Банк задач по математике

Задача 2058

Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой данной кривой. Уравнение эволюты для кривой $x=\varphi (t)$ , $y=\psi (t)$ получается исключением параметра $t$ из уравнений

X-x = -\frac{y'(x'^{2}+y'^{2})}{x'y''-x''y'}, \qquad Y-y = \frac{x'(x'^{2}+y'^{2})}{x'y''-x''y'}.

Найти эволюту параболы $y^{2}=2px$ .

?

Задача 2059

Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой данной кривой. Найти эволюту эллипса $x=a\cos t$ , $y=b\sin t$ .

?

Задача 2060

Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой данной кривой. Найти эволюту гиперболы $x=a\ch t$ , $y=b\sh t$ .

?

Задача 2061

Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой данной кривой. Найти эволюту астроиды $x=a\cos^{3}t$ , $y=a\sin^{3}t$ .

?

Задача 2062

Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой данной кривой. Найти эволюту циссоиды $y^{2}(2a-x)=x^{3}$ .

?

Задача 2063

Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой данной кривой. Найти эволюту гиперболы $xy=a^{2}$ .

?

Задача 2064

Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой данной кривой. Найти эволюту цепной линии $y=a\ch \dfrac {x}{a}$ .

?

Задача 2065

Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой данной кривой. Найти эволюту циклоиды $x=a(t-\sin t)$ , $y=a(1-\cos t)$ .

?

Задача 2066

Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой данной кривой. Найти эволюту кривой

x = a\bigl(2t\cos t+(t^{2}-2)\sin t\bigr), \qquad y = a\bigl(2t\sin t-(t^{2}-2)\cos t\bigr).

?

Задача 2067

Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой данной кривой. Найти эволюту кривой

x = a\cos t+(at+b)\sin t, \qquad y = a\sin t-(at+b)\cos t.

?

Задача 2068

Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой данной кривой. Найти эволюту кардиоиды $r=a(1+\cos \varphi )$ .

?

Задача 2069

Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой данной кривой. Найти эволюту гипоциклоиды

x = a(2\cos t+\cos 2t), \qquad y = a(2\sin t-\sin 2t).

?

Задача 2070

Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой данной кривой. Найти эволюту трактрисы $x = -a\left(\ln \tg \dfrac {t}{2}+\cos t\right)$ , $y=a\sin t$ .

?

Задача 2071

Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой данной кривой. Найти эволюту кривой $y=a\ln \cos \dfrac {x}{a}$ .

?

Задача 2072

Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой данной кривой. Найти эволюту эвольвенты круга

x = a(\cos t+t\sin t), \qquad y = a(\sin t-t\cos t).

?

Задача 2073

Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой данной кривой. Найти эволюту логарифмической спирали $r=e^{a\varphi }$ .

?

Задача 2074

Доказать равенство

\frac{x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'} = \frac{\xi '^{2}+\eta '^{2}}{\xi '\eta ''-\xi ''\eta '},

где $(x,y)$ — точка кривой, а $(\xi ,\eta )$ — соответствующая точка эволюты.

?

Задача 2075

Пользуясь свойствами эволюты, найти длину дуги одной дуги циклоиды $x=a(t-\sin t)$ , $y=a(1-\cos t)$ .

?

Задача 2076

Пользуясь свойствами эволюты, найти длину дуги астроиды $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ между точками $(a,0)$ и $(0,a)$ .

?

Задача 2077

Пользуясь свойствами эволюты, найти длину дуги кардиоиды $r=a(1+\cos \varphi )$ .

?

Задача 2078

Пользуясь свойствами эволюты, найти длину дуги параболы Нейля $y^{2}=x^{3}$ от $(0,0)$ до $(4,8)$ .

?

Задача 2079

Пользуясь свойствами эволюты, найти длину дуги эволюты параболы $y^{2}=2px$ от острия до точки пересечения эволюты с параболой.

?

Задача 2080

Пользуясь свойствами эволюты, найти длину дуги логарифмической спирали $r=e^{a\varphi }$ при $\varphi_{0}<\varphi <\varphi_{0}+2\pi$ .

?

Примечание.

?

Замечание. Все перечисленные кривые (задачи 2075--2080) — эволюты других кривых, которые легко найти, пользуясь решениями задач, помещенных в первой части параграфа.

Эволюты кривых