Поверхности. Их уравнения

Поверхности, описанные прямой, проходящей через данную точку $(a,b,c)$ и данную кривую, называются коническими. Доказать, что их уравнения могут быть представлены в виде

Поверхности, образованные движением прямой, параллельной вектору $\overrightarrow {P}(l,m,n)$ и проходящей через данную кривую, называются цилиндрическими. Доказать, что общий вид уравнения цилиндрических поверхностей

Доказать, что уравнение поверхностей вращения около оси $Oz$ имеет вид $f(x^{2}+y^{2}, z)=0$.

Доказать, что уравнение поверхности вращения около прямой

имеет вид

где

Найти уравнение цилиндра, описанного около шара $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, с образующими, параллельными прямой

Найти уравнение цилиндра с образующими, параллельными прямой $x=y=z$, описанного около эллипсоида $x^{2}+4y^{2}+9z^{2}=1$.

Найти уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой — кривая

а образующие параллельны вектору $\overrightarrow {P}(l,m,n)$.

Найти уравнение конической поверхности, имеющей вершину в точке $(-1,0,0)$ и описанной около параболоида $2y^{2}+z^{2}=4x$.

Найти уравнение конической поверхности, имеющей вершину в точке $(a,b,c)$, а направляющей — параболу

Найти уравнение конической поверхности, имеющей вершину в точке $(0,0,-c)$, а направляющей — лемнискату

Около параболоида $x^{2}+y^{2}=2z$ описать коническую поверхность с вершиной в точке $(0,0,-2)$.

Найти уравнение конической поверхности, описанной около поверхности $xyz=c^{3}$ и с вершиной в $(0,0,-3c)$.

Найти уравнение поверхности, полученной вращением эллипса $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ вокруг оси $Ox$.

Найти уравнение поверхности, полученной вращением гиперболы $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}-\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ вокруг оси $Oy$.

Найти уравнение поверхности, полученной вращением параболы $y^{2}=2px$ вокруг оси $Ox$.

Найти уравнение поверхности, полученной вращением окружности $(x-a)^{2}+y^{2}=R^{2}$ около оси $Oy$.

Найти уравнение поверхности, полученной вращением параболы $y^{2}=2px$ около оси $Oy$.

Найти уравнение поверхности, полученной вращением лемнискаты $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$ около $Ox$.

Найти уравнение поверхности, полученной вращением той же кривой (лемнискаты $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$, см. задачу 2328) около оси $Oy$.

Поверхность, происходящая от вращения синусоиды

около оси $Oz$, освещена параллельными лучами, составляющими с $Oz$ угол $\dfrac {\pi }{4}$. Найти форму тени, отбрасываемой ею на плоскость $xOy$.

Параметрическое представление поверхностей, введенное Гауссом, состоит в том, что координаты точек поверхности даются в функции от двух параметров: $x=\varphi (u,v)$, $y=\psi (u,v)$, $z=\omega (u,v)$.

Уравнение шара можно представить в виде

Найти подобную форму уравнения для эллипсоида.

Поверхность задана уравнениями

Найти ее уравнение в обычной форме.

Тот же вопрос (найти уравнение в обычной форме) для поверхности, заданной уравнениями

Тот же вопрос (найти уравнение в обычной форме) для поверхности, заданной уравнениями