Банк задач по математике

Задача 9.1

Какие из следующих функций являются функциями распределения:

?

(а)

$\; \mathbb {1}_{x \in (0, 1]}$ ;

(б)

$\; \mathbb {1}_{x \in (-\infty , 0]}$ ;

(в)

$\; \mathbb {1}_{x \in (0, \infty )}$ ;

(г)

$\; \mathbb {1}_{x = 0}$ ;

(д)

$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{при } x \in (-\infty , 0], \\ 1 - 1/n & \text{при } x \in (n-1, n], \ n \in \mathbb {N}; \end{cases}$

(е)

$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{при } x \in (-\infty , 0], \\ 1 + (-1)^n/n & \text{при } x \in (n-1, n], \ n \in \mathbb {N}? \end{cases}$

Задача 9.2

(а)(б)

Дискретная случайная величина $\xi$ имеет функцию распределения

F(x) = \begin{cases} 0 & \text{при } x \leqslant 2, \\ 3/10 & \text{при } 2 < x \leqslant 3, \\ 1/2 & \text{при } 3 < x \leqslant 4, \\ 1 & \text{при } x > 4. \end{cases}

Найти ряд распределения случайной величины:

?

(а)

$\xi$ ;

(б)

$\xi^2 - 2$ .

Задача 9.3

Дискретная случайная величина $\xi$ имеет ряд распределения

\begin{array}{c|ccc} x_i & -1 & 0 & 1 \\ \hline \mathbb {P}\left\{ \xi = x_i\right\} & 1/3 & 1/3 & 1/3 \end{array}

Построить ряды распределения следующих случайных величин:

?

(а)

$\left|\xi \right|$ ;

(б)

$2\xi + 5$ ;

(в)

$\xi^2 + 1$ ;

(г)

$2^\xi$ ;

(д)

$\xi (\xi^2 - 1)$ ;

(е)

$\min (\xi , 1)$ .

Задача 9.4

Дискретная случайная величина $\xi$ имеет ряд распределения

\begin{array}{c|ccccc} x_i & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline \mathbb {P}\left\{ \xi = x_i\right\} & 1/10 & 1/5 & 3/10 & 3/10 & 1/10 \end{array}

Построить ряды распределения следующих случайных величин:

?

(а)

$3 - \xi$ ;

(б)

$\xi^2 - 1$ ;

(в)

$\left|\xi \right|$ ;

(г)

$\max (\left|\xi \right|, 1)$ ;

(д)

$\min (\xi , 1)$ ;

(е)

$1/(3 - \xi )$ .

Задача 9.5

Дискретная случайная величина $\xi$ имеет ряд распределения

\begin{array}{c|cccc} x_i & -2 & 0 & 1 & 5 \\ \hline \mathbb {P}\left\{ \xi = x_i\right\} & 1/4 & 1/3 & 1/6 & 1/4 \end{array}

Построить ряды распределения следующих случайных величин:

?

(а)

$1 - 2\xi$ ;

(б)

$\xi^2 + \xi - 2$ ;

(в)

$\left|\left|\xi \right| - 3\right|$ ;

(г)

$2^\xi$ ;

(д)

$\max (\xi , 1)$ ;

(е)

$1/(3 - \xi )$ .

Задача 9.6

С целью привлечения покупателей компания «Кока-кола» проводит рекламную акцию, в которой каждая десятая бутылка напитка, выпущенная фирмой, является призовой. Составить ряд распределения числа призовых из трёх приобретённых покупателем бутылок. Построить функцию распределения этой случайной величины.

?

Задача 9.7

Среди 7 купленных театральных билетов 3 билета в партер. Наудачу взяли 4 билета. Составить ряд распределения числа билетов в партер среди выбранных. Построить функцию распределения этой случайной величины.

?

Задача 9.8

Технический контроль проверяет изделия, каждое из которых независимо от других изделий может с вероятностью $p$ оказаться дефектным. Найти ряд распределения числа обнаруженных при проверке годных изделий между двумя последовательными дефектными.

?

Задача 9.9

Пусть вероятностное пространство $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ есть отрезок $[0, 1]$ с $\sigma$ -алгеброй борелевских множеств и мерой Лебега. Найти функцию распределения случайной величины $\xi$ , если:

?

(а)

$\xi (\omega ) = \omega$ ;

(б)

$\xi (\omega ) = \omega^\alpha$ , $\alpha < 0$ ;

(в)

$\xi (\omega ) = \omega^2$ ;

(г)

$\xi (\omega ) = \sin (\pi \omega )$ ;

(д)

$\xi (\omega ) = \begin{cases} 2\omega , & \omega \in [0, 1/2), \\ 2(1-\omega ), & \omega \in [1/2, 1]; \end{cases}$

(е)

$\xi (\omega ) = \begin{cases} \omega , & \omega \in [0, 1/3), \\ -1, & \omega \in [1/3, 2/3), \\ -\omega^3, & \omega \in [2/3, 1]; \end{cases}$

(ж)

$\xi (\omega ) = \begin{cases} 1/4, & \omega \in [0, 1/4), \\ 1, & \omega \in [1/4, 3/4), \\ 1/4, & \omega \in [3/4, 1]. \end{cases}$

Задача 9.10

Найти плотности распределения (если они существуют) случайных величин, определённых в задаче 9.9.

?

(а)

(б)

(в)

(г)

(д)

(е)

(ж)

Задача 9.11

Найти медиану распределения случайных величин, определённых в задаче 9.9.

?

(а)

(б)

(в)

(г)

(д)

(е)

(ж)

Задача 9.12

(а)(б)

Точка $\omega = (\omega_1, \omega_2)$ выбирается наудачу в треугольнике с вершинами в точках $(0, 0)$ , $(2, 1)$ и $(2, 0)$ . Найти функцию распределения и плотность случайной величины $\xi$ , если:

?

(а)

$\xi (\omega ) = \omega_1$ ;

(б)

$\xi (\omega ) = \omega_2$ .

Задача 9.13

(а)(б)

Равнобедренный треугольник образован единичным вектором в направлении оси абсцисс и единичным вектором в случайном направлении (то есть с направлением, равномерно распределённым по всем направлениям в соответствующем пространстве). Найти функцию распределения длины третьей стороны (длины разности этих двух единичных векторов) в:

?

(а)

$\mathbb {R}^{2}$ ;

(б)

$\mathbb {R}^{3}$ .

Задача 9.14

(а)(б)

Из точки $(0, a)$ на плоскости проведена прямая под углом $\phi$ к оси ординат. Найти функцию распределения точки пересечения этой прямой с осью абсцисс, если угол $\phi$ равномерно распределён в промежутке:

?

(а)

$(0, \pi /2)$ ;

(б)

$(-\pi /2, \pi /2)$ .

Задача 9.15

(а)(б)

На окружность радиуса $R$ с центром в начале координат наудачу брошена точка. Найти:

?

(а)

плотность распределения абсциссы точки попадания;

(б)

плотность распределения длины хорды, соединяющей точку попадания с точкой $(-R, 0)$ .

Задача 9.16

На отрезок оси ординат между точками $(0, 0)$ и $(0, R)$ наудачу брошена точка. Через точку попадания проведена хорда окружности $x^2 + y^2 = R^2$ , перпендикулярная оси ординат. Найти распределение длины этой хорды.

?

Задача 9.17

Диаметр круга измерен приближённо. Считая, что его величина равномерно распределена на отрезке $[a, b]$ , найти распределение площади круга.

?

Задача 9.18

Пусть $p(x)$ — плотность распределения. Найти значение входящей в определение $p(x)$ постоянной $c$ :

p(x) = \begin{cases} ce^{-\alpha x} & \text{при } x > 0, \\ 0 & \text{при } x \leqslant 0, \end{cases}

где $\alpha > 0$ .

?

Задача 9.19

Пусть $p(x)$ — плотность распределения. Найти значение входящей в определение $p(x)$ постоянной $c$ :

p(x) = \frac{c}{1 + (x - \alpha )^2}, \quad \alpha \in \mathbb {R}.

?

Задача 9.20

Пусть $p(x)$ — плотность распределения. Найти значение входящей в определение $p(x)$ постоянной $c$ :

p(x) = \begin{cases} cx^\beta e^{-\alpha x} & \text{при } x > 0, \\ 0 & \text{при } x \leqslant 0, \end{cases} \quad \alpha > 0, \ \beta > 0.

?

Задача 9.21

Пусть $p(x)$ — плотность распределения. Найти значение входящей в определение $p(x)$ постоянной $c$ :

p(x) = \frac{c}{e^{-x} + e^x}.

?

Задача 9.22

(а)(б)(в)

Плотность распределения случайной величины $\xi$ имеет вид

p(x) = \begin{cases} 0 & \text{при } x < 1, \\ 1/3 & \text{при } 1 \leqslant x \leqslant c, \\ 0 & \text{при } x > c. \end{cases}

Найти:

?

(а)

значение постоянной $c$ ;

(б)

функцию распределения случайной величины $\xi$ ;

(в)

вероятность $\mathbb {P}\left\{ \xi \geqslant 2\right\}$ .

Задача 9.23

(а)(б)(в)

Плотность распределения случайной величины $\xi$ имеет вид

p(x) = \begin{cases} 1/5 & \text{при } -1 \leqslant x < 2, \\ c & \text{при } 2 \leqslant x \leqslant 3, \\ 0 & \text{иначе.} \end{cases}

Найти:

?

(а)

значение постоянной $c$ ;

(б)

функцию распределения случайной величины $\xi$ ;

(в)

вероятность $\mathbb {P}\left\{ 0 \leqslant \xi \leqslant 2{,}5\right\}$ .

Задача 9.24

(а)(б)(в)(г)

Можно ли подобрать постоянную $c$ так, чтобы функция $cx^{-4}$ была плотностью распределения на множестве:

?

(а)

$[1, \infty )$ ;

(б)

$[0, \infty )$ ;

(в)

$[-2, -1]$ ;

(г)

$[-3, 0)$ ?

Задача 9.25

Построить графики плотности:

?

(а)

стандартного нормального распределения;

(б)

нормального распределения с параметрами $a$ и $\sigma^2$ ;

(в)

равномерного распределения на отрезке $[a, b]$ ;

(г)

показательного распределения с параметром $\alpha$ ;

(д)

распределения Коши с параметрами 0 и 1.

Задача 9.26

(а)(б)

Что произойдёт с графиком функции распределения случайной величины $\xi$ , если:

?

(а)

прибавить к $\xi$ число 3;

(б)

умножить $\xi$ на число 3?

Задача 9.27

(а)(б)

Что произойдёт с графиком плотности абсолютно непрерывного распределения случайной величины $\xi$ , если:

?

(а)

прибавить к $\xi$ число 3;

(б)

умножить $\xi$ на число 3?

Задача 9.28

Пусть случайная величина $\xi$ имеет нормальное распределение с параметрами $a$ и $\sigma^2$ . Доказать, что случайная величина $\eta = \dfrac {\xi - a}{\sigma }$ имеет стандартное нормальное распределение.

?

Задача 9.29

Пусть случайная величина $\xi$ имеет нормальное распределение. Известно, что $\mathbb {P}\left\{ \xi > 2\right\} = 0{,}5$ , а $\mathbb {P}\left\{ \xi < 3\right\} = 0{,}975$ . Найти плотность распределения $\xi$ и $\mathbb {P}\left\{ 1 < \xi < 3\right\}$ .

?

Задача 9.30

Найти математическое ожидание и дисперсию нормально распределённой случайной величины $\xi$ , если известно, что $\mathbb {P}\left\{ \xi < 0{,}44\right\} = 0{,}1$ , а $\mathbb {P}\left\{ \xi \geqslant 3{,}88\right\} = 0{,}33$ .

?

Задача 9.31

Пусть случайная величина $\xi$ распределена равномерно на отрезке $[0, 1]$ . Найти плотности распределения следующих случайных величин:

?

(а)

$-\ln \xi$ ;

(б)

$2\xi + 1$ ;

(в)

$\xi - 1/\xi$ ;

(г)

$-\ln (1 - \xi )$ ;

(д)

$\xi^2$ ;

(е)

$e^\xi - 1$ .

Задача 9.32

Пусть случайная величина $\xi$ имеет показательное распределение с параметром $\alpha$ . Найти плотности распределения следующих случайных величин:

?

(а)

$\sqrt{\xi }$ ;

(б)

$\xi^2$ ;

(в)

$2^\xi$ ;

(г)

$\ln (\alpha \xi )$ ;

(д)

$e^{-\alpha \xi }$ ;

(е)

$\min (\xi , \xi^2)$ .

Задача 9.33

(а)(б)(в)(г)

Пусть случайная величина $\xi$ имеет стандартное распределение Коши ( $a = 0$ , $\sigma^2 = 1$ ). Найти плотности распределения следующих случайных величин:

?

(а)

$2\xi + 1$ ;

(б)

$1/\xi$ ;

(в)

$1/(1 + \xi^2)$ ;

(г)

$\xi^2/(1 + \xi^2)$ .

Задача 9.34

Пусть случайная величина $\xi$ имеет стандартное нормальное распределение. Найти плотность распределения случайной величины $\eta = e^\xi$ (эта плотность называется логарифмически нормальной).

?

Задача 9.35

Пусть случайная величина $\xi$ имеет равномерное распределение на отрезке $[0, 2\pi ]$ . Найти плотность распределения тангенса $\xi$ .

?

Задача 9.36

Пусть случайная величина $\xi$ имеет плотность распределения $p(x)$ . Найти плотности распределения следующих величин:

?

(а)

$a\xi + b$ , $a, b \in \mathbb {R}$ , $a \neq 0$ ;

(б)

$\xi^{-1}$ ;

(в)

$\xi^2$ ;

(г)

$\min (\xi , \xi^2)$ ;

(д)

$\cos \xi$ ;

(е)

дробной части $\xi$ ;

(ж)

$\left|\xi - 1\right|$ ;

(з)

$\max (\xi , \xi^2)$ .

Задача 9.37

Доказать, что для любой случайной величины $\xi$ с непрерывной функцией распределения $F$ выполняется равенство

\mathbb {P}\left\{ F(\xi ) < x\right\} = x, \quad x \in [0, 1].

?

Задача 9.38

Что можно сказать о распределении случайной величины $F(\xi )$ в предыдущей задаче, если функция распределения $F$ не является непрерывной?

?

Задача 9.39

Пусть случайная величина $\xi$ имеет равномерное распределение на отрезке $[0, 1]$ . Доказать, что для любой функции распределения $F$ существует измеримая функция $f$ такая, что случайная величина $\eta = f(\xi )$ имеет функцию распределения $F$ .

?

Задача 9.40

Пусть случайная величина $\xi$ имеет непрерывную функцию распределения $F$ . Найти функцию распределения случайной величины $\eta = -\ln F(\xi )$ .

?

Задача 9.41

Привести пример случайной величины $\xi$ с абсолютно непрерывным распределением и непрерывной функции $g$ таких, что $g(\xi )$ имеет невырожденное дискретное распределение.

?

Задача 9.42

Случайная величина $\xi$ имеет функцию распределения $F$ . Найти функцию распределения случайной величины $\eta = \left|\xi \right|^s$ , где $s > 0$ .

?

Задача 9.43

Пусть функция распределения $F$ случайной величины $\xi$ непрерывна в нуле. Найти распределение случайной величины $\eta = \xi /\left|\xi \right|$ .

?

Задача 9.44

(а)(б)(в)(г)

Случайная величина $\xi$ имеет функцию распределения $F$ . Найти функции распределения случайных величин:

?

(а)

$\max (0, \xi )$ ;

(б)

$\min (0, \xi )$ ;

(в)

$(\xi + \left|\xi \right|)/2$ ;

(г)

$2 - 3\xi$ .

Задача 9.45

Доказать, что если случайная величина $\xi$ имеет абсолютно непрерывное распределение, то величина $\left|\xi \right|$ также имеет абсолютно непрерывное распределение. Верно ли обратное утверждение?

?

Задача 9.46

(а)(б)

Доказать, что любая функция распределения $F$ обладает следующими свойствами:

?

(а)

$\displaystyle \lim_{x \to \infty } x \int_x^\infty \frac{1}{z}\, dF(z) = 0$ ;

(б)

$\displaystyle \lim_{x \to +0} x \int_x^\infty \frac{1}{z}\, dF(z) = 0$ .

Задача 9.47

(а)(б)

Доказать, что для любой непрерывной функции распределения $F$ справедливы следующие равенства:

?

(а)

$\displaystyle \int_{-\infty }^\infty F(x)\, dF(x) = \frac{1}{2}$ ;

(б)

$\displaystyle \int_{-\infty }^\infty F^2(x)\, dF(x) = \frac{1}{3}$ .

Задача 9.48

(а)(б)

Доказать, что если $F(x)$ — функция распределения, то при любом $h > 0$ функции:

?

(а)

$G(x) \equiv \dfrac {1}{h}\displaystyle \int_x^{x+h} F(y)\, dy$ ;

(б)

$H(x) \equiv \dfrac {1}{2h}\displaystyle \int_{x-h}^{x+h} F(y)\, dy$

также являются функциями распределения.

Задача 9.49

Доказать, что множество точек разрыва функции распределения не более чем счётно.

?

Задача 9.50

Доказать, что любое распределение $F$ может быть представлено в виде $F = \alpha F_d(x) + (1 - \alpha ) F_a(x)$ , где $\alpha \in [0, 1]$ , $F_d(x)$ — некоторое дискретное распределение, а $F_a(x)$ — непрерывное.

?

Задача 9.51

Доказать, что функция распределения однозначно определяется своими значениями не более чем в счётном числе точек.

?

Задача 9.52

Какова мощность множества всех функций распределения?

?

Функции распределения