Кривые двоякой кривизны: соприкасающаяся плоскость, нормаль и бинормаль

Пользуясь третьей формулой Френе, показать, что кривая, у которой кручение постоянно равно нулю, лежит в плоскости.

Найти соприкасающуюся плоскость кривой

в точке $(1,1,1)$.

Найти соприкасающуюся плоскость кривой

Найти соприкасающуюся плоскость кривой

Найти соприкасающуюся плоскость кривой $x=e^{t}$, $y=e^{-t}$, $z=t\sqrt{2}$.

Найти соприкасающуюся плоскость кривой $x=a\cos t$, $y=a\sin t$, $z=bt$.

Найти соприкасающуюся плоскость кривой $x=at^{2}+bt+c$, $y=a_{1}t^{2}+b_{1}t+c_{1}$, $z=a_{2}t^{2}+b_{2}t+c_{2}$.

Доказать, что соприкасающаяся плоскость линии

расположенной на коноидальной поверхности $z=\varphi \left(\dfrac {y}{x}\right)$, совпадает с касательной плоскостью к этой поверхности.

Найти уравнения главной нормали и бинормали к кривой $x=a\cos t$, $y=a\sin t$, $z=bt$.

Найти уравнения главной нормали и бинормали к кривой $x=y^{2}$, $z=x^{2}$ в точке $(1,1,1)$.

Найти уравнения главной нормали и бинормали к кривой $x=\dfrac {t^{4}}{3}$, $y=\dfrac {t^{2}}{3}$, $z=\dfrac {t^{2}}{2}$.

Найти уравнения главной нормали и бинормали к кривой $x=\dfrac {t^{2}}{2}$, $y=\dfrac {2t^{3}}{3}$, $z=\dfrac {t^{4}}{2}$ в точке $\left(\dfrac {1}{2},\dfrac {2}{3},\dfrac {1}{2}\right)$.

Найти уравнения сферических индикатрис главной нормали и бинормали винтовой линии (см. задачи 2265, 2275).

Кривая

лежит на поверхности вращения $x^{2}+y^{2}=a^{2}\ch^{2}\dfrac {z}{a}$, называемой катеноидом. Доказать, что в каждой точке кривой бинормаль совпадает с нормалью к поверхности.

Доказать, что одна из биссектрис углов между касательной и бинормалью к кривой

имеет постоянное направление.

Кривая имеет проекцией на плоскость $xOy$ синусоиду $y=\sin x$. Какому соотношению должны удовлетворять аппликаты $z$ ее точек, чтобы главные нормали были параллельны плоскости $yOz$?

По главным нормалям винтовой линии

откладываются отрезки данной длины $l$. Найти геометрическое место их концов.

Найти поверхность, на которой располагаются все главные нормали винтовой линии предыдущей задачи.

Тот же вопрос (найти поверхность, на которой располагаются линии), что и в предыдущей задаче, для бинормалей.

Найти радиус кривизны $\rho$ кривой

Найти радиус кривизны $\rho$ кривой $x=a\ch t\cos t$, $y=a\ch t\sin t$, $z=at$.

Найти радиус кривизны $\rho$ кривой $x=e^{t}$, $y=e^{-t}$, $z=t\sqrt{2}$.

Найти радиус кривизны $\rho$ кривой $x=e^{t}\cos t$, $y=e^{t}\sin t$, $z=e^{t}$.

Найти радиус кривизны $\rho$ кривой $x=a\dfrac {\cos t}{\ch t}$, $y=a\dfrac {\sin t}{\ch t}$, $z=a(t-\th t)$.

Найти радиус кривизны $\rho$ кривой $x^{2}=2az$, $y^{2}=2bz$.

Найти радиус кривизны $\rho$ кривой $x^{2}-y^{2}+z^{2}=1$, $y^{2}-2x+z=0$ в точке $(1,1,1)$.

Найти радиус кривизны $\rho$ кривой $x=3t-t^{3}$, $y=3t^{2}$, $z=3t+t^{3}$.

Найти радиус кривизны $\rho$ кривой $x=a(1-\cos 2t)$, $y=a\sin 2t$, $z=2a\cos t$.

Найти радиус кривизны $\rho$ кривой $x=a\cos^{3}t$, $y=a\sin^{3}t$, $z=a\cos 2t$.

Найти радиус кривизны $\rho$ кривой $x=\sin z-z\cos z$, $y=\cos z+z\sin z$.

Найти кручение кривой

Найти кручение кривой $x=3t-t^{3}$, $y=3t^{2}$, $z=3t+t^{3}$.

Найти кручение кривой $x=\sin u-u\cos u$, $y=\cos u+u\sin u$, $z=u$.

Найти кручение кривой $x=a(1-\cos t)$, $y=a\sin 2t$, $z=2a\cos t$.

Найти кривизну и кручение кривой

Тот же вопрос (найти кривизну и кручение), что и в предыдущей задаче, для кривой

Тот же вопрос (найти кривизну и кручение), что и в предыдущей задаче, для кривой

Доказать равенство радиусов кривизны и кручения у кривой $x=\ch z$, $y=\sh z$.

Доказать, что у сопровождающего триэдра кривой

каждое из ребер образует с $Oz$ постоянный угол.

При каком условии центр кривизны винтовой линии

лежит на том же цилиндре, что и сама винтовая линия?

Доказать, что у кривой

отрезок нормали (не главной!) от точки на кривой до оси $Oz$ равен радиусу второй кривизны.

Через четыре точки кривой можно провести шар. Если они стремятся к одной точке, то при соответствующих условиях шар этот стремится к некоторому предельному шару, называемому соприкасающимся шаром. Найти его центр и радиус.

Найти приближенные с точностью до малых высшего порядка уравнения проекций кривой на три плоскости сопровождающего триэдра вблизи точки касания.

Из центра шара проводятся радиусы, параллельные главным нормалям замкнутой кривой, не имеющей особых точек. Доказать, что геометрическое место их концов делит поверхность шара на две равновеликие части. (Якоби.)