Уравнения кривых и их виды

На горизонтальную ось насажен плоский диск-эксцентрик. Какую форму он должен иметь, чтобы упирающийся в него вертикальный стержень совершал гармоническое колебательное движение при равномерном вращении оси?

Тот же вопрос, но вертикальный стержень должен совершать равномерное движение вверх и вниз. (Так движется трубка у некоторых микроскопов.)

Косо срезанный цилиндр покрыт красящим веществом и катится по плоскости. Какой кривой ограничена окрашенная часть плоскости?

Доказать, что кривые $r = e^{a\varphi }$ и $r = ce^{a\varphi }$ геометрически подобны — одна переходит в другую при увеличении масштаба рисунка. В то же время они равны, переходя друг в друга при повороте на некоторый угол.

Доказать, что фигуры, заключенные между осью $x$ и кривыми $y = e^{x}$ и $y = ae^{x}$, при передвижении одной из этих кривых вдоль оси $x$ могут быть совмещены.

Прямая данной длины $l$ скользит концами $A$ и $B$ по осям $Ox$ и $Oy$. Из вершины $C$ прямоугольника $OACB$ на прямую опускается перпендикуляр. Найти геометрическое место основания этого перпендикуляра.

Тот же вопрос для конца перпендикуляра, опущенного из начала координат. (Четырехлепестник.)

Дан отрезок $OO_{1} = a$. На произвольный луч, проходящий через точку $O$, опущен из точки $O_{1}$ перпендикуляр $O_{1}M_{1}$, а из основания этого перпендикуляра $M_{1}$ опущен перпендикуляр $M_{1}M$ на луч, симметричный первому относительно линии $OO_{1}$. Найти геометрическое место оснований второго перпендикуляра $M$.

Из точки $M(\xi , \eta )$ окружности $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ проводится прямая $y=\eta$ до пересечения с осью ординат в точке $N$. Из точки $(a, 0)$ проводится прямая в точку $N$. Найти геометрическое место точки ее пересечения с ординатой точки $M$.

Прямой угол вращается около вершины $A(a, 0)$. Из начала координат через точку пересечения одной из сторон угла с окружностью $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ проводится прямая до пересечения с другой стороной угла. Найти геометрическое место точки пересечения.

Прямоугольный треугольник имеет катеты $AC = a$ и $BC = 2a$. Точка $B$ скользит по оси $Ox$, а точка $A$ скользит по окружности $x^{2}+y^{2}=a^{2}$. Найти геометрическое место вершин прямого угла.

Найти геометрическое место точек касания прямых из начала координат, касательных к окружностям с радиусом $a$ и с центром на оси $Ox$.

Две равные параболы вращаются около своих вершин так, что четыре точки их пересечения всегда лежат на окружности. Найти геометрическое место центра окружности.

Найти геометрическое место вершины равнобочной гиперболы с данным центром, проходящей через данную точку.

Тот же вопрос для фокуса гиперболы.

Гипербола с полуосью $a$ проходит через данные две точки с расстоянием $2c$. Найти геометрическое место центра гиперболы, если она равнобочная.

Найти геометрическое место середин отрезков нормалей к эллипсу $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$, заключенных внутри эллипса.

Два стержня длиной $\sqrt{2}$ вращаются вокруг своих концов, закрепленных в точках $(1,0)$ и $(-1,0)$. Другие концы их соединены шарнирно стержнем длиной $2$. Определить, какую кривую описывает середина соединительного стержня.

Инверсор Поселлье—Липкина состоит из ромба $ABCD$ со стороной, равной $a$. Точки $A$ и $C$ соединены с неподвижной точкой $O$ прямыми $OA$ и $OC$ длиной $b$, где $b > a$.

Стороны ромба и отрезки $OA$ и $OC$ — стержни, соединенные шарнирами. Доказать, что точки $O$, $B$ и $D$ лежат на одной прямой и притом $OB \cdot OD = b^{2}-a^{2}$, так что движение вершины ромба по данной кривой позволяет выполнить инверсию.

Доказать, что при движении точки $B$ в инверсоре Поселлье — Липкина по окружности, проходящей через точку $O$, точка $D$ описывает прямую.

Какие линии изображаются параметрическими уравнениями $x = t^{2}-t+1$, $y = t^{2}+t+1$?

Какие линии изображаются параметрическими уравнениями $x = t^{2}-2t+3$, $y = t^{2}-2t+1$?

Какие линии изображаются параметрическими уравнениями $x = a\sin^{2}t$, $y = b\cos^{2}t$?

Какие линии изображаются параметрическими уравнениями $x = a\sin^{4}t$, $y = a\cos^{4}t$?

На кривой $x = t^{2}-2t+3$, $y = t^{2}+2t-1$ найти самую левую и самую низкую точки.

Воспользовавшись тождеством $\cos^{2}t+\sin^{2}t=1$, представить уравнение эллипса $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ в параметрической форме.

Воспользовавшись тождеством $e^{-t}\cdot e^{t}=1$, представить уравнение гиперболы $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}-\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ в параметрической форме.

Представить уравнение окружности $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ в параметрической форме, приняв за параметр угловой коэффициент хорды окружности, проходящей через точку $(-a, 0)$.

Доказать, что координаты точек кривой второго порядка можно рационально выразить через угловой коэффициент переменной хорды кривой, проходящей через какую-нибудь выбранную точку кривой.

Кривая $F(x,y)=0$, координаты точек которой можно рационально выразить через параметр, называется уникурсальной. Доказать, что кривые $r = f(\cos \varphi , \sin \varphi )$, где $f$ — рациональная функция, уникурсальны.

Доказать, что циссоида $y^{2} = \dfrac {x^{3}}{2a-x}$ уникурсальна, выразив координаты ее точек через угловой коэффициент хорды, соединяющей начало с данной точкой кривой.

Решая совместно уравнение декартова листа $x^{3}+y^{3}=3axy$ и уравнение вспомогательной прямой $y = tx$, получить параметрические уравнения декартова листа:

Доказать, что три различные точки декартова листа, соответствующие значениям параметра $t_{1}$, $t_{2}$ и $t_{3}$, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда $t_{1}t_{2}t_{3} = -1$.

Доказать, что координаты точек кардиоиды $r = a(1+\cos \varphi )$ могут быть выражены через некоторый параметр $t$ формулами:

При каком условии три точки кардиоиды, соответствующие значениям параметра $t_{1}$, $t_{2}$, $t_{3}$ (см. предыдущую задачу), лежат на одной прямой?

Доказать, что координаты точек строфоиды $(2a-x)y^{2} = x(x-a)^{2}$ можно выразить рационально через некоторый параметр $t$ по формулам:

При каком условии точки строфоиды, соответствующие значениям $t_{1}$, $t_{2}$, $t_{3}$ параметра (см. предыдущую задачу), лежат на одной прямой?

При каких значениях $t_{1}$, $t_{2}$, $t_{3}$, $t_{4}$ соответствующие точки строфоиды (см. задачу 1909) лежат на одной окружности?

Доказать, что четыре точки циссоиды

соответствующие значениям параметра $t_{1}$, $t_{2}$, $t_{3}$ и $t_{4}$, лежат на одной окружности при условии $t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}=0$.

Выразить рационально через вспомогательный параметр координаты точек лемнискаты $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$.

Показать, что кривая $x^{y}=y^{x}$ распадается на биссектрису первого координатного угла и кривую

где $n$ — переменный параметр.