Безгранично делимые распределения

Пусть случайная величина $\xi$ имеет безгранично делимое распределение (то есть для любого натурального $n$ найдутся независимые одинаково распределённые случайные величины $\xi_1, \ldots , \xi_n$ такие, что распределение суммы $\xi_1 + \ldots + \xi_n$ совпадает с распределением $\xi$). Доказать, что при любых вещественных $a$ и $b$ распределение случайной величины $a\xi + b$ также безгранично делимое.

Доказать, что случайная величина $\xi$ с характеристической функцией $\phi (t)$ имеет безгранично делимое распределение тогда и только тогда, когда для любого $n > 0$ функция $\phi^{1/n}(t)$ является характеристической какого-либо распределения.

Пусть $\phi (t)$ — характеристическая функция безгранично делимого распределения. Доказать, что для любого $c > 0$ функция $\phi^c(t)$ также является характеристической функцией безгранично делимого распределения.

Доказать, что характеристическая функция безгранично делимого распределения нигде не обращается в нуль.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины с безгранично делимыми распределениями. Доказать, что распределение случайной величины $\xi + \eta$ также безгранично делимое.

Пусть $\phi (t)$ — характеристическая функция безгранично делимого распределения. Доказать, что функция $\left|\phi (t)\right|$ также является характеристической функцией безгранично делимого распределения.

Доказать безграничную делимость:

Пусть $\phi (t)$ — характеристическая функция. Доказать, что для любого $\lambda > 0$ функция $e^{\lambda (\phi (t)-1)}$ является характеристической функцией безгранично делимого распределения.

Доказать, что если сумма двух независимых безгранично делимых случайных величин распределена по закону Пуассона, то каждое из слагаемых также распределено по закону Пуассона.

Доказать, что если сумма двух независимых безгранично делимых случайных величин распределена по нормальному закону, то каждое из слагаемых также распределено по нормальному закону.

Доказать, что равномерное на отрезке распределение не может быть безгранично делимым.

Доказать, что никакое невырожденное безгранично делимое распределение не может быть сосредоточено на конечном отрезке.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, причём $\xi$ имеет равномерное на некотором отрезке распределение. Доказать, что случайная величина $\xi + \eta$ не может иметь безгранично делимое распределение.