Глава 5

Ряды

[617/98%]
Показать
LaTeX
§
5.1 · Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов[123/94%]
Задача 2546

Доказать непосредственно сходимость следующего ряда и найти его сумму:

1−12+14−18+…+(−1)n−12n−1+…. 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\ldots +\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}}+\ldots .
?
Задача 2547

Доказать непосредственно сходимость следующего ряда и найти его сумму:

(12+13)+(122+132)+…+(12n+13n)+…. \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}\right)+\ldots +\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right)+\ldots .
?
Задача 2548

Доказать непосредственно сходимость следующего ряда и найти его сумму:

12+322+523+…+2n−12n+…. \frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}+\ldots +\frac{2n-1}{2^{n}}+\ldots .
?
Задача 2549

Доказать непосредственно сходимость следующего ряда и найти его сумму:

11⋅2+12⋅3+13⋅4+…+1n(n+1)+…. \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\ldots +\frac{1}{n(n+1)}+\ldots .
?
Задача 2550

Доказать непосредственно сходимость следующего ряда и найти его сумму:

11⋅4+14⋅7+…+1(3n−2)(3n+1)+…. \frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 7}+\ldots +\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}+\ldots .
?
Задача 2551

Доказать непосредственно сходимость следующего ряда и найти его сумму (∣q∣<1\left|q\right|<1):

?
(а)

qsin⁡α+q2sin⁡2α+…+qnsin⁡nα+…q\sin \alpha +q^{2}\sin 2\alpha +\ldots +q^{n}\sin n\alpha +\ldots;

(б)

qcos⁡α+q2cos⁡2α+…+qncos⁡nα+…q\cos \alpha +q^{2}\cos 2\alpha +\ldots +q^{n}\cos n\alpha +\ldots.

Задача 2552

Доказать непосредственно сходимость следующего ряда и найти его сумму:

∑n=1∞(n+2−2n+1+n). \sum _{n=1}^{\infty }\left(\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right).
?
Задача 2553

Исследовать сходимость ряда ∑n=1∞sin⁡nx\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\sin nx.

?
Задача 2554

Доказать, что если ряд ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} сходится, то ряд ∑n=1∞An\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }A_{n}, где

An=∑i=pnpn+1−1ai(p1=1, p1<p2<…), A_{n}=\sum _{i=p_{n}}^{p_{n+1}-1}a_{i} \quad (p_{1}=1, \ p_{1}<p_{2}<\ldots ),

полученный в результате группировки членов данного ряда без нарушения порядка следования их, также сходится и имеет ту же сумму. Обратное неверно; привести пример.

?
Задача 2555

Доказать, что если члены ряда ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} положительны и ряд ∑n=1∞An\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }A_{n}, полученный в результате группировки членов этого ряда, сходится, то данный ряд также сходится.

?
Задача 2556

Исследовать сходимость ряда:

1−1+1−1+1−1+…. 1-1+1-1+1-1+\ldots .
?
Задача 2557

Исследовать сходимость ряда:

0,001+0,001+0,0013+…. 0{,}001+\sqrt{0{,}001}+\sqrt[3]{0{,}001}+\ldots .
?
Задача 2558

Исследовать сходимость ряда:

11!+12!+13!+…+1n!+…. \frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots +\frac{1}{n!}+\ldots .
?
Задача 2559

Исследовать сходимость ряда:

1+13+15+17+…+12n−1+…. 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\ldots +\frac{1}{2n-1}+\ldots .
?
Задача 2560

Исследовать сходимость ряда:

11001+12001+13001+…+11000n+1+…. \frac{1}{1001}+\frac{1}{2001}+\frac{1}{3001}+\ldots +\frac{1}{1000n+1}+\ldots .
?
Задача 2561

Исследовать сходимость ряда:

1+23+35+…+n2n−1+…. 1+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+\ldots +\frac{n}{2n-1}+\ldots .
?
Задача 2562

Исследовать сходимость ряда:

1+132+152+…+1(2n−1)2+…. 1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\ldots +\frac{1}{(2n-1)^{2}}+\ldots .
?
Задача 2563

Исследовать сходимость ряда:

12+123+134+…+1nn+1+…. \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{4}}+\ldots +\frac{1}{n\sqrt{n+1}}+\ldots .
?
Задача 2564

Исследовать сходимость ряда:

11⋅3+13⋅5+…+1(2n−1)(2n+1)+…. \frac{1}{\sqrt{1\cdot 3}}+\frac{1}{\sqrt{3\cdot 5}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}+\ldots .
?
Задача 2565

Доказать, что ряд чисел, обратных членам арифметической прогрессии, расходится.

?
Задача 2566

Доказать, что если ряды ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} (A)(A) и ∑n=1∞bn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }b_{n} (B)(B) сходятся и an⩽cn⩽bna_{n} \leqslant c_{n} \leqslant b_{n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots ), то ряд ∑n=1∞cn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }c_{n} (C)(C) также сходится. Что можно сказать о сходимости ряда (C)(C), если ряды (A)(A) и (B)(B) расходятся?

?
Задача 2567

Пусть даны два расходящихся ряда ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} и ∑n=1∞bn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }b_{n} с неотрицательными членами. Что можно сказать о сходимости рядов:

?
(а)

∑n=1∞min⁡(an,bn)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\min (a_{n},b_{n});

(б)

∑n=1∞max⁡(an,bn)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\max (a_{n},b_{n})?

Задача 2568

Доказать, что если ряд ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} (an⩾0a_{n}\geqslant 0) сходится, то ряд ∑n=1∞an2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}^{2} также сходится. Обратное утверждение неверно; привести примеры.

?
Задача 2569

Доказать, что если ряды ∑n=1∞an2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}^{2} и ∑n=1∞bn2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}^{2} сходятся, то сходятся также ряды

∑n=1∞∣anbn∣,∑n=1∞(an+bn)2,∑n=1∞∣an∣n. \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}b_{n}\right|, \quad \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n})^{2}, \quad \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\left|a_{n}\right|}{n}.
?
Задача 2570

Доказать, что если lim⁡n→∞nan=a≠0\displaystyle \lim_{n \to \infty }na_{n}=a \neq 0, то ряд ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} расходится.

?
Задача 2571

Доказать, что если ряд ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} с положительными и монотонно убывающими членами сходится, то lim⁡n→∞nan=0\displaystyle \lim_{n \to \infty }na_{n}=0.

?
Задача 2572

Является ли сходящимся ряд ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}, если

lim⁡n→∞(an+1+an+2+…+an+p)=0 \lim _{n \to \infty }(a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{n+p})=0

при p=1,2,3,…p=1,2,3,\ldots?

?
Задача 2573

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующего ряда:

a0+a110+…+an10n+…(∣an∣<10). a_{0}+\frac{a_{1}}{10}+\ldots +\frac{a_{n}}{10^{n}}+\ldots \quad (\left|a_{n}\right|<10).
?
Задача 2574

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующего ряда:

sin⁡x2+sin⁡2x22+…+sin⁡nx2n+…. \frac{\sin x}{2}+\frac{\sin 2x}{2^{2}}+\ldots +\frac{\sin nx}{2^{n}}+\ldots .
?
Задача 2575

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующего ряда:

cos⁡x−cos⁡2x1+cos⁡2x−cos⁡3x2+…+cos⁡nx−cos⁡(n+1)xn+…. \frac{\cos x-\cos 2x}{1}+\frac{\cos 2x-\cos 3x}{2}+\ldots +\frac{\cos nx-\cos (n+1)x}{n}+\ldots .
?
Задача 2575.1

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующего ряда:

cos⁡x12+cos⁡x222+…+cos⁡xnn2+…. \frac{\cos x}{1^{2}}+\frac{\cos x^{2}}{2^{2}}+\ldots +\frac{\cos x^{n}}{n^{2}}+\ldots .
?
Задача 2575.1

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующего ряда:

cos⁡x12+cos⁡x222+…+cos⁡xnn2+…. \frac{\cos x}{1^{2}}+\frac{\cos x^{2}}{2^{2}}+\ldots +\frac{\cos x^{n}}{n^{2}}+\ldots .
?
Задача 2576

Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость следующего ряда:

1+12+13+…+1n+…. 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n}+\ldots .
?
Задача 2577

Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость следующего ряда:

1+12−13+14+15−16+…. 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots .
?
Задача 2577.1

Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость следующего ряда:

11⋅2+12⋅3+…+1n(n+1)+…. \frac{1}{\sqrt{1\cdot 2}}+\frac{1}{\sqrt{2\cdot 3}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}+\ldots .
?
Задача 2577.1

Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость следующего ряда:

11⋅2+12⋅3+…+1n(n+1)+…. \frac{1}{\sqrt{1\cdot 2}}+\frac{1}{\sqrt{2\cdot 3}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}+\ldots .
?
Задача 2578

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

10001!+100022!+100033!+…+1000nn!+…. \frac{1000}{1!}+\frac{1000^{2}}{2!}+\frac{1000^{3}}{3!}+\ldots +\frac{1000^{n}}{n!}+\ldots .
?
Задача 2579

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

(1!)22!+(2!)24!+…+(n!)2(2n)!+…. \frac{(1!)^{2}}{2!}+\frac{(2!)^{2}}{4!}+\ldots +\frac{(n!)^{2}}{(2n)!}+\ldots .
?
Задача 2580

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

1!1+2!22+3!33+…+n!nn+…. \frac{1!}{1}+\frac{2!}{2^{2}}+\frac{3!}{3^{3}}+\ldots +\frac{n!}{n^{n}}+\ldots .
?
Задача 2581

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

?
(а)

2⋅1!1+22⋅2!22+23⋅3!33+…+2nn!nn+…\dfrac {2\cdot 1!}{1}+\dfrac {2^{2}\cdot 2!}{2^{2}}+\dfrac {2^{3}\cdot 3!}{3^{3}}+\ldots +\dfrac {2^{n}n!}{n^{n}}+\ldots;

(б)

3⋅1!1+32⋅2!22+33⋅3!33+…+3nn!nn+…\dfrac {3\cdot 1!}{1}+\dfrac {3^{2}\cdot 2!}{2^{2}}+\dfrac {3^{3}\cdot 3!}{3^{3}}+\ldots +\dfrac {3^{n}n!}{n^{n}}+\ldots.

Задача 2582

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

(1!)22+(2!)224+(3!)229+…+(n!)22n2+…. \frac{(1!)^{2}}{2}+\frac{(2!)^{2}}{2^{4}}+\frac{(3!)^{2}}{2^{9}}+\ldots +\frac{(n!)^{2}}{2^{n^{2}}}+\ldots .
?
Задача 2583

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

10001+1000⋅10011⋅3+1000⋅1001⋅10021⋅3⋅5+…. \frac{1000}{1}+\frac{1000\cdot 1001}{1\cdot 3}+\frac{1000\cdot 1001\cdot 1002}{1\cdot 3\cdot 5}+\ldots .
?
Задача 2584

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

42+4⋅72⋅6+4⋅7⋅102⋅6⋅10+…. \frac{4}{2}+\frac{4\cdot 7}{2\cdot 6}+\frac{4\cdot 7\cdot 10}{2\cdot 6\cdot 10}+\ldots .
?
Задача 2585

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

∑n=1∞(2−23)(2−25)⋯(2−22n+1). \sum _{n=1}^{\infty }\left(\sqrt{2}-\sqrt[3]{2}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt[5]{2}\right)\cdots \left(\sqrt{2}-\sqrt[2n+1]{2}\right).
?
Задача 2585.1

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}, где

an={1/n,если n=m2,1/n2,если n≠m2(m — натуральное число). a_{n}= \begin{cases} 1/n, & \text{если } n=m^{2}, \\ 1/n^{2}, & \text{если } n \neq m^{2} \end{cases} \quad (m \text{ — натуральное число}).
?
Задача 2585.1

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}, где

an={1/n,если n=m2,1/n2,если n≠m2(m — натуральное число). a_{n}= \begin{cases} 1/n, & \text{если } n=m^{2}, \\ 1/n^{2}, & \text{если } n \neq m^{2} \end{cases} \quad (m \text{ — натуральное число}).
?
Задача 2585.2

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

∑n=1∞nx∏k=1nsin⁡2kα1+x2+cos⁡2kα. \sum _{n=1}^{\infty }nx\prod _{k=1}^{n}\frac{\sin ^{2}k\alpha }{1+x^{2}+\cos ^{2}k\alpha }.
?
Задача 2585.2

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

∑n=1∞nx∏k=1nsin⁡2kα1+x2+cos⁡2kα. \sum _{n=1}^{\infty }nx\prod _{k=1}^{n}\frac{\sin ^{2}k\alpha }{1+x^{2}+\cos ^{2}k\alpha }.
?
Задача 2586

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

∑n=1∞n2(2+1n)n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^{2}}{\left(2+\dfrac {1}{n}\right)^{n}}.
?
Задача 2587

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

∑n=1∞nn+1/n(n+1n)n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^{n+1/n}}{\left(n+\dfrac {1}{n}\right)^{n}}.
?
Задача 2588

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

∑n=2∞1ln⁡nn. \sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{\sqrt[n]{\ln n}}.
?
Задача 2589

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

∑n=1∞nn−2(2n2+n+1)n+1/2. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^{n-2}}{(2n^{2}+n+1)^{n+1/2}}.
?
Задача 2589.1

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

∑n=1∞n52n+3n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^{5}}{2^{n}+3^{n}}.
?
Задача 2589.1

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

∑n=1∞n52n+3n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^{5}}{2^{n}+3^{n}}.
?
Задача 2589.2

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

∑n=2∞(n−1n+1)n(n−1). \sum _{n=2}^{\infty }\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n(n-1)}.
?
Задача 2589.2

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

∑n=2∞(n−1n+1)n(n−1). \sum _{n=2}^{\infty }\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n(n-1)}.
?
Задача 2590

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

2+2−2+2−2+2+2−2+2+2+…. \sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}+\ldots .
?
Задача 2591

Доказать, что если

lim⁡n→∞an+1an=q(an>0), \lim _{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q \quad (a_{n}>0),

то an=o(q1n)a_{n}=o(q_{1}^{n}), где q1>qq_{1}>q.

?
Задача 2591.1

Пусть для членов знакоположительного ряда ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} (an>0a_{n}>0) выполнено неравенство

an+1an⩽ρ<1 при n>n0. \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leqslant \rho <1 \text{ при } n>n_{0}.

Доказать, что для остатка ряда Rn=an+1+an+2+…R_{n}=a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots имеет место оценка

Rn⩽an0ρn−n0+11−ρ,если n⩾n0. R_{n} \leqslant a_{n_{0}}\frac{\rho ^{n-n_{0}+1}}{1-\rho }, \quad \text{если } n \geqslant n_{0}.
?
Задача 2591.1

Пусть для членов знакоположительного ряда ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} (an>0a_{n}>0) выполнено неравенство

an+1an⩽ρ<1 при n>n0. \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leqslant \rho <1 \text{ при } n>n_{0}.

Доказать, что для остатка ряда Rn=an+1+an+2+…R_{n}=a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots имеет место оценка

Rn⩽an0ρn−n0+11−ρ,если n⩾n0. R_{n} \leqslant a_{n_{0}}\frac{\rho ^{n-n_{0}+1}}{1-\rho }, \quad \text{если } n \geqslant n_{0}.
?
Задача 2591.2

Сколько членов ряда ∑n=1∞[(2n)!!]2(4n)!!\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{\left[(2n)!!\right]^{2}}{(4n)!!}, где [(2n)!!]2=2⋅4⋯2n\left[(2n)!!\right]^{2}=2\cdot 4\cdots 2n, достаточно взять, чтобы соответствующая частная сумма SnS_{n} отличалась от суммы ряда SS меньше, чем на ε=10−6\varepsilon =10^{-6}?

?
Задача 2591.2

Сколько членов ряда ∑n=1∞[(2n)!!]2(4n)!!\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{\left[(2n)!!\right]^{2}}{(4n)!!}, где [(2n)!!]2=2⋅4⋯2n\left[(2n)!!\right]^{2}=2\cdot 4\cdots 2n, достаточно взять, чтобы соответствующая частная сумма SnS_{n} отличалась от суммы ряда SS меньше, чем на ε=10−6\varepsilon =10^{-6}?

?
Задача 2592

Доказать, что если lim‾⁡n→∞an+1an=q<1\displaystyle \varlimsup_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q<1 (an>0a_{n}>0), то ряд ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} сходится.

Обратное утверждение неверно. Рассмотреть пример

12+13+122+132+123+133+…. \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+\ldots .
?
Задача 2593

Доказать, что если для ряда ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} (an>0a_{n}>0) существует

lim⁡n→∞an+1an=q,(А) \lim _{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q, \tag {А}

то существует также

lim⁡n→∞ann=q.(Б) \lim _{n \to \infty }\sqrt[n]{a_{n}}=q. \tag {Б}

Обратное утверждение неверно: если существует предел (Б), то предел (А) может и не существовать. Рассмотреть пример

∑n=1∞3+(−1)n2n+1. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{3+(-1)^{n}}{2^{n+1}}.
?
Задача 2594

Доказать, что если lim‾⁡n→∞ann=q\displaystyle \varlimsup_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_{n}}=q (an>0a_{n}>0), то:

  1. при q<1q<1 ряд ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} сходится;

  2. при q>1q>1 этот ряд расходится (обобщенный признак Коши).

?
Задача 2595

Исследовать сходимость ряда:

∑n=1∞2+(−1)n2n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{2+(-1)^{n}}{2^{n}}.
?
Задача 2596

Исследовать сходимость ряда:

∑n=1∞acos⁡2nπ/32n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{a\cos ^{2}n\pi /3}{2^{n}}.
?
Задача 2597

Исследовать сходимость ряда:

∑n=1∞n3[2+(−1)n]n3n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^{3}\left[\sqrt{2}+(-1)^{n}\right]^{n}}{3^{n}}.
?
Задача 2597.1

Исследовать сходимость ряда:

∑n=1∞(1+cos⁡n2+cos⁡n)2n−ln⁡n. \sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1+\cos n}{2+\cos n}\right)^{2n-\ln n}.
?
Задача 2597.1

Исследовать сходимость ряда:

∑n=1∞(1+cos⁡n2+cos⁡n)2n−ln⁡n. \sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1+\cos n}{2+\cos n}\right)^{2n-\ln n}.
?
Задача 2598

Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать сходимость ряда:

(12)p+(1⋅32⋅4)p+(1⋅3⋅52⋅4⋅6)p+…. \left(\frac{1}{2}\right)^{p}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^{p}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)^{p}+\ldots .
?
Задача 2599

Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать сходимость ряда:

ab+a(a+d)b(b+d)+a(a+d)(b+2d)b(b+d)(b+2d)+…(a>0, b>0, d>0). \frac{a}{b}+\frac{a(a+d)}{b(b+d)}+\frac{a(a+d)(b+2d)}{b(b+d)(b+2d)}+\ldots \quad (a>0,\ b>0,\ d>0).
?
Задача 2600

Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать сходимость ряда:

∑n=1∞n!ennn+p. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n!e^{n}}{n^{n+p}}.
?
Задача 2601

Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать сходимость ряда:

∑n=1∞n!(2+1)(2+2)⋯(2+n). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt{n!}}{(2+\sqrt{1})(2+\sqrt{2})\cdots (2+\sqrt{n})}.
?
Задача 2602

Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать сходимость ряда:

∑n=1∞n!n−pq(q+1)⋯(q+n)(q>0). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n!n^{-p}}{q(q+1)\cdots (q+n)} \quad (q>0).
?
Задача 2603

Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать сходимость ряда:

∑n=1∞p(p+1)⋯(p+n−1)n!⋅1nq. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{p(p+1)\cdots (p+n-1)}{n!}\cdot \frac{1}{n^{q}}.
?
Задача 2604

Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать сходимость ряда:

∑n=1∞[1⋅3⋅5⋯(2n−1)2⋅4⋅6⋯(2n)]p⋅1nq. \sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}\right]^{p}\cdot \frac{1}{n^{q}}.
?
Задача 2605

Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать сходимость ряда:

∑n=1∞[p(p+1)⋯(p+n−1)q(q+1)⋯(q+n−1)]α(p>0, q>0). \sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{p(p+1)\cdots (p+n-1)}{q(q+1)\cdots (q+n-1)}\right]^{\alpha } \quad (p>0,\ q>0).
?
Задача 2606

Доказать, что если для знакоположительного ряда ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} (an>0a_{n}>0) при n→∞n \to \infty выполнено условие

anan+1=1+pn+o(1n), \frac{a_{n}}{a_{n+1}}=1+\frac{p}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right),

то

an=o(1np−ε), a_{n}=o\left(\frac{1}{n^{p-\varepsilon }}\right),

где ε>0\varepsilon >0 произвольно мало; причем, если p>0p>0, то an↓0a_{n}\downarrow 0 при n→∞n \to \infty, т.е. ana_{n} при n⩾n0n \geqslant n_{0}, монотонно убывая, стремится к нулю, когда n→∞n \to \infty.

?
Задача 2607

Определив порядок убывания общего члена ana_{n}, исследовать сходимость ряда ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}, если

an=np+a1np−1+…+apnq+b1nq−1+…+bq,где nq+b1nq−1+…+bq>0. a_{n}=\frac{n^{p}+a_{1}n^{p-1}+\ldots +a_{p}}{n^{q}+b_{1}n^{q-1}+\ldots +b_{q}}, \quad \text{где } n^{q}+b_{1}n^{q-1}+\ldots +b_{q}>0.
?
Задача 2608

Определив порядок убывания общего члена ana_{n}, исследовать сходимость ряда ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}, если

an=1npsin⁡πn. a_{n}=\frac{1}{n^{p}}\sin \frac{\pi }{n}.
?
Задача 2609

Определив порядок убывания общего члена ana_{n}, исследовать сходимость ряда ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}, если

an=(n+1−n)pln⁡n−1n+1(n>1). a_{n}=\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^{p}\ln \frac{n-1}{n+1} \quad (n>1).
?
Задача 2610

Определив порядок убывания общего члена ana_{n}, исследовать сходимость ряда ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}, если

an=ln⁡p(sec⁡πn). a_{n}=\ln ^{p}\left(\sec \frac{\pi }{n}\right).
?
Задача 2611

Определив порядок убывания общего члена ana_{n}, исследовать сходимость ряда ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}, если

an=log⁡bn(1+ann)(a>0, b>0). a_{n}=\log _{b}^{n}\left(1+\frac{\sqrt[n]{a}}{n}\right) \quad (a>0,\ b>0).
?
Задача 2612

Определив порядок убывания общего члена ana_{n}, исследовать сходимость ряда ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}, если

an=[e−(1+1n)n]p. a_{n}=\left[e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]^{p}.
?
Задача 2613

Определив порядок убывания общего члена ana_{n}, исследовать сходимость ряда ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}, если

an=1n1+k/ln⁡n. a_{n}=\frac{1}{n^{1+k/\ln n}}.
?
Задача 2614

Определив порядок убывания общего члена ana_{n}, исследовать сходимость ряда ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}, если

an=1n1+1/n. a_{n}=\frac{1}{n^{1+1/n}}.
?
Задача 2614.1

Доказать признак Жамэ: знакоположительный ряд ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} (an>0a_{n}>0) сходится, если

(1−ann)nln⁡n⩾p>1при n>n0, \left(1-\sqrt[n]{a_{n}}\right)\frac{n}{\ln n} \geqslant p>1 \quad \text{при } n>n_{0},

и расходится, если

(1−ann)nln⁡n⩽1при n>n0. \left(1-\sqrt[n]{a_{n}}\right)\frac{n}{\ln n} \leqslant 1 \quad \text{при } n>n_{0}.
?
Задача 2614.1

Доказать признак Жамэ: знакоположительный ряд ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} (an>0a_{n}>0) сходится, если

(1−ann)nln⁡n⩾p>1при n>n0, \left(1-\sqrt[n]{a_{n}}\right)\frac{n}{\ln n} \geqslant p>1 \quad \text{при } n>n_{0},

и расходится, если

(1−ann)nln⁡n⩽1при n>n0. \left(1-\sqrt[n]{a_{n}}\right)\frac{n}{\ln n} \leqslant 1 \quad \text{при } n>n_{0}.
?
Задача 2615

Доказать, что ряд ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} (an>0a_{n}>0) сходится, если существует α>0\alpha >0 такое, что ln⁡1anln⁡n⩾1+α\dfrac {\ln \dfrac {1}{a_{n}}}{\ln n} \geqslant 1+\alpha при n⩾n0n \geqslant n_{0}, и расходится, если ln⁡1anln⁡n⩽1\dfrac {\ln \dfrac {1}{a_{n}}}{\ln n} \leqslant 1 при n⩾n0n \geqslant n_{0} (логарифмический признак).

?
Задача 2616

Исследовать сходимость ряда с общим членом:

an=nln⁡x(x>0). a_{n}=n^{\ln x} \quad (x>0).
?
Задача 2617

Исследовать сходимость ряда с общим членом:

an=1(ln⁡ln⁡n)ln⁡n(n>1). a_{n}=\frac{1}{(\ln \ln n)^{\ln n}} \quad (n>1).
?
Задача 2618

Исследовать сходимость ряда с общим членом:

an=1(ln⁡n)ln⁡ln⁡n(n>1). a_{n}=\frac{1}{(\ln n)^{\ln \ln n}} \quad (n>1).
?
Задача 2619

Пользуясь интегральным признаком Коши, исследовать сходимость ряда с общим членом:

an=1nln⁡pn(n>1). a_{n}=\frac{1}{n\ln ^{p}n} \quad (n>1).
?
Задача 2620

Пользуясь интегральным признаком Коши, исследовать сходимость ряда с общим членом:

an=1n(ln⁡n)p(ln⁡ln⁡n)q(n>2). a_{n}=\frac{1}{n(\ln n)^{p}(\ln \ln n)^{q}} \quad (n>2).
?
Задача 2620.1

Исследовать сходимость ряда

∑n=1∞ln⁡2⋅ln⁡3⋯ln⁡(n+1)ln⁡(2+p)⋅ln⁡(3+p)⋯ln⁡(n+1+p)(p>0). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\ln 2\cdot \ln 3\cdots \ln (n+1)}{\ln (2+p)\cdot \ln (3+p)\cdots \ln (n+1+p)} \quad (p>0).
?
Задача 2620.1

Исследовать сходимость ряда

∑n=1∞ln⁡2⋅ln⁡3⋯ln⁡(n+1)ln⁡(2+p)⋅ln⁡(3+p)⋯ln⁡(n+1+p)(p>0). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\ln 2\cdot \ln 3\cdots \ln (n+1)}{\ln (2+p)\cdot \ln (3+p)\cdots \ln (n+1+p)} \quad (p>0).
?
Задача 2620.2

Исследовать сходимость ряда ∑n=1∞ν(n)n2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {\nu (n)}{n^{2}}, где ν(n)\nu (n) — число цифр числа nn.

?
Задача 2620.2

Исследовать сходимость ряда ∑n=1∞ν(n)n2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {\nu (n)}{n^{2}}, где ν(n)\nu (n) — число цифр числа nn.

?
Задача 2620.3

Пусть λn\lambda_{n} (n=1,2,…n=1,2,\ldots) — последовательные положительные корни уравнения tg⁡x=x\tg x=x.

Исследовать сходимость ряда ∑n=1∞λn−2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\lambda_{n}^{-2}.

?
Задача 2620.3

Пусть λn\lambda_{n} (n=1,2,…n=1,2,\ldots) — последовательные положительные корни уравнения tg⁡x=x\tg x=x.

Исследовать сходимость ряда ∑n=1∞λn−2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\lambda_{n}^{-2}.

?
Задача 2621

Исследовать сходимость ряда ∑n=2∞1ln⁡(n!)\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty }\dfrac {1}{\ln (n!)}.

?
Задача 2622

Доказать, что ряд ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} с положительными монотонно убывающими членами сходится или расходится одновременно с рядом ∑n=0∞2na2n\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}.

?
Задача 2623

Пусть f(x)f(x) — положительная монотонно невозрастающая функция.

Доказать, что если ряд ∑n=1∞f(n)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }f(n) сходится, то для остатка его

Rn=∑k=n+1∞f(k) R_{n}=\sum _{k=n+1}^{\infty }f(k)

справедлива оценка

∫n+1+∞f(x) dx<Rn<f(n+1)+∫n+1+∞f(x) dx. \int _{n+1}^{+\infty }f(x)\, dx<R_{n}<f(n+1)+\int _{n+1}^{+\infty }f(x)\, dx.

Пользуясь этим, найти сумму ряда ∑n=1∞1n2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n^{2}} с точностью до 0,010{,}01.

?
Задача 2624

Доказать признак Ермакова: пусть f(x)f(x) — положительная монотонно убывающая функция и

lim⁡x→∞exf(ex)f(x)=λ. \lim _{x \to \infty }\frac{e^{x}f(e^{x})}{f(x)}=\lambda .

Ряд ∑n=1∞f(n)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }f(n) сходится, если λ<1\lambda <1, и расходится, если λ>1\lambda >1.

?
Задача 2625

Доказать признак Лобачевского: ряд ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} с положительными и монотонно стремящимися к нулю членами сходится или расходится одновременно с рядом ∑m=0∞pm2−m\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty }p_{m}2^{-m}, где pmp_{m} — наибольший номер членов ana_{n}, удовлетворяющих неравенству an⩾2−ma_{n} \geqslant 2^{-m} (n=1,2,…,pmn=1,2,\ldots ,p_{m}).

?
Задача 2626

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=2∞n+2−n−2nα. \sum _{n=2}^{\infty }\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n-2}}{n^{\alpha }}.
?
Задача 2627

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=1∞(n+a−n2+n+b4). \sum _{n=1}^{\infty }\left(\sqrt{n+a}-\sqrt[4]{n^{2}+n+b}\right).
?
Задача 2628

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=1∞(ctg⁡nπ4n−2−sin⁡nπ2n+1). \sum _{n=1}^{\infty }\left(\ctg \frac{n\pi }{4n-2}-\sin \frac{n\pi }{2n+1}\right).
?
Задача 2629

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=1∞(1n−ln⁡n+1n). \sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\sqrt{\ln \frac{n+1}{n}}\right).
?
Задача 2630

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=1∞ln⁡(n!)nα. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\ln (n!)}{n^{\alpha }}.
?
Задача 2631

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=1∞e−n3. \sum _{n=1}^{\infty }e^{-\sqrt[3]{n}}.
?
Задача 2632

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=1∞n2e−n. \sum _{n=1}^{\infty }n^{2}e^{-\sqrt{n}}.
?
Задача 2633

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=1∞(n1n2+1−1). \sum _{n=1}^{\infty }\left(n^{\frac{1}{n^{2}+1}}-1\right).
?
Задача 2634

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=1∞ealn⁡n+bcln⁡n+d. \sum _{n=1}^{\infty }e^{\frac{a\ln n+b}{c\ln n+d}}.
?
Задача 2635

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=1∞1ln⁡3(sin⁡1n). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\ln ^{3}\left(\sin \dfrac {1}{n}\right)}.
?
Задача 2636

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=1∞(cos⁡an)n3. \sum _{n=1}^{\infty }\left(\cos \frac{a}{n}\right)^{n^{3}}.
?
Задача 2637

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=3∞ln⁡(ch⁡πncos⁡πn). \sum _{n=3}^{\infty }\ln \left(\frac{\ch \dfrac {\pi }{n}}{\cos \dfrac {\pi }{n}}\right).
?
Задача 2638

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=1∞n!nn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n!}{n^{\sqrt{n}}}.
?
Задача 2639

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=2∞n! rn(ln⁡n)n. \sum _{n=2}^{\infty }\frac{n!\, r^{n}}{(\ln n)^{n}}.
?
Задача 2640

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=1∞(a1/n−b1/n+c1/n2)(a>0, b>0, c>0). \sum _{n=1}^{\infty }\left(a^{1/n}-\frac{b^{1/n}+c^{1/n}}{2}\right) \quad (a>0,\ b>0,\ c>0).
?
Задача 2641

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=1∞(nnα−1). \sum _{n=1}^{\infty }\left(n^{n^{\alpha }}-1\right).
?
Задача 2642

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=1∞[ln⁡1nα−ln⁡(sin⁡1nα)]. \sum _{n=1}^{\infty }\left[\ln \frac{1}{n^{\alpha }}-\ln \left(\sin \frac{1}{n^{\alpha }}\right)\right].
?
Задача 2643

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=1∞a−(bln⁡n+cln⁡2n)(a>0). \sum _{n=1}^{\infty }a^{-(b\ln n+c\ln ^{2}n)} \quad (a>0).
?
Задача 2644

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=1∞n2n(n+a)n+b(n+b)n+a(a>0, b>0). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^{2n}}{(n+a)^{n+b}(n+b)^{n+a}} \quad (a>0,\ b>0).
?
Задача 2645

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=1∞[(n+1)!]n2!⋅4!⋯(2n)!. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\left[(n+1)!\right]^{n}}{2!\cdot 4!\cdots (2n)!}.
?
Задача 2646

Исследовать сходимость ряда ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }u_{n} со следующим общим членом:

un=∫01/nx dx1+x2. u_{n}=\int _{0}^{1/n}\frac{\sqrt{x}\, dx}{1+x^{2}}.
?
Задача 2647

Исследовать сходимость ряда ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }u_{n} со следующим общим членом:

un=1∫0n1+x44 dx. u_{n}=\frac{1}{\displaystyle \int _{0}^{n}\sqrt[4]{1+x^{4}}\, dx}.
?
Задача 2648

Исследовать сходимость ряда ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }u_{n} со следующим общим членом:

un=∫nπ(n+1)πsin⁡2xx dx. u_{n}=\int _{n\pi }^{(n+1)\pi }\frac{\sin ^{2}x}{x}\, dx.
?
Задача 2649

Исследовать сходимость ряда ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }u_{n} со следующим общим членом:

un=∫nn+1e−x dx. u_{n}=\int _{n}^{n+1}e^{-\sqrt{x}}\, dx.
?
Задача 2650

Исследовать сходимость ряда ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }u_{n} со следующим общим членом:

un=∫0π/nsin⁡3x1+x dx. u_{n}=\int _{0}^{\pi /n}\frac{\sin ^{3}x}{1+x}\, dx.
?
Задача 2651

Исследовать сходимость ряда ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }u_{n} со следующим общим членом:

un=1!+2!+…+n!(2n)!. u_{n}=\frac{1!+2!+\ldots +n!}{(2n)!}.
?
Задача 2652

Исследовать сходимость ряда ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }u_{n} со следующим общим членом:

un=∑k=1nln⁡2knα. u_{n}=\frac{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\ln ^{2}k}{n^{\alpha }}.
?
Задача 2653

Заменив последовательность xnx_{n} (n=1,2,…n=1,2,\ldots) соответствующим рядом, исследовать сходимость ее, если:

xn=1+12+…+1n−2n. x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{n}}-2\sqrt{n}.
?
Задача 2654

Заменив последовательность xnx_{n} (n=1,2,…n=1,2,\ldots) соответствующим рядом, исследовать сходимость ее, если:

xn=∑k=1nln⁡kk−(ln⁡n)22. x_{n}=\sum _{k=1}^{n}\frac{\ln k}{k}-\frac{(\ln n)^{2}}{2}.
?
Задача 2655

Сколько примерно надо взять членов ряда, чтобы найти его сумму с точностью до 10−510^{-5}, если:

?
(а)

∑n=1∞1n2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n^{2}};

(б)

∑n=1∞2n(n+1)!\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {2^{n}}{(n+1)!};

(в)

∑n=1∞1(2n−1)!\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{(2n-1)!}?

§
5.2 · Признаки сходимости знакопеременных рядов[48/100%]
Задача 2656

Доказать, что члены не абсолютно сходящегося ряда можно без перестановки сгруппировать так, что полученный новый ряд будет абсолютно сходящимся.

?
Задача 2657

Доказать, что ряд ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} является сходящимся, если выполнены условия:

  1. общий член этого ряда ana_{n} стремится к нулю при n→∞n \to \infty;

  2. ряд ∑n=1∞An\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }A_{n}, полученный в результате группировки членов данного ряда без нарушения их порядка, сходится;

  3. число слагаемых aia_{i}, входящих в член An=∑i=pnpn+1−1aiA_{n}=\displaystyle \sum_{i=p_{n}}^{p_{n+1}-1}a_{i} (1=p1<p2<…1=p_{1}<p_{2}<\ldots), ограничено.

?
Задача 2658

Доказать, что сумма сходящегося ряда не изменится, если члены этого ряда переставить так, что ни один из них не удаляется от своего прежнего положения больше чем на mm мест, где mm — некоторое заранее заданное число.

?
Задача 2659

Доказать сходимость следующего ряда и найти его сумму:

1−32+54−78+…. 1-\frac{3}{2}+\frac{5}{4}-\frac{7}{8}+\ldots .
?
Задача 2660

Доказать сходимость следующего ряда и найти его сумму:

1+12−14+18+116−132+…. 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}+\ldots .
?
Задача 2661

Доказать сходимость следующего ряда и найти его сумму:

1−12+13−14+15−16+…. 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots .
?
Задача 2662

Зная, что ∑n=1∞(−1)n+1n=ln⁡2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln 2, найти суммы рядов, полученных из данного в результате перестановки его членов:

?
(а)

1+13−12+15+17−14+…1+\dfrac {1}{3}-\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{5}+\dfrac {1}{7}-\dfrac {1}{4}+\ldots;

(б)

1−12−14+13−16−18+…1-\dfrac {1}{2}-\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{3}-\dfrac {1}{6}-\dfrac {1}{8}+\ldots.

Задача 2663

Члены сходящегося ряда ∑n=1∞(−1)n+1n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}} переставить так, чтобы он стал расходящимся.

?
Задача 2664

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

∑n=1∞(−1)n(n−1)/22n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{2^{n}}.
?
Задача 2665

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

∑n=1∞(−1)n(2n+1003n+1)n. \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\left(\frac{2n+100}{3n+1}\right)^{n}.
?
Задача 2666

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

1+12+13−14−15−16+17+18+19−…. 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\ldots .
?
Задача 2666.1

Пусть

∑n=1∞(−1)nbn,(1) \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}b_{n}, \tag {1}

где bn>0b_{n}>0 и bn→0b_{n} \to 0 при n→∞n \to \infty. Следует ли отсюда, что ряд (1) сходится? Рассмотреть пример

∑n=1∞(−1)n2+(−1)nn. \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{2+(-1)^{n}}{n}.
?
Задача 2666.1

Пусть

∑n=1∞(−1)nbn,(1) \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}b_{n}, \tag {1}

где bn>0b_{n}>0 и bn→0b_{n} \to 0 при n→∞n \to \infty. Следует ли отсюда, что ряд (1) сходится? Рассмотреть пример

∑n=1∞(−1)n2+(−1)nn. \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{2+(-1)^{n}}{n}.
?
Задача 2667

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

∑n=1∞ln⁡100nnsin⁡nπ4. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\ln ^{100}n}{n}\sin \frac{n\pi }{4}.
?
Задача 2668

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

∑n=1∞(−1)nsin⁡2nn. \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{\sin ^{2}n}{n}.
?
Задача 2669

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

∑n=1∞(−1)nnn+100. \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{\sqrt{n}}{n+100}.
?
Задача 2670

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

∑n=2∞(−1)nn+(−1)n. \sum _{n=2}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}+(-1)^{n}}.
?
Задача 2671

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

∑n=1∞sin⁡(πn2+k2). \sum _{n=1}^{\infty }\sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+k^{2}}\right).
?
Задача 2672

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

∑n=1∞(−1)[n]n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{[\sqrt{n}]}}{n}.
?
Задача 2673

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

∑n=1∞(−1)nnn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{n}}.
?
Задача 2673.1

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

∑n=2∞1ln⁡2ncos⁡πn2n+1. \sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{\ln ^{2}n}\cos \frac{\pi n^{2}}{n+1}.
?
Задача 2673.1

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

∑n=2∞1ln⁡2ncos⁡πn2n+1. \sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{\ln ^{2}n}\cos \frac{\pi n^{2}}{n+1}.
?
Задача 2674

Доказать, что знакочередующийся ряд b1−b2+b3−b4+…+(−1)n−1bn+…b_{1}-b_{2}+b_{3}-b_{4}+\ldots +(-1)^{n-1}b_{n}+\ldots (bn>0b_{n}>0) сходится, если

bnbn+1=1+pn+o(1n), \frac{b_{n}}{b_{n+1}}=1+\frac{p}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right),

где p>0p>0 (см. задачу 2606(н): доказать, что если для знакоположительного ряда ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} (an>0a_{n}>0) при n→∞n \to \infty выполнено условие anan+1=1+pn+o(1n)\dfrac {a_{n}}{a_{n+1}}=1+\dfrac {p}{n}+o\left(\dfrac {1}{n}\right), то an=o(1np−ε)a_{n}=o\left(\dfrac {1}{n^{p-\varepsilon }}\right), где ε>0\varepsilon >0 произвольно мало; причем, если p>0p>0, то an↓0a_{n}\downarrow 0 при n→∞n \to \infty).

?
Задача 2675

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)n−1np. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n^{p}}.
?
Задача 2676

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)n−1np+1/n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n^{p+1/n}}.
?
Задача 2677

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=2∞ln⁡[1+(−1)nnp]. \sum _{n=2}^{\infty }\ln \left[1+\frac{(-1)^{n}}{n^{p}}\right].
?
Задача 2678

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)n−12nsin⁡2nxn. \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\frac{2^{n}\sin ^{2n}x}{n}.
?
Задача 2679

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)nx+n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{x+n}.
?
Задача 2680

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=2∞(−1)n[n+(−1)n]p. \sum _{n=2}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{\left[n+(-1)^{n}\right]^{p}}.
?
Задача 2681

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)n−1[n+(−1)n−1]p. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{\left[\sqrt{n}+(-1)^{n-1}\right]^{p}}.
?
Задача 2682

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞sin⁡nπ4np+sin⁡nπ4. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin \dfrac {n\pi }{4}}{n^{p}+\sin \dfrac {n\pi }{4}}.
?
Задача 2683

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)nn−1n+1⋅1n100. \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{n-1}{n+1}\cdot \frac{1}{\sqrt[100]{n}}.
?
Задача 2684

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)n(n−1)/2n1002n. \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n(n-1)/2}\frac{n^{100}}{2^{n}}.
?
Задача 2685

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)nn2n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{n^{2}\sqrt{n}}.
?
Задача 2686

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=2∞sin⁡nπ12ln⁡n. \sum _{n=2}^{\infty }\frac{\sin \dfrac {n\pi }{12}}{\ln n}.
?
Задача 2687

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)[n]np. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{[\sqrt{n}]}}{n^{p}}.
?
Задача 2688

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)[ln⁡n]n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{[\ln n]}}{n}.
?
Задача 2689

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)n−1[1⋅3⋅5⋯(2n−1)2⋅4⋅6⋯(2n)]p. \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left[\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}\right]^{p}.
?
Задача 2690

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=1∞sin⁡n⋅sin⁡n2n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin n\cdot \sin n^{2}}{n}.
?
Задача 2691

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=1∞sin⁡n2. \sum _{n=1}^{\infty }\sin n^{2}.
?
Задача 2692

Пусть

R(x)=a0xp+a1xp−1+…+apb0xq+b1xq−1+…+bq R(x)=\frac{a_{0}x^{p}+a_{1}x^{p-1}+\ldots +a_{p}}{b_{0}x^{q}+b_{1}x^{q-1}+\ldots +b_{q}}

— рациональная функция, где a0≠0a_{0} \neq 0, b0≠0b_{0} \neq 0 и ∣b0xq+b1xq−1+…+bq∣>0\left|b_{0}x^{q}+b_{1}x^{q-1}+\ldots +b_{q}\right|>0 при x>n0x>n_{0}.

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

∑n=n0∞(−1)nR(n). \sum _{n=n_{0}}^{\infty }(-1)^{n}R(n).
?
Задача 2693

Исследовать сходимость ряда:

11p−12q+13p−14q+15p−16q+…. \frac{1}{1^{p}}-\frac{1}{2^{q}}+\frac{1}{3^{p}}-\frac{1}{4^{q}}+\frac{1}{5^{p}}-\frac{1}{6^{q}}+\ldots .
?
Задача 2694

Исследовать сходимость ряда:

1+13p−12p+15p+17p−14p+…. 1+\frac{1}{3^{p}}-\frac{1}{2^{p}}+\frac{1}{5^{p}}+\frac{1}{7^{p}}-\frac{1}{4^{p}}+\ldots .
?
Задача 2695

Исследовать сходимость ряда:

1+13p−11p+15p+17p−13p+19p+111p−15p+…. 1+\frac{1}{3^{p}}-\frac{1}{1^{p}}+\frac{1}{5^{p}}+\frac{1}{7^{p}}-\frac{1}{3^{p}}+\frac{1}{9^{p}}+\frac{1}{11^{p}}-\frac{1}{5^{p}}+\ldots .
?
Задача 2696

Исследовать сходимость ряда:

1−22q+13p+14p−25q+16p+17p−28q+19p+…. 1-\frac{2}{2^{q}}+\frac{1}{3^{p}}+\frac{1}{4^{p}}-\frac{2}{5^{q}}+\frac{1}{6^{p}}+\frac{1}{7^{p}}-\frac{2}{8^{q}}+\frac{1}{9^{p}}+\ldots .
?
Задача 2697

Доказать, что ряды:

?
(а)

sin⁡x+sin⁡2x2+sin⁡3x3+…\sin x+\dfrac {\sin 2x}{2}+\dfrac {\sin 3x}{3}+\ldots;

(б)

cos⁡x+cos⁡2x2+cos⁡3x3+…\cos x+\dfrac {\cos 2x}{2}+\dfrac {\cos 3x}{3}+\ldots

не абсолютно сходятся в интервале (0,π)(0,\pi ).

Задача 2698

Для рядов

∑n=1∞cos⁡nxnp,∑n=1∞sin⁡nxnp(0<x<π) \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos nx}{n^{p}}, \quad \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n^{p}} \quad (0<x<\pi )

определить для совокупности параметров (p,x)(p,x):

?
(а)
(б)

область неабсолютной сходимости.

Задача 2698.1

Исследовать сходимость рядов:

?
(а)

∑n=2∞(−1)nnnln⁡n\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty }\frac{(-1)^{n}\sqrt[n]{n}}{\ln n};

(б)

∑n=2∞sin⁡(n+1n)ln⁡(ln⁡n)\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty }\frac{\sin \left(n+\dfrac {1}{n}\right)}{\ln (\ln n)};

(в)

∑n=10∞sin⁡nn+10sin⁡n\displaystyle \sum_{n=10}^{\infty }\frac{\sin n}{n+10\sin n}.

Задача 2698.1

Исследовать сходимость рядов:

?
(а)

∑n=2∞(−1)nnnln⁡n\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty }\frac{(-1)^{n}\sqrt[n]{n}}{\ln n};

(б)

∑n=2∞sin⁡(n+1n)ln⁡(ln⁡n)\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty }\frac{\sin \left(n+\dfrac {1}{n}\right)}{\ln (\ln n)};

(в)

∑n=10∞sin⁡nn+10sin⁡n\displaystyle \sum_{n=10}^{\infty }\frac{\sin n}{n+10\sin n}.

Задача 2699

Для ряда

∑n=1∞(−1)n−1(1+p)(2+p)⋯(n+p)n! nq \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\frac{(1+p)(2+p)\cdots (n+p)}{n!\, n^{q}}

определить:

?
(а)

область абсолютной сходимости;

(б)

область условной сходимости.

Задача 2700

Исследовать сходимость ряда

∑n=1∞(mn), \sum _{n=1}^{\infty }\binom {m}{n},

где (mn)=m(m−1)⋯(m−n+1)n!\dbinom {m}{n}=\dfrac {m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}.

?
§
5.3 · Действия над рядами[16/100%]
Задача 2701

Если ряд ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} сходится и

lim⁡n→∞bnan=1, \lim _{n \to \infty }\frac{b_{n}}{a_{n}}=1,

то можно ли утверждать, что ряд ∑n=1∞bn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }b_{n} также сходится?

Рассмотреть примеры

∑n=1∞(−1)nnи∑n=1∞[(−1)nn+1n]. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} \quad \text{и} \quad \sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\right].
?
Задача 2702

Пусть ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} — не абсолютно сходящийся ряд и

Pn=∑i=1n∣ai∣+ai2,Nn=∑i=1n∣ai∣−ai2. P_{n}=\sum _{i=1}^{n}\frac{\left|a_{i}\right|+a_{i}}{2}, \quad N_{n}=\sum _{i=1}^{n}\frac{\left|a_{i}\right|-a_{i}}{2}.

Доказать, что

lim⁡n→∞NnPn=1. \lim _{n \to \infty }\frac{N_{n}}{P_{n}}=1.
?
Задача 2703

Доказать, что сумма ряда ∑n=1∞(−1)n+1np\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {(-1)^{n+1}}{n^{p}} для каждого p>0p>0 лежит между 12\dfrac {1}{2} и 11.

?
Задача 2703.1

Сколько членов ряда следует взять, чтобы получить его сумму с точностью до ε=10−6\varepsilon =10^{-6}, если:

?
(а)

∑n=1∞(−1)n+1n2+1\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n^{2}+1}};

(б)

∑n=1∞sin⁡n9n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sin n^{9}}{\sqrt{n}}.

Задача 2703.1

Сколько членов ряда следует взять, чтобы получить его сумму с точностью до ε=10−6\varepsilon =10^{-6}, если:

?
(а)

∑n=1∞(−1)n+1n2+1\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n^{2}+1}};

(б)

∑n=1∞sin⁡n9n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sin n^{9}}{\sqrt{n}}.

Задача 2704

Доказать, что если члены ряда

1−12+13−14+15−… 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\ldots

переставить так, чтобы группу pp последовательных положительных членов сменяла группа qq последовательных отрицательных членов, то сумма нового ряда будет

ln⁡2+12ln⁡pq. \ln 2+\frac{1}{2}\ln \frac{p}{q}.
?
Задача 2705

Доказать, что гармонический ряд

1+12+13+14+… 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots

останется расходящимся, если, не переставляя его членов, изменить знаки их так, чтобы за pp положительными членами следовало бы qq отрицательных (p≠qp \neq q). Сходимость будет иметь место лишь при p=qp=q.

?
Задача 2706

Что можно сказать о сумме двух рядов, из которых:

?
(а)

один ряд сходится, а другой расходится;

(б)

оба ряда расходятся?

Задача 2707

Найти сумму двух рядов:

∑n=1∞[13n+(−1)nn3]+∑n=1∞[13n+1+(−1)n+1n3]. \sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{1}{3^{n}}+\frac{(-1)^{n}}{n^{3}}\right]+\sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{1}{3^{n+1}}+\frac{(-1)^{n+1}}{n^{3}}\right].
?
Задача 2708

Найти сумму следующего ряда:

∑n=1∞[12n+(−1)n3n]. \sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{1}{2^{n}}+\frac{(-1)^{n}}{3^{n}}\right].
?
Задача 2709

Найти сумму следующего ряда:

∑n=1∞cos⁡2nπ32n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos \dfrac {2n\pi }{3}}{2^{n}}.
?
Задача 2710

Найти сумму следующего ряда:

∑n=0∞x[n/2]y[(n+1)/2](∣xy∣<1). \sum _{n=0}^{\infty }x^{[n/2]}y^{[(n+1)/2]} \quad (\left|xy\right|<1).
?
Задача 2711

Показать, что ∑n=0∞1n!⋅∑n=0∞(−1)nn!=1\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}\cdot \sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{n!}=1.

?
Задача 2712

Показать, что (∑n=0∞qn)2=∑n=0∞(n+1)qn\displaystyle \left(\sum_{n=0}^{\infty }q^{n}\right)^{2}=\sum_{n=0}^{\infty }(n+1)q^{n} (∣q∣<1\left|q\right|<1).

?
Задача 2713

Показать, что квадрат сходящегося ряда

∑n=1∞(−1)n+1n \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}

есть ряд расходящийся.

?
Задача 2714

Доказать, что произведение двух сходящихся рядов

∑n=1∞(−1)n−1nα(α>0)и∑n=1∞(−1)n−1nβ(β>0) \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n^{\alpha }} \quad (\alpha >0) \quad \text{и} \quad \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n^{\beta }} \quad (\beta >0)

есть ряд сходящийся, если α+β>1\alpha +\beta >1, и расходящийся, если α+β<1\alpha +\beta <1.

?
Задача 2715

Проверить, что произведение двух расходящихся рядов

1−∑n=1∞(32)nи1+∑n=1∞(32)n−1(2n+12n+1) 1-\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{3}{2}\right)^{n} \quad \text{и} \quad 1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}\left(2^{n}+\frac{1}{2^{n+1}}\right)

есть абсолютно сходящийся ряд.

?
§
5.4 · Функциональные ряды[99/98%]
Задача 2716

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞nxn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{x^{n}}.
?
Задача 2717

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞(−1)n2n−1(1−x1+x)n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{2n-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{n}.
?
Задача 2718

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞nn+1(x2x+1)n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{n+1}\left(\frac{x}{2x+1}\right)^{n}.
?
Задача 2719

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞1⋅3⋯(2n−1)2⋅4⋯(2n)(2x1+x2)n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1\cdot 3\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdots (2n)}\left(\frac{2x}{1+x^{2}}\right)^{n}.
?
Задача 2720

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞n⋅32n2nxn(1−x)n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n\cdot 3^{2n}}{2n}x^{n}(1-x)^{n}.
?
Задача 2721

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞2nsin⁡nxn2. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{2^{n}\sin ^{n}x}{n^{2}}.
?
Задача 2722

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞(−1)n(x+n)p. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{(x+n)^{p}}.
?
Задача 2723

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞npsin⁡nx1+nq(q>0; 0<x<π). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^{p}\sin nx}{1+n^{q}} \quad (q>0;\ 0<x<\pi ).
?
Задача 2724

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда (ряд Ламберта):

∑n=1∞xn1−xn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{1-x^{n}}.
?
Задача 2725

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞[x(x+n)n]n. \sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{x(x+n)}{n}\right]^{n}.
?
Задача 2726

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞xn1+x2n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{1+x^{2n}}.
?
Задача 2727

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞xn(1+x)(1+x2)⋯(1+xn). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{(1+x)(1+x^{2})\cdots (1+x^{n})}.
?
Задача 2728

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞ne−nx. \sum _{n=1}^{\infty }ne^{-nx}.
?
Задача 2729

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞1n!n⋅11+a2nx2. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}\cdot \frac{1}{1+a^{2n}x^{2}}.
?
Задача 2730

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞(2−x)(2−x1/2)(2−x1/3)⋯(2−x1/n)(x>0). \sum _{n=1}^{\infty }(2-x)\left(2-x^{1/2}\right)\left(2-x^{1/3}\right)\cdots \left(2-x^{1/n}\right) \quad (x>0).
?
Задача 2731

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞(n+x)nnn+x. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(n+x)^{n}}{n^{n+x}}.
?
Задача 2732

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞xnynxn+yn(x>0; y>0). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}y^{n}}{x^{n}+y^{n}} \quad (x>0;\ y>0).
?
Задача 2733

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞xnn+yn(y⩾0). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n+y^{n}} \quad (y \geqslant 0).
?
Задача 2734

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞∣x∣n2+∣y∣n2n. \sum _{n=1}^{\infty }\sqrt[n]{\left|x\right|^{n^{2}}+\left|y\right|^{n^{2}}}.
?
Задача 2735

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞ln⁡(1+xn)ny(x⩾0). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\ln (1+x^{n})}{n^{y}} \quad (x \geqslant 0).
?
Задача 2736

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞tg⁡n(x+yn). \sum _{n=1}^{\infty }\tg ^{n}\left(x+\frac{y}{n}\right).
?
Задача 2737

Доказать, что если ряд Лорана ∑n=−∞+∞anxn\displaystyle \sum_{n=-\infty }^{+\infty }a_{n}x^{n} сходится при x=x1x=x_{1} и при x=x2x=x_{2} (∣x1∣<∣x2∣\left|x_{1}\right|<\left|x_{2}\right|), то этот ряд сходится также при ∣x1∣<∣x∣<∣x2∣\left|x_{1}\right|<\left|x\right|<\left|x_{2}\right|.

?
Задача 2738

Определить область сходимости ряда Лорана

∑n=−∞+∞n2∣n∣xn \sum _{n=-\infty }^{+\infty }\frac{n}{2^{\left|n\right|}}x^{n}

и найти его сумму.

?
Задача 2739

Определить области сходимости (абсолютной и условной) рядов Ньютона:

?
(а)

∑n=1∞x[n]n!\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {x^{[n]}}{n!};

(б)

∑n=1∞1np⋅x[n]n!\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n^{p}}\cdot \dfrac {x^{[n]}}{n!};

(в)

∑n=1∞(ex)ny[n]nn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {(ex)^{n}y^{[n]}}{n^{n}},

где x[n]=x(x−1)⋯[x−(n−1)]x^{[n]}=x(x-1)\cdots \left[x-(n-1)\right].

Задача 2740

Доказать, что если ряд Дирихле ∑n=1∞annx\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {a_{n}}{n^{x}} сходится при x=x0x=x_{0}, то этот ряд сходится также при x>x0x>x_{0}.

?
Задача 2741

Доказать, что для равномерной сходимости на множестве XX последовательности fn(x)f_{n}(x) (n=1,2,…n=1,2,\ldots) к предельной функции f(x)f(x) необходимо и достаточно, чтобы

lim⁡n→∞{sup⁡x∈Xrn(x)}=0, \lim _{n \to \infty }\left\{ \sup _{x \in X}r_{n}(x)\right\} =0,

где rn(x)=∣f(x)−fn(x)∣r_{n}(x)=\left|f(x)-f_{n}(x)\right|.

?
Задача 2742

Что значит, что последовательность fn(x)f_{n}(x) (n=1,2,…n=1,2,\ldots):

?
(а)

сходится на интервале (x0,+∞)(x_{0},+\infty );

(б)

сходится равномерно на каждом конечном интервале (a,b)⊂(x0,+∞)(a,b) \subset (x_{0},+\infty );

(в)

сходится равномерно на интервале (x0,+∞)(x_{0},+\infty )?

Задача 2743

Для последовательности

fn(x)=xn(n=1,2,…)(0<x<1) f_{n}(x)=x^{n} \quad (n=1,2,\ldots ) \quad (0<x<1)

определить наименьший номер члена N=N(ε,x)N=N(\varepsilon ,x), начиная с которого отклонение членов последовательности в данной точке xx от предельной функции не превышает 0,0010{,}001, если x=110,110,…,110m,…x=\dfrac {1}{10},\dfrac {1}{\sqrt{10}},\ldots ,\dfrac {1}{\sqrt[m]{10}},\ldots

Сходится ли эта последовательность равномерно на интервале (0,1)(0,1)?

?
Задача 2744

Сколько членов ряда ∑n=1∞sin⁡nxn(n+1)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {\sin nx}{n(n+1)} следует взять, чтобы частная сумма Sn(x)S_{n}(x) отличалась при −∞<x<+∞-\infty <x<+\infty от суммы ряда меньше чем на ε\varepsilon? Произвести численный расчет при:

?
(а)

ε=0,1\varepsilon =0{,}1;

(б)

ε=0,01\varepsilon =0{,}01;

(в)

ε=0,001\varepsilon =0{,}001.

Задача 2745

При каких nn будет обеспечено выполнение неравенства

∣ex−∑i=0nxii!∣<0,001(0⩽x⩽10)? \left|e^{x}-\sum _{i=0}^{n}\frac{x^{i}}{i!}\right|<0{,}001 \quad (0 \leqslant x \leqslant 10)?
?
Задача 2746

Исследовать последовательность fn(x)=xnf_{n}(x)=x^{n} на равномерную сходимость в указанных промежутках:

?
(а)

0⩽x⩽120 \leqslant x \leqslant \dfrac {1}{2};

(б)

0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1.

Задача 2747

Исследовать последовательность fn(x)=xn−xn+1f_{n}(x)=x^{n}-x^{n+1} на равномерную сходимость на сегменте 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1.

?
Задача 2748

Исследовать последовательность fn(x)=xn−x2nf_{n}(x)=x^{n}-x^{2n} на равномерную сходимость на сегменте 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1.

?
Задача 2749

Исследовать последовательность fn(x)=1x+nf_{n}(x)=\dfrac {1}{x+n} на равномерную сходимость на промежутке 0<x<+∞0<x<+\infty.

?
Задача 2750

Исследовать последовательность fn(x)=nx1+n+xf_{n}(x)=\dfrac {nx}{1+n+x} на равномерную сходимость на сегменте 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1.

?
Задача 2751

Исследовать последовательность fn(x)=xn1+xnf_{n}(x)=\dfrac {x^{n}}{1+x^{n}} на равномерную сходимость в указанных промежутках, где ε>0\varepsilon >0:

?
(а)

0⩽x⩽1−ε0 \leqslant x \leqslant 1-\varepsilon;

(б)

1−ε⩽x⩽1+ε1-\varepsilon \leqslant x \leqslant 1+\varepsilon;

(в)

1+ε⩽x<+∞1+\varepsilon \leqslant x<+\infty.

Задача 2752

Исследовать последовательность fn(x)=2nx1+n2x2f_{n}(x)=\dfrac {2nx}{1+n^{2}x^{2}} на равномерную сходимость в указанных промежутках:

?
(а)

0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1;

(б)

1<x<+∞1<x<+\infty.

Задача 2753

Исследовать последовательность fn(x)=x2+1n2f_{n}(x)=\sqrt{x^{2}+\dfrac {1}{n^{2}}} на равномерную сходимость на промежутке −∞<x<+∞-\infty <x<+\infty.

?
Задача 2754

Исследовать последовательность fn(x)=n(x+1n−x)f_{n}(x)=n\left(\sqrt{x+\dfrac {1}{n}}-\sqrt{x}\right) на равномерную сходимость на промежутке 0<x<+∞0<x<+\infty.

?
Задача 2755

Исследовать последовательности на равномерную сходимость на промежутке −∞<x<+∞-\infty <x<+\infty:

?
(а)

fn(x)=sin⁡nxnf_{n}(x)=\dfrac {\sin nx}{n};

(б)

fn(x)=sin⁡xnf_{n}(x)=\sin \dfrac {x}{n}.

Задача 2756

Исследовать последовательности на равномерную сходимость на промежутке 0<x<+∞0<x<+\infty:

?
(а)

fn(x)=arctg⁡nxf_{n}(x)=\arctg nx;

(б)

fn(x)=xarctg⁡nxf_{n}(x)=x\arctg nx.

Задача 2757

Исследовать последовательность fn(x)=en(x−1)f_{n}(x)=e^{n(x-1)} на равномерную сходимость на промежутке 0<x<10<x<1.

?
Задача 2758

Исследовать последовательность fn(x)=e−(x−n)2f_{n}(x)=e^{-(x-n)^{2}} на равномерную сходимость в указанных промежутках:

?
(а)

−l<x<l-l<x<l, где ll — любое положительное число;

(б)

−∞<x<+∞-\infty <x<+\infty.

Задача 2759

Исследовать последовательность fn(x)=xnln⁡xnf_{n}(x)=\dfrac {x}{n}\ln \dfrac {x}{n} на равномерную сходимость на промежутке 0<x<10<x<1.

?
Задача 2760

Исследовать последовательность fn(x)=(1+xn)nf_{n}(x)=\left(1+\dfrac {x}{n}\right)^{n} на равномерную сходимость в указанных промежутках:

?
(а)

на конечном интервале (a,b)(a,b);

(б)

на интервале (−∞,+∞)(-\infty ,+\infty ).

Задача 2761

Исследовать последовательность fn(x)=n(x1/n−1)f_{n}(x)=n(x^{1/n}-1) на равномерную сходимость на сегменте 1⩽x⩽a1 \leqslant x \leqslant a.

?
Задача 2762

Исследовать последовательность fn(x)=1+xnnf_{n}(x)=\sqrt[n]{1+x^{n}} на равномерную сходимость на сегменте 0⩽x⩽20 \leqslant x \leqslant 2.

?
Задача 2763

Исследовать последовательность

fn(x)={n2x,если 0⩽x⩽1n;n2(2n−x),если 1n<x<2n;0,если x⩾2n f_{n}(x)= \begin{cases} n^{2}x, & \text{если } 0 \leqslant x \leqslant \dfrac {1}{n}; \\ n^{2}\left(\dfrac {2}{n}-x\right), & \text{если } \dfrac {1}{n}<x<\dfrac {2}{n}; \\ 0, & \text{если } x \geqslant \dfrac {2}{n} \end{cases}

на равномерную сходимость на сегменте 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1.

?
Задача 2764

Пусть f(x)f(x) — произвольная функция, определенная на сегменте [a,b][a,b], и fn(x)=[nf(x)]nf_{n}(x)=\dfrac {[nf(x)]}{n} (n=1,2,…n=1,2,\ldots).

Доказать, что fn(x)⇉f(x)f_{n}(x) \rightrightarrows f(x) (a⩽x⩽ba \leqslant x \leqslant b) при n→∞n \to \infty.

?
Задача 2765

Пусть функция f(x)f(x) имеет непрерывную производную f′(x)f'(x) в интервале (a,b)(a,b) и

fn(x)=n[f(x+1n)−f(x)]. f_{n}(x)=n\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right].

Доказать, что fn(x)⇉f′(x)f_{n}(x) \rightrightarrows f'(x) на сегменте α⩽x⩽β\alpha \leqslant x \leqslant \beta, где a<α<β<ba<\alpha <\beta <b.

?
Задача 2766

Пусть fn(x)=∑i=0n−11nf(x+in)f_{n}(x)=\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{n}f\left(x+\frac{i}{n}\right), где f(x)f(x) — непрерывная на (−∞,+∞)(-\infty ,+\infty ) функция. Доказать, что последовательность fn(x)f_{n}(x) сходится равномерно на любом конечном сегменте [a,b][a,b].

?
Задача 2767

Исследовать характер сходимости следующего ряда ∑n=0∞xn\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }x^{n}:

?
(а)

на интервале ∣x∣<q\left|x\right|<q, где q<1q<1;

(б)

на интервале ∣x∣<1\left|x\right|<1.

Задача 2768

Исследовать характер сходимости следующего ряда:

∑n=1∞xnn2 на сегменте −1⩽x⩽1. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n^{2}} \text{ на сегменте } -1 \leqslant x \leqslant 1.
?
Задача 2768.1

Исследовать характер сходимости следующего ряда:

∑n=0∞xnn! на интервале (0,+∞). \sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!} \text{ на интервале } (0,+\infty ).
?
Задача 2768.1

Исследовать характер сходимости следующего ряда:

∑n=0∞xnn! на интервале (0,+∞). \sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!} \text{ на интервале } (0,+\infty ).
?
Задача 2769

Исследовать характер сходимости следующего ряда:

∑n=0∞(1−x)xn на сегменте 0⩽x⩽1. \sum _{n=0}^{\infty }(1-x)x^{n} \text{ на сегменте } 0 \leqslant x \leqslant 1.
?
Задача 2770

Исследовать характер сходимости следующего ряда:

∑n=1∞(xnn−xn+1n+1);−1⩽x⩽1. \sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{x^{n}}{n}-\frac{x^{n+1}}{n+1}\right); \quad -1 \leqslant x \leqslant 1.
?
Задача 2771

Исследовать характер сходимости следующего ряда:

∑n=1∞x[(n−1)x+1](nx+1);0<x<+∞. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x}{\left[(n-1)x+1\right](nx+1)}; \quad 0<x<+\infty .
?
Задача 2772

Исследовать характер сходимости следующего ряда:

∑n=1∞1(x+n)(x+n+1);0<x<+∞. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(x+n)(x+n+1)}; \quad 0<x<+\infty .
?
Задача 2773

Исследовать характер сходимости ряда

∑n=1∞nx(1+x)(1+2x)⋯(1+nx) \sum _{n=1}^{\infty }\frac{nx}{(1+x)(1+2x)\cdots (1+nx)}

в промежутках:

?
(а)

0⩽x⩽ε0 \leqslant x \leqslant \varepsilon, где ε>0\varepsilon >0;

(б)

ε⩽x<+∞\varepsilon \leqslant x<+\infty.

Задача 2774

Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость в указанных промежутках следующих функциональных рядов:

?
(а)

∑n=1∞1x2+n2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{x^{2}+n^{2}}, −∞<x<+∞-\infty <x<+\infty;

(б)

∑n=1∞(−1)nx+2n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {(-1)^{n}}{x+2^{n}}, −2<x<+∞-2<x<+\infty;

(в)

∑n=1∞x1+n4x2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {x}{1+n^{4}x^{2}}, 0⩽x<+∞0 \leqslant x<+\infty;

(г)

∑n=1∞nx1+n5x2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {nx}{1+n^{5}x^{2}}, ∣x∣<+∞\left|x\right|<+\infty;

(д)

∑n=1∞n2n!(xn+x−n)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {n^{2}}{\sqrt{n!}}(x^{n}+x^{-n}), 12⩽∣x∣⩽2\dfrac {1}{2} \leqslant \left|x\right| \leqslant 2;

(е)

∑n=1∞xn[n2]!\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {x^{n}}{\left[\dfrac {n}{2}\right]!}, ∣x∣<a\left|x\right|<a, где aa — произвольное положительное число;

(ж)

∑n=1∞sin⁡nxn4+x43\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {\sin nx}{\sqrt[3]{n^{4}+x^{4}}}, ∣x∣<+∞\left|x\right|<+\infty;

(з)

∑n=1∞cos⁡nxn2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {\cos nx}{n^{2}}, ∣x∣<+∞\left|x\right|<+\infty;

(и)

∑n=1∞sin⁡nxnn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {\sin nx}{n\sqrt{n}}, ∣x∣<+∞\left|x\right|<+\infty;

(к)

∑n=2∞ln⁡(1+x2nln⁡2n)\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty }\ln \left(1+\dfrac {x^{2}}{n\ln^{2}n}\right), ∣x∣<a\left|x\right|<a;

(л)

∑n=1∞x2e−nx\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }x^{2}e^{-nx}, 0⩽x<+∞0 \leqslant x<+\infty;

(м)

∑n=1∞arctg⁡2xx2+n3\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\arctg \dfrac {2x}{x^{2}+n^{3}}, ∣x∣<+∞\left|x\right|<+\infty.

Задача 2775

Исследовать на равномерную сходимость в указанных промежутках следующий функциональный ряд ∑n=1∞sin⁡nxn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {\sin nx}{n}:

?
(а)

на сегменте ε⩽x⩽2π−ε\varepsilon \leqslant x \leqslant 2\pi -\varepsilon, где ε>0\varepsilon >0;

(б)

на сегменте 0⩽x⩽2π0 \leqslant x \leqslant 2\pi.

Задача 2776

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке следующий функциональный ряд:

∑n=1∞2nsin⁡13nx;0<x<+∞. \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\sin \frac{1}{3^{n}x}; \quad 0<x<+\infty .
?
Задача 2777

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке следующий функциональный ряд:

∑n=1∞(−1)nx+n;0<x<+∞. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{x+n}; \quad 0<x<+\infty .
?
Задача 2778

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке следующий функциональный ряд:

∑n=2∞(−1)nn+sin⁡x;0⩽x⩽2π. \sum _{n=2}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{n+\sin x}; \quad 0 \leqslant x \leqslant 2\pi .
?
Задача 2779

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке следующий функциональный ряд:

∑n=1∞(−1)n(n−1)/2n3+ex3;∣x∣⩽10. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{\sqrt[3]{n^{3}+e^{x}}}; \quad \left|x\right| \leqslant 10.
?
Задача 2780

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке следующий функциональный ряд:

∑n=1∞cos⁡2nπ3n2+x2;−∞<x<+∞. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos \dfrac {2n\pi }{3}}{\sqrt{n^{2}+x^{2}}}; \quad -\infty <x<+\infty .
?
Задача 2781

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке следующий функциональный ряд:

∑n=1∞sin⁡xsin⁡nxn+x;0⩽x<+∞. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin x\sin nx}{\sqrt{n+x}}; \quad 0 \leqslant x<+\infty .
?
Задача 2782

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке следующий функциональный ряд:

∑n=1∞(−1)[n]n(n+x);0⩽x<+∞. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{[\sqrt{n}]}}{\sqrt{n(n+x)}}; \quad 0 \leqslant x<+\infty .
?
Задача 2783

Может ли последовательность разрывных функций сходиться равномерно к непрерывной функции? Рассмотреть пример

fn(x)=1nψ(x)(n=1,2,…), f_{n}(x)=\frac{1}{n}\psi (x) \quad (n=1,2,\ldots ),

где

ψ(x)={0,если x иррационально;1,если x рационально. \psi (x)= \begin{cases} 0, & \text{если } x \text{ иррационально}; \\ 1, & \text{если } x \text{ рационально}. \end{cases}
?
Задача 2784

Доказать, что если ряд ∑n=1∞∣fn(x)∣\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\left|f_{n}(x)\right| сходится равномерно на [a,b][a,b], то ряд ∑n=1∞fn(x)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }f_{n}(x) также сходится равномерно на [a,b][a,b].

?
Задача 2785

Если ряд ∑n=1∞fn(x)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }f_{n}(x) сходится абсолютно и равномерно на [a,b][a,b], то обязательно ли ряд ∑n=1∞∣fn(x)∣\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\left|f_{n}(x)\right| сходится равномерно на [a,b][a,b]?

Рассмотреть пример ∑n=0∞(−1)n(1−x)xn\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(1-x)x^{n}, где 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1.

?
Задача 2786

Доказать, что абсолютно и равномерно сходящийся ряд

∑n=1∞fn(x)(0⩽x⩽1), \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x) \quad (0 \leqslant x \leqslant 1),

где

fn(x)={0,если 0⩽x⩽2−(n+1);1nsin⁡2(2n+1πx),если 2−(n+1)<x<2−n;0,если 2−n⩽x⩽1, f_{n}(x)= \begin{cases} 0, & \text{если } 0 \leqslant x \leqslant 2^{-(n+1)}; \\ \dfrac {1}{n}\sin ^{2}\left(2^{n+1}\pi x\right), & \text{если } 2^{-(n+1)}<x<2^{-n}; \\ 0, & \text{если } 2^{-n} \leqslant x \leqslant 1, \end{cases}

нельзя мажорировать сходящимся числовым рядом с неотрицательными членами.

?
Задача 2787

Доказать, что если ряд ∑n=1∞φn(x)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\varphi_{n}(x), члены которого суть монотонные функции на сегменте [a,b][a,b], сходится абсолютно в концевых точках этого сегмента, то данный ряд сходится абсолютно и равномерно на сегменте [a,b][a,b].

?
Задача 2788

Доказать, что степенной ряд ∑n=0∞anxn\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n} сходится абсолютно и равномерно на любом сегменте, целиком лежащем внутри его интервала сходимости.

?
Задача 2789

Пусть an→∞a_{n} \to \infty так, что ряд ∑n=1∞∣1an∣\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\left|\dfrac {1}{a_{n}}\right| сходится.

Доказать, что ряд ∑n=1∞1x−an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{x-a_{n}} сходится абсолютно и равномерно на любом ограниченном замкнутом множестве, не содержащем точек ana_{n} (n=1,2,…n=1,2,\ldots).

?
Задача 2790

Доказать, что если ряд ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} сходится, то ряд Дирихле ∑n=1∞annx\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {a_{n}}{n^{x}} сходится равномерно при x⩾0x \geqslant 0.

?
Задача 2791

Пусть ряд ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} сходится. Доказать, что ряд ∑n=1∞ane−nx\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-nx} сходится равномерно в области x⩾0x \geqslant 0.

?
Задача 2792

Показать, что функция f(x)=∑n=1∞sin⁡nxn3f(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {\sin nx}{n^{3}} непрерывна и имеет непрерывную производную в области −∞<x<+∞-\infty <x<+\infty.

?
Задача 2793

Показать, что функция

f(x)=∑n=−∞+∞1(n−x)2 f(x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\frac{1}{(n-x)^{2}}
?
(а)

определена и непрерывна во всех точках, за исключением целочисленных: x=0,±1,±2,…x=0,\pm 1,\pm 2,\ldots;

(б)

периодическая с периодом, равным 11.

Задача 2794

Показать, что ряд ∑n=1∞[nxe−nx−(n−1)xe−(n−1)x]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\left[nxe^{-nx}-(n-1)xe^{-(n-1)x}\right] сходится неравномерно на сегменте 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1, однако его сумма есть функция, непрерывная на этом сегменте.

?
Задача 2795

Определить области существования функций f(x)f(x) и исследовать их на непрерывность, если:

?
(а)

f(x)=∑n=1∞(x+1n)nf(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\left(x+\dfrac {1}{n}\right)^{n};

(б)

f(x)=∑n=1∞x+n(−1)nx2+n2f(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {x+n(-1)^{n}}{x^{2}+n^{2}};

(в)

f(x)=∑n=1∞x(1+x2)nf(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {x}{(1+x^{2})^{n}}.

Задача 2796

Пусть rkr_{k} (k=1,2,…k=1,2,\ldots) — рациональные числа сегмента [0,1][0,1]. Показать, что функция

f(x)=∑k=1∞∣x−rk∣3k(0⩽x⩽1) f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\left|x-r_{k}\right|}{3^{k}} \quad (0 \leqslant x \leqslant 1)

обладает следующими свойствами: 1) непрерывна; 2) дифференцируема в иррациональных точках и недифференцируема в рациональных.

?
Задача 2797

Доказать, что дзета-функция Римана

ζ(x)=∑n=1∞1nx \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{x}}

непрерывна в области x>1x>1 и имеет в этой области непрерывные производные всех порядков.

?
Задача 2798

Доказать, что тэта-функция

θ(x)=∑n=−∞+∞e−πn2x \theta (x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }e^{-\pi n^{2}x}

определена и бесконечно дифференцируема при x>0x>0.

?
Задача 2799

Определить область существования функции f(x)f(x) и исследовать ее на дифференцируемость, если:

?
(а)

f(x)=∑n=1∞(−1)nxn+xf(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {(-1)^{n}x}{n+x};

(б)

f(x)=∑n=1∞∣x∣n2+x2f(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {\left|x\right|}{n^{2}+x^{2}}.

Задача 2800

Показать, что последовательность

fn(x)=1narctg⁡xn(n=1,2,…) f_{n}(x)=\frac{1}{n}\arctg x^{n} \quad (n=1,2,\ldots )

сходится равномерно на интервале (−∞,+∞)(-\infty ,+\infty ), но

[lim⁡n→∞fn(x)]x=1′≠lim⁡n→∞fn′(1). \left[\lim _{n \to \infty }f_{n}(x)\right]'_{x=1} \neq \lim _{n \to \infty }f_{n}'(1).
?
Задача 2801

Показать, что последовательность

fn(x)=x2+1nsin⁡n(x+π2) f_{n}(x)=x^{2}+\frac{1}{n}\sin n\left(x+\frac{\pi }{2}\right)

сходится равномерно на интервале (−∞,+∞)(-\infty ,+\infty ), но

[lim⁡n→∞fn(x)]′≠lim⁡n→∞fn′(x). \left[\lim _{n \to \infty }f_{n}(x)\right]' \neq \lim _{n \to \infty }f_{n}'(x).
?
Задача 2802

При каких значениях параметра α\alpha для последовательности

fn(x)=nαxe−nx(1) f_{n}(x)=n^{\alpha }xe^{-nx} \tag {1}

(n=1,2,…n=1,2,\ldots):

?
(а)

она сходится на сегменте [0,1][0,1];

(б)

последовательность (1) сходится равномерно на [0,1][0,1];

(в)

возможен предельный переход под знаком интеграла

lim⁡n→∞∫01fn(x) dx? \lim _{n \to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)\, dx?
Задача 2803

Показать, что последовательность fn(x)=nxe−nx2f_{n}(x)=nxe^{-nx^{2}} (n=1,2,…n=1,2,\ldots) сходится на сегменте [0,1][0,1], но

∫01[lim⁡n→∞fn(x)] dx≠lim⁡n→∞∫01fn(x) dx. \int _{0}^{1}\left[\lim _{n \to \infty }f_{n}(x)\right]\, dx \neq \lim _{n \to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)\, dx.
?
Задача 2804

Показать, что последовательность fn(x)=nx(1−x)nf_{n}(x)=nx(1-x)^{n} (n=1,2,…n=1,2,\ldots) сходится неравномерно на сегменте [0,1][0,1], однако

lim⁡n→∞∫01fn(x) dx=∫01lim⁡n→∞fn(x) dx. \lim _{n \to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)\, dx=\int _{0}^{1}\lim _{n \to \infty }f_{n}(x)\, dx.
?
Задача 2805

Законен ли переход к пределу под знаком интеграла в выражении

lim⁡n→∞∫01nx1+n2x4 dx? \lim _{n \to \infty }\int _{0}^{1}\frac{nx}{1+n^{2}x^{4}}\, dx?
?
Задача 2806

Найти:

lim⁡x→1−0∑n=1∞(−1)n+1n⋅xnxn+1. \lim _{x \to 1-0}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot \frac{x^{n}}{x^{n}+1}.
?
Задача 2807

Найти:

lim⁡x→1−0∑n=1∞(xn−xn+1). \lim _{x \to 1-0}\sum _{n=1}^{\infty }(x^{n}-x^{n+1}).
?
Задача 2808

Найти:

lim⁡x→+0∑n=1∞12nnx. \lim _{x \to +0}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^{n}n^{x}}.
?
Задача 2808.1

Найти:

lim⁡x→∞∑n=1∞x21+n2x2. \lim _{x \to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{2}}{1+n^{2}x^{2}}.
?
Задача 2808.1

Найти:

lim⁡x→∞∑n=1∞x21+n2x2. \lim _{x \to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{2}}{1+n^{2}x^{2}}.
?
Задача 2809

Законно ли почленное дифференцирование ряда

∑n=1∞arctg⁡xn2? \sum _{n=1}^{\infty }\arctg \frac{x}{n^{2}}?
?
Задача 2810

Законно ли почленное интегрирование ряда

∑n=1∞(x12n+1−x12n−1) \sum _{n=1}^{\infty }\left(x^{\frac{1}{2n+1}}-x^{\frac{1}{2n-1}}\right)

на сегменте [0,1][0,1]?

?
Задача 2811

Пусть f(x)f(x) (−∞<x<+∞-\infty <x<+\infty) — бесконечно дифференцируемая функция и последовательность ее производных f(n)(x)f^{(n)}(x) (n=1,2,…n=1,2,\ldots) сходится равномерно на каждом конечном интервале (a,b)(a,b) к функции φ(x)\varphi (x).

Доказать, что φ(x)=Cex\varphi (x)=Ce^{x}, где CC — постоянная величина. Рассмотреть пример fn(x)=e−(x−n)2f_{n}(x)=e^{-(x-n)^{2}}, n=1,2,…n=1,2,\ldots

?
Задача 2811.1

Пусть функции fn(x)f_{n}(x), n=1,2,…n=1,2,\ldots, определены и ограничены на (−∞,+∞)(-\infty ,+\infty ) и fn(x)⇉φ(x)f_{n}(x) \rightrightarrows \varphi (x) на каждом сегменте [a,b][a,b]. Следует ли отсюда, что

lim⁡n→∞sup⁡xf(x)=sup⁡xφ(x)? \lim _{n \to \infty }\sup _{x}f(x)=\sup _{x}\varphi (x)?
?
Задача 2811.1

Пусть функции fn(x)f_{n}(x), n=1,2,…n=1,2,\ldots, определены и ограничены на (−∞,+∞)(-\infty ,+\infty ) и fn(x)⇉φ(x)f_{n}(x) \rightrightarrows \varphi (x) на каждом сегменте [a,b][a,b]. Следует ли отсюда, что

lim⁡n→∞sup⁡xf(x)=sup⁡xφ(x)? \lim _{n \to \infty }\sup _{x}f(x)=\sup _{x}\varphi (x)?
?
§
5.5 · Степенные ряды[130/98%]
Задача 2812

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞xnnp. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n^{p}}.
?
Задача 2813

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞3n+(−2)nn(x+1)n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{3^{n}+(-2)^{n}}{n}(x+1)^{n}.
?
Задача 2814

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞(n!)2(2n)!xn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(n!)^{2}}{(2n)!}x^{n}.
?
Задача 2815

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞αn2⋅xn(0<α<1). \sum _{n=1}^{\infty }\alpha ^{n^{2}}\cdot x^{n} \quad (0<\alpha <1).
?
Задача 2816

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞(1+1n)n2xn. \sum _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}x^{n}.
?
Задача 2817

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞n!an2xn(a>1). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n!}{a^{n^{2}}}x^{n} \quad (a>1).
?
Задача 2818

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞[1⋅3⋅5⋯(2n−1)2⋅4⋅6⋯(2n)]p(x−12)n. \sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}\right]^{p}\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n}.
?
Задача 2819

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞(−1)n[2n(n!)2(2n+1)!]pxn. \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\left[\frac{2^{n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}\right]^{p}x^{n}.
?
Задача 2820

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞m(m−1)⋯(m−n+1)n!xn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}x^{n}.
?
Задача 2821

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞(ann+bnn2)xn(a>0, b>0). \sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{a^{n}}{n}+\frac{b^{n}}{n^{2}}\right)x^{n} \quad (a>0,\ b>0).
?
Задача 2822

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞xnan+bn(a>0, b>0). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{a^{n}+b^{n}} \quad (a>0,\ b>0).
?
Задача 2823

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞xnan(a>0). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{a^{\sqrt{n}}} \quad (a>0).
?
Задача 2824

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞3−nxnn2+1. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{3^{-\sqrt{n}}x^{n}}{\sqrt{n^{2}+1}}.
?
Задача 2825

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞(2n)!!(2n+1)!!xn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}x^{n}.
?
Задача 2826

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞(−1)nn!(ne)nxn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{n!}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}x^{n}.
?
Задача 2827

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞(1+12+…+1n)xn. \sum _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{1}{2}+\ldots +\frac{1}{n}\right)x^{n}.
?
Задача 2828

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞[3+(−1)n]nnxn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\left[3+(-1)^{n}\right]^{n}}{n}x^{n}.
?
Задача 2829

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=2∞(1+2cos⁡πn4)nln⁡nxn. \sum _{n=2}^{\infty }\frac{\left(1+2\cos \dfrac {\pi n}{4}\right)^{n}}{\ln n}x^{n}.
?
Задача 2830

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞xn22n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n^{2}}}{2^{n}}.
?
Задача 2831

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда (ряд Принсгейма):

∑n=1∞(−1)[n]nxn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{[\sqrt{n}]}}{n}x^{n}.
?
Задача 2831.1

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞10ν(n)n(1−x)n, \sum _{n=1}^{\infty }\frac{10^{\nu (n)}}{n}(1-x)^{n},

где ν(n)\nu (n) — число цифр числа nn.

?
Задача 2831.1

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞10ν(n)n(1−x)n, \sum _{n=1}^{\infty }\frac{10^{\nu (n)}}{n}(1-x)^{n},

где ν(n)\nu (n) — число цифр числа nn.

?
Задача 2831.2

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞(xsin⁡n)n. \sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{x}{\sin n}\right)^{n}.
?
Задача 2831.2

Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

∑n=1∞(xsin⁡n)n. \sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{x}{\sin n}\right)^{n}.
?
Задача 2832

Определить область сходимости гипергеометрического ряда

1+α⋅β1⋅γx+α(α+1)β(β+1)1⋅2⋅γ(γ+1)x2+…+α(α+1)⋯(α+n−1)β(β+1)⋯(β+n−1)1⋅2⋯n⋅γ(γ+1)⋯(γ+n−1)xn+…. 1+\frac{\alpha \cdot \beta }{1\cdot \gamma }x+\frac{\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}x^{2}+\ldots +\frac{\alpha (\alpha +1)\cdots (\alpha +n-1)\beta (\beta +1)\cdots (\beta +n-1)}{1\cdot 2\cdots n\cdot \gamma (\gamma +1)\cdots (\gamma +n-1)}x^{n}+\ldots .
?
Задача 2833

Найти область сходимости следующего обобщенного степенного ряда:

∑n=0∞12n+1(1−x1+x)n. \sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{2n+1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{n}.
?
Задача 2834

Найти область сходимости следующего обобщенного степенного ряда:

∑n=1∞1xnsin⁡π2n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{x^{n}}\sin \frac{\pi }{2^{n}}.
?
Задача 2835

Найти область сходимости следующего обобщенного степенного ряда:

∑n=−∞∞xn2n2. \sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{x^{n}}{2^{n^{2}}}.
?
Задача 2836

Найти область сходимости следующего обобщенного степенного ряда:

∑n=1∞(1+1n)−n2e−nx. \sum _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n^{2}}e^{-nx}.
?
Задача 2837

Найти область сходимости следующего обобщенного степенного ряда:

∑n=1∞33n(n!)3(3n)!tg⁡nx. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{3^{3n}(n!)^{3}}{(3n)!}\tg ^{n}x.
?
Задача 2838

Функцию f(x)=x3f(x)=x^{3} разложить по целым неотрицательным степеням бинома x+1x+1.

?
Задача 2839

Функцию f(x)=1a−xf(x)=\dfrac {1}{a-x} (a≠0a \neq 0) разложить в степенной ряд:

?
(а)

по степеням xx;

(б)

по степеням бинома x−bx-b, где b≠ab \neq a;

(в)

по степеням 1x\dfrac {1}{x}.

Указать соответствующие области сходимости.

Задача 2840

Функцию f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x разложить по целым неотрицательным степеням разности x−1x-1 и выяснить интервал сходимости разложения.

Найти сумму ряда

∑n=1∞(−1)n+1n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{n}.
?
Задача 2841

Написать разложение функции f(x)=sh⁡xf(x)=\sh x по целым неотрицательным степеням переменной xx и найти соответствующий интервал сходимости.

?
Задача 2842

Написать разложение функции f(x)=ch⁡xf(x)=\ch x по целым неотрицательным степеням переменной xx и найти соответствующий интервал сходимости.

?
Задача 2843

Написать разложение функции f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin^{2}x по целым неотрицательным степеням переменной xx и найти соответствующий интервал сходимости.

?
Задача 2844

Написать разложение функции f(x)=axf(x)=a^{x} (a>0a>0) по целым неотрицательным степеням переменной xx и найти соответствующий интервал сходимости.

?
Задача 2845

Написать разложение функции f(x)=sin⁡(μarcsin⁡x)f(x)=\sin (\mu \arcsin x) по целым неотрицательным степеням переменной xx и найти соответствующий интервал сходимости.

?
Задача 2846

Написать разложение функции f(x)=cos⁡(μarcsin⁡x)f(x)=\cos (\mu \arcsin x) по целым неотрицательным степеням переменной xx и найти соответствующий интервал сходимости.

?
Задача 2847

Написать три члена разложения функции f(x)=xxf(x)=x^{x} по целым неотрицательным степеням разности x−1x-1.

?
Задача 2848

Написать три члена разложения функции f(x)=(1+x)1/xf(x)=(1+x)^{1/x} (x≠0x \neq 0) и f(0)=ef(0)=e по целым неотрицательным степеням переменной xx.

?
Задача 2849

Функции sin⁡(x+h)\sin (x+h) и cos⁡(x+h)\cos (x+h) разложить по целым неотрицательным степеням переменной hh.

?
Задача 2850

Определить интервал сходимости разложения в степенной ряд функции:

f(x)=xx2−5x+6 f(x)=\frac{x}{x^{2}-5x+6}
?
(а)
(б)

по степеням бинома x−5x-5,

не производя самого разложения.

Задача 2850.1

Можно ли утверждать, что

∑n=1N(−1)n−1x2n−1(2n−1)!⇉sin⁡x на (−∞,+∞) \sum _{n=1}^{N}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} \rightrightarrows \sin x \text{ на } (-\infty ,+\infty )

при N→∞N \to \infty?

?
Задача 2850.1

Можно ли утверждать, что

∑n=1N(−1)n−1x2n−1(2n−1)!⇉sin⁡x на (−∞,+∞) \sum _{n=1}^{N}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} \rightrightarrows \sin x \text{ на } (-\infty ,+\infty )

при N→∞N \to \infty?

?
Задача 2851

Пользуясь основными разложениями показательной, тригонометрических функций и бинома, написать разложение в степенной ряд относительно xx функции e−x2e^{-x^{2}}.

?
Задача 2852

Пользуясь основными разложениями показательной, тригонометрических функций и бинома, написать разложение в степенной ряд относительно xx функции cos⁡2x\cos^{2}x.

?
Задача 2853

Пользуясь основными разложениями показательной, тригонометрических функций и бинома, написать разложение в степенной ряд относительно xx функции sin⁡3x\sin^{3}x.

?
Задача 2854

Пользуясь основными разложениями показательной, тригонометрических функций и бинома, написать разложение в степенной ряд относительно xx функции x101−x\dfrac {x^{10}}{1-x}.

?
Задача 2855

Пользуясь основными разложениями показательной, тригонометрических функций и бинома, написать разложение в степенной ряд относительно xx функции 1(1−x)2\dfrac {1}{(1-x)^{2}}.

?
Задача 2856

Пользуясь основными разложениями показательной, тригонометрических функций и бинома, написать разложение в степенной ряд относительно xx функции x1−2x\dfrac {x}{\sqrt{1-2x}}.

?
Задача 2857

Пользуясь основными разложениями показательной, тригонометрических функций и бинома, написать разложение в степенной ряд относительно xx функции ln⁡1+x1−x\ln \sqrt{\dfrac {1+x}{1-x}}.

?
Задача 2858

Пользуясь разложением дроби x1+x−2x2\dfrac {x}{1+x-2x^{2}} на простейшие, написать ее разложение в степенной ряд относительно xx.

?
Задача 2859

Пользуясь разложением дроби 12−5x6−5x−x2\dfrac {12-5x}{6-5x-x^{2}} на простейшие, написать ее разложение в степенной ряд относительно xx.

?
Задача 2860

Пользуясь разложением дроби x(1−x)(1−x2)\dfrac {x}{(1-x)(1-x^{2})} на простейшие, написать ее разложение в степенной ряд относительно xx.

?
Задача 2861

Пользуясь разложением дроби 11−x−x2\dfrac {1}{1-x-x^{2}} на простейшие, написать ее разложение в степенной ряд относительно xx.

?
Задача 2862

Пользуясь разложением дроби 11+x+x2\dfrac {1}{1+x+x^{2}} на простейшие, написать ее разложение в степенной ряд относительно xx.

?
Задача 2862.1

Пусть f(x)=11+x+x2+x3f(x)=\dfrac {1}{1+x+x^{2}+x^{3}}.

Чему равно f(1000)(0)f^{(1000)}(0)?

?
Задача 2862.1

Пусть f(x)=11+x+x2+x3f(x)=\dfrac {1}{1+x+x^{2}+x^{3}}.

Чему равно f(1000)(0)f^{(1000)}(0)?

?
Задача 2863

Пользуясь основными разложениями показательной, тригонометрических функций и бинома, написать разложение в степенной ряд относительно xx функции xcos⁡α−x21−2xcos⁡α+x2\dfrac {x\cos \alpha -x^{2}}{1-2x\cos \alpha +x^{2}}.

?
Задача 2864

Пользуясь основными разложениями показательной, тригонометрических функций и бинома, написать разложение в степенной ряд относительно xx функции xsin⁡α1−2xcos⁡α+x2\dfrac {x\sin \alpha }{1-2x\cos \alpha +x^{2}}.

?
Задача 2865

Пользуясь основными разложениями показательной, тригонометрических функций и бинома, написать разложение в степенной ряд относительно xx функции xsh⁡a1−2xch⁡a+x2\dfrac {x\sh a}{1-2x\ch a+x^{2}}.

?
Задача 2866

Пользуясь основными разложениями показательной, тригонометрических функций и бинома, написать разложение в степенной ряд относительно xx функции 1(1−x2)1−x2\dfrac {1}{(1-x^{2})\sqrt{1-x^{2}}}.

?
Задача 2867

Пользуясь основными разложениями показательной, тригонометрических функций и бинома, написать разложение в степенной ряд относительно xx функции ln⁡(1+x+x2+x3)\ln (1+x+x^{2}+x^{3}).

?
Задача 2868

Пользуясь основными разложениями показательной, тригонометрических функций и бинома и формулами Эйлера, написать разложение в степенной ряд относительно xx функции excos⁡αcos⁡(xsin⁡α)e^{x\cos \alpha }\cos (x\sin \alpha ).

?
Задача 2869

Разложив предварительно производную, путем почленного интегрирования получить разложение в степенной ряд функции f(x)=arctg⁡xf(x)=\arctg x. Найти сумму ряда ∑n=1∞(−1)n+12n−1\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {(-1)^{n+1}}{2n-1}.

?
Задача 2870

Разложив предварительно производную, путем почленного интегрирования получить разложение в степенной ряд функции f(x)=arcsin⁡xf(x)=\arcsin x.

?
Задача 2871

Разложив предварительно производную, путем почленного интегрирования получить разложение в степенной ряд функции f(x)=ln⁡(x+1+x2)f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right).

?
Задача 2872

Разложив предварительно производную, путем почленного интегрирования получить разложение в степенной ряд функции f(x)=ln⁡(1−2xcos⁡α+x2)f(x)=\ln \left(1-2x\cos \alpha +x^{2}\right).

?
Задача 2873

Применяя различные методы, найти разложения в степенной ряд следующих функций:

?
(а)

f(x)=(1+x)ln⁡(1+x)f(x)=(1+x)\ln (1+x);

(б)

f(x)=14ln⁡1+x1−x+12arctg⁡xf(x)=\dfrac {1}{4}\ln \dfrac {1+x}{1-x}+\dfrac {1}{2}\arctg x;

(в)

f(x)=arctg⁡2−7x1+4xf(x)=\arctg \dfrac {2-7x}{1+4x};

(г)

f(x)=arctg⁡2x2−x2f(x)=\arctg \dfrac {2x}{2-x^{2}};

(д)

f(x)=xarctg⁡x−ln⁡1+x2f(x)=x\arctg x-\ln \sqrt{1+x^{2}};

(е)

f(x)=arccos⁡(1−2x2)f(x)=\arccos (1-2x^{2});

(ж)

f(x)=xarcsin⁡x+1−x2f(x)=x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}};

(з)

f(x)=xln⁡(x+1+x2)−1+x2f(x)=x\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)-\sqrt{1+x^{2}}.

Задача 2874

Используя единственность разложения

f(x+h)−f(x)=hf′(x)+h22!f′′(x)+…, f(x+h)-f(x)=hf'(x)+\frac{h^{2}}{2!}f''(x)+\ldots ,

найти производные nn-го порядка от следующих функций:

?
(а)

f(x)=ex2f(x)=e^{x^{2}};

(б)

f(x)=ea/xf(x)=e^{a/x};

(в)

f(x)=arctg⁡xf(x)=\arctg x.

Задача 2875

Функцию f(x)=ln⁡12+2x+x2f(x)=\ln \dfrac {1}{2+2x+x^{2}} разложить по целым положительным степеням бинома x+1x+1.

?
Задача 2876

Функцию f(x)=11−xf(x)=\dfrac {1}{1-x} разложить в степенной ряд по отрицательным степеням переменной xx.

?
Задача 2877

Функцию f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x разложить в степенной ряд по целым положительным степеням дроби x−1x+1\dfrac {x-1}{x+1}.

?
Задача 2878

Функцию f(x)=x1+xf(x)=\dfrac {x}{\sqrt{1+x}} разложить в степенной ряд по целым положительным степеням дроби x1+x\dfrac {x}{1+x}.

?
Задача 2879

Пусть f(x)=∑n=0∞xnn!f(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }\dfrac {x^{n}}{n!}. Доказать непосредственно, что f(x)f(y)=f(x+y)f(x)f(y)=f(x+y).

?
Задача 2880

Пусть по определению

sin⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!иcos⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!. \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad \text{и} \quad \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}.

Доказать, что:

?
(а)

sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x\cos x=\dfrac {1}{2}\sin 2x;

(б)

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^{2}x+\cos^{2}x=1.

Задача 2881

Написать несколько членов разложения в степенной ряд функции

f(x)=[∑n=0∞(xnn+1)]−1. f(x)=\left[\sum _{n=0}^{\infty }\left(\frac{x^{n}}{n+1}\right)\right]^{-1}.
?
Задача 2882

Производя соответствующие действия со степенными рядами, получить разложение в степенной ряд функции f(x)=(1+x)e−xf(x)=(1+x)e^{-x}.

?
Задача 2883

Производя соответствующие действия со степенными рядами, получить разложение в степенной ряд функции f(x)=(1−x)2ch⁡xf(x)=(1-x)^{2}\ch \sqrt{x}.

?
Задача 2884

Производя соответствующие действия со степенными рядами, получить разложение в степенной ряд функции f(x)=ln⁡2(1−x)f(x)=\ln^{2}(1-x).

?
Задача 2885

Производя соответствующие действия со степенными рядами, получить разложение в степенной ряд функции f(x)=(1+x2)arctg⁡xf(x)=(1+x^{2})\arctg x.

?
Задача 2886

Производя соответствующие действия со степенными рядами, получить разложение в степенной ряд функции f(x)=excos⁡xf(x)=e^{x}\cos x.

?
Задача 2887

Производя соответствующие действия со степенными рядами, получить разложение в степенной ряд функции f(x)=exsin⁡xf(x)=e^{x}\sin x.

?
Задача 2888

Производя соответствующие действия со степенными рядами, получить разложение в степенной ряд функции f(x)=ln⁡(1+x)1+xf(x)=\dfrac {\ln (1+x)}{1+x}.

?
Задача 2889

Производя соответствующие действия со степенными рядами, получить разложение в степенной ряд функции f(x)=(arctg⁡x)2f(x)=(\arctg x)^{2}.

?
Задача 2890

Производя соответствующие действия со степенными рядами, получить разложение в степенной ряд функции f(x)=(arcsin⁡xx)2f(x)=\left(\dfrac {\arcsin x}{x}\right)^{2}.

?
Задача 2891

Написать три члена разложения (отличные от нуля) в степенной ряд по положительным степеням переменной xx функции f(x)=tg⁡xf(x)=\tg x.

?
Задача 2892

Написать три члена разложения (отличные от нуля) в степенной ряд по положительным степеням переменной xx функции f(x)=th⁡xf(x)=\th x.

?
Задача 2893

Написать три члена разложения (отличные от нуля) в степенной ряд по положительным степеням переменной xx функции f(x)=ctg⁡x−1xf(x)=\ctg x-\dfrac {1}{x}.

?
Задача 2894

Пусть разложение sec⁡x\sec x записано в виде

sec⁡x=∑n=0∞En(2n)!x2n. \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{E_{n}}{(2n)!}x^{2n}.

Вывести рекуррентное соотношение для коэффициентов EnE_{n} (числа Эйлера).

?
Задача 2895

Разложить в степенной ряд функцию

f(x)=11−2tx+x2(∣x∣<1). f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-2tx+x^{2}}} \quad (\left|x\right|<1).
?
Задача 2896

Пусть f(x)=∑n=0∞anxnf(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}. Написать разложение функции F(x)=f(x)1−xF(x)=\dfrac {f(x)}{1-x}.

?
Задача 2897

Если ряд ∑n=0∞anxn\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n} имеет радиус сходимости R1R_{1}, а ряд ∑n=0∞bnxn\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n} — радиус сходимости R2R_{2}, то какой радиус сходимости RR имеют ряды:

?
(а)

∑n=0∞(an±bn)xn\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }(a_{n} \pm b_{n})x^{n};

(б)

∑n=0∞anbnxn\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}x^{n}?

Задача 2898

Пусть l=lim⁡n→∞∣anan+1∣l=\displaystyle \lim_{n \to \infty }\left|\dfrac {a_{n}}{a_{n+1}}\right| и L=lim‾⁡n→∞∣anan+1∣L=\displaystyle \varlimsup_{n \to \infty }\left|\dfrac {a_{n}}{a_{n+1}}\right|.

Доказать, что радиус сходимости RR степенного ряда ∑n=0∞anxn\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n} удовлетворяет неравенству

l⩽R⩽L. l \leqslant R \leqslant L.
?
Задача 2899

Доказать, что если f(x)=∑n=0∞anxnf(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}, причем ∣n! an∣<M\left|n!\, a_{n}\right|<M (n=1,2,…n=1,2,\ldots), где MM — постоянная, то: 1) f(x)f(x) бесконечно дифференцируема в любой точке aa; 2) справедливо разложение

f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)n(∣x∣<+∞). f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} \quad (\left|x\right|<+\infty ).
?
Задача 2899.1

Пусть f(x)∈C(∞)(a,b)f(x) \in C^{(\infty )}(a,b) и ∣f(n)(x)∣⩽cn\left|f^{(n)}(x)\right| \leqslant c^{n} (n=0,1,2,…n=0,1,2,\ldots) при x∈(a,b)x \in (a,b). Доказать, что функция f(x)f(x) разлагается в степенной ряд

f(x)=∑n=0∞an(x−x0)n(x0∈(a,b)), f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n} \quad (x_{0} \in (a,b)),

сходящийся в интервале (a,b)(a,b).

?
Задача 2899.1

Пусть f(x)∈C(∞)(a,b)f(x) \in C^{(\infty )}(a,b) и ∣f(n)(x)∣⩽cn\left|f^{(n)}(x)\right| \leqslant c^{n} (n=0,1,2,…n=0,1,2,\ldots) при x∈(a,b)x \in (a,b). Доказать, что функция f(x)f(x) разлагается в степенной ряд

f(x)=∑n=0∞an(x−x0)n(x0∈(a,b)), f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n} \quad (x_{0} \in (a,b)),

сходящийся в интервале (a,b)(a,b).

?
Задача 2899.2

Пусть f(x)∈C(∞)[−1,1]f(x) \in C^{(\infty )}[-1,1] и f(n)(x)⩾0f^{(n)}(x) \geqslant 0 (n=0,1,2,…n=0,1,2,\ldots) при x∈[−1,1]x \in [-1,1]. Доказать, что в интервале (−1,1)(-1,1) функция f(x)f(x) разлагается в степенной ряд

f(x)=∑n=0∞anxn. f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.
?
Задача 2899.2

Пусть f(x)∈C(∞)[−1,1]f(x) \in C^{(\infty )}[-1,1] и f(n)(x)⩾0f^{(n)}(x) \geqslant 0 (n=0,1,2,…n=0,1,2,\ldots) при x∈[−1,1]x \in [-1,1]. Доказать, что в интервале (−1,1)(-1,1) функция f(x)f(x) разлагается в степенной ряд

f(x)=∑n=0∞anxn. f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.
?
Задача 2900

Доказать, что если 1) an⩾0a_{n} \geqslant 0 и 2) существует

lim⁡x→R−0∑n=0∞anxn=S, \lim _{x \to R-0}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=S,

то ∑n=0∞anRn=S\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }a_{n}R^{n}=S.

?
Задача 2901

Разложить в степенной ряд функцию ∫0xe−t2 dt\displaystyle \int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\, dt.

?
Задача 2902

Разложить в степенной ряд функцию ∫0xdt1−t4\displaystyle \int_{0}^{x}\dfrac {dt}{\sqrt{1-t^{4}}}.

?
Задача 2903

Разложить в степенной ряд функцию ∫0xsin⁡tt dt\displaystyle \int_{0}^{x}\dfrac {\sin t}{t}\, dt.

?
Задача 2904

Разложить в степенной ряд функцию ∫0xarctg⁡xx dx\displaystyle \int_{0}^{x}\dfrac {\arctg x}{x}\, dx.

?
Задача 2905

Разложить в степенной ряд функцию ∫0xt dtln⁡(1+t)\displaystyle \int_{0}^{x}\dfrac {t\, dt}{\ln (1+t)} (написать четыре члена).

?
Задача 2906

Применяя почленное дифференцирование, вычислить сумму следующего ряда:

x+x33+x55+…. x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\ldots .
?
Задача 2907

Применяя почленное дифференцирование, вычислить сумму следующего ряда:

x−x33+x55−…. x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\ldots .
?
Задача 2908

Применяя почленное дифференцирование, вычислить сумму следующего ряда:

1+x22!+x44!+…. 1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\ldots .
?
Задача 2909

Применяя почленное дифференцирование, вычислить сумму следующего ряда:

x1⋅2+x22⋅3+x33⋅4+…. \frac{x}{1\cdot 2}+\frac{x^{2}}{2\cdot 3}+\frac{x^{3}}{3\cdot 4}+\ldots .
?
Задача 2910

Применяя почленное дифференцирование, вычислить сумму следующего ряда:

1+12x+1⋅32⋅4x2+1⋅3⋅52⋅4⋅6x3+…. 1+\frac{1}{2}x+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}x^{2}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}x^{3}+\ldots .
?
Задача 2911

Применяя почленное интегрирование, вычислить сумму следующего ряда:

x+2x2+3x3+…. x+2x^{2}+3x^{3}+\ldots .
?
Задача 2912

Применяя почленное интегрирование, вычислить сумму следующего ряда:

x−4x2+9x3−16x4+…. x-4x^{2}+9x^{3}-16x^{4}+\ldots .
?
Задача 2913

Применяя почленное интегрирование, вычислить сумму следующего ряда:

1⋅2x+2⋅3x2+3⋅4x3+…. 1\cdot 2x+2\cdot 3x^{2}+3\cdot 4x^{3}+\ldots .
?
Задача 2914

Показать, что ряд y=∑n=0∞x4n(4n)!y=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }\dfrac {x^{4n}}{(4n)!} удовлетворяет уравнению yIV=yy^{IV}=y.

?
Задача 2915

Показать, что ряд y=∑n=0∞xn(n!)2y=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }\dfrac {x^{n}}{(n!)^{2}} удовлетворяет уравнению xy′′+y′−y=0xy''+y'-y=0.

?
Задача 2916

Определить радиус и круг сходимости следующего степенного ряда в комплексной области (z=x+iyz=x+iy):

∑n=1∞(z−1−i)nn⋅2n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(z-1-i)^{n}}{n\cdot 2^{n}}.
?
Задача 2917

Определить радиус и круг сходимости следующего степенного ряда в комплексной области (z=x+iyz=x+iy):

∑n=1∞(1+i)nzn(n+1)(n+2). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(1+i)^{n}z^{n}}{(n+1)(n+2)}.
?
Задача 2918

Определить радиус и круг сходимости следующего степенного ряда в комплексной области (z=x+iyz=x+iy):

∑n=1∞n! zn(1+i)(1+2i)⋯(1+ni). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n!\, z^{n}}{(1+i)(1+2i)\cdots (1+ni)}.
?
Задача 2919

Определить радиус и круг сходимости следующего степенного ряда в комплексной области (z=x+iyz=x+iy):

∑n=1∞znnα+iβ. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{z^{n}}{n^{\alpha +i\beta }}.
?
Задача 2920

Определить радиус и круг сходимости следующего степенного ряда в комплексной области (z=x+iyz=x+iy):

∑n=1∞(z−eiα)nn(1−eiα)n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(z-e^{i\alpha })^{n}}{n(1-e^{i\alpha })^{n}}.
?
Задача 2921

Пользуясь формулой бинома Ньютона, приближенно вычислить 93\sqrt[3]{9} и оценить ошибку, которая получится, если взять три члена разложения.

?
Задача 2922

Приближенно вычислить:

?
(а)

arctg⁡1,2\arctg 1{,}2;

(б)

100010\sqrt[10]{1000};

(в)

1e\dfrac {1}{\sqrt{e}};

(г)

ln⁡1,25\ln 1{,}25

и оценить соответствующие погрешности.

Задача 2923

Пользуясь соответствующим разложением, вычислить с точностью до 10−510^{-5} значение sin⁡18∘\sin 18^{\circ }.

?
Задача 2924

Пользуясь соответствующим разложением, вычислить с точностью до 10−610^{-6} значение cos⁡1∘\cos 1^{\circ }.

?
Задача 2925

Пользуясь соответствующим разложением, вычислить с точностью до 10−310^{-3} значение tg⁡9∘\tg 9^{\circ }.

?
Задача 2926

Пользуясь соответствующим разложением, вычислить с точностью до 10−610^{-6} значение ee.

?
Задача 2927

Пользуясь соответствующим разложением, вычислить с точностью до 10−410^{-4} значение ln⁡1,2\ln 1{,}2.

?
Задача 2928

Исходя из равенства

π6=arcsin⁡12, \frac{\pi }{6}=\arcsin \frac{1}{2},

найти число π\pi с точностью до 10−410^{-4}.

?
Задача 2929

Пользуясь тождеством

π4=arctg⁡12+arctg⁡13, \frac{\pi }{4}=\arctg \frac{1}{2}+\arctg \frac{1}{3},

вычислить число π\pi с точностью до 0,0010{,}001.

?
Задача 2930

Пользуясь тождеством

π4=4arctg⁡15−arctg⁡1239, \frac{\pi }{4}=4\arctg \frac{1}{5}-\arctg \frac{1}{239},

определить число π\pi с точностью до 10−910^{-9}.

?
Задача 2931

Пользуясь формулой

ln⁡(n+1)=ln⁡n+2[12n+1+13(2n+1)3+…], \ln (n+1)=\ln n+2\left[\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{3(2n+1)^{3}}+\ldots \right],

найти ln⁡2\ln 2 и ln⁡3\ln 3 с точностью до 10−510^{-5}.

?
Задача 2932

С помощью разложений подынтегральных функций в ряды вычислить с точностью до 0,0010{,}001 следующие интегралы:

?
(а)

∫01e−x2 dx\displaystyle \int_{0}^{1}e^{-x^{2}}\, dx;

(б)

∫24e1/x dx\displaystyle \int_{2}^{4}e^{1/x}\, dx;

(в)

∫02sin⁡xx dx\displaystyle \int_{0}^{2}\frac{\sin x}{x}\, dx;

(г)

∫01cos⁡x2 dx\displaystyle \int_{0}^{1}\cos x^{2}\, dx;

(д)

∫01sh⁡xx dx\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sh x}{x}\, dx;

(е)

∫2+∞dx1+x8\displaystyle \int_{2}^{+\infty }\frac{dx}{1+x^{8}};

(ж)

∫01/3dx1−x23\displaystyle \int_{0}^{1/3}\frac{dx}{\sqrt[3]{1-x^{2}}};

(з)

∫01dx1+x6\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1+x^{6}}};

(и)

∫10100ln⁡(1+x)x dx\displaystyle \int_{10}^{100}\frac{\ln (1+x)}{x}\, dx;

(к)

∫01/2arctg⁡xx dx\displaystyle \int_{0}^{1/2}\frac{\arctg x}{x}\, dx;

(л)

∫01/2arcsin⁡xx dx\displaystyle \int_{0}^{1/2}\frac{\arcsin x}{x}\, dx;

(м)

∫01xx dx\displaystyle \int_{0}^{1}x^{x}\, dx.

Задача 2933

Найти с точностью до 0,010{,}01 длину дуги одной полуволны синусоиды

y=sin⁡x(0⩽x⩽π). y=\sin x \quad (0 \leqslant x \leqslant \pi ).
?
Задача 2934

Найти с точностью до 0,010{,}01 длину дуги эллипса с полуосями a=1a=1 и b=1/2b=1/2.

?
Задача 2935

Провод, подвешенный на двух столбах, расстояние между которыми равно 2l=202l=20 м, имеет форму параболы. Вычислить с точностью до 11 см длину провода, если стрелка прогиба h=40h=40 см.

?
§
5.6 · Ряды Фурье[50/100%]
Задача 2936

Функцию f(x)=sin⁡4xf(x)=\sin^{4}x разложить в ряд Фурье.

?
Задача 2937

Каков будет ряд Фурье для тригонометрического многочлена

Pn(x)=∑i=0n(αicos⁡ix+βisin⁡ix)? P_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}(\alpha _{i}\cos ix+\beta _{i}\sin ix)?
?
Задача 2938

Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=\sgnxf(x)=\sgn x (−π<x<π-\pi <x<\pi).

Нарисовать график функции и графики нескольких частных сумм ряда Фурье этой функции.

Пользуясь разложением, найти сумму ряда Лейбница

∑n=1∞(−1)n−12n−1. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}.
?
Задача 2939

Разложить в ряд Фурье в интервале (0,2l)(0,2l) функцию

f(x)={A,если 0<x<l;0,если l<x<2l, f(x)= \begin{cases} A, & \text{если } 0<x<l; \\ 0, & \text{если } l<x<2l, \end{cases}

где AA — постоянная.

?
Задача 2940

Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=xf(x)=x в интервале (−π,π)(-\pi ,\pi ).

?
Задача 2941

Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=π−x2f(x)=\dfrac {\pi -x}{2} в интервале (0,2π)(0,2\pi ).

?
Задача 2942

Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=∣x∣f(x)=\left|x\right| в интервале (−π,π)(-\pi ,\pi ).

?
Задача 2943

Разложить в ряд Фурье функцию

f(x)={ax,если −π<x<0;bx,если 0<x<π, f(x)= \begin{cases} ax, & \text{если } -\pi <x<0; \\ bx, & \text{если } 0<x<\pi , \end{cases}

где aa и bb — постоянные, в интервале (−π,π)(-\pi ,\pi ).

?
Задача 2944

Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=π2−x2f(x)=\pi^{2}-x^{2} в интервале (−π,π)(-\pi ,\pi ).

?
Задача 2945

Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=cos⁡axf(x)=\cos ax в интервале (−π,π)(-\pi ,\pi ) (aa — не целое).

?
Задача 2946

Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=sin⁡axf(x)=\sin ax в интервале (−π,π)(-\pi ,\pi ) (aa — не целое).

?
Задача 2947

Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=sh⁡axf(x)=\sh ax в интервале (−π,π)(-\pi ,\pi ).

?
Задача 2948

Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=eaxf(x)=e^{ax} в интервале (−h,h)(-h,h).

?
Задача 2949

Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=xf(x)=x в интервале (a,a+2l)(a,a+2l).

?
Задача 2950

Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=xsin⁡xf(x)=x\sin x в интервале (−π,π)(-\pi ,\pi ).

?
Задача 2951

Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=xcos⁡xf(x)=x\cos x в интервале (−π2,π2)\left(-\dfrac {\pi }{2},\dfrac {\pi }{2}\right).

?
Задача 2952

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x)=\sgn(cos⁡x)f(x)=\sgn (\cos x).

?
Задача 2953

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x)=arcsin⁡(sin⁡x)f(x)=\arcsin (\sin x).

?
Задача 2954

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x)=arcsin⁡(cos⁡x)f(x)=\arcsin (\cos x).

?
Задача 2955

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x)=x−[x]f(x)=x-[x].

?
Задача 2956

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x)=(x)f(x)=(x) — расстояние xx до ближайшего целого числа.

?
Задача 2957

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x)=∣sin⁡x∣f(x)=\left|\sin x\right|.

?
Задача 2958

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x)=∣cos⁡x∣f(x)=\left|\cos x\right|.

?
Задача 2959

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

f(x)=∑n=1∞αnsin⁡nxsin⁡x(∣α∣<1). f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha ^{n}\frac{\sin nx}{\sin x} \quad (\left|\alpha \right|<1).
?
Задача 2960

Разложить в ряд Фурье функцию

f(x)=sec⁡x(−π4<x<π4). f(x)=\sec x \quad \left(-\frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{4}\right).
?
Задача 2961

Функцию f(x)=x2f(x)=x^{2} разложить в ряд Фурье:

?
(а)

в интервале (−π,π)(-\pi ,\pi ) по косинусам кратных дуг;

(б)

в интервале (0,π)(0,\pi ) по синусам кратных дуг;

(в)

в интервале (0,2π)(0,2\pi ).

Нарисовать график функции и графики сумм рядов Фурье для случаев а), б) и в).

Пользуясь этими разложениями, найти суммы рядов:

∑n=1∞1n2,∑n=1∞(−1)n+1n2и∑n=1∞1(2n−1)2. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}, \quad \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}} \quad \text{и} \quad \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(2n-1)^{2}}.
Задача 2962

Исходя из разложения

x=2∑n=1∞(−1)n+1sin⁡nxn(−π<x<π), x=2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\frac{\sin nx}{n} \quad (-\pi <x<\pi ),

почленным интегрированием получить разложения в ряд Фурье на интервале (−π,π)(-\pi ,\pi ) функций x2x^{2}, x3x^{3} и x4x^{4}.

?
Задача 2963

Написать равенство Ляпунова для функции

f(x)={1при ∣x∣<α;0при α<∣x∣<π. f(x)= \begin{cases} 1 & \text{при } \left|x\right|<\alpha ; \\ 0 & \text{при } \alpha <\left|x\right|<\pi . \end{cases}

Исходя из равенства Ляпунова, найти суммы рядов:

∑n=1∞sin⁡2nαn2и∑n=1∞cos⁡2nαn2. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin ^{2}n\alpha }{n^{2}} \quad \text{и} \quad \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos ^{2}n\alpha }{n^{2}}.
?
Задача 2964

Разложить в ряд Фурье функцию

f(x)={x,если 0⩽x⩽1;1,если 1<x<2;3−x,если 2⩽x⩽3. f(x)= \begin{cases} x, & \text{если } 0 \leqslant x \leqslant 1; \\ 1, & \text{если } 1<x<2; \\ 3-x, & \text{если } 2 \leqslant x \leqslant 3. \end{cases}
?
Задача 2965

Пользуясь формулами

cos⁡x=12(t+t‾),sin⁡x=12i(t−t‾), \cos x=\frac{1}{2}(t+\overline{t}), \quad \sin x=\frac{1}{2i}(t-\overline{t}),

где t=eixt=e^{ix} и t‾=e−ix\overline{t}=e^{-ix}, получить разложение в ряд Фурье функции cos⁡2mx\cos^{2m}x (mm — целое положительное число).

?
Задача 2966

Пользуясь формулами

cos⁡x=12(t+t‾),sin⁡x=12i(t−t‾), \cos x=\frac{1}{2}(t+\overline{t}), \quad \sin x=\frac{1}{2i}(t-\overline{t}),

где t=eixt=e^{ix} и t‾=e−ix\overline{t}=e^{-ix}, получить разложение в ряд Фурье функции qsin⁡x1−2qcos⁡x+q2\dfrac {q\sin x}{1-2q\cos x+q^{2}} (∣q∣<1\left|q\right|<1).

?
Задача 2967

Пользуясь формулами

cos⁡x=12(t+t‾),sin⁡x=12i(t−t‾), \cos x=\frac{1}{2}(t+\overline{t}), \quad \sin x=\frac{1}{2i}(t-\overline{t}),

где t=eixt=e^{ix} и t‾=e−ix\overline{t}=e^{-ix}, получить разложение в ряд Фурье функции 1−q21−2qcos⁡x+q2\dfrac {1-q^{2}}{1-2q\cos x+q^{2}} (∣q∣<1\left|q\right|<1).

?
Задача 2968

Пользуясь формулами

cos⁡x=12(t+t‾),sin⁡x=12i(t−t‾), \cos x=\frac{1}{2}(t+\overline{t}), \quad \sin x=\frac{1}{2i}(t-\overline{t}),

где t=eixt=e^{ix} и t‾=e−ix\overline{t}=e^{-ix}, получить разложение в ряд Фурье функции 1−qcos⁡x1−2qcos⁡x+q2\dfrac {1-q\cos x}{1-2q\cos x+q^{2}} (∣q∣<1\left|q\right|<1).

?
Задача 2969

Пользуясь формулами

cos⁡x=12(t+t‾),sin⁡x=12i(t−t‾), \cos x=\frac{1}{2}(t+\overline{t}), \quad \sin x=\frac{1}{2i}(t-\overline{t}),

где t=eixt=e^{ix} и t‾=e−ix\overline{t}=e^{-ix}, получить разложение в ряд Фурье функции ln⁡(1−2qcos⁡x+q2)\ln (1-2q\cos x+q^{2}) (∣q∣<1\left|q\right|<1).

?
Задача 2970

Разложить в ряд Фурье неограниченную периодическую функцию f(x)=ln⁡∣sin⁡x2∣f(x)=\ln \left|\sin \dfrac {x}{2}\right|.

?
Задача 2971

Разложить в ряд Фурье неограниченную периодическую функцию f(x)=ln⁡∣cos⁡x2∣f(x)=\ln \left|\cos \dfrac {x}{2}\right|.

?
Задача 2972

Разложить в ряд Фурье неограниченную периодическую функцию f(x)=ln⁡∣tg⁡x2∣f(x)=\ln \left|\tg \dfrac {x}{2}\right|.

?
Задача 2973

Разложить в ряд Фурье функцию

f(x)=∫0xln⁡∣ctg⁡t2∣ dt(−π⩽x⩽π). f(x)=\int _{0}^{x}\ln \sqrt{\left|\ctg \frac{t}{2}\right|}\, dt \quad (-\pi \leqslant x \leqslant \pi ).
?
Задача 2974

Разложить в ряд Фурье функции x=x(s)x=x(s), y=y(s)y=y(s) (0⩽s⩽4a0 \leqslant s \leqslant 4a), дающие параметрическое представление контура квадрата: 0<x<a0<x<a, 0<y<a0<y<a, где ss — длина дуги, отсчитанная против хода часовой стрелки от точки O(0,0)O(0,0).

?
Задача 2975

Как следует продолжить заданную в интервале (0,π2)\left(0,\dfrac {\pi }{2}\right) интегрируемую функцию f(x)f(x) в интервал (−π,π)(-\pi ,\pi ), чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид

f(x)=∑n=1∞ancos⁡(2n−1)x(−π<x<π)? f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos (2n-1)x \quad (-\pi <x<\pi )?
?
Задача 2976

Как следует продолжить заданную в интервале (0,π2)\left(0,\dfrac {\pi }{2}\right) интегрируемую функцию f(x)f(x) в интервал (−π,π)(-\pi ,\pi ), чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид

f(x)=∑n=1∞bnsin⁡(2n−1)x(−π<x<π)? f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin (2n-1)x \quad (-\pi <x<\pi )?
?
Задача 2977

Функцию f(x)=x(π2−x)f(x)=x\left(\dfrac {\pi }{2}-x\right) разложить в интервале (0,π2)\left(0,\dfrac {\pi }{2}\right):

?
(а)

по косинусам нечетных дуг;

(б)

по синусам нечетных дуг.

Нарисовать графики суммы рядов Фурье для случаев а) и б).

Задача 2978

Функция f(x)f(x) антипериодична с периодом π\pi, т.е.

f(x+π)≡−f(x). f(x+\pi ) \equiv -f(x).

Какой особенностью обладает ряд Фурье этой функции в интервале (−π,π)(-\pi ,\pi )?

?
Задача 2979

Какой особенностью обладает ряд Фурье функции f(x)f(x) в интервале (−π,π)(-\pi ,\pi ), если f(x+π)≡f(x)f(x+\pi ) \equiv f(x)?

?
Задача 2980

Какими особенностями обладают коэффициенты Фурье ana_{n}, bnb_{n} (n=1,2,…n=1,2,\ldots) функции y=f(x)y=f(x) периода 2π2\pi, если график функции:

?
(а)

имеет центры симметрии в точках (0,0)(0,0), (±π2,0)\left(\pm \dfrac {\pi }{2},0\right);

(б)

имеет центр симметрии в начале координат и оси симметрии x=±π2x=\pm \dfrac {\pi }{2}?

Задача 2981

Как связаны между собой коэффициенты Фурье ana_{n}, bnb_{n} и αn\alpha_{n}, βn\beta_{n} (n=0,1,2,…n=0,1,2,\ldots) функций φ(x)\varphi (x) и ψ(x)\psi (x), если

φ(−x)≡ψ(x)? \varphi (-x) \equiv \psi (x)?
?
Задача 2982

Как связаны между собой коэффициенты Фурье ana_{n}, bnb_{n} и αn\alpha_{n}, βn\beta_{n} (n=0,1,2,…n=0,1,2,\ldots) функций φ(x)\varphi (x) и ψ(x)\psi (x), если

φ(−x)≡−ψ(x)? \varphi (-x) \equiv -\psi (x)?
?
Задача 2983

Зная коэффициенты Фурье ana_{n}, bnb_{n} (n=0,1,2,…n=0,1,2,\ldots) интегрируемой функции f(x)f(x), имеющей период 2π2\pi, вычислить коэффициенты Фурье a‾n\overline{a}_{n}, b‾n\overline{b}_{n} (n=0,1,2,…n=0,1,2,\ldots) «смещенной» функции f(x+h)f(x+h) (h=consth=\mathrm{const}).

?
Задача 2984

Зная коэффициенты Фурье ana_{n}, bnb_{n} (n=0,1,2,…n=0,1,2,\ldots) интегрируемой функции f(x)f(x) периода 2π2\pi, вычислить коэффициенты Фурье AnA_{n}, BnB_{n} (n=0,1,2,…n=0,1,2,\ldots) функции Стеклова

fh(x)=12h∫x−hx+hf(ξ) dξ. f_{h}(x)=\frac{1}{2h}\int _{x-h}^{x+h}f(\xi )\, d\xi .
?
Задача 2985

Пусть f(x)f(x) — непрерывная функция с периодом 2π2\pi и ana_{n}, bnb_{n} (n=0,1,2,…n=0,1,2,\ldots) — ее коэффициенты Фурье. Определить коэффициенты Фурье AnA_{n}, BnB_{n} (n=0,1,2,…n=0,1,2,\ldots) свернутой функции

F(x)=1π∫−ππf(t)f(x+t) dt. F(x)=\frac{1}{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(t)f(x+t)\, dt.

Пользуясь полученным результатом, вывести равенство Ляпунова.

?
§
5.7 · Суммирование рядов[48/100%]
Задача 2986

Найти сумму ряда

11⋅3+13⋅5+15⋅7+…. \frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\ldots .
?
Задача 2987

Найти сумму ряда

11⋅2⋅3+12⋅3⋅4+13⋅4⋅5+…. \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\ldots .
?
Задача 2988

Найти сумму ряда

11⋅2−12⋅3+13⋅4−14⋅5+…. \frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{4\cdot 5}+\ldots .
?
Задача 2989

Найти сумму ряда

∑n=1∞n(n+1)(n+2)(n+3). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n+1)(n+2)(n+3)}.
?
Задача 2990

Найти сумму ряда

∑n=1∞1n(n+m)(m — натуральное число). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+m)} \quad (m \text{ — натуральное число}).
?
Задача 2991

Найти сумму ряда

11⋅2⋅3+13⋅4⋅5+15⋅6⋅7+…. \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6\cdot 7}+\ldots .
?
Задача 2992

Найти сумму ряда

∑n=2∞1n2−1. \sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n^{2}-1}.
?
Задача 2993

Найти сумму ряда

∑n=1∞2n−1n2(n+1)2. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}.
?
Задача 2994

Найти сумму ряда

∑n=1∞1n(2n+1). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(2n+1)}.
?
Задача 2995

Найти сумму ряда

∑n=1∞n2n!. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^{2}}{n!}.
?
Задача 2996

Найти сумму ряда

∑n=0∞2n(n+1)n!. \sum _{n=0}^{\infty }\frac{2^{n}(n+1)}{n!}.
?
Задача 2997

Найти сумму ряда

∑n=1∞1n2(n+1)2. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}(n+1)^{2}}.
?
Задача 2998

Найти сумму ряда

∑n=1∞1n2(n+1)2(n+2)2. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}(n+1)^{2}(n+2)^{2}}.
?
Задача 2999

Найти сумму ряда

∑n=0∞(−1)nn(2n+1)!. \sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}n}{(2n+1)!}.
?
Задача 3000

Найти сумму ряда

∑n=2∞(−1)nn2+n−2. \sum _{n=2}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{n^{2}+n-2}.
?
Задача 3001

Пусть P(x)=a0+a1x+…+amxmP(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{m}x^{m}. Найти сумму ряда

∑n=1∞P(n)n!xn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{P(n)}{n!}x^{n}.
?
Задача 3002

Найти сумму ряда

∑n=0∞n2+12nn!xn. \sum _{n=0}^{\infty }\frac{n^{2}+1}{2^{n}n!}x^{n}.
?
Задача 3003

Найти сумму ряда

∑n=0∞(−1)nn3(n+1)!xn. \sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}n^{3}}{(n+1)!}x^{n}.
?
Задача 3004

Найти сумму ряда

∑n=0∞(−1)n(2n2+1)(2n)!x2n. \sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}(2n^{2}+1)}{(2n)!}x^{2n}.
?
Задача 3005

Найти сумму ряда

∑n=0∞n2xn(2n+1)!. \sum _{n=0}^{\infty }\frac{n^{2}x^{n}}{(2n+1)!}.
?
Задача 3006

С помощью почленного дифференцирования найти сумму ряда

∑n=1∞xnn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n}.
?
Задача 3007

С помощью почленного дифференцирования найти сумму ряда

∑n=1∞(−1)n−1x2nn(2n−1). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}x^{2n}}{n(2n-1)}.
?
Задача 3008

С помощью почленного дифференцирования найти сумму ряда

∑n=0∞x4n+14n+1. \sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{4n+1}}{4n+1}.
?
Задача 3009

С помощью почленного дифференцирования найти сумму ряда

∑n=1∞a(a+d)⋯[a+(n−1)d]d⋅2d⋯ndxn(d>0). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{a(a+d)\cdots [a+(n-1)d]}{d\cdot 2d\cdots nd}x^{n} \quad (d>0).
?
Задача 3010

С помощью почленного дифференцирования найти сумму ряда

13⋅x2+1⋅43⋅6(x2)2+1⋅4⋅73⋅6⋅9(x2)3+…. \frac{1}{3}\cdot \frac{x}{2}+\frac{1\cdot 4}{3\cdot 6}\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\frac{1\cdot 4\cdot 7}{3\cdot 6\cdot 9}\left(\frac{x}{2}\right)^{3}+\ldots .
?
Задача 3011

С помощью почленного интегрирования найти сумму ряда

∑n=1∞n2xn−1. \sum _{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n-1}.
?
Задача 3012

С помощью почленного интегрирования найти сумму ряда

∑n=1∞n(n+2)xn. \sum _{n=1}^{\infty }n(n+2)x^{n}.
?
Задача 3013

С помощью почленного интегрирования найти сумму ряда

∑n=0∞(2n+1)x2nn!. \sum _{n=0}^{\infty }\frac{(2n+1)x^{2n}}{n!}.
?
Задача 3014

Используя метод Абеля, найти сумму следующего ряда:

1−14+17−110+…. 1-\frac{1}{4}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+\ldots .
?
Задача 3015

Используя метод Абеля, найти сумму следующего ряда:

1−13+15−17+…. 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots .
?
Задача 3016

Используя метод Абеля, найти сумму следующего ряда:

1−12+1⋅32⋅4−1⋅3⋅52⋅4⋅6+…. 1-\frac{1}{2}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}+\ldots .
?
Задача 3017

Используя метод Абеля, найти сумму следующего ряда:

1+12⋅13+1⋅32⋅4⋅15+…. 1+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot \frac{1}{5}+\ldots .
?
Задача 3018

Найти суммы следующих тригонометрических рядов:

∑n=1∞sin⁡nxn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n}.
?
Задача 3019

Найти суммы следующих тригонометрических рядов:

∑n=1∞cos⁡nxn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos nx}{n}.
?
Задача 3020

Найти суммы следующих тригонометрических рядов:

∑n=1∞sin⁡nαsin⁡nxn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin n\alpha \sin nx}{n}.
?
Задача 3021

Найти суммы следующих тригонометрических рядов:

∑n=1∞sin⁡2nαsin⁡nxn(0<α<π2). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin ^{2}n\alpha \sin nx}{n} \quad \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right).
?
Задача 3022

Найти суммы следующих тригонометрических рядов:

∑n=1∞sin⁡(2n−1)x2n−1. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin (2n-1)x}{2n-1}.
?
Задача 3023

Найти суммы следующих тригонометрических рядов:

∑n=2∞(−1)ncos⁡nxn2−1. \sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}\frac{\cos nx}{n^{2}-1}.
?
Задача 3024

Найти суммы следующих тригонометрических рядов:

∑n=1∞cos⁡(2n−1)x(2n−1)2. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos (2n-1)x}{(2n-1)^{2}}.
?
Задача 3025

Найти суммы следующих тригонометрических рядов:

∑n=1∞(−1)n−1sin⁡nxn(n+1). \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\frac{\sin nx}{n(n+1)}.
?
Задача 3026

Найти суммы следующих тригонометрических рядов:

∑n=0∞cos⁡nxn!. \sum _{n=0}^{\infty }\frac{\cos nx}{n!}.
?
Задача 3027

Построить кривую

∑n=1∞sin⁡nx⋅sin⁡nyn2=0. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx\cdot \sin ny}{n^{2}}=0.
?
Задача 3028

Найти сумму следующего ряда:

∑n=1∞[(n−1)!]2(2n)!(2x)2n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\left[(n-1)!\right]^{2}}{(2n)!}(2x)^{2n}.
?
Задача 3029

Найти сумму следующего ряда:

∑n=0∞(n!)2(2n)!xn. \sum _{n=0}^{\infty }\frac{(n!)^{2}}{(2n)!}x^{n}.
?
Задача 3030

Найти сумму следующего ряда:

1!x+1+2!(x+1)(x+2)+3!(x+1)(x+2)(x+3)+…. \frac{1!}{x+1}+\frac{2!}{(x+1)(x+2)}+\frac{3!}{(x+1)(x+2)(x+3)}+\ldots .
?
Задача 3031

Найти сумму следующего ряда:

a1a2+x+a1a2+x⋅a1a3+x+… \frac{a_{1}}{a_{2}+x}+\frac{a_{1}}{a_{2}+x}\cdot \frac{a_{1}}{a_{3}+x}+\ldots

при условии, что x>0x>0, an>0a_{n}>0 (n=1,2,…n=1,2,\ldots) и ряд ∑n=1∞1an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{a_{n}} расходящийся.

?
Задача 3032

Найти сумму следующего ряда:

x1−x2+x21−x4+x41−x8+…, \frac{x}{1-x^{2}}+\frac{x^{2}}{1-x^{4}}+\frac{x^{4}}{1-x^{8}}+\ldots ,

если:

?
(а)

∣x∣<1\left|x\right|<1;

(б)

∣x∣>1\left|x\right|>1.

Задача 3033

Найти сумму следующего ряда:

∑n=1∞xn+1(1−xn)(1−xn+1), \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n+1}}{(1-x^{n})(1-x^{n+1})},

если:

?
(а)

∣x∣<1\left|x\right|<1;

(б)

∣x∣>1\left|x\right|>1.

§
5.8 · Нахождение определенных интегралов с помощью рядов[17/100%]
Задача 3034

С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить следующий интеграл:

∫01ln⁡11−x dx. \int _{0}^{1}\ln \frac{1}{1-x}\, dx.
?
Задача 3035

С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить следующий интеграл:

∫01ln⁡(x+1+x2)x dx. \int _{0}^{1}\frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{x}\, dx.
?
Задача 3036

С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить следующий интеграл:

∫01ln⁡(1+x)x dx. \int _{0}^{1}\frac{\ln (1+x)}{x}\, dx.
?
Задача 3037

С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить следующий интеграл:

∫01xp−1ln⁡(1−xq) dx(p>0, q>0). \int _{0}^{1}x^{p-1}\ln (1-x^{q})\, dx \quad (p>0,\ q>0).
?
Задача 3038

С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить следующий интеграл:

∫01ln⁡x⋅ln⁡(1−x) dx. \int _{0}^{1}\ln x\cdot \ln (1-x)\, dx.
?
Задача 3039

С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить следующий интеграл:

∫0+∞x dxe2πx−1. \int _{0}^{+\infty }\frac{x\, dx}{e^{2\pi x}-1}.
?
Задача 3040

С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить следующий интеграл:

∫0+∞x dxex+1. \int _{0}^{+\infty }\frac{x\, dx}{e^{x}+1}.
?
Задача 3041

Разложить по целым положительным степеням модуля kk (0⩽k<10 \leqslant k<1) полный эллиптический интеграл 1-го рода

F(k)=∫0π/2dφ1−k2sin⁡2φ. F(k)=\int _{0}^{\pi /2}\frac{d\varphi }{\sqrt{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}.
?
Задача 3042

Разложить по целым положительным степеням модуля kk (0⩽k<10 \leqslant k<1) полный эллиптический интеграл 2-го рода

E(k)=∫0π/21−k2sin⁡2φ dφ. E(k)=\int _{0}^{\pi /2}\sqrt{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }\, d\varphi .
?
Задача 3043

Выразить длину дуги эллипса

x=acos⁡t,y=bsin⁡t(0⩽t⩽2π) x=a\cos t, \quad y=b\sin t \quad (0 \leqslant t \leqslant 2\pi )

с помощью ряда, расположенного по целым положительным степеням эксцентриситета.

?
Задача 3044

Доказать равенство

∫01dxxx=∑n=1∞1nn. \int _{0}^{1}\frac{dx}{x^{x}}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{n}}.
?
Задача 3045

Доказать равенство

∫0+∞e−x2sin⁡ax dx=12∑n=0∞(−1)nn!(2n+1)!a2n+1. \int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}\sin ax\, dx=\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}n!}{(2n+1)!}a^{2n+1}.
?
Задача 3046

Доказать равенство

∫02πecos⁡xcos⁡(sin⁡x)cos⁡nx dx=πn!(n=0,1,2,…). \int _{0}^{2\pi }e^{\cos x}\cos (\sin x)\cos nx\, dx=\frac{\pi }{n!} \quad (n=0,1,2,\ldots ).
?
Задача 3047

Найти:

∫02πeacos⁡xcos⁡(asin⁡x−nx) dx(n — натуральное число). \int _{0}^{2\pi }e^{a\cos x}\cos (a\sin x-nx)\, dx \quad (n \text{ — натуральное число}).
?
Задача 3048

Найти:

∫0πxsin⁡α1−2αcos⁡x+α2 dx. \int _{0}^{\pi }\frac{x\sin \alpha }{1-2\alpha \cos x+\alpha ^{2}}\, dx.
?
Задача 3049

Найти:

∫0πln⁡(1−2αcos⁡x+α2) dx. \int _{0}^{\pi }\ln (1-2\alpha \cos x+\alpha ^{2})\, dx.
?
Задача 3050

Доказать формулу

∫0∞e−xa+x dx=1a−1!a2+2!a3−…+(−1)n−1(n−1)!an+(−1)nθnn!an+1,(1) \int _{0}^{\infty }\frac{e^{-x}}{a+x}\, dx=\frac{1}{a}-\frac{1!}{a^{2}}+\frac{2!}{a^{3}}-\ldots +(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{a^{n}}+(-1)^{n}\frac{\theta _{n}n!}{a^{n+1}}, \tag {1}

где a>0a>0 и 0<θn<10<\theta_{n}<1.

С какой точностью выразится интеграл

∫0∞e−x100+x dx, \int _{0}^{\infty }\frac{e^{-x}}{100+x}\, dx,

если в формуле (1) взять два члена?

?
§
5.9 · Бесконечные произведения[60/100%]
Задача 3051

Доказать равенство

∏n=2∞(1−1n2)=12. \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{1}{2}.
?
Задача 3052

Доказать равенство

∏n=2∞n3−1n3+1=23. \prod _{n=2}^{\infty }\frac{n^{3}-1}{n^{3}+1}=\frac{2}{3}.
?
Задача 3053

Доказать равенство

∏n=2∞[1−2n(n+1)]=13. \prod _{n=2}^{\infty }\left[1-\frac{2}{n(n+1)}\right]=\frac{1}{3}.
?
Задача 3054

Доказать равенство

∏n=0∞[1+(12)2n]=2. \prod _{n=0}^{\infty }\left[1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2^{n}}\right]=2.
?
Задача 3055

Доказать равенство

∏n=1∞cos⁡π2n+1=2π. \prod _{n=1}^{\infty }\cos \frac{\pi }{2^{n+1}}=\frac{2}{\pi }.
?
Задача 3056

Доказать равенство

∏n=1∞cos⁡x2n=sin⁡xx. \prod _{n=1}^{\infty }\cos \frac{x}{2^{n}}=\frac{\sin x}{x}.
?
Задача 3057

Доказать равенство

∏n=1∞ch⁡x2n=sh⁡xx. \prod _{n=1}^{\infty }\ch \frac{x}{2^{n}}=\frac{\sh x}{x}.
?
Задача 3058

Доказать равенство

∏n=0∞(1+x2n)=11−x(∣x∣<1). \prod _{n=0}^{\infty }(1+x^{2^{n}})=\frac{1}{1-x} \quad (\left|x\right|<1).
?
Задача 3059

Доказать равенство

π2=22⋅22+2⋅22+2+2⋯ . \frac{\pi }{2}=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\cdots .
?
Задача 3060

Доказать равенство

∏n=1∞3n3n−1⋅3n3n+1=2π33. \prod _{n=1}^{\infty }\frac{3n}{3n-1}\cdot \frac{3n}{3n+1}=\frac{2\pi }{3\sqrt{3}}.
?
Задача 3061

Доказать сходимость и определить значение следующего бесконечного произведения:

∏n=3∞n2−4n2−1. \prod _{n=3}^{\infty }\frac{n^{2}-4}{n^{2}-1}.
?
Задача 3062

Доказать сходимость и определить значение следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞[1+1n(n+2)]. \prod _{n=1}^{\infty }\left[1+\frac{1}{n(n+2)}\right].
?
Задача 3063

Доказать сходимость и определить значение следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞(2n+1)(2n+7)(2n+3)(2n+5). \prod _{n=1}^{\infty }\frac{(2n+1)(2n+7)}{(2n+3)(2n+5)}.
?
Задача 3064

Доказать сходимость и определить значение следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞a(−1)n/n(a>0). \prod _{n=1}^{\infty }a^{(-1)^{n}/n} \quad (a>0).
?
Задача 3065

Следует ли из сходимости произведений ∏n=1∞pn\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }p_{n} и ∏n=1∞qn\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }q_{n} сходимость произведений:

?
(а)

∏n=1∞(pn+qn)\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }(p_{n}+q_{n});

(б)

∏n=1∞pn2\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }p_{n}^{2};

(в)

∏n=1∞pnqn\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }p_{n}q_{n};

(г)

∏n=1∞pnqn\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }\dfrac {p_{n}}{q_{n}}?

Задача 3066

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞1n. \prod _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}.
?
Задача 3067

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞(n+1)2n(n+2). \prod _{n=1}^{\infty }\frac{(n+1)^{2}}{n(n+2)}.
?
Задача 3068

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞(1+1np). \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{1}{n^{p}}\right).
?
Задача 3069

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=2∞(1−1n). \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-\frac{1}{n}\right).
?
Задача 3070

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=2∞(n2−1n2+1)p. \prod _{n=2}^{\infty }\left(\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1}\right)^{p}.
?
Задача 3071

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=n0∞n2+a1n+b1n2+an+b,где n2+an+b>0 при n⩾n0. \prod _{n=n_{0}}^{\infty }\frac{n^{2}+a_{1}n+b_{1}}{n^{2}+an+b}, \quad \text{где } n^{2}+an+b>0 \text{ при } n \geqslant n_{0}.
?
Задача 3072

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=n0∞(n−a1)(n−a2)⋯(n−ap)(n−b1)(n−b2)⋯(n−bp),где n0>bi (i=1,2,…,p). \prod _{n=n_{0}}^{\infty }\frac{(n-a_{1})(n-a_{2})\cdots (n-a_{p})}{(n-b_{1})(n-b_{2})\cdots (n-b_{p})}, \quad \text{где } n_{0}>b_{i} \ (i=1,2,\ldots ,p).
?
Задача 3073

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=0∞n+1n+2. \prod _{n=0}^{\infty }\sqrt{\frac{n+1}{n+2}}.
?
Задача 3074

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞nn2+1. \prod _{n=1}^{\infty }\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}.
?
Задача 3075

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞1+1nn. \prod _{n=1}^{\infty }\sqrt[n]{1+\frac{1}{n}}.
?
Задача 3076

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞nn2. \prod _{n=1}^{\infty }\sqrt[n^{2}]{n}.
?
Задача 3077

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞(1+xn)e−x/n. \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{x}{n}\right)e^{-x/n}.
?
Задача 3078

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞(1−xc+n)ex/n,где c>0. \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{x}{c+n}\right)e^{x/n}, \quad \text{где } c>0.
?
Задача 3079

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞(1−xn). \prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n}).
?
Задача 3080

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞(1+xn2n). \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{x^{n}}{2^{n}}\right).
?
Задача 3081

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞[1+(1+1n)n2xn]. \prod _{n=1}^{\infty }\left[1+\frac{\left(1+\dfrac {1}{n}\right)^{n^{2}}}{x^{n}}\right].
?
Задача 3082

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞(1−xn)ex/n+x2/2n. \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{x}{\sqrt{n}}\right)e^{x/\sqrt{n}+x^{2}/2n}.
?
Задача 3083

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞(1+xnnp)cos⁡xnnq. \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{x^{n}}{n^{p}}\right)\cos \frac{x^{n}}{n^{q}}.
?
Задача 3084

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞(sin⁡xnxn)p. \prod _{n=1}^{\infty }\left(\dfrac {\sin \dfrac {x}{n}}{\dfrac {x}{n}}\right)^{p}.
?
Задача 3085

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞ln⁡(n+x)−ln⁡nn. \prod _{n=1}^{\infty }\sqrt[n]{\ln (n+x)-\ln n}.
?
Задача 3086

Доказать, что произведение ∏n=1∞cos⁡xn\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }\cos x_{n} сходится, если сходится ряд ∑n=1∞xn2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }x_{n}^{2}.

?
Задача 3087

Доказать, что произведение ∏n=1∞tg⁡(π4+αn)\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }\tg \left(\dfrac {\pi }{4}+\alpha_{n}\right) (∣αn∣<π4\left|\alpha_{n}\right|<\dfrac {\pi }{4}) сходится, если абсолютно сходится ряд ∑n=1∞αn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\alpha_{n}.

?
Задача 3088

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующее бесконечное произведение:

∏n=1∞[1+(−1)n+1n]. \prod _{n=1}^{\infty }\left[1+\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right].
?
Задача 3089

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующее бесконечное произведение:

∏n=1∞[1+(−1)n+1n]. \prod _{n=1}^{\infty }\left[1+\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}\right].
?
Задача 3090

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующее бесконечное произведение:

∏n=1∞[1+(−1)n+1np]. \prod _{n=1}^{\infty }\left[1+\frac{(-1)^{n+1}}{n^{p}}\right].
?
Задача 3091

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующее бесконечное произведение:

∏n=2∞[1+(−1)nln⁡n]. \prod _{n=2}^{\infty }\left[1+\frac{(-1)^{n}}{\ln n}\right].
?
Задача 3092

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующее бесконечное произведение:

∏n=2∞nn+(−1)n. \prod _{n=2}^{\infty }\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+(-1)^{n}}.
?
Задача 3093

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующее бесконечное произведение:

∏n=1∞n(−1)n. \prod _{n=1}^{\infty }n^{(-1)^{n}}.
?
Задача 3094

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующее бесконечное произведение:

∏n=1∞n(−1)nn. \prod _{n=1}^{\infty }\sqrt[n]{n^{(-1)^{n}}}.
?
Задача 3095

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующее бесконечное произведение:

∏n=1∞[1+(−1)n(n−1)/2n]. \prod _{n=1}^{\infty }\left[1+\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{n}\right].
?
Задача 3096

Показать, что произведение

(1+11)(1−13)(1−15)(1+12)(1−17)(1−19)(1+13)⋯ \left(1+\frac{1}{\sqrt{1}}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{7}}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{9}}\right)\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cdots

расходится.

?
Задача 3097

Показать, что произведение

(1+11α)(1−12α)2(1+13α)(1+14α)(1−15α)2(1+16α)⋯ \left(1+\frac{1}{1^{\alpha }}\right)\left(1-\frac{1}{2^{\alpha }}\right)^{2}\left(1+\frac{1}{3^{\alpha }}\right)\left(1+\frac{1}{4^{\alpha }}\right)\left(1-\frac{1}{5^{\alpha }}\right)^{2}\left(1+\frac{1}{6^{\alpha }}\right)\cdots

сходится абсолютно при α>1\alpha >1 и сходится условно при 12<α⩽1\dfrac {1}{2}<\alpha \leqslant 1.

?
Задача 3098

Показать, что произведение

(1+12+12)(1−12)(1+13+13)(1−13)⋯ \left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cdots

сходится, хотя ряд

(12+12)+(−12)+(13+13)+(−13)+… \left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}\right)+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\ldots

расходится.

?
Задача 3099

Показать, что произведение ∏n=1∞(1+αn)\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }(1+\alpha_{n}), где

αn={−1k,если n=2k−1;1k+1k+1kk,если n=2k, \alpha _{n}= \begin{cases} -\dfrac {1}{\sqrt{k}}, & \text{если } n=2k-1; \\ \dfrac {1}{\sqrt{k}}+\dfrac {1}{k}+\dfrac {1}{k\sqrt{k}}, & \text{если } n=2k, \end{cases}

сходится, хотя оба ряда ∑n=1∞αn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\alpha_{n} и ∑n=1∞αn2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\alpha_{n}^{2} расходятся.

?
Задача 3100

Пусть

ζ(x)=∑n=1∞1nx \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{x}}

(дзета-функция Римана) и pnp_{n} (n=1,2,…n=1,2,\ldots) — последовательные простые числа.

Доказать, что ∏n=1∞(1−1pnx)−1=ζ(x)\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }\left(1-\dfrac {1}{p_{n}^{x}}\right)^{-1}=\zeta (x).

?
Задача 3101

Доказать, что произведение ∏n=1∞(1−1pn)−1\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }\left(1-\dfrac {1}{p_{n}}\right)^{-1} и ряд ∑n=1∞1pn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{p_{n}}, где pnp_{n} (n=1,2,…n=1,2,\ldots) — последовательные простые числа, расходятся (Эйлер).

?
Задача 3102

Пусть an>0a_{n}>0 (n=1,2,…n=1,2,\ldots) и

anan+1=1+pn+O(1n1+ε)(ε>0). \frac{a_{n}}{a_{n+1}}=1+\frac{p}{n}+O\left(\frac{1}{n^{1+\varepsilon }}\right) \quad (\varepsilon >0).

Доказать, что

an=O∗(1np). a_{n}=O^{*}\left(\frac{1}{n^{p}}\right).
?
Задача 3103

С помощью формулы Валлиса доказать, что

1⋅3⋅5⋯(2n−1)2⋅4⋅6⋯(2n)∼1πn. \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}.
?
Задача 3104

Доказать, что выражение

an=n!ennn+1/2 a_{n}=\frac{n!e^{n}}{n^{n+1/2}}

имеет отличный от нуля предел AA при n→∞n \to \infty.

Вывести отсюда формулу Стирлинга

n!=Ann+1/2e−n(1+εn), n!=An^{n+1/2}e^{-n}(1+\varepsilon _{n}),

где lim⁡n→∞εn=0\displaystyle \lim_{n \to \infty }\varepsilon_{n}=0, A=2πA=\sqrt{2\pi }.

?
Задача 3105

Согласно Эйлеру гамма-функция Γ(x)\Gamma (x) определяется следующей формулой:

Γ(x)=lim⁡n→∞n! nxx(x+1)⋯(x+n). \Gamma (x)=\lim _{n \to \infty }\frac{n!\, n^{x}}{x(x+1)\cdots (x+n)}.

Исходя из этой формулы:

?
(а)

представить функцию Γ(x)\Gamma (x) в виде бесконечного произведения;

(б)

показать, что Γ(x)\Gamma (x) имеет смысл для всех действительных xx, не равных целому отрицательному числу;

(в)

вывести свойство

Γ(x+1)=xΓ(x); \Gamma (x+1)=x\Gamma (x);
(г)

получить значение Γ(n)\Gamma (n) для nn целого и положительного.

Задача 3106

Пусть функция f(x)f(x) собственно интегрируема на сегменте [a,b][a,b] и

δn=b−an,fin=f(a+iδn)(i=1,2,…,n). \delta _{n}=\frac{b-a}{n}, \quad f_{in}=f(a+i\delta _{n}) \quad (i=1,2,\ldots ,n).

Доказать, что

lim⁡n→∞∏i=0n(1+δnfin)=e∫abf(x) dx. \lim _{n \to \infty }\prod _{i=0}^{n}(1+\delta _{n}f_{in})=e^{\int _{a}^{b}f(x)\, dx}.
?
Задача 3107

Доказать, что

lim⁡n→∞∏i=0n−1(a+ib)n∑i=0n−1(a+ib)=2e, \lim _{n \to \infty }\frac{\sqrt[n]{\displaystyle \prod _{i=0}^{n-1}(a+ib)}}{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}(a+ib)}=\frac{2}{e},

где a>0a>0 и b>0b>0.

?
Задача 3108

Пусть fn(x)f_{n}(x) (n=1,2,…n=1,2,\ldots) — непрерывные функции на интервале (a,b)(a,b) и ∣fn(x)∣⩽cn\left|f_{n}(x)\right| \leqslant c_{n} (n=1,2,…n=1,2,\ldots), где ряд ∑n=1∞cn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }c_{n} сходится.

Доказать, что функция

F(x)=∏n=1∞[1+fn(x)](∣fn(x)∣<1) F(x)=\prod _{n=1}^{\infty }\left[1+f_{n}(x)\right] \quad (\left|f_{n}(x)\right|<1)

непрерывна на интервале (a,b)(a,b).

?
Задача 3109

Найти выражение для производной функции

F(x)=∏n=1∞[1+fn(x)]. F(x)=\prod _{n=1}^{\infty }\left[1+f_{n}(x)\right].

Каковы достаточные условия существования F′(x)F'(x)?

?
Задача 3110

Доказать, что если 0<x<y0<x<y, то

lim⁡n→∞x(x+1)⋯(x+n)y(y+1)⋯(y+n)=0. \lim _{n \to \infty }\frac{x(x+1)\cdots (x+n)}{y(y+1)\cdots (y+n)}=0.
?
§
5.10 · Формула Стирлинга[10/100%]
Задача 3111

Пользуясь формулой Стирлинга, приближенно вычислить lg⁡100!\lg 100!.

?
Задача 3112

Пользуясь формулой Стирлинга, приближенно вычислить 1⋅3⋅5⋯19991\cdot 3\cdot 5\cdots 1999.

?
Задача 3113

Пользуясь формулой Стирлинга, приближенно вычислить 1⋅3⋅5⋯992⋅4⋅6⋯100\dfrac {1\cdot 3\cdot 5\cdots 99}{2\cdot 4\cdot 6\cdots 100}.

?
Задача 3114

Пользуясь формулой Стирлинга, приближенно вычислить C10040C_{100}^{40}.

?
Задача 3115

Пользуясь формулой Стирлинга, приближенно вычислить 100!20! 30! 50!\dfrac {100!}{20!\, 30!\, 50!}.

?
Задача 3116

Пользуясь формулой Стирлинга, приближенно вычислить ∫01(1−x2)50 dx\displaystyle \int_{0}^{1}(1-x^{2})^{50}\, dx.

?
Задача 3117

Пользуясь формулой Стирлинга, приближенно вычислить ∫02πsin⁡200x dx\displaystyle \int_{0}^{2\pi }\sin^{200}x\, dx.

?
Задача 3118

Вывести асимптотическую формулу для произведения

(2n−1)!!=1⋅3⋅5⋯(2n−1). (2n-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1).
?
Задача 3119

Приближенно вычислить C2nnC_{2n}^{n}, если nn велико.

?
Задача 3120

Пользуясь формулой Стирлинга, найти следующие пределы:

?
(а)

lim⁡n→∞n!n2\displaystyle \lim_{n \to \infty }\sqrt[n^{2}]{n!};

(б)

lim⁡n→∞nn!n\displaystyle \lim_{n \to \infty }\dfrac {n}{\sqrt[n]{n!}};

(в)

lim⁡n→∞n(2n−1)!!n\displaystyle \lim_{n \to \infty }\dfrac {n}{\sqrt[n]{(2n-1)!!}};

(г)

lim⁡n→∞ln⁡n!ln⁡nn\displaystyle \lim_{n \to \infty }\dfrac {\ln n!}{\ln n^{n}}.

§
5.11 · Приближение непрерывных функций многочленами[16/100%]
Задача 3121

Построить многочлен Pn(x)P_{n}(x) наименьшей степени nn, принимающий заданную систему значений:

x−2045y51−31 \begin{array}{c|cccc} x & -2 & 0 & 4 & 5 \\ \hline y & 5 & 1 & -3 & 1 \end{array}

Чему приближенно равны Pn(−1)P_{n}(-1), Pn(1)P_{n}(1), Pn(6)P_{n}(6)?

?
Задача 3122

Написать уравнение параболы y=ax2+bx+cy=ax^{2}+bx+c, проходящей через три точки: A(x0−h,y−1)A(x_{0}-h,y_{-1}), B(x0,y0)B(x_{0},y_{0}), C(x0+h,y1)C(x_{0}+h,y_{1}).

?
Задача 3123

Вывести формулу для приближенного извлечения корней y=xy=\sqrt{x} (1⩽x⩽1001 \leqslant x \leqslant 100), используя значения x0=1x_{0}=1, y0=1y_{0}=1; x1=25x_{1}=25, y1=5y_{1}=5; x2=100x_{2}=100, y2=10y_{2}=10.

?
Задача 3124

Вывести приближенную формулу вида

sin⁡x∘≈ax+bx3(0⩽x⩽90; x=arc⁡x∘), \sin x^{\circ } \approx ax+bx^{3} \quad (0 \leqslant x \leqslant 90; \ x=\operatorname {arc}x^{\circ }),

используя значения sin⁡0∘=0\sin 0^{\circ }=0, sin⁡30∘=12\sin 30^{\circ }=\dfrac {1}{2}, sin⁡90∘=1\sin 90^{\circ }=1.

Пользуясь этой формулой, приближенно найти sin⁡20∘\sin 20^{\circ }, sin⁡40∘\sin 40^{\circ }, sin⁡80∘\sin 80^{\circ }.

?
Задача 3125

Построить для функции f(x)=∣x∣f(x)=\left|x\right| на сегменте [−1,1][-1,1] интерполяционный многочлен Лагранжа, приняв за узлы точки: x=0,±12,±1x=0,\pm \dfrac {1}{2},\pm 1.

?
Задача 3126

Заменив функцию y(x)y(x) многочленом Лагранжа, приближенно вычислить ∫02y(x) dx\displaystyle \int_{0}^{2}y(x)\, dx, где

x00,511,52y(x)54,532,55 \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 \\ \hline y(x) & 5 & 4{,}5 & 3 & 2{,}5 & 5 \end{array}
?
Задача 3127

Составить многочлены Бернштейна Bn(x)B_{n}(x) для функций xx, x2x^{2}, x3x^{3} на сегменте [0,1][0,1].

?
Задача 3128

Написать формулу многочленов Бернштейна Bn(x)B_{n}(x) для функции f(x)f(x), заданной на сегменте [a,b][a,b].

?
Задача 3129

Приблизить функцию f(x)=∣x∣+x2f(x)=\dfrac {\left|x\right|+x}{2} на сегменте [−1,1][-1,1] многочленом Бернштейна B4(x)B_{4}(x).

Построить графики функций y=∣x∣+x2y=\dfrac {\left|x\right|+x}{2} и y=B4(x)y=B_{4}(x).

?
Задача 3130

Приблизить функцию f(x)=∣x∣f(x)=\left|x\right| при −1⩽x⩽1-1 \leqslant x \leqslant 1 многочленами Бернштейна четного порядка.

?
Задача 3131

Написать многочлен Бернштейна Bn(x)B_{n}(x) для функции

f(x)=ekx(a⩽x⩽b). f(x)=e^{kx} \quad (a \leqslant x \leqslant b).
?
Задача 3132

Вычислить многочлен Bn(x)B_{n}(x) для функции f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x на сегменте −π2⩽x⩽π2-\dfrac {\pi }{2} \leqslant x \leqslant \dfrac {\pi }{2}.

?
Задача 3133

Доказать, что ∣x∣=lim⁡n→∞Pn(x)\left|x\right|=\displaystyle \lim_{n \to \infty }P_{n}(x) на сегменте [−1,1][-1,1], где

Pn(x)=1−1−x22−∑i=2n1⋅3⋯(2i−3)2⋅4⋯(2i)(1−x2)i. P_{n}(x)=1-\frac{1-x^{2}}{2}-\sum _{i=2}^{n}\frac{1\cdot 3\cdots (2i-3)}{2\cdot 4\cdots (2i)}(1-x^{2})^{i}.
?
Задача 3133.1

Пусть f(x)∈C[a,b]f(x) \in C[a,b] и

Mk=∫abxkf(x) dx=0(k=0,1,2,…). M_{k}=\int _{a}^{b}x^{k}f(x)\, dx=0 \quad (k=0,1,2,\ldots ).

Доказать, что f(x)≡0f(x) \equiv 0 при x∈[a,b]x \in [a,b].

?
Задача 3133.1

Пусть f(x)∈C[a,b]f(x) \in C[a,b] и

Mk=∫abxkf(x) dx=0(k=0,1,2,…). M_{k}=\int _{a}^{b}x^{k}f(x)\, dx=0 \quad (k=0,1,2,\ldots ).

Доказать, что f(x)≡0f(x) \equiv 0 при x∈[a,b]x \in [a,b].

?
Задача 3134

Пусть f(x)f(x) — непрерывная 2π2\pi-периодическая функция и ana_{n}, bnb_{n} (n=0,1,2,…n=0,1,2,\ldots) — ее коэффициенты Фурье. Доказать, что тригонометрические многочлены Фейера

σn(x)=a02+∑i=1n−1(1−in)(aicos⁡ix+bisin⁡ix) \sigma _{n}(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum _{i=1}^{n-1}\left(1-\frac{i}{n}\right)(a_{i}\cos ix+b_{i}\sin ix)

равномерно сходятся к функции f(x)f(x) на отрезке [−π,π][-\pi ,\pi ].

?
Задача 3135

Построить многочлен Фейера σ2n−1(x)\sigma_{2n-1}(x) для функции

f(x)=∣x∣при −π⩽x⩽π. f(x)=\left|x\right| \quad \text{при } -\pi \leqslant x \leqslant \pi .
?