Банк задач по математике

Задача 2335

Найти касательную плоскость к поверхности $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$ в точке $(x_{1},y_{1},z_{1})$ .

?

Задача 2336

Найти касательную плоскость к поверхности $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ в точке $(x_{1},y_{1},z_{1})$ .

?

Задача 2337

Найти касательную плоскость к поверхности $xy^{2}+z^{3}=12$ в точке $(1,2,2)$ .

?

Задача 2338

Найти касательную плоскость к поверхности $x^{n}+y^{n}+z^{n}=a^{n}$ в точке $(x_{1},y_{1},z_{1})$ .

?

Задача 2339

Найти касательную плоскость к поверхности $(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2}+z^{2})$ в точке $(x_{1},y_{1},z_{1})$ .

?

Задача 2340

Уравнение алгебраической поверхности имеет вид $f(x,y,z)=0$ , где $f(x,y,z)$ — полином. Вводя дополнительно степени вспомогательной переменной $t$ , можно сделать этот полином однородным, после чего уравнение поверхности принимает вид: $F(x,y,z,t)=0$ при $t=1$ . Доказать, что уравнение касательной плоскости к этой поверхности можно написать в виде

\frac{\partial F}{\partial x}X+\frac{\partial F}{\partial y}Y+\frac{\partial F}{\partial z}Z+\frac{\partial F}{\partial t} = 0,

где переменная $t$ после дифференцирования заменена единицей.

?

Задача 2341

Определить расстояние от начала координат до касательной плоскости к поверхности $x\cos \dfrac {2\pi z}{h}=y\sin \dfrac {2\pi z}{h}$ .

?

Задача 2342

К поверхности $xyz=1$ провести касательную плоскость, параллельную плоскости $x+y+z-3=0$ .

?

Задача 2343

(а)(б)

Найти линии, по которым касательная плоскость к поверхности $xy=az$ в точке $(x_{1},y_{1},z_{1})$ пересекается с поверхностью:

?

(а)

линию в плоскости $x=x_{1}$ ;

(б)

линию в плоскости $y=y_{1}$ .

Задача 2344

Найти уравнение касательной плоскости к косому геликоиду

x = u\cos v, \qquad y = u\sin v, \qquad z = av .

?

Задача 2345

Найти уравнение касательной плоскости к поверхности

x = u+v, \qquad y = u^{2}+v^{2}, \qquad z = u^{3}+v^{3}

в точке $(2,2,2)$ .

?

Задача 2346

Доказать, что касательные плоскости к поверхности $xyz=a^{3}$ образуют с плоскостями координат тетраэдр постоянного объема.

?

Задача 2347

Доказать, что плоскости, касательные к поверхности $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a}$ , образуют на осях координат отрезки, сумма которых постоянна.

?

Задача 2348

Доказать, что у поверхности

x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}

сумма квадратов отрезков, образованных касательной плоскостью на осях, есть величина постоянная.

?

Задача 2349

Доказать, что плоскости, касательные к поверхности $z=xf\left(\dfrac {y}{x}\right)$ , проходят через одну и ту же точку.

?

Задача 2350

Доказать, что плоскости, касательные к поверхности $z=x+f(y-z)$ , параллельны одной и той же прямой.

?

Задача 2351

Доказать, что отрезок на оси $Oz$ , образованный плоскостью, касательной к поверхности $z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=x^{n}f\left(\dfrac {y}{x}\right)$ , пропорционален расстоянию от точки касания до начала координат.

?

Задача 2352

Найти поверхность, на которой лежат касательные к винтовой линии, и доказать, что нормаль к этой поверхности составляет с осью $Oz$ постоянный угол.

?

Задача 2353

Найти на эллипсоиде $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$ точки, в которых нормаль образует постоянный данный угол $\alpha$ с осью $Ox$ .

?

Задача 2354

Доказать, что точка пересечения нормали к поверхности $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xf\left(\dfrac {y}{x}\right)$ с плоскостью $xOy$ одинаково удалена от начала координат и от основания нормали.

?

Задача 2355

Отрезок нормали к поверхности $z^{2}=2a\sqrt{x^{2}+y^{2}}+b$ , заключенный между поверхностью и плоскостью $xOy$ , проектируется на $xOy$ . Доказать, что величина проекции постоянна.

?

Задача 2356

Доказать такое же свойство (постоянство величины проекции отрезка нормали, заключенного между поверхностью и плоскостью $xOy$ , на эту плоскость), что и в предыдущей задаче, для нормалей к поверхности

x = v\cos u-\varphi (u)\cos u+\varphi '(u)\sin u,

y = v\sin u-\varphi (u)\sin u-\varphi '(u)\cos u,

z = \sqrt{2v} .

?

Задача 2357

Из точки $M$ на поверхности

x = r\cos \varphi , \qquad y = r\sin \varphi , \qquad z^{2} = -r^{2}+f(re^{\varphi })

проводится нормаль $MN$ до точки $N$ на плоскости $xOy$ , и опускается перпендикуляр $MP$ на плоскость $xOy$ . Доказать, что угол $NOP$ , где $O$ — начало координат, равен $\dfrac {\pi }{4}$ .

?

Задача 2358

Доказать, что у поверхности $z^{2}=a^{2}\arctg \dfrac {y}{x}+f(x^{2}+y^{2})$ площадь треугольника $NOP$ , полученного таким же путем, как и в предыдущей задаче, есть величина постоянная.

?

Задача 2359

В следующих задачах требуется установить взаимную ортогональность указанных поверхностей (так что, если заданы три поверхности, то надо доказать, что каждая из них пересекается с каждой из остальных под прямым углом). Доказать ортогональность следующих систем поверхностей:

xy = az^{2}, \qquad x^{2}+y^{2}+z^{2} = b, \qquad z^{2}+2x^{2} = c(z^{2}+2y^{2}) .

?

Задача 2360

Доказать ортогональность следующих систем поверхностей (см. задачу 2359):

xyz = a^{3}, \qquad 2z^{2} = x^{2}+y^{2}+f(x^{2}-y^{2}) .

?

Задача 2361

Доказать ортогональность следующих систем поверхностей (см. задачу 2359):

xy = \alpha z, \qquad \sqrt{x^{2}+z^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}} = \beta , \qquad \sqrt{x^{2}+z^{2}}-\sqrt{y^{2}+z^{2}} = \gamma .

?

Задача 2362

Доказать ортогональность следующих систем поверхностей (см. задачу 2359):

x^{2}+y^{2}+z^{2} = ax, \qquad x^{2}+y^{2}+z^{2} = by, \qquad x^{2}+y^{2}+z^{2} = cz .

?

Задача 2363

Доказать ортогональность следующих систем поверхностей (см. задачу 2359):

x(x^{2}+y^{2}+z^{2})+a(x^{2}+y^{2}-z^{2}) = 0, \qquad x^{2}+y^{2}+z^{2}+2ax+2by = 0 .

?

Задача 2364

Через каждую точку $(x,y,z)$ проходят три поверхности вида $\dfrac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }+\dfrac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }+\dfrac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }=1$ при $\lambda =\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ , представляющие соответственно эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды. Доказать ортогональность этих поверхностей (см. задачу 2359).

?

Задача 2365

Из точек прямой

y = x, \qquad z = \frac{\pi }{4},

лежащей на поверхности $y=x\tg z$ , проводятся нормали к поверхности. Доказать, что они располагаются на гиперболическом параболоиде.

?

Задача 2366

Такой же вопрос (доказать, что нормали, проведенные из точек данной прямой, лежащей на поверхности, к поверхности, располагаются на гиперболическом параболоиде), что и в предыдущей задаче, для прямой

z = h, \qquad by = x\sqrt{a^{2}-h^{2}}

и поверхности $b^{2}y^{2}=x^{2}(a^{2}-z^{2})$ .

?

Задача 2367

Найти геометрическое место проекций центра эллипсоида $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$ на касательные плоскости.

?

Задача 2368

По эллипсоиду предыдущей задачи (при $a>b>c$ ) катится без скольжения и верчения другой такой же эллипсоид так, что в один из моментов концы больших полуосей соприкасались. Найти геометрическое место центра эллипсоида.

?

Задача 2369

Доказать, что поверхность $x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}=2xyz$ пересекается шаром $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ по четырем кругам.

?

Задача 2370

Найти огибающую следующих семейств поверхностей: шаров $(x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ .

?

Примечание.

?

Поверхности $f(x,y,z,a)=0$ , уравнения которых содержат коэффициент $a$ , меняющийся от одной поверхности к другой, образуют однопараметрическое семейство поверхностей. Если две бесконечно близкие поверхности пересекаются по некоторой линии, то координаты точек этой линии, называемой характеристической линией, удовлетворяют уравнениям:

f(x,y,z,a) = 0, \qquad \frac{\partial f}{\partial a} = 0 .

Исключая параметр $a$ из этих уравнений, найдем уравнение $F(x,y,z)=0$ . Если данное семейство имеет огибающую поверхность, то она вся лежит на полученной поверхности.

Подобно этому, уравнение $f(x,y,z,a,b)=0$ изображает двухпараметрическое семейство поверхностей. Предельное положение точки пересечения трех близких поверхностей

f(x,y,z,a,b) = 0, \qquad f(x,y,z,a+\Delta a,b) = 0, \qquad f(x,y,z,a,b+\Delta b) = 0

при $\Delta a\to 0$ и $\Delta b\to 0$ , т.е. характеристическая точка поверхности семейства, удовлетворяет уравнениям:

f(x,y,z,a,b) = 0, \qquad \frac{\partial f}{\partial a} = 0, \qquad \frac{\partial f}{\partial b} = 0 .

Исключая отсюда параметры $a$ и $b$ , получим уравнение поверхности $F(x,y,z)=0$ . Если данное семейство имеет огибающую поверхность, то все ее точки удовлетворяют полученному уравнению; но ему могут удовлетворять и другие точки.

Задача 2371

Найти огибающую следующего семейства поверхностей (см. задачу 2370): плоскостей, проходящих через точку $(\sqrt{2},0,0)$ и удаленных от начала на расстояние, равное единице.

?

Задача 2372

Найти огибающую шаров

(x-lt)^{2}+(y-mt)^{2}+(z-nt)^{2} = a^{2},

где $t$ — переменный параметр.

?

Задача 2373

Найти огибающую шаров, большие круги которых расположены на параболоиде $z=x^{2}+y^{2}$ .

?

Задача 2374

Тот же вопрос (найти огибающую шаров, большие круги которых расположены на параболоиде), что и в предыдущей задаче, для параболоида $2z=\dfrac {x^{2}}{p}+\dfrac {y^{2}}{q}$ .

?

Задача 2375

Найти огибающую шаров радиуса $a$ , центры которых лежат на окружности

x^{2}+y^{2} = r^{2}, \qquad z = 0 .

?

Задача 2376

Найти огибающую плоскостей, касающихся парабол

y^{2} = 2x, \quad z = 0 \qquad \text{и} \qquad y^{2} = 2z, \quad x = 0 .

?

Задача 2377

Найти огибающую шаров

(x-lt)^{2}+(y-mt)^{2}+(z-nt)^{2} = p^{2}t^{2},

где $t$ — переменный параметр.

?

Задача 2378

Найти огибающую эллипсоидов $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$ при условии $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ .

?

Задача 2379

То же (найти огибающую эллипсоидов $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$ , см. задачу 2378) при условии $a+b+c=1$ .

?

Задача 2380

Найти огибающую плоскостей, образующих при пересечении с координатными плоскостями тетраэдр постоянного объема.

?

Задача 2381

Найти огибающую плоскостей, у которых отрезки $a$ , $b$ , $c$ на осях связаны равенством $a^{n}+b^{n}+c^{n}=1$ .

?

Задача 2382

Показать, что круги

y = tx, \qquad x^{2}+y^{2}+z^{2}-2f(t)x-a^{2} = 0

суть характеристики семейства шаров

x^{2}+y^{2}+z^{2}-2\bigl(f(t)+tf'(t)\bigr)x-2f'(t)y-a^{2} = 0 .

?

Касательные плоскости и нормали. Огибающие