Преобразование независимых случайных величин

Пусть дискретные случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют распределения Пуассона с параметрами $\lambda$ и $\mu$ соответственно. Найти распределение суммы $\xi + \eta$.

Пусть дискретные случайные величины $\xi_1, \ldots , \xi_n$ независимы и имеют распределения Пуассона с параметрами $\lambda_1, \ldots , \lambda_n$ соответственно. Найти распределение их суммы $\xi_1 + \ldots + \xi_n$.

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы, причём $\xi$ имеет биномиальное распределение с параметрами $p$ и $n$, а $\eta$ — биномиальное распределение с параметрами $p$ и $m$. Найти распределение суммы $\xi + \eta$.

Пусть $\xi_1, \ldots , \xi_n$ — независимые случайные величины, каждая из которых принимает значения 0 и 1 с вероятностью $1/2$. Найти распределение произведения $\eta = \prod_{i=1}^n \xi_i$.

Пусть независимые случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют одинаковое геометрическое распределение с параметром $p$. Положим $U = \min (\xi , \eta )$ и $V = \xi - \eta$. Доказать, что случайные величины $U$ и $V$ независимы.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, причём $\xi$ равномерно распределена на отрезке $[0, a]$, а $\eta$ равномерно распределена на отрезке $[0, b]$. Найти распределение суммы $\xi + \eta$, если:

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и каждая имеет равномерное распределение на отрезке $[0, 2]$. Найти функции распределения и плотности следующих величин:

Решить задачу 11.7 в предположении, что случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют показательное распределение с параметром $\alpha$.

На отрезок $[0, 1]$ брошены наудачу независимо друг от друга $n$ точек. Найти:

Пусть случайные величины $\xi_1, \ldots , \xi_n$ независимы и каждая имеет симметричное распределение. Доказать, что сумма $\xi_1 + \ldots + \xi_n$ также имеет симметричное распределение.

Величину $Q_\xi (y) = \sup_x \mathbb {P}\left\{ x \leqslant \xi \leqslant x+y\right\}$ называют функцией концентрации случайной величины $\xi$. Доказать, что для любой случайной величины $\eta$, не зависящей от $\xi$, функция концентрации суммы $\xi + \eta$ удовлетворяет неравенству

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы, причём $\xi$ имеет нормальное распределение с параметрами $a$ и $\sigma^2$, а $\eta$ — нормальное распределение с параметрами $b$ и $\theta^2$. Найти распределение суммы $\xi + \eta$.

Пусть случайные величины $\xi_1, \ldots , \xi_n$ независимы, причём $\xi_i$ имеет нормальное распределение с параметрами $a_i$ и $\sigma_i^2$. Найти распределение суммы $\xi_1 + \ldots + \xi_n$.

Пусть независимые случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют стандартное нормальное распределение. Доказать, что случайные величины $\xi + \eta$ и $\xi - \eta$ независимы.

Совместное распределение случайных величин $\xi$ и $\eta$ имеет плотность

Найти плотности распределения:

Пусть случайные величины $\xi_1, \ldots , \xi_n$ независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Найти совместную плотность распределения величин $\eta = \sum_{k=1}^n \xi_k$ и $\zeta = \sum_{k=1}^m \xi_k$ при $m < n$.

Пусть независимые случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют стандартное нормальное распределение. Найти распределение случайной величины $\xi^2 + \eta^2$.

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Доказать, что величины $\xi^2 + \eta^2$ и $\xi /\eta$ также независимы.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, причём $\xi$ имеет показательное распределение с параметром $\alpha$, а $\eta$ — показательное распределение с параметром $\beta$. Найти распределение суммы $\xi + \eta$, если:

Пусть $\xi_1, \ldots , \xi_n$ — независимые случайные величины, каждая из которых имеет показательное распределение с параметром $\alpha$. Найти распределение суммы $\xi_1 + \ldots + \xi_n$.

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют распределение Лапласа с параметром $\alpha$. Найти плотность распределения суммы $\xi + \eta$.

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют распределения Коши с одним и тем же параметром масштаба $\sigma$ и параметрами сдвига $a$ и $b$ соответственно. Найти плотность распределения суммы $\xi + \eta$.

Пусть случайные величины $\xi_1, \ldots , \xi_n$ независимы и имеют распределения Коши с одним и тем же параметром масштаба $\sigma$ и с параметрами сдвига $a_1, \ldots , a_n$ соответственно. Найти плотность распределения суммы $\xi_1 + \ldots + \xi_n$.

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы, причём $\xi$ имеет гамма-распределение с параметрами $\alpha$ и $\beta_1$, а $\eta$ — гамма-распределение с параметрами $\alpha$ и $\beta_2$. Найти распределение суммы $\xi + \eta$.

Пусть случайные величины $\xi_1, \ldots , \xi_n$ независимы, причём $\xi_i$ имеет гамма-распределение с параметрами $\alpha$ и $\beta_i$. Найти распределение суммы $\xi_1 + \ldots + \xi_n$.

Пусть случайная величина имеет равномерное распределение на некотором отрезке. Выяснить, может ли она быть представлена в виде суммы двух независимых случайных величин с невырожденными распределениями.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, причём $\xi$ имеет показательное распределение с параметром $\alpha$, а $\eta$ — показательное распределение с параметром $\beta$. Найти распределение разности $\xi - \eta$, если:

Пусть $\xi$, $\eta$ и $\zeta$ — независимые случайные величины, имеющие одинаковое показательное распределение с параметром $\alpha$. Найти совместную плотность распределения случайного вектора $(\eta - \xi , \zeta - \xi )$.

Найти плотность распределения частного $\xi /\eta$, если числитель и знаменатель независимы и каждый имеет:

Совместное распределение случайных величин $\xi$ и $\eta$ имеет плотность $p(x, y) = e^{-x-y}$, $x, y \geqslant 0$. Найти:

Найти плотность распределения произведения $\xi \eta$, если сомножители независимы и каждый имеет равномерное распределение на отрезке $[0, 1]$.

Частица единичной массы расщепляется случайным образом на два осколка с массами $\xi$ и $1-\xi$. Плотность $f$ случайной величины $\xi$ сосредоточена в $[0, 1]$ и, из соображений симметрии, $f(x) = f(1-x)$. Массу наименьшего осколка обозначим через $\xi_1$, а наибольшего — через $\xi_2$. Предположим, что эти два осколка независимо друг от друга расщепляются таким же образом и дают в результате четыре осколка с массами $\xi_{11}, \xi_{12}, \xi_{21}$ и $\xi_{22}$ (то есть $\xi_{11}$ и $\xi_{12}$ — масса наименьшего и наибольшего осколков, полученных при расщеплении осколка массы $\xi_1$, аналогично для $\xi_2$). Найти плотность:

Пусть независимые случайные величины $\xi_1, \ldots , \xi_n$ равномерно распределены на отрезке $[0, 1]$. Найти распределение произведения $\eta = \prod_{i=1}^n \xi_i$.

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют одинаковое распределение с плотностью

Найти постоянную $c$ и доказать, что величина $\xi /\eta$ распределена по закону Коши.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, причём $\mathbb {P}\left\{ \xi = 0\right\} = \mathbb {P}\left\{ \xi = 1\right\} = 1/2$, а $\mathbb {P}\left\{ \eta < x\right\} = x$ при $x \in [0, 1]$. Найти функции распределения следующих случайных величин:

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы, причём $\xi$ имеет показательное распределение с параметром $\alpha$, а $\eta$ — равномерное на отрезке $[0, h]$. Найти плотности для:

Независимые случайные величины $\xi$, $\eta$ и $\zeta$ имеют одно и то же показательное распределение с параметром $\alpha$. Найти плотности случайных величин:

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, причём $\xi_1$ принимает значения $0, 1, \ldots , 9$ с вероятностью $1/10$ каждое. Найти распределение суммы ряда

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, причём $\xi_1$ принимает значения 0 и 1 с вероятностью $1/2$ каждое. Найти распределения сумм следующих рядов:

Пусть независимые случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют одинаковое показательное распределение с параметром $\alpha$. Положим $U = \min (\xi , \eta )$ и:

Обобщить результат пункта б) задачи 11.40 на произвольное непрерывное распределение.

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют показательное распределение с параметром 1. Доказать, что отношение $\dfrac {\xi }{\xi + \eta }$ распределено равномерно на отрезке $[0, 1]$.

Пусть независимые случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют нормальное распределение с параметрами $\alpha$ и $\sigma^2$. Найти плотность распределения случайной величины

Пусть $\xi_1, \ldots , \xi_n$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с непрерывной функцией распределения $F$. Обозначим через $\nu_n(x)$ число величин $\xi_i$, которые меньше $x$. Доказать, что распределение случайной величины

не зависит от $F$.

Доказать, что интегральное уравнение

не имеет решения в классе неотрицательных функций.