Касательная и нормаль

Показать, что кривые

пересекают ось $Ox$ под одинаковыми углами, независимо от величины $a$.

Найти угол, под которым кривая

пересекает ось $Oy$.

При каком значении $a$ кривая $y = \dfrac {x^{3}+ax}{b}$ пересекает ось $Oy$ под углом $\dfrac {\pi }{4}$?

Тот же вопрос для кривой $y = \dfrac {ax}{1+bx^{2}}$.

Какая из прямых, идущих из начала координат, пересекает гиперболу $xy = a^{2}$ под прямым углом?

Тот же вопрос для эллипса $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$.

Найти уравнение синусоиды, пересекающей ось $Ox$ в начале координат под углом $\dfrac {\pi }{4}$, а в точке $(a,0)$ — под углом $\dfrac {3\pi }{4}$.

Доказать, что угол между радиус-вектором, проведенным из начала координат в точку $(r,\varphi )$ кривой $r^{n} = a^{n}\cos n\varphi$, и касательной к этой кривой равен $n\varphi +\dfrac {\pi }{2}$.

Доказать, что кривая $r = e^{a\varphi }$ пересекает все радиус-векторы, идущие из начала координат, под одинаковым углом.

Доказать, что угол между касательной к спирали Архимеда $r = a\varphi$ и радиус-вектором, проведенным к точке касания из начала координат, стремится к $\dfrac {\pi }{2}$ при $\varphi \rightarrow \infty$.

Найти угол между касательной к кардиоиде $r = a(1+\cos \varphi )$ и радиус-вектором точки касания.

Найти уравнение касательной к кривой $y = x\ln x+1$ в точке с ординатой $1$.

Найти уравнение касательной в точке $(1,-2)$ к кривой

Провести нормаль к кривой $x^{3}+y^{2}+2x-6=0$ в точке, где $y=3$.

Найти нормаль к локону Марии Аньези $x^{2}y = a^{2}(a-y)$, параллельную прямой $y=2x$.

Найти нормаль к кривой $y = a\ln \cos \dfrac {x}{a}$ в точке $x=2\pi a$.

Найти нормаль к кардиоиде $r = a(1+\cos \varphi )$, составляющую угол $\dfrac {\pi }{4}$ с полярной осью.

На кривой $xy^{2}=2a^{3}$ найти точки, нормаль в которых проходит через начало координат.

У кривой $x^{3}-y^{3}=3x^{2}$ найти касательную, параллельную прямой $y=x$.

Вычислить расстояние от начала координат до касательной к кривой $x^{2}y=a^{3}$, проведенной в точке с абсциссой $x_{0}$.

Найти наиболее удаленную от начала координат касательную к астроиде $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$.

Доказать, что касательные к кривым $y = af(x)$, имеющие общую абсциссу точки касания, пересекаются в одной точке.

Доказать, что в точках с одинаковой абсциссой поднормали к кривым $y=f(x)$ и $y=\sqrt{f^{2}(x)+a^{2}}$ одинаковы.

Доказать, что у кривых $y = ax^{n}$ отношение подкасательной к абсциссе точки касания равно $\dfrac {1}{n}$.

Доказать, что у кривой $y = a\ln (x^{2}-a^{2})$ сумма длин касательной и подкасательной пропорциональна величине $xy$.

Доказать, что длина касательной к трактрисе

равна $a$.

Доказать, что все нормали к кривой

одинаково удалены от начала координат.

Доказать, что отрезок нормали к кривой

заключенный между осями координат, равен $2a$.

Доказать, что у кривой $x = 2a\ln \sin t-2a\sin^{2}t$, $y = a\sin 2t$ отрезок оси $Ox$ между касательной и нормалью равен $2a$.

Доказать, что окружность $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ и нормали к эпициклоиде

пересекаются в точке $(a\cos t, a\sin t)$.

То же для гипоциклоиды

Определить длину отрезка касательной к астроиде

между осями координат.

Найти отрезок нормали к кривой

заключенный между осями координат.

Найти расстояние от начала координат до касательной к кривой $x = a(\cos t+t\sin t)$, $y = a(\sin t-t\cos t)$.

Вычислить расстояние от начала координат до касательной к кривой $r = ae^{k\varphi }$.

Вычислить произведение расстояний от фокусов эллипса $x = a\cos t$, $y = b\sin t$ до касательной к нему.

Вычислить длину отрезка нормали к эллипсу $x = a\cos t$, $y = b\sin t$, лежащего внутри этого эллипса.

Нормаль, проведенная в точке $M$ кривой $xy=a^{2}$, пересекается с прямой $y=x$ в точке $N$. Найти отношение $OM : MN$.

Доказать, что площадь трапеции, образованной касательной к кривой $3axy = x^{3}+2a^{3}$, ординатой точки касания и осями координат, не зависит от выбора точки касания.

Доказать, что касательная к кривой

образует вместе с осями координат треугольник, периметр которого постоянен.

Доказать, что касательная к кривой $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ отсекает на осях координат отрезки, сумма которых постоянна.

Доказать, что углы между касательными к кривым $r = f(\varphi )$ и $r = \dfrac {a}{f(\varphi )}$ и радиус-векторами при одинаковом значении $\varphi$ в точках касания составляют в сумме $\pi$.

Доказать, что касательные к кривым $y = \dfrac {\lambda \varphi (x)+\mu \varphi_{1}(x)}{\lambda +\mu }$ при одинаковых абсциссах точки касания пересекаются в одной точке, положение которой не зависит от $\lambda$ и $\mu$.

Каждый радиус-вектор кривой $r = a\sin^{3}\dfrac {\varphi }{3}$ пересекает ее в трех точках, отличных от полюса. Доказать, что касательные в этих точках составляют равносторонний треугольник.

В трех точках $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$, расположенных на декартовом листе $x^{3}+y^{3}=3xy$ на одной прямой, проводятся касательные, пересекающие эту кривую в точках $P_{1}$, $P_{2}$ и $P_{3}$. Доказать, что эти точки лежат на одной прямой.

Из точки $M$ на строфоиде $(2a-x)y^{2}=x(x-a)^{2}$ проведены прямые, касающиеся строфоиды в точках $P$ и $Q$. Доказать, что точки $M$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности с началом координат. (См. задачи 1909, 1910, 1911.)

У лемнискаты $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$ параллельно данному направлению можно провести две пары касательных. Доказать, что прямые, соединяющие точки касания каждой пары, составляют между собой угол $\dfrac {2\pi }{3}$.

Найти длину полярной подкасательной и поднормали у спирали $r^{2}=a^{2}\varphi$.

Доказать, что полярные подкасательные у кривых $r = f(\varphi )$ и $r = \dfrac {af(\varphi )}{a+f(\varphi )}$ в точках, расположенных на одном радиус-векторе, равны.

Доказать, что у кривых $r = f(\varphi )$ и $r = a+f(\varphi )$ в точках, лежащих на одном радиус-векторе, полярные поднормали равны.

Найти круг радиуса $a$, касательный к декартову листу $x^{3}+y^{3}-3axy=0$ в точке, где $\left(\dfrac {4a}{3}, \dfrac {2a}{3}\right)$.

Провести круг радиуса $3a$, нормальный к циссоиде $x(x^{2}+y^{2})-2ay^{2}=0$ в точке, где $x=a$.

Найти круг, проходящий через полюс и касательный к спирали Архимеда $r=a\varphi$ при $\varphi =\dfrac {\pi }{4}$.

Показать, что следующие пары линий пересекаются под прямым углом: $x^{2}-y^{2}=a^{2}$, $xy=b^{2}$.

Показать, что следующие пары линий пересекаются под прямым углом: $y^{2}=2ux+u^{2}$, $y^{2}=-2vx+v^{2}$.

Показать, что следующие пары линий пересекаются под прямым углом: $\dfrac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }+\dfrac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }=1$, $\dfrac {x^{2}}{a^{2}-\mu }+\dfrac {y^{2}}{b^{2}-\mu }=1$; $a>\mu >b$.

Показать, что следующие пары линий пересекаются под прямым углом: $(2a-x)y^{2}=x^{3}$, $(x^{2}+y^{2})^{2}=b^{2}(2x^{2}+y^{2})$.

Показать, что следующие пары линий пересекаются под прямым углом: $b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=c$, $y^{b}=c_{1}x^{a^{2}}$.

Показать, что следующие пары линий пересекаются под прямым углом: $\sin y = ae^{-x}$, $\cos y = be^{-x}$.

Показать, что следующие пары линий пересекаются под прямым углом: $r^{n}=a^{n}\cos n\varphi$, $r^{n}=b^{n}\sin n\varphi$.

Показать, что следующие пары линий пересекаются под прямым углом: $r^{2}=\ln \tg \varphi$, $r^{2}\cos 2\varphi +1=0$.

Доказать, что кривые

пересекаются под углом $\alpha$.

Доказать, что кривая

пересекает прямую $y=x$ под прямым углом.

Доказать, что окружности

пересекаются под прямым углом при соблюдении условия $aa_{1}+bb_{1}=2(c+c_{1})$.

Географическая широта есть угол между нормалью к поверхности Земли в данном месте и плоскостью экватора. Геоцентрическая широта — угол между той же плоскостью и радиус-вектором из центра Земли в данную точку. Определить наибольшую разность этих широт, считая меридиан Земли эллипсом, у которого $a=6400$ км, $a-b=21$ км.

Кривая $f(x,y)=0$ называется алгебраической, если $f(x,y)$ — полином относительно $x$ и $y$. Вводя степени вспомогательной переменной $z$, можно сделать этот полином однородным. Пусть $f(x,y,z)=0$ — получившееся уравнение. Доказать, что уравнение касательной к кривой можно написать в виде

где $(x,y)$ — точка касания, $(X,Y)$ — точка на касательной, а величины $z$ и $Z$ после нахождения производных заменяются единицей.

Подэрой кривой относительно данной точки называется геометрическое место перпендикуляров, опущенных из данной точки на касательные к данной кривой. Найти подэру эллипса $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ относительно центра.

Найти подэру параболы $y^{2}=2px$ относительно вершины.

Найти подэру параболы $y^{2}=2px$ относительно фокуса.

Найти подэру гиперболы $x^{2}-y^{2}=a^{2}$ относительно начала координат.

Найти подэру кривой $\left(\dfrac {x}{a}\right)^{n}\pm \left(\dfrac {y}{b}\right)^{n}=1$ относительно точки $(0,0)$.

Найти подэру кривой $r=e^{a\varphi }$ относительно полюса.

Найти подэру кривой $x^{2}+y^{2}=2ax$ относительно точки $(0,0)$ (ответ дать в полярных координатах).

Найти подэру кривой $r^{n}=a^{n}\cos n\varphi$ относительно полюса.

Найти подэру эвольвенты круга:

относительно начала координат.

Доказать, что точки касания касательных, проведенных из данной точки к логарифмической спирали $r=ae^{m\varphi }$, лежат на окружности, проходящей через полюс и данную точку.

Из начала координат проведен луч, пересекающий строфоиду $y^{2}(2a-x)=x(x-a)^{2}$ в точках $M$ и $M_{1}$. Найти геометрическое место точек пересечения касательных к строфоиде в точках $M$ и $M_{1}$.

Из данной точки $M$ к кардиоиде $r=a(1+\cos \varphi )$ можно провести три касательные. Каково геометрическое место точек $M$, для которых три точки касания лежат на одной прямой?

Каково геометрическое место концов полярной подкасательной у гиперболической спирали $r\varphi =a$?

Найти геометрическое место вершин прямого угла, стороны которого касаются гиперболы $b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$.

Найти геометрическое место вершин прямого угла, стороны которого касаются астроиды $x=a\cos^{3}t$, $y=a\sin^{3}t$.

Найти геометрическое место вершин прямого угла, стороны которого касаются параболы Нейля $4y^{3}=27ax^{2}$.

Найти геометрическое место вершин прямого угла, стороны которого касаются циклоиды $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$.

Каково геометрическое место вершин угла данной величины, стороны которого касаются циклоиды?

Из точки $M$ кривой $y^{2}=ce^{x/a}+4a(x+a)$ проводится нормаль $MP$ до пересечения с осью $Ox$ в точке $P$. Доказать, что середина $MP$ лежит на параболе $y^{2}=ax$.

Каково геометрическое место точек, из которых можно провести к параболе две взаимно перпендикулярные нормали?

При инверсии точка с полярными координатами $r$ и $\varphi$ переходит в точку с полярными координатами $\dfrac {a^{2}}{r}$ и $\varphi$, где $a$ — постоянная. Доказать, что инверсия есть конформное отображение, т.е. что изображения кривых пересекаются под теми же углами, что и сами кривые.

Парабола $y=-ax^{2}$ катится без скольжения по параболе $y=ax^{2}$. Найти геометрическое место ее вершины в предположении, что в начальный момент вершины совпадали.

Доказать, что при том же движении параболы ее фокус описывает прямую, а именно директрису неподвижной параболы.

По эллипсу $b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$ катится без скольжения другой такой же эллипс. В начальном положении их большие оси соприкасались концами. Найти геометрическое место центра катящегося эллипса.