Построение кривых

Найти вершины, т.е. точки, где касательная параллельна одной из осей координат и где при этом нет точки перегиба, у кривой $x^{2}+xy+y^{2}=3$.

Найти вершины, т.е. точки, где касательная параллельна одной из осей координат и где при этом нет точки перегиба, у кривой $x^{4}+y^{4}=x^{2}+y^{2}$.

Найти вершины, т.е. точки, где касательная параллельна одной из осей координат и где при этом нет точки перегиба, у кривой $(x^{2}+y^{2})^{2}=xy$.

Найти вершины, т.е. точки, где касательная параллельна одной из осей координат и где при этом нет точки перегиба, у кривой $x^{4}+4x^{2}y^{2}-6a^{2}x^{2}+a^{4}=0$.

Найти вершины, т.е. точки, где касательная параллельна одной из осей координат и где при этом нет точки перегиба, у кривой $y=\sin \dfrac {1}{x}$.

Найти вершины, т.е. точки, где касательная параллельна одной из осей координат и где при этом нет точки перегиба, у кривой $y=\sin x^{2}$.

Найти расстояние по горизонтали между последовательными вершинами кривой $y=e^{-ax}\cos bx$.

Найти точки перегиба кривой $y=x^{4}-6x^{2}$.

Найти точки перегиба кривой $x^{3}+y^{3}=a^{3}$.

Найти точки перегиба кривой $x^{3}+y^{3}=x^{2}$.

Найти точки перегиба кривой $(a^{2}+x^{2})y=ax^{2}$.

Найти точки перегиба кривой $y=1+\sqrt[3]{x^{5}}$.

Найти точки перегиба кривой $y=x^{4}e^{-x}$.

Найти точки перегиба кривой $y=e^{1/x}$.

Найти точки перегиба кривой $y=x^{2}\ln x$.

Найти точки перегиба кривой $y=\tg x$.

Найти точки перегиба кривой $y=\sin^{4}x+\cos^{4}x$.

Найти точки перегиба кривой $r\cos^{3}\varphi =1$.

Найти точки перегиба кривой $r=a(\tg \varphi -1)$.

При исследовании формы кривой вблизи данной ее точки $(a,b)$ полезно разложение в ряд Тейлора. Если $f(x,y)=0$ — уравнение кривой, то, разлагая левую часть по степеням разностей $x-a=\xi$, $y-b=\eta$, в силу равенства $f(a,b)=0$, получаем:

где $p$, $q$, $r$, $s$ и $t$ обозначают соответственно значения производных $\dfrac {\partial f}{\partial x}$, $\dfrac {\partial f}{\partial y}$, $\dfrac {\partial^{2}f}{\partial x^{2}}$, $\dfrac {\partial^{2}f}{\partial x\, \partial y}$ и $\dfrac {\partial^{2}f}{\partial y^{2}}$ при $x=a$, $y=b$.

Если $p^{2}+q^{2}>0$, то при малых значениях $\left|\xi \right|$ и $\left|\eta \right|$ кривая близка к прямой $p\xi +q\eta =0$, т.е. к прямой $p(x-a)+q(y-b)=0$. Эта прямая — касательная к кривой в точке $(a,b)$. Если же $p=0$ и $q=0$, т.е. если в данной точке обе производные $\dfrac {\partial f}{\partial x}$ и $\dfrac {\partial f}{\partial y}$ обращаются в нуль, то уравнение выше переходит в такое:

Точка $(a,b)$ является особой точкой кривой.

Если при этом $s^{2}-rt>0$, то точка $(a,b)$ — двойная. В ней пересекаются две ветви кривой. Угловые коэффициенты касательных к этим ветвям равны корням квадратного уравнения $t\sigma^{2}+2s\sigma +r=0$.

Если $s^{2}-rt<0$, то точка $(a,b)$ — изолированная: в достаточной близости от нее на кривой точек нет. Если $s^{2}-rt=0$, то для полного изучения характера особой точки нужно принимать во внимание дальнейшие члены разложения ряда Тейлора. Обычно при этом $(a,b)$ есть точка возврата кривой.

Исследовать особые точки алгебраической кривой $y^{2}=x^{3}$.

Исследовать особые точки алгебраической кривой $y^{2}=bx^{3}+ax^{2}$.

Исследовать особые точки алгебраической кривой $y^{2}=ax^{2}+bx^{5}$.

Исследовать особые точки алгебраической кривой $x^{3}+y^{3}-xy=0$.

Исследовать особые точки алгебраической кривой $x^{4}-2ax^{2}y+2ay^{3}+a^{2}y^{2}=0$; $a\neq 0$.

Исследовать особые точки алгебраической кривой $x^{6}-2a^{2}x^{3}y-b^{3}y^{3}=0$.

Исследовать особые точки алгебраической кривой $2y^{3}x-y^{4}=x(y-x)^{2}$.

Исследовать особые точки алгебраической кривой $x^{4}+y^{4}=x^{2}+y^{2}$.

При каком соотношении между $a$ и $b$ кривая

имеет двойную точку?

Доказать, что при $4a^{3}+27b^{2}<0$ кривая $y^{2}=x^{3}+ax+b$ состоит из двух отдельных частей, а при $4a^{3}+27b^{2}>0$ является сплошной линией.

При изучении трансцендентных кривых формула Тейлора не всегда применима, поэтому трансцендентные кривые имеют особые точки и таких видов, каких не имеется у алгебраических кривых (таковы, например, точки прекращения и угловые точки). Исследовать особые точки трансцендентной кривой $y=x^{x}$.

Исследовать особые точки трансцендентной кривой $y=x\ln x$.

Исследовать особые точки трансцендентной кривой $y\ln x=1$.

Исследовать особые точки трансцендентной кривой $y=e^{1/x}$.

Исследовать особые точки трансцендентной кривой $y=\dfrac {1}{1+e^{1/x}}$.

Исследовать особые точки трансцендентной кривой $y=\dfrac {x}{1+e^{1/x}}$.

Исследовать особые точки трансцендентной кривой $y=\arctg \dfrac {1}{x}$.

Исследовать особые точки трансцендентной кривой $y=x\arctg \dfrac {1}{x}$.

Исследовать особые точки трансцендентной кривой $y=\sin \dfrac {1}{x}$.

Исследовать особые точки трансцендентной кривой $y=x\sin \dfrac {1}{x}$.

Исследовать особые точки трансцендентной кривой $y=x^{2}\sin \dfrac {1}{x}$.

Исследовать особые точки трансцендентной кривой $x^{y}=y^{x}$.

При отыскании асимптот кривой следует различать два случая — асимптоты, параллельные оси $Oy$, и асимптоты, не параллельные ей. Первые имеют уравнения $x=x_{0}$, где $x_{0}$ — то значение $x$, при котором $y=f(x)$ обращается в $\infty$. Прямая $y=ax+b$, не параллельная оси $Oy$, будет асимптотой кривой в том случае, если при $x\rightarrow \infty$ для точек кривой имеет место равенство

Отсюда следует, что $a=\lim \limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac {y}{x}$, $b=\lim \limits_{x\rightarrow \infty }(y-ax)$.

Найти асимптоты кривой $y=\dfrac {x}{x-1}$.

Найти асимптоты кривой $y=\dfrac {1}{(x-3)^{2}}$.

Найти асимптоты кривой $y=\pm \sqrt{\dfrac {x-1}{x+1}}$.

Найти асимптоты кривой $y=x+\dfrac {1}{x}$.

Найти асимптоты кривой $y=\dfrac {1}{x}+\dfrac {1}{x-1}+\dfrac {1}{x-2}$.

Найти асимптоты кривой $y^{2}=\dfrac {x^{3}+ax^{2}}{x-a}$.

Найти асимптоты кривой $y^{2}=\dfrac {x^{3}-a^{3}}{x+b}$.

Найти асимптоты кривой $y^{3}-x^{3}=x^{2}+y^{2}$.

Найти асимптоты кривой $x^{3}+y^{3}=a^{3}$.

Найти асимптоты кривой $x^{3}+y^{3}=3axy$.

Найти асимптоты кривой $x^{3}+y^{3}+2y-x=0$.

Найти асимптоты кривой $r\varphi =a$.

Изучить форму кривой $y^{2}=x^{3}(2-x)$, предварительно решив уравнение кривой относительно одной из координат.

Изучить форму кривой $x^{4}+y^{4}=a^{4}$, предварительно решив уравнение кривой относительно одной из координат.

Изучить форму кривой $x^{2n}+y^{2n}=a^{2n}$, $n$ — целое положительное и большое, предварительно решив уравнение кривой относительно одной из координат.

Изучить форму кривой $x^{4}-4x^{2}y^{2}-6x^{2}-4y^{2}=0$, предварительно решив уравнение кривой относительно одной из координат.

Изучить форму кривой $x^{4}-6x^{2}y+25y^{2}-16x^{2}=0$, предварительно решив уравнение кривой относительно одной из координат.

Изучить форму кривой $y^{2}-x^{4}+x^{6}=0$, предварительно решив уравнение кривой относительно одной из координат.

Изучить форму кривой $x^{4}+x^{2}y^{2}-18x^{2}y+9y^{2}=0$, предварительно решив уравнение кривой относительно одной из координат.

Изучить форму кривой $x^{4}+y^{4}-3x^{3}-4x^{2}=0$, предварительно решив уравнение кривой относительно одной из координат.

Изучить форму кривой $y^{4}-2xy^{2}-3x^{2}+x^{4}=0$, предварительно решив уравнение кривой относительно одной из координат.

Изучить форму кривой $x^{4}+y^{4}-6y^{3}+8x^{2}y=0$, предварительно решив уравнение кривой относительно одной из координат.

Изучить форму кривой $x^{4}+y^{4}-8x^{2}-10y^{2}+16=0$, предварительно решив уравнение кривой относительно одной из координат.

Изучить форму замкнутой кривой $x^{4}+y^{4}=2xy$, перейдя к полярным координатам.

Изучить форму замкнутой кривой $(x^{2}+y^{2}-6x)^{2}=x^{2}+y^{2}$ (улитка Паскаля), перейдя к полярным координатам.

Изучить форму замкнутой кривой $(x^{2}+y^{2}-4x)^{2}=16(x^{2}+y^{2})$ (кардиоида), перейдя к полярным координатам.

Изучить форму замкнутой кривой $x^{4}+y^{4}=8xy^{2}$, перейдя к полярным координатам.

Изучить форму замкнутой кривой $x^{4}+y^{4}=x^{2}+y^{2}$, перейдя к полярным координатам.

Изучить форму замкнутой кривой $(x^{2}+y^{2})^{3}=27x^{2}y^{2}$, перейдя к полярным координатам.

Изучить форму замкнутой кривой $(x^{2}+y^{2})^{2}=xy$, перейдя к полярным координатам.

Построить кривую (считать $a>0$) $y^{2}=x^{3}-2x^{2}+x$.

Построить кривую (считать $a>0$) $4y^{2}=4x^{2}y+x^{5}$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{5}+5ax^{4}-16a^{3}y^{2}=0$.

Построить кривую (считать $a>0$) $y^{3}-x^{2}y+x^{5}=0$.

Построить кривую (считать $a>0$) $y^{5}+x^{4}=xy^{2}$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{6}+2x^{3}y-y^{3}=0$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{4}+2y^{3}=4x^{2}y$.

Построить кривую (считать $a>0$) $y^{3}-x^{3}+y-2x=0$.

Построить кривую (считать $a>0$) $(x^{2}-y^{2})^{2}=2x$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{2}(x-y)^{2}+y=0$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{3}y^{3}=x-y$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{2}y^{2}+x-2y=0$.

Построить кривую (считать $a>0$) $(2x+y)^{2}(x+y)=x$.

Построить кривую (считать $a>0$) $(x^{2}-y^{2})(x-y)=1$.

Построить кривую (считать $a>0$) $3x^{4}-y^{4}+2x^{2}y^{2}+2x=0$.

Построить кривую (считать $a>0$) $xy(x-y)+x+y=0$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{2}y^{2}+y=1$.

Построить кривую (считать $a>0$) $xy(x^{2}-y^{2})+1=0$.

Построить кривую (считать $a>0$) $xy(x^{2}+y^{2})-2x^{2}y^{2}=12$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x(x^{2}+y^{2})=a(x^{2}-y^{2})$.

Построить кривую (считать $a>0$) $(x^{2}-y^{2})^{2}=4xy$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{2}y^{2}+y^{4}=4x^{2}$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{4}-y^{4}+xy=0$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{2}(x^{2}+y^{2})=4(x-y)^{2}$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{4}-y^{4}=4y^{2}-x^{2}$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{2}y^{2}=(y+1)^{2}(4-y^{2})$.

Построить кривую (считать $a>0$) $(x^{2}-1)y^{2}=x^{4}-4x^{2}$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{2}(y-2)^{2}+2xy=y^{2}$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{4}-y^{4}=x^{2}-2y^{2}$.

Построить кривую (считать $a>0$) $(x+1)(x+2)y^{2}=x^{2}$.

Построить кривую (считать $a>0$) $xy(x+y)+x^{2}=2y^{2}$.

Построить кривую (считать $a>0$) $(2a-x)y^{2}=x^{3}$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{3}+y^{3}=3x^{2}$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{4}-2x^{2}=y^{3}(x-1)$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{4}-y^{4}=4x^{2}y$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{3}-2x^{2}y-y^{2}=0$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{4}-2x^{2}y^{2}+y^{3}=0$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{2}y^{2}=x^{2}+y^{2}$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{5}+y^{5}=xy^{2}$.

Построить кривую (считать $a>0$) $x^{4}+2x^{2}y-xy^{2}+y^{2}=0$.

Изучить кривую, уравнения которой даны в параметрической форме: $x=\dfrac {2+t^{2}}{1+t^{2}}$, $y=t-\dfrac {t}{1+t^{2}}$.

Изучить кривую, уравнения которой даны в параметрической форме: $x=\dfrac {t^{2}+1}{4(1-t)}$, $y=\dfrac {t}{t+1}$.

Изучить кривую, уравнения которой даны в параметрической форме: $x=\dfrac {t^{2}+1}{t^{2}-1}$, $y=\dfrac {t}{t^{4}+1}$.

Изучить кривую, уравнения которой даны в параметрической форме: $x=\dfrac {t}{1-t^{2}}$, $y=\dfrac {t(1-2t^{2})}{1-t^{2}}$.

Изучить кривую, уравнения которой даны в параметрической форме: $x=\dfrac {t^{2}}{t^{2}-1}$, $y=\dfrac {t^{2}+1}{t+2}$.

Изучить кривую, уравнения которой даны в параметрической форме: $x=\dfrac {t^{2}-3}{t^{2}+1}$, $y=\dfrac {t(t^{2}-3)}{t^{2}+1}$.

Изучить кривую, уравнения которой даны в параметрической форме: $x=\dfrac {t-t^{2}}{1+t^{2}}$, $y=\dfrac {t^{2}-t^{3}}{1+t^{2}}$.

Изучить кривую, уравнения которой даны в параметрической форме: $x=\dfrac {t^{2}}{t-1}$, $y=\dfrac {t}{t^{2}-1}$.

Изучить кривую, уравнения которой даны в параметрической форме: $x=\dfrac {(t+2)^{2}}{t+1}$, $y=\dfrac {(t-2)^{2}}{t-1}$.

Изучить кривую, уравнения которой даны в параметрической форме: $x=\dfrac {2t-1}{t^{3}(t-1)}$, $y=\dfrac {2t-1}{t^{2}(t-1)}$.

Изучить кривую $y^{2}=a^{2}\sin \dfrac {y}{x}$.

Изучить кривую $y^{2}=a^{2}\cos \dfrac {y}{x}$.

Исследовать линию $x^{y}=y^{x}$, заметив, что она распадается на прямую $y=x$ и кривую