Банк задач по математике

Задача 15.1

Доказать, что для любой случайной величины $\xi$ (характеристическая функция которой определяется как $\phi_\xi (t) = \mathbb {E}\left[e^{it\xi }\right]$ , где $i$ — мнимая единица):

?

(а)

$\phi_\xi (0) = 1$ и $\left|\phi_\xi (t)\right| \leqslant 1$ ;

(б)

$\overline{\phi_\xi (t)} = \phi_\xi (-t) = \phi_{-\xi }(t)$ ;

(в)

$\phi_{a\xi +b}(t) = e^{itb}\phi_\xi (at)$ для любых констант $a$ и $b$ ;

(г)

$\phi_{\xi +\eta }(t) = \phi_\xi (t)\phi_\eta (t)$ , если случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы;

(д)

характеристическая функция $\phi_\xi (t)$ равномерно непрерывна, т.е.

\sup _{t \in \mathbb {R}} \left|\phi _\xi (t+h) - \phi _\xi (t)\right| \to 0 \text{ при } h \to 0.

Задача 15.2

(а)(б)

Пусть у случайной величины $\xi$ существует абсолютный момент порядка $k$ , т.е. $\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^k\right] < \infty$ . Доказать, что её характеристическая функция $\phi_\xi (t)$ :

?

(а)

непрерывно дифференцируема $k$ раз, и её $k$ -я производная в нуле выражается через $k$ -й момент:

\phi _\xi ^{(k)}(0) = i^k \mathbb {E}\left[\xi ^k\right];

(б)

в окрестности точки $t = 0$ разлагается в ряд Тейлора:

\phi _\xi (t) = 1 + it\mathbb {E}\left[\xi \right] - \frac{t^2}{2}\mathbb {E}\left[\xi ^2\right] + \ldots + \frac{i^k t^k}{k!}\mathbb {E}\left[\xi ^k\right] + o(\left|t\right|^k)

при $t \to 0$ .

Задача 15.3

Доказать, что характеристическая функция чётна тогда и только тогда, когда распределение случайной величины симметрично.

?

Задача 15.4

Доказать, что характеристическая функция вещественна тогда и только тогда, когда она чётна.

?

Задача 15.5

Вычислить характеристическую функцию случайной величины $\xi$ , которая имеет:

?

(а)

вырожденное распределение в точке $a$ ;

(б)

распределение Бернулли с параметром $p$ ;

(в)

биномиальное распределение с параметрами $p$ и $n$ ;

(г)

распределение Пуассона с параметром $\lambda$ ;

(д)

геометрическое распределение с параметром $p$ .

Задача 15.6

Вычислить характеристическую функцию абсолютно непрерывного распределения:

?

(а)

равномерного на отрезке $[0, 1]$ ;

(б)

равномерного на отрезке $[-a, a]$ ;

(в)

равномерного на отрезке $[a, b]$ ;

(г)

показательного с параметром $\alpha$ ;

(д)

Лапласа с параметром $\alpha$ ;

(е)

стандартного нормального;

(ж)

нормального с параметрами $a$ и $\sigma^2$ ;

(з)

Коши с параметрами сдвига $a$ и масштаба 1;

(и)

$\Gamma$ -распределения с параметрами $\alpha$ и $\beta$ .

Задача 15.7

Найти закон распределения со следующей характеристической функцией:

?

(а)

$\cos t$ ;

(б)

$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty a_k \cos (kt)$ , где $a_k \geqslant 0$ и $\displaystyle \sum_{k=0}^\infty a_k = 1$ ;

(в)

$\cos^2 t$ ;

(г)

$\dfrac {1}{2} + \dfrac {\cos t}{2} + i\dfrac {\sin t}{6}$ ;

(д)

$e^{-t^2}$ ;

(е)

$e^{-\left|t\right|}$ ;

(ж)

$1/(1+t^2)$ ;

(з)

$1/(1-it)$ ;

(и)

$(\sin t)/t$ ;

(к)

$e^{-\left|t\right|}\cos t$ .

Задача 15.8

(а)(б)(в)

Пусть в качестве вероятностного пространства взят отрезок $[0, 1]$ с борелевской $\sigma$ -алгеброй подмножеств и мерой Лебега. Найти характеристическую функцию случайной величины $\xi$ , если:

?

(а)

$\xi (\omega ) = \ln \omega$ , $\xi (0) = 0$ ;

(б)

$\xi (\omega ) = \begin{cases} 2\omega & \text{при } 0 \leqslant \omega \leqslant 1/2, \\ 2\omega - 1 & \text{при } 1/2 < \omega \leqslant 1; \end{cases}$

(в)

$\xi (\omega ) = \begin{cases} 1 & \text{при } 0 \leqslant \omega \leqslant 1/3, \\ 0 & \text{при } 1/3 < \omega \leqslant 2/3, \\ 1 & \text{при } 2/3 < \omega \leqslant 1. \end{cases}$

Задача 15.9

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с характеристической функцией $\phi$ . Найти характеристическую функцию случайной величины $\xi - \eta$ .

?

Задача 15.10

Выяснить, является ли характеристической функцией: $\sin t$ .

?

Задача 15.11

Выяснить, является ли характеристической функцией: $\sin t + 1$ .

?

Задача 15.12

Выяснить, является ли характеристической функцией: $e^{-t^4}$ .

?

Задача 15.13

Выяснить, является ли характеристической функцией: $\cos (t^2)$ .

?

Задача 15.14

Выяснить, является ли характеристической функцией: $\cos^5 t$ .

?

Задача 15.15

Выяснить, является ли характеристической функцией: $e^{-i\left|t\right|}$ .

?

Задача 15.16

Выяснить, является ли характеристической функцией: $\dfrac {1}{1 - \left|t\right|i}$ .

?

Задача 15.17

Выяснить, является ли характеристической функцией:

\phi (t) = \begin{cases} \sqrt{1-t^2}, & \left|t\right| < 1, \\ 0, & \left|t\right| \geqslant 1. \end{cases}

?

Задача 15.18

Выяснить, является ли характеристической функцией:

\phi (t) = \begin{cases} 1-t^2, & \left|t\right| < 1, \\ 0, & \left|t\right| \geqslant 1. \end{cases}

?

Задача 15.19

Выяснить, является ли характеристической функцией:

\phi (t) = \begin{cases} 1-\left|t\right|, & \left|t\right| < 1, \\ 0, & \left|t\right| \geqslant 1. \end{cases}

?

Задача 15.20

Выяснить, является ли характеристической функцией: вещественная функция, не являющаяся чётной.

?

Задача 15.21

Доказать, что из равенства $\phi_{\xi +\eta }(t) = \phi_\xi (t)\phi_\eta (t)$ не следует, вообще говоря, независимость случайных величин $\xi$ и $\eta$ .

?

Задача 15.22

Пусть $\phi (t)$ — чётная непрерывная функция, выпуклая при $t \geqslant 0$ и такая, что $0 \leqslant \phi (t) \leqslant 1$ и $\phi (0) = 1$ . Доказать, что $\phi (t)$ является характеристической функцией.

?

Задача 15.23

Существуют ли различные характеристические функции, совпадающие на некотором отрезке, содержащем начало координат?

?

Задача 15.24

Пусть случайная величина $\xi$ не зависит от $\eta$ и $\zeta$ , причём суммы $\xi + \eta$ и $\xi + \zeta$ имеют одинаковое распределение. Верно ли, что случайные величины $\eta$ и $\zeta$ имеют одинаковое распределение?

?

Задача 15.25

Пусть $\phi_1, \phi_2, \ldots$ — характеристические функции и $a_1, a_2, \ldots$ — неотрицательные числа такие, что $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty a_i = 1$ . Доказать, что функция $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty a_i \phi_i$ также является характеристической.

?

Задача 15.26

Доказать, что если $\phi$ является характеристической функцией, то характеристической является также функция $e^{\phi - 1}$ .

?

Задача 15.27

Доказать, что если $\phi$ является характеристической функцией, то характеристической является также функция $\dfrac {2}{2 - \phi } - 1$ .

?

Задача 15.28

Доказать, что если $\phi$ является характеристической функцией, то характеристической является также функция $\phi^2$ .

?

Задача 15.29

Доказать, что если $\phi$ является характеристической функцией, то характеристической является также функция $\mathrm{Re}\left(\phi \right)$ .

?

Задача 15.30

Доказать, что если $\phi$ является характеристической функцией, то характеристической является также функция $\dfrac {1}{t}\displaystyle \int_0^t \phi (z)\, dz$ .

?

Задача 15.31

Доказать, что если $\phi$ является характеристической функцией, то характеристической является также функция $\left|\phi \right|^2$ .

?

Задача 15.32

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины с функциями распределения $F$ и $G$ и характеристическими функциями $\phi$ и $\psi$ соответственно. Доказать, что произведение $\xi \eta$ имеет характеристическую функцию

\int _{-\infty }^\infty \phi (tz)\, dG(z) = \int _{-\infty }^\infty \psi (tz)\, dF(z).

?

Задача 15.33

(а)(б)

Пусть $\phi$ — характеристическая функция. Доказать, что:

?

(а)

$\left|\phi (t+h) - \phi (t)\right| \leqslant \sqrt{2[1 - \mathrm{Re}\left(\phi (h)\right)]}$ ;

(б)

$1 - \mathrm{Re}\left(\phi (2t)\right) \leqslant 4(1 - \mathrm{Re}\left(\phi (t)\right))$ .

Задача 15.34

Доказать, что для любой случайной величины $\xi$ , соответствующей характеристической функции $\phi$ , и любого $x > 0$

\mathbb {P}\left\{ \left|\xi \right| > 2/x\right\} \leqslant \frac{1}{x}\int _{-x}^x (1 - \phi (u))\, du.

?

Задача 15.35

Рассмотрим распределение, симметричное относительно 0. Пусть $F(x)$ — соответствующая функция распределения, а $\phi (t)$ — характеристическая функция. Доказать, что если

x(1 - F(x)) \to c > 0 \text{ при } x \to \infty ,

то

\phi (t) = 1 - c\pi \left|t\right| + o(t) \text{ при } t \to 0.

?

Задача 15.36

Доказать, что если величины $\xi$ и $\eta$ независимы, одинаково распределены и их сумма нормально распределена, то $\xi$ и $\eta$ также нормально распределены.

?

Характеристические функции