Выпуклость, кривизна и радиус кривизны

При каких значениях $x$ кривая $y=x^{3}+ax+b$ обращена выпуклостью вверх?

Определить направление выпуклости кривой $x(x^{2}-y^{2})+y^{2}=0$ в точках, где $x=\dfrac {3}{2}$.

Исследовать характер вогнутости кривой $x^{4}=y(x^{2}-y^{2})$ в точках, где $y<0$.

Исследовать характер выпуклости кривой $r\cos^{3}3\varphi = 1$ при $-\dfrac {\pi }{6}<\varphi <\dfrac {\pi }{6}$.

Показать, что кривая $x^{4}+y^{4}=x^{2}+y^{2}$ в точках пересечения с осями обращена к началу координат выпуклой стороной, а в точках пересечения с биссектрисами углов — вогнутой.

Показать, что кривая $x=\varphi (t)$, $y=\psi (t)$ обращена к началу координат вогнутой стороной, если

Исходя из определения кривизны, найти длину дуги в $1^{\circ }$ земного меридиана у полюса и экватора. Меридиан можно считать эллипсом с полуосями $a=6378$ км и $b=a-21$ км (полярная полуось).

Найти радиус кривизны кривой $3ay^{2}=2x^{3}$.

Найти наименьший радиус кривизны у параболы $y^{2}=2px$.

Найти радиус кривизны у линии $y=x^{3}$ в точке $(1,1)$.

Найти радиус кривизны у линии $x=t^{2}$, $y=t^{3}$ в точке $(1,1)$.

Найти радиус кривизны у линии $y=a\ch \dfrac {x}{\alpha }$ (цепная линия) в точке $(0,a)$.

Найти радиус кривизны у линии $y=a\ln \cos \dfrac {x}{a}$.

Найти радиус кривизны у линии $x^{n}+y^{n}=2a^{n}$ в точке $(a,a)$.

Найти радиус кривизны у линии $x=a\cos^{4}t$, $y=a\sin^{4}t$ в точке $(a,0)$.

Найти радиус кривизны у линии $x=a(\cos t+t\sin t)$, $y=a(\sin t-t\cos t)$.

Найти радиус кривизны у линии $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$.

Найти радиус кривизны у линии $r=a(1+\cos \varphi )$.

Найти радиус кривизны у линии $r^{2}=a^{2}\cos 2\varphi$, при $\varphi =0$.

Найти радиус кривизны у линии

Найти радиус кривизны у линии

Найти радиус кривизны у линии

Найти наибольшую кривизну у кривой $y=\ln x$.

Найти наибольшую кривизну у кривой $x=a\cos t$, $y=b\sin t$ (эллипс).

Найти наибольшую кривизну у кривой $y=a\ln \left(1-\dfrac {x^{2}}{a^{2}}\right)$.

Найти наибольшую кривизну у кривой $y=a\ch \dfrac {x}{a}$.

Если на нормали от точки кривой отложить в сторону вогнутости кривой величину радиуса кривизны, то найдем центр кривизны. Доказать, что его координаты для кривой $x=\varphi (t)$, $y=\psi (t)$ выражаются формулами:

Найти координаты центра кривизны у гиперболы $xy=a^{2}$ в точке $(a,a)$.

Найти координаты центра кривизны у строфоиды $y^{2}=x^{2}\dfrac {a+x}{a-x}$.

Найти координаты центра кривизны у кривой $y=x\ln x$ в той точке, где $y'=0$.

Найти координаты центра кривизны у кривой $r=a(1+\cos \varphi )$.

Найти координаты центра кривизны у кривой $r=a\cos^{3}\varphi$.

Доказать, что для точек спирали Архимеда $r=a\varphi$ при $\varphi \rightarrow \infty$ величина разности между радиус-вектором и радиусом кривизны стремится к нулю.

Доказать, что при тех же условиях (см. предыдущую задачу) центр кривизны перемещается по кривой, стремящейся к совпадению с окружностью $r=a$.

Доказать, что у кривых $r^{n}=a^{n}\cos n\varphi$ полярная нормаль в $n+1$ раз больше радиуса кривизны.

Доказать, что у кривых $r^{n}=a^{n}\sin n\varphi$ часть радиус-вектора, заключенная внутри круга кривизны, равна $\dfrac {2r}{n+1}$.

Доказать равенство $R=\dfrac {r\, dr}{dp}$, где $R$ — радиус кривизны, $r$ — радиус-вектор, $p$ — перпендикуляр из полюса на касательную.

Доказать, что на эллипсе существуют, вообще говоря, три такие точки, что круги кривизны к эллипсу в этих точках проходят через данную точку эллипса.

Доказать, что центры кривизны в точках спирали Архимеда $r=a\varphi$, лежащих на одном луче, расположены на эллипсе, размеры которого не зависят от выбора луча.

Найти наименьшее расстояние от центра кривизны эллипса до центра эллипса.

Координаты точек кривой можно выразить через длину дуги кривой: $x=x(s)$, $y=y(s)$. Обозначая через $\Delta s$ малое приращение $s$, а через $\Delta l$ — соответствующую хорду, доказать равенство

где $R$ — радиус кривизны кривой.

Точка касания принята за начало, касательная — за ось $Ox$, а ось $Oy$ направлена от точки касания к центру кривизны. Доказать, что в окрестности точки касания, т.е. при малых значениях $x$, справедливы формулы:

где $R$ — радиус кривизны в точке $(0,0)$, $y_{1}$ — ордината точек кривой, $y_{2}$ — ордината точек круга кривизны.

Найти параболу, соединяющую начало координат $O$ с точкой $B(a+b,0)$ так, чтобы дуга параболы $OB$ вместе с нижней половиной окружности $(x-a)^{2}+y^{2}=b^{2}$ образовала плавную кривую с непрерывной кривизной.

Найти параболу $y=ax^{2}+bx+c$, имеющую с синусоидой $y=\sin x$ в точке $\left(\dfrac {\pi }{2}, 1\right)$ общие касательную и кривизну.

Найти параболу пятого порядка

которая бы в точках $(a,h)$, $(-a,-h)$ касалась прямых $y=h$ и $y=-h$, имея касание второго порядка.

Доказать, что окружность $(x-3a)^{2}+(y-3a)^{2}=8a^{2}$ и парабола $\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\sqrt{a}$ имеют в точке $(a,a)$ соприкосновение третьего порядка.

Доказать, что соприкасающийся круг (круг кривизны) с кривой второго порядка в вершине кривой имеет соприкосновение третьего порядка.

Доказать, что для каждой точки, где кривая достаточно гладка, существует кривая второго порядка, имеющая с данной кривой в данной точке соприкосновение четвертого порядка.

Доказать, что у циклоиды кривая второго порядка с соприкосновением четвертого порядка — всегда эллипс.

Доказать, что у логарифмической спирали кривые второго порядка, имеющие с ней соприкосновение четвертого порядка, — эллипсы, большие оси которых образуют постоянный угол с радиус-вектором точки касания.

Найти геометрическое место фокусов парабол, имеющих в данной точке соприкосновение второго порядка с данной кривой.

Найти геометрическое место середин хорд, общих эллипсу $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ и его соприкасающемуся кругу.

Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из центра эллипса $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ на хорды, общие эллипсу и его соприкасающемуся кругу.