Моменты

Пусть случайная величина имеет:

Дискретная случайная величина $\xi$ имеет ряд распределения

Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин:

Решить задачу 12.2, если дискретная случайная величина $\xi$ имеет ряд распределения

Пусть случайная величина $\xi$ принимает значения $-2$, $-1$, $0$, $1$ и $2$ с равными вероятностями. Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин:

Двумерное распределение пары целочисленных случайных величин $\xi$ и $\eta$ задаётся с помощью таблицы

где в пересечении столбца $\xi = i$ и строки $\eta = j$ находится вероятность $\mathbb {P}\left\{ \xi = i, \eta = j\right\}$. Найти:

Решить задачу 12.5, если двумерное распределение случайных величин $\xi$ и $\eta$ задаётся с помощью таблицы

Вероятность поражения цели при каждом выстреле постоянна и равна $3/5$. Производится три выстрела. Вычислить математическое ожидание и дисперсию числа попаданий.

Вероятность поражения цели при каждом выстреле постоянна и равна $3/5$. Стрельба ведётся до первого попадания. Вычислить математическое ожидание и дисперсию числа произведённых выстрелов, если у стрелка всего 4 патрона.

Дискретная случайная величина $\xi$ имеет ряд распределения

Найти вероятность $p_1$ и значение $x_3$, если $\mathbb {E}\left[\xi \right] = 2{,}7$.

Случайная величина $\xi$ может принимать только следующие значения: $-2$, $-1$, $0$, $1$ и $2$. С какими вероятностями $\xi$ принимает эти значения, если:

Случайная величина $\xi$ имеет биномиальное распределение. Определить параметры распределения, если $\mathbb {E}\left[\xi \right] = 3{,}2$, а $\sigma^2 = 0{,}64$.

Вычислить $\mathbb {E}\left[(1+\xi )^{-1}\right]$, если случайная величина $\xi$ имеет:

Находящийся в силовом поле электрон имеет энергию $V$, принимающую значения $v_i = a(i + 1/2)$, $i = 1, 2, \ldots$, с вероятностями, пропорциональными $e^{-bv_i}$; $a$ и $b$ — постоянные. Найти $\mathbb {E}\left[V\right]$ и $\operatorname {Var}\left[V\right]$.

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ — независимые случайные величины, принимающие значения 1 и 0 с вероятностями $p$ и $1-p$ соответственно. Найти среднее значение и дисперсию суммы $\zeta = \eta_1 + \ldots + \eta_n$, если:

Бросают $n$ игральных костей. Найти математическое ожидание и дисперсию суммы очков на всех костях.

Для группы из $n$ человек найти математическое ожидание числа дней в году, на каждый из которых:

Доказать, что если случайная величина $\xi$ принимает лишь целые неотрицательные значения, то

Пусть $r$ занумерованных частиц случайно размещаются в $n$ ячейках. Найти среднее значение числа пустых ячеек.

Независимые случайные величины $\xi_1, \ldots , \xi_n$ равномерно распределены в множестве $\left\{ 1, 2, \ldots , J\right\}$. Определим случайную величину $\nu$ равной числу различных значений среди $\xi_1, \xi_2, \ldots , \xi_n$. Найти $\mathbb {E}\left[\nu \right]$.

Доказать, что если случайная величина $\xi$ принимает лишь неотрицательные значения, то

Пусть независимые случайные величины $\xi_1, \xi_2, \ldots$ имеют одну и ту же функцию распределения $F$. Пусть $x$ — некоторое число такое, что $0 < F(x) < 1$. Обозначим через $\nu (x)$ номер первой случайной величины, значение которой больше или равно $x$. Доказать, что $\mathbb {E}\left[\nu (x)\right] = (1 - F(x))^{-1}$.

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины со средним значением $a$ и дисперсией $\sigma^2$. Пусть $\nu$ — положительная целочисленная случайная величина, не зависящая от $\left\{ \xi_n\right\}$ и имеющая среднее значение $b$ и дисперсию $\theta^2$. Найти среднее значение и дисперсию случайной суммы $\xi_1 + \ldots + \xi_\nu$.

Распределение случайной величины $\xi$ имеет плотность

Найти математические ожидания и дисперсии следующих величин:

Распределение случайной величины $\xi$ имеет плотность

Найти математические ожидания и дисперсии следующих величин:

Диаметр круга измерен приближённо. Считая, что его величина равномерно распределена на отрезке $[a, b]$, найти среднее значение и дисперсию площади круга.

Пусть случайная величина $\xi$ имеет равномерное распределение на отрезке $[0, 1]$. Вычислить $\mathbb {E}\left[\sin^2\pi \xi \right]$, $\operatorname {Var}\left[\sin^2\pi \xi \right]$.

Пусть случайная величина $\xi$ имеет стандартное распределение Коши. Вычислить $\mathbb {E}\left[\min (\left|\xi \right|, 1)\right]$.

Случайная величина $\xi$ имеет показательное распределение с параметром $\alpha$. Установить, при каких значениях $\alpha$ существуют математическое ожидание и дисперсия случайной величины $e^\xi$.

Случайная величина $\xi$ имеет стандартное нормальное распределение. Найти:

Случайная величина $\xi$ имеет нормальное распределение с параметрами $a$ и $\sigma^2$. Найти $\mathbb {E}\left[\left|\xi - \mathbb {E}\left[\xi \right]\right|\right]$.

В дополнение к условиям задачи 6.22 предположим, что организаторы матча учредили призовой фонд в 100 тугриков. Какую сумму денег следует присудить игроку А?

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы, причём $\xi$ имеет нормальное распределение с параметрами 2 и $1/2$, а $\eta$ — равномерное распределение на отрезке $[0, 4]$. Найти:

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы, причём $\mathbb {E}\left[\xi \right] = 2$, $\operatorname {Var}\left[\xi \right] = 1$, $\mathbb {E}\left[\eta \right] = 1$, $\operatorname {Var}\left[\eta \right] = 3$. Найти среднее значение и дисперсию случайной величины:

Случайные величины $\xi$, $\eta$ и $\zeta$ независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Найти среднее значение и дисперсию случайной величины $\xi + \xi \eta + \xi \eta \zeta$.

Доказать, что если $\mathbb {E}\left[\xi^2\right] = \mathbb {E}\left[\xi^3\right] = \mathbb {E}\left[\xi^4\right]$, то случайная величина $\xi$ дискретна и может принимать лишь значения 0 и 1.

Выяснить, существует ли случайная величина $\xi$ такая, что $\mathbb {E}\left[\xi \right] = 1$, $\mathbb {E}\left[\xi^2\right] = 2$, $\mathbb {E}\left[\xi^3\right] = 3$, $\mathbb {E}\left[\xi^4\right] = 4$ и $\mathbb {E}\left[\xi^5\right] = 5$?

Найти возможное распределение случайной величины $\xi$, если $\mathbb {E}\left[\xi^{2n}\right]$, $\mathbb {E}\left[\xi^{2n+1}\right]$ и $\mathbb {E}\left[\xi^{2n+2}\right]$ при некотором натуральном $n$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Найти возможное распределение случайной величины $\xi$, если $\mathbb {E}\left[\xi^n\right]$, $\mathbb {E}\left[\xi^{n+1}\right]$ и $\mathbb {E}\left[\xi^{n+2}\right]$ при некотором натуральном $n$ являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Случайная точка $(\xi , \eta )$ имеет равномерное распределение в квадрате $\left\{ (x, y) : 0 \leqslant x, y \leqslant 1\right\}$. Найти средние значения и дисперсии следующих величин:

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы, причём $\xi$ имеет равномерное распределение на отрезке $[0, 1]$, а $\eta$ — на отрезке $[1, 2]$. Найти средние значения и дисперсии следующих величин:

Привести пример случайной величины $\xi$:

Привести пример случайной величины $\xi$ с:

Привести пример случайной величины $\xi$:

Привести пример неотрицательной случайной величины $\xi$, у которой

Найти:

Привести пример зависимых случайных величин $\xi$ и $\eta$, для которых $\mathbb {E}\left[\xi \eta \right] = \mathbb {E}\left[\xi \right]\mathbb {E}\left[\eta \right]$.

В одной западной стране мальчик подрабатывает тем, что торгует газетами; он закупает газету по 4 цента за штуку и продаёт по 7 центов. При этом он не может возвращать обратно непроданные газеты и несёт на них убыток. Предположим, что число возможных продаж в один день случайно и имеет распределение Пуассона со средним значением 50. Сколько газет должен закупать бедняга для того, чтобы максимизировать свою среднюю прибыль?

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют плотности $f$ и $g$ соответственно; $a$ — некоторое число. Доказать, что если $f(x) \geqslant g(x)$ при $x < a$ и $f(x) \leqslant g(x)$ при $x > a$, то $\mathbb {E}\left[\xi \right] \leqslant \mathbb {E}\left[\eta \right]$.

Пусть случайные величины $\xi_1$ и $\xi_2$ положительны и одинаково распределены. Верно ли, что

Доказать, что если случайные величины $\xi_1, \ldots , \xi_n$ независимы, положительны и одинаково распределены, то при $k \leqslant n$

Доказать, что если каждая из случайных величин $\xi$ и $\eta$ принимает только два значения, то из равенства $\mathbb {E}\left[\xi \eta \right] = \mathbb {E}\left[\xi \right]\mathbb {E}\left[\eta \right]$ вытекает независимость $\xi$ и $\eta$.

Пусть случайная величина $\xi$ такова, что выполняется $\mathbb {P}\left\{ 0 < \xi < 1\right\} = 1$. Доказать, что $\operatorname {Var}\left[\xi \right] < \mathbb {E}\left[\xi \right]$.

Какому условию должны удовлетворять независимые случайные величины $\xi$ и $\eta$, чтобы $\operatorname {Var}\left[\xi \eta \right] = \operatorname {Var}\left[\xi \right]\operatorname {Var}\left[\eta \right]$?

Пусть $\xi$ — случайная величина такая, что существует $\mathbb {E}\left[\left|\xi -1\right|^3\right]$. Доказать, что существует $\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^3\right]$.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины такие, что существует $\mathbb {E}\left[\left|\xi +\eta \right|^a\right]$, $a > 0$. Доказать, что существуют $\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^a\right]$ и $\mathbb {E}\left[\left|\eta \right|^a\right]$.

Пусть $\xi$ — случайная величина и $a > 1$ — действительное число. Доказать, что если

то $\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^k\right]$ существует при любом $k > 0$.

Пусть случайная величина $\xi$ принимает конечное число неотрицательных значений $x_1, \ldots , x_s$. Доказать, что при $n \to \infty$:

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины. Доказать, что если существуют $\mathbb {E}\left[\xi \right]$ и $\mathbb {E}\left[\eta \right]$, то существует $\mathbb {E}\left[\max (\xi , \eta )\right]$. Верно ли обратное? Верно ли обратное для неотрицательных случайных величин $\xi$ и $\eta$?

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины. Доказать, что если существуют $\mathbb {E}\left[\max (\xi , \eta )\right]$ и $\mathbb {E}\left[\min (\xi , \eta )\right]$, то существуют $\mathbb {E}\left[\xi \right]$ и $\mathbb {E}\left[\eta \right]$, причём $\mathbb {E}\left[\xi \right] + \mathbb {E}\left[\eta \right] = \mathbb {E}\left[\max (\xi , \eta )\right] + \mathbb {E}\left[\min (\xi , \eta )\right]$.

Пусть положительные случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют плотности $f$ и $g$ соответственно. Доказать, что если $\mathbb {E}\left[\xi \right] < \infty$, то отношение $\xi /\eta$ имеет конечное математическое ожидание тогда и только тогда, когда