5.7

Суммирование рядов

[48/100%]
Показать
LaTeX
Задача 2986

Найти сумму ряда

11⋅3+13⋅5+15⋅7+…. \frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\ldots .
?
Задача 2987

Найти сумму ряда

11⋅2⋅3+12⋅3⋅4+13⋅4⋅5+…. \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\ldots .
?
Задача 2988

Найти сумму ряда

11⋅2−12⋅3+13⋅4−14⋅5+…. \frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{4\cdot 5}+\ldots .
?
Задача 2989

Найти сумму ряда

∑n=1∞n(n+1)(n+2)(n+3). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n+1)(n+2)(n+3)}.
?
Задача 2990

Найти сумму ряда

∑n=1∞1n(n+m)(m — натуральное число). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+m)} \quad (m \text{ — натуральное число}).
?
Задача 2991

Найти сумму ряда

11⋅2⋅3+13⋅4⋅5+15⋅6⋅7+…. \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6\cdot 7}+\ldots .
?
Задача 2992

Найти сумму ряда

∑n=2∞1n2−1. \sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n^{2}-1}.
?
Задача 2993

Найти сумму ряда

∑n=1∞2n−1n2(n+1)2. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}.
?
Задача 2994

Найти сумму ряда

∑n=1∞1n(2n+1). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(2n+1)}.
?
Задача 2995

Найти сумму ряда

∑n=1∞n2n!. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^{2}}{n!}.
?
Задача 2996

Найти сумму ряда

∑n=0∞2n(n+1)n!. \sum _{n=0}^{\infty }\frac{2^{n}(n+1)}{n!}.
?
Задача 2997

Найти сумму ряда

∑n=1∞1n2(n+1)2. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}(n+1)^{2}}.
?
Задача 2998

Найти сумму ряда

∑n=1∞1n2(n+1)2(n+2)2. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}(n+1)^{2}(n+2)^{2}}.
?
Задача 2999

Найти сумму ряда

∑n=0∞(−1)nn(2n+1)!. \sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}n}{(2n+1)!}.
?
Задача 3000

Найти сумму ряда

∑n=2∞(−1)nn2+n−2. \sum _{n=2}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{n^{2}+n-2}.
?
Задача 3001

Пусть P(x)=a0+a1x+…+amxmP(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{m}x^{m}. Найти сумму ряда

∑n=1∞P(n)n!xn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{P(n)}{n!}x^{n}.
?
Задача 3002

Найти сумму ряда

∑n=0∞n2+12nn!xn. \sum _{n=0}^{\infty }\frac{n^{2}+1}{2^{n}n!}x^{n}.
?
Задача 3003

Найти сумму ряда

∑n=0∞(−1)nn3(n+1)!xn. \sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}n^{3}}{(n+1)!}x^{n}.
?
Задача 3004

Найти сумму ряда

∑n=0∞(−1)n(2n2+1)(2n)!x2n. \sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}(2n^{2}+1)}{(2n)!}x^{2n}.
?
Задача 3005

Найти сумму ряда

∑n=0∞n2xn(2n+1)!. \sum _{n=0}^{\infty }\frac{n^{2}x^{n}}{(2n+1)!}.
?
Задача 3006

С помощью почленного дифференцирования найти сумму ряда

∑n=1∞xnn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n}.
?
Задача 3007

С помощью почленного дифференцирования найти сумму ряда

∑n=1∞(−1)n−1x2nn(2n−1). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}x^{2n}}{n(2n-1)}.
?
Задача 3008

С помощью почленного дифференцирования найти сумму ряда

∑n=0∞x4n+14n+1. \sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{4n+1}}{4n+1}.
?
Задача 3009

С помощью почленного дифференцирования найти сумму ряда

∑n=1∞a(a+d)⋯[a+(n−1)d]d⋅2d⋯ndxn(d>0). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{a(a+d)\cdots [a+(n-1)d]}{d\cdot 2d\cdots nd}x^{n} \quad (d>0).
?
Задача 3010

С помощью почленного дифференцирования найти сумму ряда

13⋅x2+1⋅43⋅6(x2)2+1⋅4⋅73⋅6⋅9(x2)3+…. \frac{1}{3}\cdot \frac{x}{2}+\frac{1\cdot 4}{3\cdot 6}\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\frac{1\cdot 4\cdot 7}{3\cdot 6\cdot 9}\left(\frac{x}{2}\right)^{3}+\ldots .
?
Задача 3011

С помощью почленного интегрирования найти сумму ряда

∑n=1∞n2xn−1. \sum _{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n-1}.
?
Задача 3012

С помощью почленного интегрирования найти сумму ряда

∑n=1∞n(n+2)xn. \sum _{n=1}^{\infty }n(n+2)x^{n}.
?
Задача 3013

С помощью почленного интегрирования найти сумму ряда

∑n=0∞(2n+1)x2nn!. \sum _{n=0}^{\infty }\frac{(2n+1)x^{2n}}{n!}.
?
Задача 3014

Используя метод Абеля, найти сумму следующего ряда:

1−14+17−110+…. 1-\frac{1}{4}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+\ldots .
?
Задача 3015

Используя метод Абеля, найти сумму следующего ряда:

1−13+15−17+…. 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots .
?
Задача 3016

Используя метод Абеля, найти сумму следующего ряда:

1−12+1⋅32⋅4−1⋅3⋅52⋅4⋅6+…. 1-\frac{1}{2}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}+\ldots .
?
Задача 3017

Используя метод Абеля, найти сумму следующего ряда:

1+12⋅13+1⋅32⋅4⋅15+…. 1+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot \frac{1}{5}+\ldots .
?
Задача 3018

Найти суммы следующих тригонометрических рядов:

∑n=1∞sin⁡nxn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n}.
?
Задача 3019

Найти суммы следующих тригонометрических рядов:

∑n=1∞cos⁡nxn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos nx}{n}.
?
Задача 3020

Найти суммы следующих тригонометрических рядов:

∑n=1∞sin⁡nαsin⁡nxn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin n\alpha \sin nx}{n}.
?
Задача 3021

Найти суммы следующих тригонометрических рядов:

∑n=1∞sin⁡2nαsin⁡nxn(0<α<π2). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin ^{2}n\alpha \sin nx}{n} \quad \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right).
?
Задача 3022

Найти суммы следующих тригонометрических рядов:

∑n=1∞sin⁡(2n−1)x2n−1. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin (2n-1)x}{2n-1}.
?
Задача 3023

Найти суммы следующих тригонометрических рядов:

∑n=2∞(−1)ncos⁡nxn2−1. \sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}\frac{\cos nx}{n^{2}-1}.
?
Задача 3024

Найти суммы следующих тригонометрических рядов:

∑n=1∞cos⁡(2n−1)x(2n−1)2. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos (2n-1)x}{(2n-1)^{2}}.
?
Задача 3025

Найти суммы следующих тригонометрических рядов:

∑n=1∞(−1)n−1sin⁡nxn(n+1). \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\frac{\sin nx}{n(n+1)}.
?
Задача 3026

Найти суммы следующих тригонометрических рядов:

∑n=0∞cos⁡nxn!. \sum _{n=0}^{\infty }\frac{\cos nx}{n!}.
?
Задача 3027

Построить кривую

∑n=1∞sin⁡nx⋅sin⁡nyn2=0. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx\cdot \sin ny}{n^{2}}=0.
?
Задача 3028

Найти сумму следующего ряда:

∑n=1∞[(n−1)!]2(2n)!(2x)2n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\left[(n-1)!\right]^{2}}{(2n)!}(2x)^{2n}.
?
Задача 3029

Найти сумму следующего ряда:

∑n=0∞(n!)2(2n)!xn. \sum _{n=0}^{\infty }\frac{(n!)^{2}}{(2n)!}x^{n}.
?
Задача 3030

Найти сумму следующего ряда:

1!x+1+2!(x+1)(x+2)+3!(x+1)(x+2)(x+3)+…. \frac{1!}{x+1}+\frac{2!}{(x+1)(x+2)}+\frac{3!}{(x+1)(x+2)(x+3)}+\ldots .
?
Задача 3031

Найти сумму следующего ряда:

a1a2+x+a1a2+x⋅a1a3+x+… \frac{a_{1}}{a_{2}+x}+\frac{a_{1}}{a_{2}+x}\cdot \frac{a_{1}}{a_{3}+x}+\ldots

при условии, что x>0x>0, an>0a_{n}>0 (n=1,2,…n=1,2,\ldots) и ряд ∑n=1∞1an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{a_{n}} расходящийся.

?
Задача 3032

Найти сумму следующего ряда:

x1−x2+x21−x4+x41−x8+…, \frac{x}{1-x^{2}}+\frac{x^{2}}{1-x^{4}}+\frac{x^{4}}{1-x^{8}}+\ldots ,

если:

?
(а)

∣x∣<1\left|x\right|<1;

(б)

∣x∣>1\left|x\right|>1.

Задача 3033

Найти сумму следующего ряда:

∑n=1∞xn+1(1−xn)(1−xn+1), \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n+1}}{(1-x^{n})(1-x^{n+1})},

если:

?
(а)

∣x∣<1\left|x\right|<1;

(б)

∣x∣>1\left|x\right|>1.