Случайные величины

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины. Доказать, что следующие множества являются событиями:

Пусть функция $\xi : \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ такова, что для каждого $x \in \mathbb {R}$ множество $A_x = \left\{ \omega \in \Omega : \xi (\omega ) = x\right\}$ является событием. Верно ли, что в этом случае $\xi$ — случайная величина?

Построить вероятностное пространство $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ и функцию $\xi : \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ на нём такие, что $\xi$ не является случайной величиной.

Обязана ли функция $\xi$ быть случайной величиной, если случайной величиной является функция:

Пусть вероятностное пространство $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ есть отрезок $[0, 1]$ с $\sigma$-алгеброй борелевских множеств и мерой Лебега. Описать $\sigma$-алгебру, порождённую случайной величиной:

Пусть вероятностное пространство $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ есть прямая $\mathbb {R}$ с $\sigma$-алгеброй борелевских множеств и некоторой вероятностью. Описать $\sigma$-алгебру, порождённую случайной величиной: