Линии на поверхностях и кривизна поверхностей

Найти главные радиусы кривизны эллипсоида $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$ в точке $(0,0,c)$.

Найти главные радиусы кривизны параболоида $\dfrac {x^{2}}{p}+\dfrac {y^{2}}{q}=2z$ в точке $(0,0,0)$.

Найти главные радиусы кривизны геликоида $x=u\cos v$, $y=u\sin v$, $z=mv$.

Найти главные радиусы кривизны параболоида $xy=az$.

Найти главные радиусы кривизны поверхности $e^{z}\cos x=\cos y$.

Найти главные радиусы кривизны поверхности $\sin z=\sh x\cdot \sh y$.

Найти главные радиусы кривизны катеноида $x^{2}+y^{2}=a^{2}\ch^{2}\dfrac {z}{a}$.

Доказать, что если $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ — главные радиусы кривизны в некоторой точке эллипсоида, то на линии пересечения эллипсоида с концентричным шаром $\sqrt[4]{\rho_{1}\rho_{2}}=m(\rho_{1}+\rho_{2})$, где $m$ — постоянная.

Омбилической точкой, или точкой закругления, называется точка поверхности, где главные радиусы кривизны равны: $\rho_{1}=\rho_{2}$. Найти точки закругления эллипсоида

То же (найти точки закругления, см. задачу 2391) для эллипсоида

Найти полную кривизну параболоида

Доказать, что средняя кривизна поверхности $z=\ln \cos x-\ln \cos y$ равна нулю.

Доказать, что полная кривизна параболоида постоянна для точек пересечения его с соответствующим эллиптическим цилиндром.

Найти полную и среднюю кривизны поверхности вращения $z=f(\rho )$, где $\rho =\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.

Доказать, что поверхность вращения трактрисы

вокруг оси $Ox$ обладает постоянной отрицательной кривизной, равной $-\dfrac {1}{a^{2}}$.

Через вершину параболоида вращения $y^{2}+z^{2}=2px$ проводятся кривые на его поверхности. Найти геометрическое место их центров кривизны.

Через точку на поверхности проводятся $n$ нормальных сечений, где угол между последовательными сечениями равен $\dfrac {2\pi }{n}$. Доказать, что арифметическая средняя кривизны сечений не зависит ни от числа $n$, ни от направления первого сечения ($n\geqslant 2$).

Линия на поверхности, образующая с плоскостью $xOy$ в каждой своей точке наибольший из углов, какой в этой точке возможен на поверхности, называется линией наибольшего ската. Доказать, что касательная к ней, нормаль к поверхности и линия, идущая через данную точку параллельно $Oz$, лежат в одной плоскости.

Доказать, что проекции на плоскость $xOy$ горизонталей поверхности пересекаются под прямым углом с проекциями линий наибольшего ската.

Доказать, что кривые, проекции которых на плоскость $xOy$ имеют уравнение $x^{a^{2}}=Cy^{b^{2}}$, где $C$ — постоянная, являются линиями наибольшего ската для эллипсоида $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$.

Две поверхности

уравнения которых отличаются величиной $\lambda$, являются софокусными. Доказать, что линии пересечения эллипсоида с софокусными ему одно- и двуполостным гиперболоидами будут линиями кривизны для эллипсоида.

Доказать, что у геликоида задачи 2385 вдоль каждой линии кривизны одна из величин $\ln \left(u+\sqrt{u^{2}+m^{2}}\right)\pm v$ остается постоянной.

Линия на поверхности, главная нормаль к которой повсюду совпадает с нормалью к поверхности, называется геодезической. Показать, что на поверхности шара геодезической линией является дуга большого круга.

Показать, что на поверхности

для точек геодезической линии выполняется условие

где $c=\mathrm{const}$.

Найти аналогичное условие для геодезических линий поверхности вращения