Неравенства

Пусть $g(x)$ — неотрицательная возрастающая функция и $\xi$ — произвольная случайная величина. Доказать, что для любого $x$ справедливо неравенство

Пусть $\mathbb {E}\left[\xi^2\right] < \infty$. Доказать, что

Доказать, что для произвольных случайных величин $\xi$ и $\eta$

Пусть $\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^r\right] < \infty$. Доказать, что:

Доказать, что $\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|\right] \leqslant \sqrt[r]{\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^r\right]}$ при $r > 1$.

Доказать, что для случайной величины $\xi$ с конечной дисперсией и для любого $x > 0$

Пусть $\xi$ — случайная величина, $\mathbb {E}\left[e^{h\xi }\right] < \infty$, $h > 0$. Доказать, что для любого $x$

Пусть случайная величина $\xi$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$. Доказать, что для любого $x > 0$:

Пусть случайная величина $\xi$ имеет:

Доказать следующие неравенства:

Правомерно ли следующее рассуждение: «От дома до работы 1 км, хожу я в среднем со скоростью 5 км/ч, следовательно, в среднем на дорогу у меня уходит 12 мин»?

Доказать, что если случайная величина $\xi$ имеет момент порядка $k$, то её функция распределения $F$ удовлетворяет соотношению

Доказать, что $\mathbb {E}\left[\xi^2\right] = 0$ равносильно $\mathbb {P}\left\{ \xi = 0\right\} = 1$.

Предположим, что $\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^p\right] = 0$ для некоторого $p > 0$. Что можно сказать про случайную величину $\xi$?

Пусть случайная величина $\xi$ имеет конечное математическое ожидание, причём $\mathbb {E}\left[\xi \; \mathbb {1}_{A}\right] = 0$ для любого события $A$. Доказать, что $\mathbb {P}\left\{ \xi = 0\right\} = 1$.

Доказать, что для любой неотрицательной случайной величины $\xi$ с конечной дисперсией выполняется неравенство