Банк задач по математике

Задача 2936

Функцию $f(x)=\sin^{4}x$ разложить в ряд Фурье.

?

Задача 2937

Каков будет ряд Фурье для тригонометрического многочлена

P_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}(\alpha _{i}\cos ix+\beta _{i}\sin ix)?

?

Задача 2938

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)=\sgn x$ ( $-\pi <x<\pi$ ).

Нарисовать график функции и графики нескольких частных сумм ряда Фурье этой функции.

Пользуясь разложением, найти сумму ряда Лейбница

\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}.

?

Задача 2939

Разложить в ряд Фурье в интервале $(0,2l)$ функцию

f(x)= \begin{cases} A, & \text{если } 0<x<l; \\ 0, & \text{если } l<x<2l, \end{cases}

где $A$ — постоянная.

?

Задача 2940

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)=x$ в интервале $(-\pi ,\pi )$ .

?

Задача 2941

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)=\dfrac {\pi -x}{2}$ в интервале $(0,2\pi )$ .

?

Задача 2942

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)=\left|x\right|$ в интервале $(-\pi ,\pi )$ .

?

Задача 2943

Разложить в ряд Фурье функцию

f(x)= \begin{cases} ax, & \text{если } -\pi <x<0; \\ bx, & \text{если } 0<x<\pi , \end{cases}

где $a$ и $b$ — постоянные, в интервале $(-\pi ,\pi )$ .

?

Задача 2944

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)=\pi^{2}-x^{2}$ в интервале $(-\pi ,\pi )$ .

?

Задача 2945

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)=\cos ax$ в интервале $(-\pi ,\pi )$ ( $a$ — не целое).

?

Задача 2946

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)=\sin ax$ в интервале $(-\pi ,\pi )$ ( $a$ — не целое).

?

Задача 2947

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)=\sh ax$ в интервале $(-\pi ,\pi )$ .

?

Задача 2948

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)=e^{ax}$ в интервале $(-h,h)$ .

?

Задача 2949

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)=x$ в интервале $(a,a+2l)$ .

?

Задача 2950

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)=x\sin x$ в интервале $(-\pi ,\pi )$ .

?

Задача 2951

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)=x\cos x$ в интервале $\left(-\dfrac {\pi }{2},\dfrac {\pi }{2}\right)$ .

?

Задача 2952

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию $f(x)=\sgn (\cos x)$ .

?

Задача 2953

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию $f(x)=\arcsin (\sin x)$ .

?

Задача 2954

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию $f(x)=\arcsin (\cos x)$ .

?

Задача 2955

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию $f(x)=x-[x]$ .

?

Задача 2956

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию $f(x)=(x)$ — расстояние $x$ до ближайшего целого числа.

?

Задача 2957

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию $f(x)=\left|\sin x\right|$ .

?

Задача 2958

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию $f(x)=\left|\cos x\right|$ .

?

Задача 2959

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha ^{n}\frac{\sin nx}{\sin x} \quad (\left|\alpha \right|<1).

?

Задача 2960

Разложить в ряд Фурье функцию

f(x)=\sec x \quad \left(-\frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{4}\right).

?

Задача 2961

(а)(б)(в)

Функцию $f(x)=x^{2}$ разложить в ряд Фурье:

?

(а)

в интервале $(-\pi ,\pi )$ по косинусам кратных дуг;

(б)

в интервале $(0,\pi )$ по синусам кратных дуг;

(в)

в интервале $(0,2\pi )$ .

Нарисовать график функции и графики сумм рядов Фурье для случаев а), б) и в).

Пользуясь этими разложениями, найти суммы рядов:

\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}, \quad \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}} \quad \text{и} \quad \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(2n-1)^{2}}.

Задача 2962

Исходя из разложения

x=2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\frac{\sin nx}{n} \quad (-\pi <x<\pi ),

почленным интегрированием получить разложения в ряд Фурье на интервале $(-\pi ,\pi )$ функций $x^{2}$ , $x^{3}$ и $x^{4}$ .

?

Задача 2963

Написать равенство Ляпунова для функции

f(x)= \begin{cases} 1 & \text{при } \left|x\right|<\alpha ; \\ 0 & \text{при } \alpha <\left|x\right|<\pi . \end{cases}

Исходя из равенства Ляпунова, найти суммы рядов:

\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin ^{2}n\alpha }{n^{2}} \quad \text{и} \quad \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos ^{2}n\alpha }{n^{2}}.

?

Задача 2964

Разложить в ряд Фурье функцию

f(x)= \begin{cases} x, & \text{если } 0 \leqslant x \leqslant 1; \\ 1, & \text{если } 1<x<2; \\ 3-x, & \text{если } 2 \leqslant x \leqslant 3. \end{cases}

?

Задача 2965

Пользуясь формулами

\cos x=\frac{1}{2}(t+\overline{t}), \quad \sin x=\frac{1}{2i}(t-\overline{t}),

где $t=e^{ix}$ и $\overline{t}=e^{-ix}$ , получить разложение в ряд Фурье функции $\cos^{2m}x$ ( $m$ — целое положительное число).

?

Задача 2966

Пользуясь формулами

\cos x=\frac{1}{2}(t+\overline{t}), \quad \sin x=\frac{1}{2i}(t-\overline{t}),

где $t=e^{ix}$ и $\overline{t}=e^{-ix}$ , получить разложение в ряд Фурье функции $\dfrac {q\sin x}{1-2q\cos x+q^{2}}$ ( $\left|q\right|<1$ ).

?

Задача 2967

Пользуясь формулами

\cos x=\frac{1}{2}(t+\overline{t}), \quad \sin x=\frac{1}{2i}(t-\overline{t}),

где $t=e^{ix}$ и $\overline{t}=e^{-ix}$ , получить разложение в ряд Фурье функции $\dfrac {1-q^{2}}{1-2q\cos x+q^{2}}$ ( $\left|q\right|<1$ ).

?

Задача 2968

Пользуясь формулами

\cos x=\frac{1}{2}(t+\overline{t}), \quad \sin x=\frac{1}{2i}(t-\overline{t}),

где $t=e^{ix}$ и $\overline{t}=e^{-ix}$ , получить разложение в ряд Фурье функции $\dfrac {1-q\cos x}{1-2q\cos x+q^{2}}$ ( $\left|q\right|<1$ ).

?

Задача 2969

Пользуясь формулами

\cos x=\frac{1}{2}(t+\overline{t}), \quad \sin x=\frac{1}{2i}(t-\overline{t}),

где $t=e^{ix}$ и $\overline{t}=e^{-ix}$ , получить разложение в ряд Фурье функции $\ln (1-2q\cos x+q^{2})$ ( $\left|q\right|<1$ ).

?

Задача 2970

Разложить в ряд Фурье неограниченную периодическую функцию $f(x)=\ln \left|\sin \dfrac {x}{2}\right|$ .

?

Задача 2971

Разложить в ряд Фурье неограниченную периодическую функцию $f(x)=\ln \left|\cos \dfrac {x}{2}\right|$ .

?

Задача 2972

Разложить в ряд Фурье неограниченную периодическую функцию $f(x)=\ln \left|\tg \dfrac {x}{2}\right|$ .

?

Задача 2973

Разложить в ряд Фурье функцию

f(x)=\int _{0}^{x}\ln \sqrt{\left|\ctg \frac{t}{2}\right|}\, dt \quad (-\pi \leqslant x \leqslant \pi ).

?

Задача 2974

Разложить в ряд Фурье функции $x=x(s)$ , $y=y(s)$ ( $0 \leqslant s \leqslant 4a$ ), дающие параметрическое представление контура квадрата: $0<x<a$ , $0<y<a$ , где $s$ — длина дуги, отсчитанная против хода часовой стрелки от точки $O(0,0)$ .

?

Задача 2975

Как следует продолжить заданную в интервале $\left(0,\dfrac {\pi }{2}\right)$ интегрируемую функцию $f(x)$ в интервал $(-\pi ,\pi )$ , чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид

f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos (2n-1)x \quad (-\pi <x<\pi )?

?

Задача 2976

Как следует продолжить заданную в интервале $\left(0,\dfrac {\pi }{2}\right)$ интегрируемую функцию $f(x)$ в интервал $(-\pi ,\pi )$ , чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид

f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin (2n-1)x \quad (-\pi <x<\pi )?

?

Задача 2977

(а)(б)

Функцию $f(x)=x\left(\dfrac {\pi }{2}-x\right)$ разложить в интервале $\left(0,\dfrac {\pi }{2}\right)$ :

?

(а)

по косинусам нечетных дуг;

(б)

по синусам нечетных дуг.

Нарисовать графики суммы рядов Фурье для случаев а) и б).

Задача 2978

Функция $f(x)$ антипериодична с периодом $\pi$ , т.е.

f(x+\pi ) \equiv -f(x).

Какой особенностью обладает ряд Фурье этой функции в интервале $(-\pi ,\pi )$ ?

?

Задача 2979

Какой особенностью обладает ряд Фурье функции $f(x)$ в интервале $(-\pi ,\pi )$ , если $f(x+\pi ) \equiv f(x)$ ?

?

Задача 2980

(а)(б)

Какими особенностями обладают коэффициенты Фурье $a_{n}$ , $b_{n}$ ( $n=1,2,\ldots$ ) функции $y=f(x)$ периода $2\pi$ , если график функции:

?

(а)

имеет центры симметрии в точках $(0,0)$ , $\left(\pm \dfrac {\pi }{2},0\right)$ ;

(б)

имеет центр симметрии в начале координат и оси симметрии $x=\pm \dfrac {\pi }{2}$ ?

Задача 2981

Как связаны между собой коэффициенты Фурье $a_{n}$ , $b_{n}$ и $\alpha_{n}$ , $\beta_{n}$ ( $n=0,1,2,\ldots$ ) функций $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ , если

\varphi (-x) \equiv \psi (x)?

?

Задача 2982

Как связаны между собой коэффициенты Фурье $a_{n}$ , $b_{n}$ и $\alpha_{n}$ , $\beta_{n}$ ( $n=0,1,2,\ldots$ ) функций $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ , если

\varphi (-x) \equiv -\psi (x)?

?

Задача 2983

Зная коэффициенты Фурье $a_{n}$ , $b_{n}$ ( $n=0,1,2,\ldots$ ) интегрируемой функции $f(x)$ , имеющей период $2\pi$ , вычислить коэффициенты Фурье $\overline{a}_{n}$ , $\overline{b}_{n}$ ( $n=0,1,2,\ldots$ ) «смещенной» функции $f(x+h)$ ( $h=\mathrm{const}$ ).

?

Задача 2984

Зная коэффициенты Фурье $a_{n}$ , $b_{n}$ ( $n=0,1,2,\ldots$ ) интегрируемой функции $f(x)$ периода $2\pi$ , вычислить коэффициенты Фурье $A_{n}$ , $B_{n}$ ( $n=0,1,2,\ldots$ ) функции Стеклова

f_{h}(x)=\frac{1}{2h}\int _{x-h}^{x+h}f(\xi )\, d\xi .

?

Задача 2985

Пусть $f(x)$ — непрерывная функция с периодом $2\pi$ и $a_{n}$ , $b_{n}$ ( $n=0,1,2,\ldots$ ) — ее коэффициенты Фурье. Определить коэффициенты Фурье $A_{n}$ , $B_{n}$ ( $n=0,1,2,\ldots$ ) свернутой функции

F(x)=\frac{1}{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(t)f(x+t)\, dt.

Пользуясь полученным результатом, вывести равенство Ляпунова.

?

Ряды Фурье