Совместное распределение. Независимость

Двумерное распределение пары целочисленных случайных величин $\xi$ и $\eta$ задаётся с помощью таблицы

где в пересечении столбца $\xi = i$ и строки $\eta = j$ находится вероятность $\mathbb {P}\left\{ \xi = i, \eta = j\right\}$. Выяснить, зависимы или нет случайные величины $\xi$ и $\eta$. Найти:

Решить задачу 10.1 для таблицы

Решить задачу 10.1 для таблицы

Число $\xi$ выбирается случайно среди чисел 1, 2 и 3; число $\eta$ выбирается случайно среди $\xi , \xi +1, \ldots , \xi +3$. Найти:

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и одинаково распределены, причём $\mathbb {P}\left\{ \xi = 1\right\} = p$ и $\mathbb {P}\left\{ \xi = 0\right\} = 1 - p$. Введём новую случайную величину $\zeta$, положив

При каких значениях $p$ случайные величины $\xi$ и $\zeta$ независимы?

Пусть $\xi_1$ и $\xi_2$ — независимые случайные величины, принимающие целые значения. При каких условиях события $\left\{ \xi_1 \text{ чётно}\right\}$ и $\left\{ \xi_1 + \xi_2 \text{ чётно}\right\}$ независимы?

Пусть независимые случайные величины $\xi$, $\eta$ и $\zeta$ имеют одинаковое геометрическое распределение с параметром $p$. Найти:

Точка $\omega = (\omega_1, \omega_2)$ выбрана наудачу в квадрате $[0, 1]^2$. Найти функцию распределения и плотность случайной величины $\xi + \eta$, если:

Рассмотрим на плоскости область $\Omega$, имеющую площадь $1/2$ и являющуюся объединением четырёхугольника с вершинами $(0,0)$, $(1,1)$, $(0,1/2)$, $(1/2,1)$ и треугольника с вершинами $(1/2,0)$, $(1,0)$, $(1,1/2)$. Случайная точка $(\xi , \eta )$ распределена равномерно в $\Omega$. Доказать, что:

Для данной линии трамвая известна функция $F(a, b)$, равная вероятности того, что пассажир, едущий по этой линии, вошёл в точке $x < a$ и едет до точки $y \leqslant b$. Найти вероятность того, что пассажир:

Пусть $F(x, y)$ обозначает двумерную функцию распределения. Положим $G(x, y) = 0$ при $x < 0$ и $y < 0$; $G(x, y) = F(x, y)$ во всех других точках. Доказать, что $G$ — монотонная функция каждой переменной, но $G$ необязательно является функцией распределения.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины с функциями распределения $F$ и $G$ соответственно. Доказать, что если $\mathbb {P}\left\{ \xi \leqslant \eta \right\} = 1$, то $F(x) \geqslant G(x)$ при любом $x$.

На отрезок $[0, a]$ наудачу независимо брошены две точки. Найти функцию распределения расстояния между ними.

Пусть $p(x, y)$ — плотность совместного распределения случайных величин $\xi$ и $\eta$. Найти:

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют одинаковую непрерывную функцию распределения. Найти:

Пусть независимые случайные величины $\xi$ и $\eta$ показательно распределены с параметрами $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Найти $\mathbb {P}\left\{ \xi < \eta \right\}$.

Совместное распределение случайных величин $\xi$ и $\eta$ имеет плотность

Найти:

Случайная величина $\xi$ имеет плотность распределения $p(x)$. Найти совместную функцию распределения случайного вектора $(\xi , \xi^2)$.

Совместное распределение случайных величин $\xi$ и $\eta$ имеет плотность

Найти плотность распределения случайной величины $\xi$.

Совместное распределение случайных величин $\xi$ и $\eta$ имеет плотность

Установить, зависимы или нет случайные величины $\xi$ и $\eta$. Найти:

Случайная точка $(\xi , \eta )$ распределена равномерно внутри квадрата $\left\{ (x, y) : \left|x\right| + \left|y\right| \leqslant 1\right\}$. Установить, зависимы или нет случайные величины $\xi$ и $\eta$. Найти:

Совместное распределение случайных величин $\xi$ и $\eta$ имеет плотность

Найти плотность распределения $\sqrt{\xi^2 + \eta^2}$.

Случайная точка $(\xi , \eta )$ распределена на плоскости по нормальному закону с плотностью

Найти вероятность попадания случайной точки $(\xi , \eta )$ в область, ограниченную эллипсом

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Найти вероятность попадания случайной точки $(\xi , \eta )$

Случайная точка $(\xi , \eta )$ имеет равномерное распределение в круге $\left\{ (x, y) : x^2 + y^2 < 1\right\}$.

Случайный вектор $(\xi , \eta , \zeta )$ имеет плотность распределения

Найти распределение величины $\xi + \eta + \zeta$.

Две точки выбираются случайно и независимо на отрезке $[0, 1]$; третья точка выбирается случайно между первыми двумя. Доказать, что распределение координаты третьей точки абсолютно непрерывно. Найти его плотность.

Показать, что если $\xi_1, \xi_2, \ldots$ — независимые случайные величины, то обе случайные величины $\liminf_{n \to \infty } \xi_n$ и $\limsup_{n \to \infty } \xi_n$ вырождены.

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ таковы, что выполняется $\mathbb {P}\left\{ \xi > 0\right\} = \mathbb {P}\left\{ \eta > 0\right\} = 3/4$ и $\mathbb {P}\left\{ \xi + \eta > 0\right\} = 1/2$. Доказать, что $\xi$ и $\eta$ зависимы.

Пусть $\xi$ имеет стандартное нормальное распределение, а $\eta = 1$ при $\xi > 0$ и $\eta = 0$ при $\xi \leqslant 0$. Доказать, что случайные величины $\left|\xi \right|$ и $\eta$ независимы.

Пусть независимые случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют функции распределения $F(x)$ и $G(x)$ соответственно. Найти функции распределения следующих величин:

К переговорному пункту с двумя кабинами подошли три клиента: первый и второй клиенты заняли соответственно кабины №1 и 2, а третий клиент остался ждать. Предполагая, что времена $\tau_1$, $\tau_2$ и $\tau_3$ разговоров клиентов независимы и распределены показательно с параметром $\alpha$, найти:

Когда случайная величина $\xi$ не зависит сама от себя?

При каких условиях на $\xi$ случайные величины $\xi$ и $\sin \xi$ независимы?

Доказать, что если случайные величины $\xi$ и $f(\xi )$ ($f$ — борелевская функция) независимы, то $f(\xi )$ равно некоторой константе с вероятностью 1.

Доказать, что если случайные величины $\xi$ и $\eta$, а также $\xi$ и $\xi - \eta$ независимы, то $\xi$ равно некоторой константе с вероятностью 1.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины. Обязаны ли они быть независимыми, если случайные величины $\xi^2$ и $\eta^2$ независимы?

Пусть независимые случайные величины $\xi$, $\eta$ и $\zeta$ принимают лишь значения $0, 1, 2, \ldots$, причём каждое с положительной вероятностью. Доказать, что не существует целого $n \geqslant 2$, для которого равенство $\xi^n + \eta^n = \zeta^n$ выполнялось бы с вероятностью 1.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, причём $\xi + \eta$ принимает значения 0, 1 и 2 с вероятностями $1/3$ каждое. Доказать, что одна из величин $\xi$ или $\eta$ имеет вырожденное распределение.