Банк задач по математике

Задача 2228

Показать, что линия

x = at^{2}+bt+c, \qquad y = a_{1}t^{2}+b_{1}t+c_{1}, \qquad z = a_{2}t^{2}+b_{2}t+c_{2}

лежит в некоторой плоскости, и найти уравнение этой плоскости.

?

Задача 2229

При каком соотношении между коэффициентами $a$ , $b$ , $c$ , $a_{1}$ , $b_{1}$ , $c_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{2}$ , $c_{2}$ кривая

x = a\varphi (t)+b\psi (t)+c\omega (t)+d,

y = a_{1}\varphi (t)+b_{1}\psi (t)+c_{1}\omega (t)+d_{1},

z = a_{2}\varphi (t)+b_{2}\psi (t)+c_{2}\omega (t)+d_{2}

лежит в плоскости?

?

Задача 2230

Показать, что кривая

x = \sin 2\varphi , \qquad y = 1-\cos 2\varphi , \qquad z = 2\cos \varphi

лежит на поверхности шара.

?

Задача 2231

Показать то же (что кривая лежит на поверхности шара) для кривой

x = \frac{t}{1+t^{2}+t^{4}}, \qquad y = \frac{t^{2}}{1+t^{2}+t^{4}}, \qquad z = \frac{t^{3}}{1+t^{2}+t^{4}} .

?

Задача 2232

Перевести в параметрическую форму уравнение кривой Вивиани, определенной пересечением шара $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ и цилиндра $x^{2}+y^{2}=ax$ , положив $x=a\sin^{2}t$ .

?

Задача 2233

Доказать, что проекция предыдущей кривой на плоскость $xOz$ есть парабола.

?

Задача 2234

Найти проекцию на плоскость $xOy$ линии пересечения параболоида $z=x^{2}+y^{2}$ и плоскости $x+y+z=1$ .

?

Задача 2235

Найти проекцию линии

x = e^{t}\sin t, \qquad y = e^{t}\cos t, \qquad z = 2t

на плоскость $xOy$ .

?

Задача 2236

Доказать, что проекция винтовой линии

x = a\cos t, \qquad y = a\sin t, \qquad z = bt

на плоскость $yOz$ есть синусоида.

?

Задача 2237

Доказать, что при переносе начала координат в точку $O_{1}(0,0,b\beta )$ и повороте осей абсцисс и ординат вокруг оси $O_{1}z_{1}$ на угол $\beta$ уравнениям винтовой линии

x = a\cos t, \qquad y = a\sin t, \qquad z = bt

можно придать вид

x_{1} = a\cos t_{1}, \qquad y_{1} = a\sin t_{1}, \qquad z_{1} = bt_{1} .

Это показывает, что винтовая линия способна скользить сама по себе.

?

Задача 2238

Найти уравнение касательной к кривой

x = \frac{t^{4}}{4}, \qquad y = \frac{t^{3}}{3}, \qquad z = \frac{t^{2}}{2} .

?

Задача 2239

Найти касательную к предыдущей кривой, параллельную плоскости $x+3y+2z=0$ .

?

Задача 2240

Найти косинусы углов с осями у касательной к кривой

x = t-\sin t, \qquad y = 1-\cos t, \qquad z = 4\sin \frac{t}{2} .

?

Задача 2241

У кривой

x = -t\cos t+\sin t, \qquad y = t\sin t+\cos t, \qquad z = t+1

найти точки, в которых касательная параллельна плоскости $yOz$ или $xOz$ .

?

Задача 2242

Найти касательную к кривой

x^{2}+y^{2} = 10, \qquad y^{2}+z^{2} = 25

в точке $(1,3,4)$ .

?

Задача 2243

Найти касательную к кривой

2x^{2}+3y^{2}+z^{2} = 47, \qquad x^{2}+2y^{2} = z

в точке $(-2,1,6)$ .

?

Задача 2244

Найти касательную к кривой

x^{2}+y^{2} = z, \qquad x = y

в точке $(m,m,2m^{2})$ .

?

Задача 2245

Найти косинусы углов с осями у касательной к кривой

x^{2} = 2az, \qquad y^{2} = 2bz .

?

Задача 2246

Такой же вопрос (найти косинусы углов с осями у касательной), что и в предыдущей задаче, для круга

x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}, \qquad y = mx .

?

Задача 2247

К кривой

y^{2} = 2px, \qquad z^{2} = 2qx

проведена касательная в точке, где $x=\dfrac {p+q}{2}$ . Найти ее длину от точки касания до плоскости $x=0$ .

?

Задача 2248

Найти угол между касательной к кривой

x = a\cos t, \qquad y = a\sin t, \qquad z = bt

и вектором, проведенным из начала координат в точку касания.

?

Задача 2249

Найти нормальную плоскость к кривой

z = x^{2}+y^{2}, \qquad y = x .

?

Задача 2250

В точке, где $x=\dfrac {p}{2}$ , найти нормальную плоскость к кривой

y^{2} = 2px, \qquad x^{2}+z^{2} = a^{2} .

?

Задача 2251

Доказать, что нормальные плоскости кривой

x = a\cos t, \qquad y = a\sin \alpha \sin t, \qquad z = a\cos \alpha \sin t

проходят через прямую

x = 0, \qquad z+y\tg \alpha = 0 .

?

Задача 2252

Доказать, что кривая

x = e^{t}\cos t, \qquad y = e^{t}\sin t, \qquad z = e^{t}

пересекает все образующие конуса $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ под одним и тем же углом.

?

Задача 2253

При каком $a$ кривая

x = e^{at}\cos t, \qquad y = e^{at}\sin t, \qquad z = e^{at}

пересекает все образующие конуса $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ под углом $\dfrac {\pi }{4}$ ?

?

Задача 2254

Доказать, что линии пересечения цилиндров $y^{2}+z^{2}=m^{2}$ с поверхностью $xy=az$ пересекают под прямым углом все образующие этой поверхности, принадлежащие одной системе.

?

Задача 2255

Линия $x=a\tg t$ , $y=b\cos t$ , $z=b\sin t$ расположена на поверхности параболоида. Доказать, что она пересекает все образующие одной системы под прямым углом.

?

Задача 2256

Кривая, называемая локсодромией, определяется уравнением $\varphi =a\ln \tg \left(\dfrac {\pi }{4}-\dfrac {\theta }{2}\right)$ , где $\theta$ — широта, а $\varphi$ — долгота точки на шаре. Доказать, что она пересекает меридианы шара под углом, тангенс которого равен $a$ .

?

Задача 2257

Доказать, что стереографическая проекция дает конформное изображение, т.е. что линии на плоскости пересекаются под тем же углом, что и их изображения на шаре.

?

Примечание.

?

Стереографическая проекция состоит в следующем. Верхняя точка шара $x^{2}+y^{2}+z^{2}=az$ , т.е. точка $A(0,0,a)$ , соединяется прямой с произвольной точкой $M(x,y,0)$ плоскости $xOy$ . Точка $M_{1}$ , в которой прямая $AM$ пересекает поверхность шара $x^{2}+y^{2}+z^{2}=az$ , является изображением на шаре точки $M$ плоскости $xOy$ , а точка $M$ является изображением точки $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ , лежащей на шаре. Таким образом, стереографическая проекция дает взаимно однозначное соответствие точек плоскости и шара, за исключением точки $A$ , лежащей на верху шара. При этом

x_{1} = \frac{a^{2}x}{x^{2}+y^{2}+a^{2}}, \qquad y_{1} = \frac{a^{2}y}{x^{2}+y^{2}+a^{2}}, \qquad z_{1} = \frac{a(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}+a^{2}} .

Задача 2258

Доказать, что кривая $r=e^{m\varphi }$ , расположенная на плоскости $xOy$ , где полярная ось совпадает с положительной частью оси $Ox$ , при стереографической проекции (см. задачу 2257) переходит в локсодромию.

?

Задача 2259

Доказать, что окружности на шаре при стереографической проекции (см. задачу 2257) переходят в окружности на плоскости. При этом прямые считаются за частные случаи окружностей.

?

Задача 2260

Центральная проекция шара $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2az$ на плоскость $xOy$ образуется следующим образом. Произвольная точка $M(x,y,0)$ плоскости $xOy$ соединяется прямой $AM$ с центром шара $A(0,0,a)$ . Точка $M_{1}$ , в которой $AM$ пересекает шар, принимается за изображение точки $M$ , и обратно. Доказать, что эта проекция не есть конформное изображение.

?

Задача 2261

Доказать, что касательная к кривой

x^{2} = 3y, \qquad 2xy = 9z

образует постоянный угол с некоторым определенным направлением.

?

Задача 2262

Координаты точек некоторой кривой удовлетворяют соотношению

(x^{2}+y^{2}+z^{2}-a^{2})(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}) = (x\, dx+y\, dy+z\, dz)^{2} .

Доказать, что касательные к этой кривой касаются шара

x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2} .

?

Задача 2263

Доказать, что касательные к кривой

x = a(\sin t+\cos t), \qquad y = a(\sin t-\cos t), \qquad z = be^{-t}

пересекают плоскость $xOy$ по окружности $x^{2}+y^{2}=4a^{2}$ .

?

Задача 2264

(а)(б)

Найти линии, по которым касательные к винтовой линии

x = a\cos t, \qquad y = a\sin t, \qquad z = bt

пересекают:

?

(а)

плоскость $xOy$ ;

(б)

плоскость $xOz$ .

Задача 2265

Найти сферическую индикатрису касательных винтовой линии

x = a\cos t, \qquad y = a\sin t, \qquad z = bt .

?

Примечание.

?

Сферической индикатрисой касательных данной кривой называют геометрическое место концов единичных векторов, проведенных из начала координат и параллельных этим касательным.

Задача 2266

Тот же вопрос (найти сферическую индикатрису касательных, см. задачу 2265) для кривой

x = 2t-\sin 2t, \qquad y = \cos 2t, \qquad z = 4\sin t .

?

Кривые двоякой кривизны: касательная прямая и нормальная плоскость