Производящие функции

Пусть случайная величина $\xi$ принимает лишь целые неотрицательные значения и пусть $\psi (z)$, $\left|z\right| \leqslant 1$, — её производящая функция (то есть $\psi (z) = \sum_{n=0}^\infty z^n \mathbb {P}\left\{ \xi =n\right\} = \mathbb {E}\left[z^\xi \right]$). Определяет ли производящая функция $\psi (z)$ однозначным образом распределение случайной величины $\xi$?

Для любых двух независимых случайных величин $\xi$ и $\eta$ доказать, что $\psi_{\xi +\eta }(z) = \psi_\xi (z)\psi_\eta (z)$.

Пусть $\xi$ — неотрицательная целочисленная случайная величина с производящей функцией $\psi (z)$. Найти производящие функции величин:

Найти производящие функции случайных величин, которые имеют:

Пусть $\xi$ — неотрицательная целочисленная случайная величина с производящей функцией $\psi_\xi$. В терминах $\psi_\xi$ выразить производящие функции следующих последовательностей:

Пусть $\left\{ \xi_n\right\}$ — последовательность целочисленных неотрицательных независимых одинаково распределённых случайных величин с производящей функцией $\psi_\xi$. Пусть $\nu$ — положительная целочисленная случайная величина, не зависящая от $\left\{ \xi_n\right\}$ и имеющая производящую функцию $\psi_\nu$. Найти производящую функцию суммы случайного числа слагаемых $\xi_1 + \ldots + \xi_\nu$.

Найти законы распределения, которым соответствуют следующие производящие функции:

Пусть случайная величина $\xi$ имеет производящую функцию $\psi$. Найти распределение $\xi$, если $\psi (1/2^n) = 1/2^n$ для любого $n$.

Доказать, что функция $\psi (z) = \left|z\right|$ не может быть производящей функцией вероятностного распределения.

Пусть случайная величина $\xi$ принимает значения $0, 1, \ldots , n-1$ с вероятностью $1/n$ каждое. Доказать, что если число $n$ — составное, то $\xi$ можно представить в виде суммы независимых целочисленных случайных величин.

Пусть случайная величина $\xi$ принимает значения 0 и 1 с вероятностью $1/2$ каждое, а $\eta$ — 0, 1, 2 и 3 с вероятностями $1/8$, $1/4$, $1/2$ и $1/8$ соответственно. Доказать, что не существует случайной величины $\zeta$, не зависящей от $\xi$ и такой, что $\xi + \zeta = \eta$.

Решить задачу 10.39, используя производящие функции.

Пусть $\left\{ \xi_n\right\}$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с общей функцией распределения $F$. Пусть $\nu$ — положительная целочисленная случайная величина, не зависящая от $\left\{ \xi_n\right\}$ и имеющая производящую функцию $\psi$. Доказать, что функция распределения случайной величины $\max (\xi_1, \ldots , \xi_\nu )$ равна $\psi (F(x))$.