Ковариация и коэффициент корреляции

Доказать, что

Доказать, что независимость случайных величин $\xi$ и $\eta$ влечёт равенство $\operatorname {Cov}\left[ \xi , \eta \right] = 0$.

Доказать, что:

Построить пример двух зависимых случайных величин, у которых коэффициент корреляции равен нулю.

Найти $\operatorname {Cov}\left[ \xi , \eta \right]$ для случайных величин с таблицей распределения, приведённой в задаче:

Пусть случайная величина $\xi$ принимает значения 0, 1 и $-1$ с вероятностями $1/3$, $1/2$ и $1/6$ соответственно. Найти коэффициент корреляции между $\xi$ и $\xi^2$.

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы, $\mathbb {P}\left\{ \xi =1\right\} = \mathbb {P}\left\{ \xi =-1\right\} = 1/2$, $\mathbb {P}\left\{ \eta =1\right\} = \mathbb {P}\left\{ \eta =-1\right\} = 1/4$ и $\mathbb {P}\left\{ \eta =0\right\} = 1/2$. Будут ли случайные величины $\xi \eta$ и $\eta$:

Найти коэффициент корреляции между числом выпавших «единиц» и числом «шестёрок» при $n$ бросаниях правильной игральной кости.

Случайная точка $(\xi , \eta )$ имеет равномерное распределение в квадрате $\left\{ (x, y) : \left|x\right| + \left|y\right| \leqslant \sqrt{2}\right\}$.

Случайная точка $(\xi , \eta )$ имеет равномерное распределение в треугольнике с вершинами в точках $(0, 0)$, $(2, 1)$, $(2, 0)$.

Случайная точка $(\xi , \eta )$ распределена равномерно внутри единичного круга с центром в начале координат.

Совместное распределение случайных величин $\xi$ и $\eta$ имеет плотность

На отрезок $[0, a]$ наудачу брошены две точки. Найти:

Найти коэффициент корреляции между случайными величинами $\xi$ и $\eta = e^{-\xi }$, если $\xi$ имеет стандартное нормальное распределение.

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и нормально распределены с параметрами $a$ и $\sigma^2$. Найти:

Пусть $\xi$ — случайная величина с симметричным распределением и конечной дисперсией. Найти коэффициент корреляции случайных величин $\xi$ и $\left|\xi \right|$.

Пусть случайные величины $\xi_1, \ldots , \xi_{n+m}$ независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию. Для $n > m$ найти коэффициент корреляции между суммами $\xi_1 + \ldots + \xi_n$ и $\xi_{m+1} + \ldots + \xi_{m+n}$.

Привести пример двух случайных величин $\xi$ и $\eta$ таких, что $\mathbb {E}\left[\xi \right]$ и $\mathbb {E}\left[\eta \right]$ существуют, а $\mathbb {E}\left[\xi \eta \right]$ не существует.

В урне $a$ белых и $b$ чёрных шаров. Из урны вынимают одновременно $k$ шаров, $k \leqslant a+b$. Найти математическое ожидание и дисперсию числа вынутых белых шаров.

Для группы из $n$ человек найти математическое ожидание и дисперсию числа дней в году, на каждый из которых не приходится ни одного дня рождения.

Написаны $n$ писем, предназначенных разным адресатам. Имеется $n$ конвертов с соответствующими адресами. Письма в случайном порядке вложены в конверты. Найти среднее значение и дисперсию числа писем, посланных по правильному адресу.

Доказать, что не существует трёх случайных величин $\xi$, $\eta$ и $\zeta$ таких, что коэффициент корреляции любых двух из них равен $-1$.

Пусть $\xi_1, \ldots , \xi_n$ — случайные величины, причём коэффициент корреляции любых двух из них равен одному и тому же числу $\rho$. Доказать, что $\rho \geqslant -1/(n-1)$.

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют нулевые средние значения, единичные дисперсии и коэффициент корреляции $\rho$. Показать, что $\mathbb {E}\left[\max (\xi^2, \eta^2)\right] \leqslant 1 + \sqrt{1-\rho^2}$.

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют нулевые средние значения, единичные дисперсии и коэффициент корреляции $\rho$, $0 < \rho < 1$. Найти все значения $a$ и $b$, при которых случайные величины $\xi - a\eta$ и $\eta - b\xi$ некоррелированы.