Геометрические приложения дифференциального исчисления

На горизонтальную ось насажен плоский диск-эксцентрик. Какую форму он должен иметь, чтобы упирающийся в него вертикальный стержень совершал гармоническое колебательное движение при равномерном вращении оси?

Тот же вопрос, но вертикальный стержень должен совершать равномерное движение вверх и вниз. (Так движется трубка у некоторых микроскопов.)

Косо срезанный цилиндр покрыт красящим веществом и катится по плоскости. Какой кривой ограничена окрашенная часть плоскости?

Доказать, что кривые $r = e^{a\varphi }$ и $r = ce^{a\varphi }$ геометрически подобны — одна переходит в другую при увеличении масштаба рисунка. В то же время они равны, переходя друг в друга при повороте на некоторый угол.

Доказать, что фигуры, заключенные между осью $x$ и кривыми $y = e^{x}$ и $y = ae^{x}$, при передвижении одной из этих кривых вдоль оси $x$ могут быть совмещены.

Прямая данной длины $l$ скользит концами $A$ и $B$ по осям $Ox$ и $Oy$. Из вершины $C$ прямоугольника $OACB$ на прямую опускается перпендикуляр. Найти геометрическое место основания этого перпендикуляра.

Тот же вопрос для конца перпендикуляра, опущенного из начала координат. (Четырехлепестник.)

Дан отрезок $OO_{1} = a$. На произвольный луч, проходящий через точку $O$, опущен из точки $O_{1}$ перпендикуляр $O_{1}M_{1}$, а из основания этого перпендикуляра $M_{1}$ опущен перпендикуляр $M_{1}M$ на луч, симметричный первому относительно линии $OO_{1}$. Найти геометрическое место оснований второго перпендикуляра $M$.

Из точки $M(\xi , \eta )$ окружности $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ проводится прямая $y=\eta$ до пересечения с осью ординат в точке $N$. Из точки $(a, 0)$ проводится прямая в точку $N$. Найти геометрическое место точки ее пересечения с ординатой точки $M$.

Прямой угол вращается около вершины $A(a, 0)$. Из начала координат через точку пересечения одной из сторон угла с окружностью $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ проводится прямая до пересечения с другой стороной угла. Найти геометрическое место точки пересечения.

Прямоугольный треугольник имеет катеты $AC = a$ и $BC = 2a$. Точка $B$ скользит по оси $Ox$, а точка $A$ скользит по окружности $x^{2}+y^{2}=a^{2}$. Найти геометрическое место вершин прямого угла.

Найти геометрическое место точек касания прямых из начала координат, касательных к окружностям с радиусом $a$ и с центром на оси $Ox$.

Две равные параболы вращаются около своих вершин так, что четыре точки их пересечения всегда лежат на окружности. Найти геометрическое место центра окружности.

Найти геометрическое место вершины равнобочной гиперболы с данным центром, проходящей через данную точку.

Тот же вопрос для фокуса гиперболы.

Гипербола с полуосью $a$ проходит через данные две точки с расстоянием $2c$. Найти геометрическое место центра гиперболы, если она равнобочная.

Найти геометрическое место середин отрезков нормалей к эллипсу $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$, заключенных внутри эллипса.

Два стержня длиной $\sqrt{2}$ вращаются вокруг своих концов, закрепленных в точках $(1,0)$ и $(-1,0)$. Другие концы их соединены шарнирно стержнем длиной $2$. Определить, какую кривую описывает середина соединительного стержня.

Инверсор Поселлье—Липкина состоит из ромба $ABCD$ со стороной, равной $a$. Точки $A$ и $C$ соединены с неподвижной точкой $O$ прямыми $OA$ и $OC$ длиной $b$, где $b > a$.

Стороны ромба и отрезки $OA$ и $OC$ — стержни, соединенные шарнирами. Доказать, что точки $O$, $B$ и $D$ лежат на одной прямой и притом $OB \cdot OD = b^{2}-a^{2}$, так что движение вершины ромба по данной кривой позволяет выполнить инверсию.

Доказать, что при движении точки $B$ в инверсоре Поселлье — Липкина по окружности, проходящей через точку $O$, точка $D$ описывает прямую.

Какие линии изображаются параметрическими уравнениями $x = t^{2}-t+1$, $y = t^{2}+t+1$?

Какие линии изображаются параметрическими уравнениями $x = t^{2}-2t+3$, $y = t^{2}-2t+1$?

Какие линии изображаются параметрическими уравнениями $x = a\sin^{2}t$, $y = b\cos^{2}t$?

Какие линии изображаются параметрическими уравнениями $x = a\sin^{4}t$, $y = a\cos^{4}t$?

На кривой $x = t^{2}-2t+3$, $y = t^{2}+2t-1$ найти самую левую и самую низкую точки.

Воспользовавшись тождеством $\cos^{2}t+\sin^{2}t=1$, представить уравнение эллипса $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ в параметрической форме.

Воспользовавшись тождеством $e^{-t}\cdot e^{t}=1$, представить уравнение гиперболы $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}-\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ в параметрической форме.

Представить уравнение окружности $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ в параметрической форме, приняв за параметр угловой коэффициент хорды окружности, проходящей через точку $(-a, 0)$.

Доказать, что координаты точек кривой второго порядка можно рационально выразить через угловой коэффициент переменной хорды кривой, проходящей через какую-нибудь выбранную точку кривой.

Кривая $F(x,y)=0$, координаты точек которой можно рационально выразить через параметр, называется уникурсальной. Доказать, что кривые $r = f(\cos \varphi , \sin \varphi )$, где $f$ — рациональная функция, уникурсальны.

Доказать, что циссоида $y^{2} = \dfrac {x^{3}}{2a-x}$ уникурсальна, выразив координаты ее точек через угловой коэффициент хорды, соединяющей начало с данной точкой кривой.

Решая совместно уравнение декартова листа $x^{3}+y^{3}=3axy$ и уравнение вспомогательной прямой $y = tx$, получить параметрические уравнения декартова листа:

Доказать, что три различные точки декартова листа, соответствующие значениям параметра $t_{1}$, $t_{2}$ и $t_{3}$, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда $t_{1}t_{2}t_{3} = -1$.

Доказать, что координаты точек кардиоиды $r = a(1+\cos \varphi )$ могут быть выражены через некоторый параметр $t$ формулами:

При каком условии три точки кардиоиды, соответствующие значениям параметра $t_{1}$, $t_{2}$, $t_{3}$ (см. предыдущую задачу), лежат на одной прямой?

Доказать, что координаты точек строфоиды $(2a-x)y^{2} = x(x-a)^{2}$ можно выразить рационально через некоторый параметр $t$ по формулам:

При каком условии точки строфоиды, соответствующие значениям $t_{1}$, $t_{2}$, $t_{3}$ параметра (см. предыдущую задачу), лежат на одной прямой?

При каких значениях $t_{1}$, $t_{2}$, $t_{3}$, $t_{4}$ соответствующие точки строфоиды (см. задачу 1909) лежат на одной окружности?

Доказать, что четыре точки циссоиды

соответствующие значениям параметра $t_{1}$, $t_{2}$, $t_{3}$ и $t_{4}$, лежат на одной окружности при условии $t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}=0$.

Выразить рационально через вспомогательный параметр координаты точек лемнискаты $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$.

Показать, что кривая $x^{y}=y^{x}$ распадается на биссектрису первого координатного угла и кривую

где $n$ — переменный параметр.

Показать, что кривые

пересекают ось $Ox$ под одинаковыми углами, независимо от величины $a$.

Найти угол, под которым кривая

пересекает ось $Oy$.

При каком значении $a$ кривая $y = \dfrac {x^{3}+ax}{b}$ пересекает ось $Oy$ под углом $\dfrac {\pi }{4}$?

Тот же вопрос для кривой $y = \dfrac {ax}{1+bx^{2}}$.

Какая из прямых, идущих из начала координат, пересекает гиперболу $xy = a^{2}$ под прямым углом?

Тот же вопрос для эллипса $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$.

Найти уравнение синусоиды, пересекающей ось $Ox$ в начале координат под углом $\dfrac {\pi }{4}$, а в точке $(a,0)$ — под углом $\dfrac {3\pi }{4}$.

Доказать, что угол между радиус-вектором, проведенным из начала координат в точку $(r,\varphi )$ кривой $r^{n} = a^{n}\cos n\varphi$, и касательной к этой кривой равен $n\varphi +\dfrac {\pi }{2}$.

Доказать, что кривая $r = e^{a\varphi }$ пересекает все радиус-векторы, идущие из начала координат, под одинаковым углом.

Доказать, что угол между касательной к спирали Архимеда $r = a\varphi$ и радиус-вектором, проведенным к точке касания из начала координат, стремится к $\dfrac {\pi }{2}$ при $\varphi \rightarrow \infty$.

Найти угол между касательной к кардиоиде $r = a(1+\cos \varphi )$ и радиус-вектором точки касания.

Найти уравнение касательной к кривой $y = x\ln x+1$ в точке с ординатой $1$.

Найти уравнение касательной в точке $(1,-2)$ к кривой

Провести нормаль к кривой $x^{3}+y^{2}+2x-6=0$ в точке, где $y=3$.

Найти нормаль к локону Марии Аньези $x^{2}y = a^{2}(a-y)$, параллельную прямой $y=2x$.

Найти нормаль к кривой $y = a\ln \cos \dfrac {x}{a}$ в точке $x=2\pi a$.

Найти нормаль к кардиоиде $r = a(1+\cos \varphi )$, составляющую угол $\dfrac {\pi }{4}$ с полярной осью.

На кривой $xy^{2}=2a^{3}$ найти точки, нормаль в которых проходит через начало координат.

У кривой $x^{3}-y^{3}=3x^{2}$ найти касательную, параллельную прямой $y=x$.

Вычислить расстояние от начала координат до касательной к кривой $x^{2}y=a^{3}$, проведенной в точке с абсциссой $x_{0}$.

Найти наиболее удаленную от начала координат касательную к астроиде $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$.

Доказать, что касательные к кривым $y = af(x)$, имеющие общую абсциссу точки касания, пересекаются в одной точке.

Доказать, что в точках с одинаковой абсциссой поднормали к кривым $y=f(x)$ и $y=\sqrt{f^{2}(x)+a^{2}}$ одинаковы.

Доказать, что у кривых $y = ax^{n}$ отношение подкасательной к абсциссе точки касания равно $\dfrac {1}{n}$.

Доказать, что у кривой $y = a\ln (x^{2}-a^{2})$ сумма длин касательной и подкасательной пропорциональна величине $xy$.

Доказать, что длина касательной к трактрисе

равна $a$.

Доказать, что все нормали к кривой

одинаково удалены от начала координат.

Доказать, что отрезок нормали к кривой

заключенный между осями координат, равен $2a$.

Доказать, что у кривой $x = 2a\ln \sin t-2a\sin^{2}t$, $y = a\sin 2t$ отрезок оси $Ox$ между касательной и нормалью равен $2a$.

Доказать, что окружность $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ и нормали к эпициклоиде

пересекаются в точке $(a\cos t, a\sin t)$.

То же для гипоциклоиды

Определить длину отрезка касательной к астроиде

между осями координат.

Найти отрезок нормали к кривой

заключенный между осями координат.

Найти расстояние от начала координат до касательной к кривой $x = a(\cos t+t\sin t)$, $y = a(\sin t-t\cos t)$.

Вычислить расстояние от начала координат до касательной к кривой $r = ae^{k\varphi }$.

Вычислить произведение расстояний от фокусов эллипса $x = a\cos t$, $y = b\sin t$ до касательной к нему.

Вычислить длину отрезка нормали к эллипсу $x = a\cos t$, $y = b\sin t$, лежащего внутри этого эллипса.

Нормаль, проведенная в точке $M$ кривой $xy=a^{2}$, пересекается с прямой $y=x$ в точке $N$. Найти отношение $OM : MN$.

Доказать, что площадь трапеции, образованной касательной к кривой $3axy = x^{3}+2a^{3}$, ординатой точки касания и осями координат, не зависит от выбора точки касания.

Доказать, что касательная к кривой

образует вместе с осями координат треугольник, периметр которого постоянен.

Доказать, что касательная к кривой $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ отсекает на осях координат отрезки, сумма которых постоянна.

Доказать, что углы между касательными к кривым $r = f(\varphi )$ и $r = \dfrac {a}{f(\varphi )}$ и радиус-векторами при одинаковом значении $\varphi$ в точках касания составляют в сумме $\pi$.

Доказать, что касательные к кривым $y = \dfrac {\lambda \varphi (x)+\mu \varphi_{1}(x)}{\lambda +\mu }$ при одинаковых абсциссах точки касания пересекаются в одной точке, положение которой не зависит от $\lambda$ и $\mu$.

Каждый радиус-вектор кривой $r = a\sin^{3}\dfrac {\varphi }{3}$ пересекает ее в трех точках, отличных от полюса. Доказать, что касательные в этих точках составляют равносторонний треугольник.

В трех точках $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$, расположенных на декартовом листе $x^{3}+y^{3}=3xy$ на одной прямой, проводятся касательные, пересекающие эту кривую в точках $P_{1}$, $P_{2}$ и $P_{3}$. Доказать, что эти точки лежат на одной прямой.

Из точки $M$ на строфоиде $(2a-x)y^{2}=x(x-a)^{2}$ проведены прямые, касающиеся строфоиды в точках $P$ и $Q$. Доказать, что точки $M$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности с началом координат. (См. задачи 1909, 1910, 1911.)

У лемнискаты $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$ параллельно данному направлению можно провести две пары касательных. Доказать, что прямые, соединяющие точки касания каждой пары, составляют между собой угол $\dfrac {2\pi }{3}$.

Найти длину полярной подкасательной и поднормали у спирали $r^{2}=a^{2}\varphi$.

Доказать, что полярные подкасательные у кривых $r = f(\varphi )$ и $r = \dfrac {af(\varphi )}{a+f(\varphi )}$ в точках, расположенных на одном радиус-векторе, равны.

Доказать, что у кривых $r = f(\varphi )$ и $r = a+f(\varphi )$ в точках, лежащих на одном радиус-векторе, полярные поднормали равны.

Найти круг радиуса $a$, касательный к декартову листу $x^{3}+y^{3}-3axy=0$ в точке, где $\left(\dfrac {4a}{3}, \dfrac {2a}{3}\right)$.

Провести круг радиуса $3a$, нормальный к циссоиде $x(x^{2}+y^{2})-2ay^{2}=0$ в точке, где $x=a$.

Найти круг, проходящий через полюс и касательный к спирали Архимеда $r=a\varphi$ при $\varphi =\dfrac {\pi }{4}$.

Показать, что следующие пары линий пересекаются под прямым углом: $x^{2}-y^{2}=a^{2}$, $xy=b^{2}$.

Показать, что следующие пары линий пересекаются под прямым углом: $y^{2}=2ux+u^{2}$, $y^{2}=-2vx+v^{2}$.

Показать, что следующие пары линий пересекаются под прямым углом: $\dfrac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }+\dfrac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }=1$, $\dfrac {x^{2}}{a^{2}-\mu }+\dfrac {y^{2}}{b^{2}-\mu }=1$; $a>\mu >b$.

Показать, что следующие пары линий пересекаются под прямым углом: $(2a-x)y^{2}=x^{3}$, $(x^{2}+y^{2})^{2}=b^{2}(2x^{2}+y^{2})$.

Показать, что следующие пары линий пересекаются под прямым углом: $b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=c$, $y^{b}=c_{1}x^{a^{2}}$.

Показать, что следующие пары линий пересекаются под прямым углом: $\sin y = ae^{-x}$, $\cos y = be^{-x}$.

Показать, что следующие пары линий пересекаются под прямым углом: $r^{n}=a^{n}\cos n\varphi$, $r^{n}=b^{n}\sin n\varphi$.

Показать, что следующие пары линий пересекаются под прямым углом: $r^{2}=\ln \tg \varphi$, $r^{2}\cos 2\varphi +1=0$.

Доказать, что кривые

пересекаются под углом $\alpha$.

Доказать, что кривая

пересекает прямую $y=x$ под прямым углом.

Доказать, что окружности

пересекаются под прямым углом при соблюдении условия $aa_{1}+bb_{1}=2(c+c_{1})$.

Географическая широта есть угол между нормалью к поверхности Земли в данном месте и плоскостью экватора. Геоцентрическая широта — угол между той же плоскостью и радиус-вектором из центра Земли в данную точку. Определить наибольшую разность этих широт, считая меридиан Земли эллипсом, у которого $a=6400$ км, $a-b=21$ км.

Кривая $f(x,y)=0$ называется алгебраической, если $f(x,y)$ — полином относительно $x$ и $y$. Вводя степени вспомогательной переменной $z$, можно сделать этот полином однородным. Пусть $f(x,y,z)=0$ — получившееся уравнение. Доказать, что уравнение касательной к кривой можно написать в виде

где $(x,y)$ — точка касания, $(X,Y)$ — точка на касательной, а величины $z$ и $Z$ после нахождения производных заменяются единицей.

Подэрой кривой относительно данной точки называется геометрическое место перпендикуляров, опущенных из данной точки на касательные к данной кривой. Найти подэру эллипса $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ относительно центра.

Найти подэру параболы $y^{2}=2px$ относительно вершины.

Найти подэру параболы $y^{2}=2px$ относительно фокуса.

Найти подэру гиперболы $x^{2}-y^{2}=a^{2}$ относительно начала координат.

Найти подэру кривой $\left(\dfrac {x}{a}\right)^{n}\pm \left(\dfrac {y}{b}\right)^{n}=1$ относительно точки $(0,0)$.

Найти подэру кривой $r=e^{a\varphi }$ относительно полюса.

Найти подэру кривой $x^{2}+y^{2}=2ax$ относительно точки $(0,0)$ (ответ дать в полярных координатах).

Найти подэру кривой $r^{n}=a^{n}\cos n\varphi$ относительно полюса.

Найти подэру эвольвенты круга:

относительно начала координат.

Доказать, что точки касания касательных, проведенных из данной точки к логарифмической спирали $r=ae^{m\varphi }$, лежат на окружности, проходящей через полюс и данную точку.

Из начала координат проведен луч, пересекающий строфоиду $y^{2}(2a-x)=x(x-a)^{2}$ в точках $M$ и $M_{1}$. Найти геометрическое место точек пересечения касательных к строфоиде в точках $M$ и $M_{1}$.

Из данной точки $M$ к кардиоиде $r=a(1+\cos \varphi )$ можно провести три касательные. Каково геометрическое место точек $M$, для которых три точки касания лежат на одной прямой?

Каково геометрическое место концов полярной подкасательной у гиперболической спирали $r\varphi =a$?

Найти геометрическое место вершин прямого угла, стороны которого касаются гиперболы $b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$.

Найти геометрическое место вершин прямого угла, стороны которого касаются астроиды $x=a\cos^{3}t$, $y=a\sin^{3}t$.

Найти геометрическое место вершин прямого угла, стороны которого касаются параболы Нейля $4y^{3}=27ax^{2}$.

Найти геометрическое место вершин прямого угла, стороны которого касаются циклоиды $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$.

Каково геометрическое место вершин угла данной величины, стороны которого касаются циклоиды?

Из точки $M$ кривой $y^{2}=ce^{x/a}+4a(x+a)$ проводится нормаль $MP$ до пересечения с осью $Ox$ в точке $P$. Доказать, что середина $MP$ лежит на параболе $y^{2}=ax$.

Каково геометрическое место точек, из которых можно провести к параболе две взаимно перпендикулярные нормали?

При инверсии точка с полярными координатами $r$ и $\varphi$ переходит в точку с полярными координатами $\dfrac {a^{2}}{r}$ и $\varphi$, где $a$ — постоянная. Доказать, что инверсия есть конформное отображение, т.е. что изображения кривых пересекаются под теми же углами, что и сами кривые.

Парабола $y=-ax^{2}$ катится без скольжения по параболе $y=ax^{2}$. Найти геометрическое место ее вершины в предположении, что в начальный момент вершины совпадали.

Доказать, что при том же движении параболы ее фокус описывает прямую, а именно директрису неподвижной параболы.

По эллипсу $b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$ катится без скольжения другой такой же эллипс. В начальном положении их большие оси соприкасались концами. Найти геометрическое место центра катящегося эллипса.

При каких значениях $x$ кривая $y=x^{3}+ax+b$ обращена выпуклостью вверх?

Определить направление выпуклости кривой $x(x^{2}-y^{2})+y^{2}=0$ в точках, где $x=\dfrac {3}{2}$.

Исследовать характер вогнутости кривой $x^{4}=y(x^{2}-y^{2})$ в точках, где $y<0$.

Исследовать характер выпуклости кривой $r\cos^{3}3\varphi = 1$ при $-\dfrac {\pi }{6}<\varphi <\dfrac {\pi }{6}$.

Показать, что кривая $x^{4}+y^{4}=x^{2}+y^{2}$ в точках пересечения с осями обращена к началу координат выпуклой стороной, а в точках пересечения с биссектрисами углов — вогнутой.

Показать, что кривая $x=\varphi (t)$, $y=\psi (t)$ обращена к началу координат вогнутой стороной, если

Исходя из определения кривизны, найти длину дуги в $1^{\circ }$ земного меридиана у полюса и экватора. Меридиан можно считать эллипсом с полуосями $a=6378$ км и $b=a-21$ км (полярная полуось).

Найти радиус кривизны кривой $3ay^{2}=2x^{3}$.

Найти наименьший радиус кривизны у параболы $y^{2}=2px$.

Найти радиус кривизны у линии $y=x^{3}$ в точке $(1,1)$.

Найти радиус кривизны у линии $x=t^{2}$, $y=t^{3}$ в точке $(1,1)$.

Найти радиус кривизны у линии $y=a\ch \dfrac {x}{\alpha }$ (цепная линия) в точке $(0,a)$.

Найти радиус кривизны у линии $y=a\ln \cos \dfrac {x}{a}$.

Найти радиус кривизны у линии $x^{n}+y^{n}=2a^{n}$ в точке $(a,a)$.

Найти радиус кривизны у линии $x=a\cos^{4}t$, $y=a\sin^{4}t$ в точке $(a,0)$.

Найти радиус кривизны у линии $x=a(\cos t+t\sin t)$, $y=a(\sin t-t\cos t)$.

Найти радиус кривизны у линии $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$.

Найти радиус кривизны у линии $r=a(1+\cos \varphi )$.

Найти радиус кривизны у линии $r^{2}=a^{2}\cos 2\varphi$, при $\varphi =0$.

Найти радиус кривизны у линии

Найти радиус кривизны у линии

Найти радиус кривизны у линии

Найти наибольшую кривизну у кривой $y=\ln x$.

Найти наибольшую кривизну у кривой $x=a\cos t$, $y=b\sin t$ (эллипс).

Найти наибольшую кривизну у кривой $y=a\ln \left(1-\dfrac {x^{2}}{a^{2}}\right)$.