁡[ξ]=1\operatorname {Var}\left[\xi \right] = 1, E[η]=1\mathbb {E}\left[\eta \right] = 1, Var⁡[η]=3\operatorname {Var}\left[\eta \right] = 3. Найти среднее значение и дисперсию случайной величины:

?
(а)

ξ−2η\xi - 2\eta;

(б)

2ξ−η2\xi - \eta.

Задача 12.36

Случайные величины ξ\xi, η\eta и ζ\zeta независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Найти среднее значение и дисперсию случайной величины ξ+ξη+ξηζ\xi + \xi \eta + \xi \eta \zeta.

?
Задача 12.37

Доказать, что если E[ξ2]=E[ξ3]=E[ξ4]\mathbb {E}\left[\xi^2\right] = \mathbb {E}\left[\xi^3\right] = \mathbb {E}\left[\xi^4\right], то случайная величина ξ\xi дискретна и может принимать лишь значения 0 и 1.

?
Задача 12.38

Выяснить, существует ли случайная величина ξ\xi такая, что E[ξ]=1\mathbb {E}\left[\xi \right] = 1, E[ξ2]=2\mathbb {E}\left[\xi^2\right] = 2, E[ξ3]=3\mathbb {E}\left[\xi^3\right] = 3, E[ξ4]=4\mathbb {E}\left[\xi^4\right] = 4 и E[ξ5]=5\mathbb {E}\left[\xi^5\right] = 5?

?
Задача 12.39

Найти возможное распределение случайной величины ξ\xi, если E[ξ2n]\mathbb {E}\left[\xi^{2n}\right], E[ξ2n+1]\mathbb {E}\left[\xi^{2n+1}\right] и E[ξ2n+2]\mathbb {E}\left[\xi^{2n+2}\right] при некотором натуральном nn являются последовательными членами арифметической прогрессии.

?
Задача 12.40

Найти возможное распределение случайной величины ξ\xi, если E[ξn]\mathbb {E}\left[\xi^n\right], E[ξn+1]\mathbb {E}\left[\xi^{n+1}\right] и E[ξn+2]\mathbb {E}\left[\xi^{n+2}\right] при некотором натуральном nn являются последовательными членами геометрической прогрессии.

?
Задача 12.41

Случайная точка (ξ,η)(\xi , \eta ) имеет равномерное распределение в квадрате {(x,y):0⩽x,y⩽1}\left\{ (x, y) : 0 \leqslant x, y \leqslant 1\right\}. Найти средние значения и дисперсии следующих величин:

?
(а)

ζ=ξη\zeta = \xi \eta;

(б)

ζ=max⁡(ξ,η)\zeta = \max (\xi , \eta ).

Задача 12.42

Пусть случайные величины ξ\xi и η\eta независимы, причём ξ\xi имеет равномерное распределение на отрезке [0,1][0, 1], а η\eta — на отрезке [1,2][1, 2]. Найти средние значения и дисперсии следующих величин:

?
(а)

ζ=ξη\zeta = \xi \eta;

(б)

ζ=max⁡(ξ,η)\zeta = \max (\xi , \eta ).

Задача 12.43

Привести пример случайной величины ξ\xi:

?
(а)

с дискретным;

(б)

с абсолютно непрерывным

распределением, у которой не существует среднего значения.

Задача 12.44

Привести пример случайной величины ξ\xi с:

?
(а)

с дискретным;

(б)

с абсолютно непрерывным

распределением, у которой среднее значение существует, а дисперсия не существует.

Задача 12.45

Привести пример случайной величины ξ\xi:

?
(а)

с дискретным;

(б)

с абсолютно непрерывным

распределением, у которой kk-й момент существует, а (k+1)(k+1)-й не существует.

Задача 12.46

Привести пример неотрицательной случайной величины ξ\xi, у которой

?
(а)

E[ξ]\mathbb {E}\left[\xi \right] является медианой;

(б)

E[ξ]\mathbb {E}\left[\xi \right] строго больше медианы;

(в)

E[ξ]\mathbb {E}\left[\xi \right] строго меньше медианы.

Задача 12.47

Найти:

?
(а)

inf⁡a∈RE[(ξ−a)2]\inf_{a \in \mathbb {R}} \mathbb {E}\left[(\xi - a)^2\right];

(б)

inf⁡a∈RE[∣ξ−a∣]\inf_{a \in \mathbb {R}} \mathbb {E}\left[\left|\xi - a\right|\right].

Задача 12.48

Привести пример зависимых случайных величин ξ\xi и η\eta, для которых E[ξη]=E[ξ]E[η]\mathbb {E}\left[\xi \eta \right] = \mathbb {E}\left[\xi \right]\mathbb {E}\left[\eta \right].

?
Задача 12.49

В одной западной стране мальчик подрабатывает тем, что торгует газетами; он закупает газету по 4 цента за штуку и продаёт по 7 центов. При этом он не может возвращать обратно непроданные газеты и несёт на них убыток. Предположим, что число возможных продаж в один день случайно и имеет распределение Пуассона со средним значением 50. Сколько газет должен закупать бедняга для того, чтобы максимизировать свою среднюю прибыль?

?
Задача 12.50

Пусть случайные величины ξ\xi и η\eta имеют плотности ff и gg соответственно; aa — некоторое число. Доказать, что если f(x)⩾g(x)f(x) \geqslant g(x) при x<ax < a и f(x)⩽g(x)f(x) \leqslant g(x) при x>ax > a, то E[ξ]⩽E[η]\mathbb {E}\left[\xi \right] \leqslant \mathbb {E}\left[\eta \right].

?
Задача 12.51

Пусть случайные величины ξ1\xi_1 и ξ2\xi_2 положительны и одинаково распределены. Верно ли, что

E[ξ1ξ1+ξ2]=E[ξ2ξ1+ξ2] ? \mathbb {E}\left[\frac{\xi _1}{\xi _1+\xi _2}\right] = \mathbb {E}\left[\frac{\xi _2}{\xi _1+\xi _2}\right]\, ?
?
Задача 12.52

Доказать, что если случайные величины ξ1,…,ξn\xi_1, \ldots , \xi_n независимы, положительны и одинаково распределены, то при k⩽nk \leqslant n

E[ξ1+…+ξkξ1+…+ξn]=kn. \mathbb {E}\left[\frac{\xi _1 + \ldots + \xi _k}{\xi _1 + \ldots + \xi _n}\right] = \frac{k}{n}.
?
Задача 12.53

Доказать, что если каждая из случайных величин ξ\xi и η\eta принимает только два значения, то из равенства E[ξη]=E[ξ]E[η]\mathbb {E}\left[\xi \eta \right] = \mathbb {E}\left[\xi \right]\mathbb {E}\left[\eta \right] вытекает независимость ξ\xi и η\eta.

?
Задача 12.54

Пусть случайная величина ξ\xi такова, что выполняется P{0<ξ<1}=1\mathbb {P}\left\{ 0 < \xi < 1\right\} = 1. Доказать, что Var⁡[ξ]<E[ξ]\operatorname {Var}\left[\xi \right] < \mathbb {E}\left[\xi \right].

?
Задача 12.55

Какому условию должны удовлетворять независимые случайные величины ξ\xi и η\eta, чтобы Var⁡[ξη]=Var⁡[ξ]Var⁡[η]\operatorname {Var}\left[\xi \eta \right] = \operatorname {Var}\left[\xi \right]\operatorname {Var}\left[\eta \right]?

?
Задача 12.56

Пусть ξ\xi — случайная величина такая, что существует E[∣ξ−1∣3]\mathbb {E}\left[\left|\xi -1\right|^3\right]. Доказать, что существует E[∣ξ∣3]\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^3\right].

?
Задача 12.57

Пусть ξ\xi и η\eta — независимые случайные величины такие, что существует E[∣ξ+η∣a]\mathbb {E}\left[\left|\xi +\eta \right|^a\right], a>0a > 0. Доказать, что существуют E[∣ξ∣a]\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^a\right] и E[∣η∣a]\mathbb {E}\left[\left|\eta \right|^a\right].

?
Задача 12.58

Пусть ξ\xi — случайная величина и a>1a > 1 — действительное число. Доказать, что если

lim⁡x→∞P{∣ξ∣>ax}P{∣ξ∣>x}=0, \lim _{x \to \infty } \frac{\mathbb {P}\left\{ \left|\xi \right| > ax\right\} }{\mathbb {P}\left\{ \left|\xi \right| > x\right\} } = 0,

то E[∣ξ∣k]\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^k\right] существует при любом k>0k > 0.

?
Задача 12.59

Пусть случайная величина ξ\xi принимает конечное число неотрицательных значений x1,…,xsx_1, \ldots , x_s. Доказать, что при n→∞n \to \infty:

?
(а)

E[ξn+1]E[ξn]→max⁡(x1,…,xs)\dfrac {\mathbb {E}\left[\xi^{n+1}\right]}{\mathbb {E}\left[\xi^n\right]} \to \max (x_1, \ldots , x_s);

(б)

E[ξn]n→max⁡(x1,…,xs)\sqrt[n]{\mathbb {E}\left[\xi^n\right]} \to \max (x_1, \ldots , x_s).

Задача 12.60

Пусть ξ\xi и η\eta — случайные величины. Доказать, что если существуют E[ξ]\mathbb {E}\left[\xi \right] и E[η]\mathbb {E}\left[\eta \right], то существует E[max⁡(ξ,η)]\mathbb {E}\left[\max (\xi , \eta )\right]. Верно ли обратное? Верно ли обратное для неотрицательных случайных величин ξ\xi и η\eta?

?
Задача 12.61

Пусть ξ\xi и η\eta — случайные величины. Доказать, что если существуют E[max⁡(ξ,η)]\mathbb {E}\left[\max (\xi , \eta )\right] и E[min⁡(ξ,η)]\mathbb {E}\left[\min (\xi , \eta )\right], то существуют E[ξ]\mathbb {E}\left[\xi \right] и E[η]\mathbb {E}\left[\eta \right], причём E[ξ]+E[η]=E[max⁡(ξ,η)]+E[min⁡(ξ,η)]\mathbb {E}\left[\xi \right] + \mathbb {E}\left[\eta \right] = \mathbb {E}\left[\max (\xi , \eta )\right] + \mathbb {E}\left[\min (\xi , \eta )\right].

?
Задача 12.62

Пусть положительные случайные величины ξ\xi и η\eta независимы и имеют плотности ff и gg соответственно. Доказать, что если E[ξ]<∞\mathbb {E}\left[\xi \right] < \infty, то отношение ξ/η\xi /\eta имеет конечное математическое ожидание тогда и только тогда, когда

∫01g(y)y dy<∞. \int _0^1 \frac{g(y)}{y}\, dy < \infty .
?
§
13 · Ковариация и коэффициент корреляции[25/68%]
Задача 13.1

Доказать, что

Var⁡[ξ1+…+ξn]=∑i=1nVar⁡[ξi]+∑i≠jCov⁡[ξi,ξj]. \operatorname {Var}\left[\xi _1 + \ldots + \xi _n\right] = \sum _{i=1}^n \operatorname {Var}\left[\xi _i\right] + \sum _{i \neq j} \operatorname {Cov}\left[ \xi _i, \xi _j \right].
?
Задача 13.2

Доказать, что независимость случайных величин ξ\xi и η\eta влечёт равенство Cov⁡[ξ,η]=0\operatorname {Cov}\left[ \xi , \eta \right] = 0.

?
Задача 13.3

Доказать, что:

?
(а)

∣Corr⁡[ξ,η]∣⩽1\left|\operatorname {Corr}\left[ \xi , \eta \right]\right| \leqslant 1;

(б)

∣Corr⁡[ξ,η]∣=1\left|\operatorname {Corr}\left[ \xi , \eta \right]\right| = 1 тогда и только тогда, когда случайные величины ξ\xi и η\eta с вероятностью 1 линейно зависимы, т.е. существуют константы a≠0a \neq 0 и bb такие, что P{η=aξ+b}=1\mathbb {P}\left\{ \eta = a\xi + b\right\} = 1.

Задача 13.4

Построить пример двух зависимых случайных величин, у которых коэффициент корреляции равен нулю.

?
Задача 13.5

Найти Cov⁡[ξ,η]\operatorname {Cov}\left[ \xi , \eta \right] для случайных величин с таблицей распределения, приведённой в задаче:

?
(а)

12.5;

(б)

12.6.

Задача 13.6

Пусть случайная величина ξ\xi принимает значения 0, 1 и −1-1 с вероятностями 1/31/3, 1/21/2 и 1/61/6 соответственно. Найти коэффициент корреляции между ξ\xi и ξ2\xi^2.

?
Задача 13.7

Пусть случайные величины ξ\xi и η\eta независимы, P{ξ=1}=P{ξ=−1}=1/2\mathbb {P}\left\{ \xi =1\right\} = \mathbb {P}\left\{ \xi =-1\right\} = 1/2, P{η=1}=P{η=−1}=1/4\mathbb {P}\left\{ \eta =1\right\} = \mathbb {P}\left\{ \eta =-1\right\} = 1/4 и P{η=0}=1/2\mathbb {P}\left\{ \eta =0\right\} = 1/2. Будут ли случайные величины ξη\xi \eta и η\eta:

?
(а)

независимыми;

(б)

некоррелированными?

Задача 13.8

Найти коэффициент корреляции между числом выпавших «единиц» и числом «шестёрок» при nn бросаниях правильной игральной кости.

?
Задача 13.9

Случайная точка (ξ,η)(\xi , \eta ) имеет равномерное распределение в квадрате {(x,y):∣x∣+∣y∣⩽2}\left\{ (x, y) : \left|x\right| + \left|y\right| \leqslant \sqrt{2}\right\}.

?
(а)

Найти среднее значение и дисперсию ξ\xi.

(б)

Найти среднее значение и дисперсию η\eta.

(в)

Найти Cov⁡[ξ,η]\operatorname {Cov}\left[ \xi , \eta \right].

(г)

Проверить, зависимы или нет ξ\xi и η\eta.

Задача 13.10

Случайная точка (ξ,η)(\xi , \eta ) имеет равномерное распределение в треугольнике с вершинами в точках (0,0)(0, 0), (2,1)(2, 1), (2,0)(2, 0).

?
(а)

Найти среднее значение и дисперсию ξ\xi.

(б)

Найти среднее значение и дисперсию η\eta.

(в)

Найти Cov⁡[ξ,η]\operatorname {Cov}\left[ \xi , \eta \right].

(г)

Проверить, зависимы или нет ξ\xi и η\eta.

Задача 13.11

Случайная точка (ξ,η)(\xi , \eta ) распределена равномерно внутри единичного круга с центром в начале координат.

?
(а)

Найти математическое ожидание и дисперсию ζ=ξη\zeta = \xi \eta.

(б)

Найти Cov⁡[ξ,η]\operatorname {Cov}\left[ \xi , \eta \right].

(в)

Проверить, зависимы или нет ξ\xi и η\eta.

Задача 13.12

Совместное распределение случайных величин ξ\xi и η\eta имеет плотность

p(x,y)={x+yпри 0⩽x⩽1, 0⩽y⩽1,0иначе. p(x, y) = \begin{cases} x+y & \text{при } 0 \leqslant x \leqslant 1,\ 0 \leqslant y \leqslant 1, \\ 0 & \text{иначе.} \end{cases}
?
(а)

Найти среднее значение и дисперсию ξ\xi.

(б)

Найти среднее значение и дисперсию η\eta.

(в)

Найти Cov⁡[ξ,η]\operatorname {Cov}\left[ \xi , \eta \right].

Задача 13.13

На отрезок [0,a][0, a] наудачу брошены две точки. Найти:

?
(а)

математическое ожидание и дисперсию расстояния между ними;

(б)

ковариацию координат левой и правой точек.

Задача 13.14

Найти коэффициент корреляции между случайными величинами ξ\xi и η=e−ξ\eta = e^{-\xi }, если ξ\xi имеет стандартное нормальное распределение.

?
Задача 13.15

Случайные величины ξ\xi и η\eta независимы и нормально распределены с параметрами aa и σ2\sigma^2. Найти:

?
(а)

коэффициент корреляции величин αξ+βη\alpha \xi + \beta \eta и αξ−βη\alpha \xi - \beta \eta;

(б)

их совместное распределение.

Задача 13.16

Пусть ξ\xi — случайная величина с симметричным распределением и конечной дисперсией. Найти коэффициент корреляции случайных величин ξ\xi и ∣ξ∣\left|\xi \right|.

?
Задача 13.17

Пусть случайные величины ξ1,…,ξn+m\xi_1, \ldots , \xi_{n+m} независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию. Для n>mn > m найти коэффициент корреляции между суммами ξ1+…+ξn\xi_1 + \ldots + \xi_n и ξm+1+…+ξm+n\xi_{m+1} + \ldots + \xi_{m+n}.

?
Задача 13.18

Привести пример двух случайных величин ξ\xi и η\eta таких, что E[ξ]\mathbb {E}\left[\xi \right] и E[η]\mathbb {E}\left[\eta \right] существуют, а E[ξη]\mathbb {E}\left[\xi \eta \right] не существует.

?
Задача 13.19

В урне aa белых и bb чёрных шаров. Из урны вынимают одновременно kk шаров, k⩽a+bk \leqslant a+b. Найти математическое ожидание и дисперсию числа вынутых белых шаров.

?
Задача 13.20

Для группы из nn человек найти математическое ожидание и дисперсию числа дней в году, на каждый из которых не приходится ни одного дня рождения.

?
Задача 13.21

Написаны nn писем, предназначенных разным адресатам. Имеется nn конвертов с соответствующими адресами. Письма в случайном порядке вложены в конверты. Найти среднее значение и дисперсию числа писем, посланных по правильному адресу.

?
Задача 13.22

Доказать, что не существует трёх случайных величин ξ\xi, η\eta и ζ\zeta таких, что коэффициент корреляции любых двух из них равен −1-1.

?
Задача 13.23

Пусть ξ1,…,ξn\xi_1, \ldots , \xi_n — случайные величины, причём коэффициент корреляции любых двух из них равен одному и тому же числу ρ\rho. Доказать, что ρ⩾−1/(n−1)\rho \geqslant -1/(n-1).

?
Задача 13.24

Пусть случайные величины ξ\xi и η\eta имеют нулевые средние значения, единичные дисперсии и коэффициент корреляции ρ\rho. Показать, что E[max⁡(ξ2,η2)]⩽1+1−ρ2\mathbb {E}\left[\max (\xi^2, \eta^2)\right] \leqslant 1 + \sqrt{1-\rho^2}.

?
Задача 13.25

Пусть случайные величины ξ\xi и η\eta имеют нулевые средние значения, единичные дисперсии и коэффициент корреляции ρ\rho, 0<ρ<10 < \rho < 1. Найти все значения aa и bb, при которых случайные величины ξ−aη\xi - a\eta и η−bξ\eta - b\xi некоррелированы.

?
§
14 · Неравенства[16/25%]
Задача 14.1

Пусть g(x)g(x) — неотрицательная возрастающая функция и ξ\xi — произвольная случайная величина. Доказать, что для любого xx справедливо неравенство

P{ξ⩾x}⩽E[g(ξ)]g(x). \mathbb {P}\left\{ \xi \geqslant x\right\} \leqslant \frac{\mathbb {E}\left[g(\xi )\right]}{g(x)}.
?
Задача 14.2

Пусть E[ξ2]<∞\mathbb {E}\left[\xi^2\right] < \infty. Доказать, что

P{∣ξ−E[ξ]∣>3Var⁡[ξ]}⩽1/9. \mathbb {P}\left\{ \left|\xi - \mathbb {E}\left[\xi \right]\right| > 3\sqrt{\operatorname {Var}\left[\xi \right]}\right\} \leqslant 1/9.
?
Задача 14.3

Доказать, что для произвольных случайных величин ξ\xi и η\eta

E[∣ξη∣]⩽E[ξ2]E[η2]. \mathbb {E}\left[\left|\xi \eta \right|\right] \leqslant \sqrt{\mathbb {E}\left[\xi ^2\right]\mathbb {E}\left[\eta ^2\right]}.
?
Задача 14.4

Пусть E[∣ξ∣r]<∞\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^r\right] < \infty. Доказать, что:

?
(а)

(E[∣ξ∣s])r⩽(E[∣ξ∣r])s(\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^s\right])^r \leqslant (\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^r\right])^s для любого s∈(0,r)s \in (0, r);

(б)

(E[∣ξ∣s])1/s⩽(E[∣ξ∣r])1/r(\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^s\right])^{1/s} \leqslant (\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^r\right])^{1/r} для любого s∈(0,r)s \in (0, r).

Задача 14.5

Доказать, что E[∣ξ∣]⩽E[∣ξ∣r]r\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|\right] \leqslant \sqrt[r]{\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^r\right]} при r>1r > 1.

?
Задача 14.6

Доказать, что для случайной величины ξ\xi с конечной дисперсией и для любого x>0x > 0

P{∣ξ−E[ξ]∣>x}⩽2Var⁡[ξ]x2+Var⁡[ξ]. \mathbb {P}\left\{ \left|\xi - \mathbb {E}\left[\xi \right]\right| > x\right\} \leqslant \frac{2\operatorname {Var}\left[\xi \right]}{x^2 + \operatorname {Var}\left[\xi \right]}.
?
Задача 14.7

Пусть ξ\xi — случайная величина, E[ehξ]<∞\mathbb {E}\left[e^{h\xi }\right] < \infty, h>0h > 0. Доказать, что для любого xx

P{ξ⩾x}⩽E[ehξ]/ehx. \mathbb {P}\left\{ \xi \geqslant x\right\} \leqslant \mathbb {E}\left[e^{h\xi }\right]/e^{hx}.
?
Задача 14.8

Пусть случайная величина ξ\xi имеет распределение Пуассона с параметром λ\lambda. Доказать, что для любого x>0x > 0:

?
(а)

P{ξ⩾x}⩽λ/x\mathbb {P}\left\{ \xi \geqslant x\right\} \leqslant \lambda /x;

(б)

P{ξ⩾x}⩽eλ/2x\mathbb {P}\left\{ \xi \geqslant x\right\} \leqslant e^\lambda /2^x;

(в)

P{ξ⩾2λ}⩽1/max⁡(2,λ)\mathbb {P}\left\{ \xi \geqslant 2\lambda \right\} \leqslant 1/\max (2, \lambda ).

Задача 14.9

Пусть случайная величина ξ\xi имеет:

?
(а)

распределение Пуассона с параметром λ\lambda;

(б)

показательное распределение с параметром α\alpha;

(в)

стандартное нормальное распределение.

Определить значение параметра hh, доставляющее минимум выражению в правой части неравенства в задаче 14.7. Найти значение этого минимума.

Задача 14.10

Доказать следующие неравенства:

?
(а)

E[ξ4]⩾(E[ξ])4\mathbb {E}\left[\xi^4\right] \geqslant (\mathbb {E}\left[\xi \right])^4;

(б)

E[ξ2]E[ξ4]⩾(E[ξ3])2\mathbb {E}\left[\xi^2\right]\mathbb {E}\left[\xi^4\right] \geqslant (\mathbb {E}\left[\xi^3\right])^2.

Когда в этих неравенствах возможен знак равенства?

Задача 14.11

Правомерно ли следующее рассуждение: «От дома до работы 1 км, хожу я в среднем со скоростью 5 км/ч, следовательно, в среднем на дорогу у меня уходит 12 мин»?

?
Задача 14.12

Доказать, что если случайная величина ξ\xi имеет момент порядка kk, то её функция распределения FF удовлетворяет соотношению

lim⁡x→∞xk(1−F(x)+F(−x))=0. \lim _{x \to \infty } x^k (1 - F(x) + F(-x)) = 0.
?
Задача 14.13

Доказать, что E[ξ2]=0\mathbb {E}\left[\xi^2\right] = 0 равносильно P{ξ=0}=1\mathbb {P}\left\{ \xi = 0\right\} = 1.

?
Задача 14.14

Предположим, что E[∣ξ∣p]=0\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^p\right] = 0 для некоторого p>0p > 0. Что можно сказать про случайную величину ξ\xi?

?
Задача 14.15

Пусть случайная величина ξ\xi имеет конечное математическое ожидание, причём E[ξ  1A]=0\mathbb {E}\left[\xi \; \mathbb {1}_{A}\right] = 0 для любого события AA. Доказать, что P{ξ=0}=1\mathbb {P}\left\{ \xi = 0\right\} = 1.

?
Задача 14.16

Доказать, что для любой неотрицательной случайной величины ξ\xi с конечной дисперсией выполняется неравенство

P{ξ=0}⩽Var⁡[ξ]Var⁡[ξ]+(E[ξ])2. \mathbb {P}\left\{ \xi = 0\right\} \leqslant \frac{\operatorname {Var}\left[\xi \right]}{\operatorname {Var}\left[\xi \right] + (\mathbb {E}\left[\xi \right])^2}.
?
§
15 · Характеристические функции[36/50%]
Задача 15.1

Доказать, что для любой случайной величины ξ\xi (характеристическая функция которой определяется как ϕξ(t)=E[eitξ]\phi_\xi (t) = \mathbb {E}\left[e^{it\xi }\right], где ii — мнимая единица):

?
(а)

ϕξ(0)=1\phi_\xi (0) = 1 и ∣ϕξ(t)∣⩽1\left|\phi_\xi (t)\right| \leqslant 1;

(б)

ϕξ(t)‾=ϕξ(−t)=ϕ−ξ(t)\overline{\phi_\xi (t)} = \phi_\xi (-t) = \phi_{-\xi }(t);

(в)

ϕaξ+b(t)=eitbϕξ(at)\phi_{a\xi +b}(t) = e^{itb}\phi_\xi (at) для любых констант aa и bb;

(г)

ϕξ+η(t)=ϕξ(t)ϕη(t)\phi_{\xi +\eta }(t) = \phi_\xi (t)\phi_\eta (t), если случайные величины ξ\xi и η\eta независимы;

(д)

характеристическая функция ϕξ(t)\phi_\xi (t) равномерно непрерывна, т.е.

sup⁡t∈R∣ϕξ(t+h)−ϕξ(t)∣→0 при h→0. \sup _{t \in \mathbb {R}} \left|\phi _\xi (t+h) - \phi _\xi (t)\right| \to 0 \text{ при } h \to 0.
Задача 15.2

Пусть у случайной величины ξ\xi существует абсолютный момент порядка kk, т.е. E[∣ξ∣k]<∞\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^k\right] < \infty. Доказать, что её характеристическая функция ϕξ(t)\phi_\xi (t):

?
(а)

непрерывно дифференцируема kk раз, и её kk-я производная в нуле выражается через kk-й момент:

ϕξ(k)(0)=ikE[ξk]; \phi _\xi ^{(k)}(0) = i^k \mathbb {E}\left[\xi ^k\right];
(б)

в окрестности точки t=0t = 0 разлагается в ряд Тейлора:

ϕξ(t)=1+itE[ξ]−t22E[ξ2]+…+iktkk!E[ξk]+o(∣t∣k) \phi _\xi (t) = 1 + it\mathbb {E}\left[\xi \right] - \frac{t^2}{2}\mathbb {E}\left[\xi ^2\right] + \ldots + \frac{i^k t^k}{k!}\mathbb {E}\left[\xi ^k\right] + o(\left|t\right|^k)

при t→0t \to 0.

Задача 15.3

Доказать, что характеристическая функция чётна тогда и только тогда, когда распределение случайной величины симметрично.

?
Задача 15.4

Доказать, что характеристическая функция вещественна тогда и только тогда, когда она чётна.

?
Задача 15.5

Вычислить характеристическую функцию случайной величины ξ\xi, которая имеет:

?
(а)

вырожденное распределение в точке aa;

(б)

распределение Бернулли с параметром pp;

(в)

биномиальное распределение с параметрами pp и nn;

(г)

распределение Пуассона с параметром λ\lambda;

(д)

геометрическое распределение с параметром pp.

Задача 15.6

Вычислить характеристическую функцию абсолютно непрерывного распределения:

?
(а)

равномерного на отрезке [0,1][0, 1];

(б)

равномерного на отрезке [−a,a][-a, a];

(в)

равномерного на отрезке [a,b][a, b];

(г)

показательного с параметром α\alpha;

(д)

Лапласа с параметром α\alpha;

(е)

стандартного нормального;

(ж)

нормального с параметрами aa и σ2\sigma^2;

(з)

Коши с параметрами сдвига aa и масштаба 1;

(и)

Γ\Gamma-распределения с параметрами α\alpha и β\beta.

Задача 15.7

Найти закон распределения со следующей характеристической функцией:

?
(а)

cos⁡t\cos t;

(б)

∑k=0∞akcos⁡(kt)\displaystyle \sum_{k=0}^\infty a_k \cos (kt), где ak⩾0a_k \geqslant 0 и ∑k=0∞ak=1\displaystyle \sum_{k=0}^\infty a_k = 1;

(в)

cos⁡2t\cos^2 t;

(г)

12+cos⁡t2+isin⁡t6\dfrac {1}{2} + \dfrac {\cos t}{2} + i\dfrac {\sin t}{6};

(д)

e−t2e^{-t^2};

(е)

e−∣t∣e^{-\left|t\right|};

(ж)

1/(1+t2)1/(1+t^2);

(з)

1/(1−it)1/(1-it);

(и)

(sin⁡t)/t(\sin t)/t;

(к)

e−∣t∣cos⁡te^{-\left|t\right|}\cos t.

Задача 15.8

Пусть в качестве вероятностного пространства взят отрезок [0,1][0, 1] с борелевской σ\sigma-алгеброй подмножеств и мерой Лебега. Найти характеристическую функцию случайной величины ξ\xi, если:

?
(а)

ξ(ω)=ln⁡ω\xi (\omega ) = \ln \omega, ξ(0)=0\xi (0) = 0;

(б)

ξ(ω)={2ωпри 0⩽ω⩽1/2,2ω−1при 1/2<ω⩽1;\xi (\omega ) = \begin{cases} 2\omega & \text{при } 0 \leqslant \omega \leqslant 1/2, \\ 2\omega - 1 & \text{при } 1/2 < \omega \leqslant 1; \end{cases}

(в)

ξ(ω)={1при 0⩽ω⩽1/3,0при 1/3<ω⩽2/3,1при 2/3<ω⩽1.\xi (\omega ) = \begin{cases} 1 & \text{при } 0 \leqslant \omega \leqslant 1/3, \\ 0 & \text{при } 1/3 < \omega \leqslant 2/3, \\ 1 & \text{при } 2/3 < \omega \leqslant 1. \end{cases}

Задача 15.9

Пусть ξ\xi и η\eta — независимые одинаково распределённые случайные величины с характеристической функцией ϕ\phi. Найти характеристическую функцию случайной величины ξ−η\xi - \eta.

?
Задача 15.10

Выяснить, является ли характеристической функцией: sin⁡t\sin t.

?
Задача 15.11

Выяснить, является ли характеристической функцией: sin⁡t+1\sin t + 1.

?
Задача 15.12

Выяснить, является ли характеристической функцией: e−t4e^{-t^4}.

?
Задача 15.13

Выяснить, является ли характеристической функцией: cos⁡(t2)\cos (t^2).

?
Задача 15.14

Выяснить, является ли характеристической функцией: cos⁡5t\cos^5 t.

?
Задача 15.15

Выяснить, является ли характеристической функцией: e−i∣t∣e^{-i\left|t\right|}.

?
Задача 15.16

Выяснить, является ли характеристической функцией: 11−∣t∣i\dfrac {1}{1 - \left|t\right|i}.

?
Задача 15.17

Выяснить, является ли характеристической функцией:

ϕ(t)={1−t2,∣t∣<1,0,∣t∣⩾1. \phi (t) = \begin{cases} \sqrt{1-t^2}, & \left|t\right| < 1, \\ 0, & \left|t\right| \geqslant 1. \end{cases}
?
Задача 15.18

Выяснить, является ли характеристической функцией:

ϕ(t)={1−t2,∣t∣<1,0,∣t∣⩾1. \phi (t) = \begin{cases} 1-t^2, & \left|t\right| < 1, \\ 0, & \left|t\right| \geqslant 1. \end{cases}
?
Задача 15.19

Выяснить, является ли характеристической функцией:

ϕ(t)={1−∣t∣,∣t∣<1,0,∣t∣⩾1. \phi (t) = \begin{cases} 1-\left|t\right|, & \left|t\right| < 1, \\ 0, & \left|t\right| \geqslant 1. \end{cases}
?
Задача 15.20

Выяснить, является ли характеристической функцией: вещественная функция, не являющаяся чётной.

?
Задача 15.21

Доказать, что из равенства ϕξ+η(t)=ϕξ(t)ϕη(t)\phi_{\xi +\eta }(t) = \phi_\xi (t)\phi_\eta (t) не следует, вообще говоря, независимость случайных величин ξ\xi и η\eta.

?
Задача 15.22

Пусть ϕ(t)\phi (t) — чётная непрерывная функция, выпуклая при t⩾0t \geqslant 0 и такая, что 0⩽ϕ(t)⩽10 \leqslant \phi (t) \leqslant 1 и ϕ(0)=1\phi (0) = 1. Доказать, что ϕ(t)\phi (t) является характеристической функцией.

?
Задача 15.23

Существуют ли различные характеристические функции, совпадающие на некотором отрезке, содержащем начало координат?

?
Задача 15.24

Пусть случайная величина ξ\xi не зависит от η\eta и ζ\zeta, причём суммы ξ+η\xi + \eta и ξ+ζ\xi + \zeta имеют одинаковое распределение. Верно ли, что случайные величины η\eta и ζ\zeta имеют одинаковое распределение?

?
Задача 15.25

Пусть ϕ1,ϕ2,…\phi_1, \phi_2, \ldots — характеристические функции и a1,a2,…a_1, a_2, \ldots — неотрицательные числа такие, что ∑i=1∞ai=1\displaystyle \sum_{i=1}^\infty a_i = 1. Доказать, что функция ∑i=1∞aiϕi\displaystyle \sum_{i=1}^\infty a_i \phi_i также является характеристической.

?
Задача 15.26

Доказать, что если ϕ\phi является характеристической функцией, то характеристической является также функция eϕ−1e^{\phi - 1}.

?
Задача 15.27

Доказать, что если ϕ\phi является характеристической функцией, то характеристической является также функция 22−ϕ−1\dfrac {2}{2 - \phi } - 1.

?
Задача 15.28

Доказать, что если ϕ\phi является характеристической функцией, то характеристической является также функция ϕ2\phi^2.

?
Задача 15.29

Доказать, что если ϕ\phi является характеристической функцией, то характеристической является также функция Re(ϕ)\mathrm{Re}\left(\phi \right).

?
Задача 15.30

Доказать, что если ϕ\phi является характеристической функцией, то характеристической является также функция 1t∫0tϕ(z) dz\dfrac {1}{t}\displaystyle \int_0^t \phi (z)\, dz.

?
Задача 15.31

Доказать, что если ϕ\phi является характеристической функцией, то характеристической является также функция ∣ϕ∣2\left|\phi \right|^2.

?
Задача 15.32

Пусть ξ\xi и η\eta — независимые случайные величины с функциями распределения FF и GG и характеристическими функциями ϕ\phi и ψ\psi соответственно. Доказать, что произведение ξη\xi \eta имеет характеристическую функцию

∫−∞∞ϕ(tz) dG(z)=∫−∞∞ψ(tz) dF(z). \int _{-\infty }^\infty \phi (tz)\, dG(z) = \int _{-\infty }^\infty \psi (tz)\, dF(z).
?
Задача 15.33

Пусть ϕ\phi — характеристическая функция. Доказать, что:

?
(а)

∣ϕ(t+h)−ϕ(t)∣⩽2[1−Re(ϕ(h))]\left|\phi (t+h) - \phi (t)\right| \leqslant \sqrt{2[1 - \mathrm{Re}\left(\phi (h)\right)]};

(б)

1−Re(ϕ(2t))⩽4(1−Re(ϕ(t)))1 - \mathrm{Re}\left(\phi (2t)\right) \leqslant 4(1 - \mathrm{Re}\left(\phi (t)\right)).

Задача 15.34

Доказать, что для любой случайной величины ξ\xi, соответствующей характеристической функции ϕ\phi, и любого x>0x > 0

P{∣ξ∣>2/x}⩽1x∫−xx(1−ϕ(u)) du. \mathbb {P}\left\{ \left|\xi \right| > 2/x\right\} \leqslant \frac{1}{x}\int _{-x}^x (1 - \phi (u))\, du.
?
Задача 15.35

Рассмотрим распределение, симметричное относительно 0. Пусть F(x)F(x) — соответствующая функция распределения, а ϕ(t)\phi (t) — характеристическая функция. Доказать, что если

x(1−F(x))→c>0 при x→∞, x(1 - F(x)) \to c > 0 \text{ при } x \to \infty ,

то

ϕ(t)=1−cπ∣t∣+o(t) при t→0. \phi (t) = 1 - c\pi \left|t\right| + o(t) \text{ при } t \to 0.
?
Задача 15.36

Доказать, что если величины ξ\xi и η\eta независимы, одинаково распределены и их сумма нормально распределена, то ξ\xi и η\eta также нормально распределены.

?
§
16 · Производящие функции[13/54%]
Задача 16.1

Пусть случайная величина ξ\xi принимает лишь целые неотрицательные значения и пусть ψ(z)\psi (z), ∣z∣⩽1\left|z\right| \leqslant 1, — её производящая функция (то есть ψ(z)=∑n=0∞znP{ξ=n}=E[zξ]\psi (z) = \sum_{n=0}^\infty z^n \mathbb {P}\left\{ \xi =n\right\} = \mathbb {E}\left[z^\xi \right]). Определяет ли производящая функция ψ(z)\psi (z) однозначным образом распределение случайной величины ξ\xi?

?
Задача 16.2

Для любых двух независимых случайных величин ξ\xi и η\eta доказать, что ψξ+η(z)=ψξ(z)ψη(z)\psi_{\xi +\eta }(z) = \psi_\xi (z)\psi_\eta (z).

?
Задача 16.3

Пусть ξ\xi — неотрицательная целочисленная случайная величина с производящей функцией ψ(z)\psi (z). Найти производящие функции величин:

?
(а)

ξ+1\xi + 1;

(б)

2ξ2\xi;

(в)

3ξ+53\xi + 5.

Задача 16.4

Найти производящие функции случайных величин, которые имеют:

?
(а)

распределение Бернулли с параметром pp;

(б)

биномиальное распределение с параметрами pp и nn;

(в)

распределение Пуассона с параметром λ\lambda;

(г)

геометрическое распределение с параметром pp.

Задача 16.5

Пусть ξ\xi — неотрицательная целочисленная случайная величина с производящей функцией ψξ\psi_\xi. В терминах ψξ\psi_\xi выразить производящие функции следующих последовательностей:

?
(а)

P{ξ⩽n}\mathbb {P}\left\{ \xi \leqslant n\right\};

(б)

P{ξ⩾n}\mathbb {P}\left\{ \xi \geqslant n\right\};

(в)

P{ξ<n}\mathbb {P}\left\{ \xi < n\right\};

(г)

P{ξ>n}\mathbb {P}\left\{ \xi > n\right\}.

Задача 16.6

Пусть {ξn}\left\{ \xi_n\right\} — последовательность целочисленных неотрицательных независимых одинаково распределённых случайных величин с производящей функцией ψξ\psi_\xi. Пусть ν\nu — положительная целочисленная случайная величина, не зависящая от {ξn}\left\{ \xi_n\right\} и имеющая производящую функцию ψν\psi_\nu. Найти производящую функцию суммы случайного числа слагаемых ξ1+…+ξν\xi_1 + \ldots + \xi_\nu.

?
Задача 16.7

Найти законы распределения, которым соответствуют следующие производящие функции:

?
(а)

(1+z)24\dfrac {(1+z)^2}{4};

(б)

e5(z−1)e^{5(z-1)};

(в)

12(1−z/2)\dfrac {1}{2(1 - z/2)};

(г)

(1/3+2z/3)n(1/3 + 2z/3)^n, n∈Nn \in \mathbb {N}.

Задача 16.8

Пусть случайная величина ξ\xi имеет производящую функцию ψ\psi. Найти распределение ξ\xi, если ψ(1/2n)=1/2n\psi (1/2^n) = 1/2^n для любого nn.

?
Задача 16.9

Доказать, что функция ψ(z)=∣z∣\psi (z) = \left|z\right| не может быть производящей функцией вероятностного распределения.

?
Задача 16.10

Пусть случайная величина ξ\xi принимает значения 0,1,…,n−10, 1, \ldots , n-1 с вероятностью 1/n1/n каждое. Доказать, что если число nn — составное, то ξ\xi можно представить в виде суммы независимых целочисленных случайных величин.

?
Задача 16.11

Пусть случайная величина ξ\xi принимает значения 0 и 1 с вероятностью 1/21/2 каждое, а η\eta — 0, 1, 2 и 3 с вероятностями 1/81/8, 1/41/4, 1/21/2 и 1/81/8 соответственно. Доказать, что не существует случайной величины ζ\zeta, не зависящей от ξ\xi и такой, что ξ+ζ=η\xi + \zeta = \eta.

?
Задача 16.12

Решить задачу 10.39, используя производящие функции.

?
Задача 16.13

Пусть {ξn}\left\{ \xi_n\right\} — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с общей функцией распределения FF. Пусть ν\nu — положительная целочисленная случайная величина, не зависящая от {ξn}\left\{ \xi_n\right\} и имеющая производящую функцию ψ\psi. Доказать, что функция распределения случайной величины max⁡(ξ1,…,ξν)\max (\xi_1, \ldots , \xi_\nu ) равна ψ(F(x))\psi (F(x)).

?
§
17 · Безгранично делимые распределения[13/0%]
Задача 17.1

Пусть случайная величина ξ\xi имеет безгранично делимое распределение (то есть для любого натурального nn найдутся независимые одинаково распределённые случайные величины ξ1,…,ξn\xi_1, \ldots , \xi_n такие, что распределение суммы ξ1+…+ξn\xi_1 + \ldots + \xi_n совпадает с распределением ξ\xi). Доказать, что при любых вещественных aa и bb распределение случайной величины aξ+ba\xi + b также безгранично делимое.

?
Задача 17.2

Доказать, что случайная величина ξ\xi с характеристической функцией ϕ(t)\phi (t) имеет безгранично делимое распределение тогда и только тогда, когда для любого n>0n > 0 функция ϕ1/n(t)\phi^{1/n}(t) является характеристической какого-либо распределения.

?
Задача 17.3

Пусть ϕ(t)\phi (t) — характеристическая функция безгранично делимого распределения. Доказать, что для любого c>0c > 0 функция ϕc(t)\phi^c(t) также является характеристической функцией безгранично делимого распределения.

?
Задача 17.4

Доказать, что характеристическая функция безгранично делимого распределения нигде не обращается в нуль.

?
Задача 17.5

Пусть ξ\xi и η\eta — независимые случайные величины с безгранично делимыми распределениями. Доказать, что распределение случайной величины ξ+η\xi + \eta также безгранично делимое.

?
Задача 17.6

Пусть ϕ(t)\phi (t) — характеристическая функция безгранично делимого распределения. Доказать, что функция ∣ϕ(t)∣\left|\phi (t)\right| также является характеристической функцией безгранично делимого распределения.

?
Задача 17.7

Доказать безграничную делимость:

?
(а)

распределения Пуассона;

(б)

нормального распределения;

(в)

распределения Коши;

(г)

Γ\Gamma-распределения;

(д)

показательного распределения;

(е)

распределения хи-квадрат.

Задача 17.8

Пусть ϕ(t)\phi (t) — характеристическая функция. Доказать, что для любого λ>0\lambda > 0 функция eλ(ϕ(t)−1)e^{\lambda (\phi (t)-1)} является характеристической функцией безгранично делимого распределения.

?
Задача 17.9

Доказать, что если сумма двух независимых безгранично делимых случайных величин распределена по закону Пуассона, то каждое из слагаемых также распределено по закону Пуассона.

?
Задача 17.10

Доказать, что если сумма двух независимых безгранично делимых случайных величин распределена по нормальному закону, то каждое из слагаемых также распределено по нормальному закону.

?
Задача 17.11

Доказать, что равномерное на отрезке распределение не может быть безгранично делимым.

?
Задача 17.12

Доказать, что никакое невырожденное безгранично делимое распределение не может быть сосредоточено на конечном отрезке.

?
Задача 17.13

Пусть ξ\xi и η\eta — независимые случайные величины, причём ξ\xi имеет равномерное на некотором отрезке распределение. Доказать, что случайная величина ξ+η\xi + \eta не может иметь безгранично делимое распределение.

?