5.2

Признаки сходимости знакопеременных рядов

[48/100%]
Показать
LaTeX
Задача 2656

Доказать, что члены не абсолютно сходящегося ряда можно без перестановки сгруппировать так, что полученный новый ряд будет абсолютно сходящимся.

?
Задача 2657

Доказать, что ряд ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} является сходящимся, если выполнены условия:

  1. общий член этого ряда ana_{n} стремится к нулю при n→∞n \to \infty;

  2. ряд ∑n=1∞An\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }A_{n}, полученный в результате группировки членов данного ряда без нарушения их порядка, сходится;

  3. число слагаемых aia_{i}, входящих в член An=∑i=pnpn+1−1aiA_{n}=\displaystyle \sum_{i=p_{n}}^{p_{n+1}-1}a_{i} (1=p1<p2<…1=p_{1}<p_{2}<\ldots), ограничено.

?
Задача 2658

Доказать, что сумма сходящегося ряда не изменится, если члены этого ряда переставить так, что ни один из них не удаляется от своего прежнего положения больше чем на mm мест, где mm — некоторое заранее заданное число.

?
Задача 2659

Доказать сходимость следующего ряда и найти его сумму:

1−32+54−78+…. 1-\frac{3}{2}+\frac{5}{4}-\frac{7}{8}+\ldots .
?
Задача 2660

Доказать сходимость следующего ряда и найти его сумму:

1+12−14+18+116−132+…. 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}+\ldots .
?
Задача 2661

Доказать сходимость следующего ряда и найти его сумму:

1−12+13−14+15−16+…. 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots .
?
Задача 2662

Зная, что ∑n=1∞(−1)n+1n=ln⁡2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln 2, найти суммы рядов, полученных из данного в результате перестановки его членов:

?
(а)

1+13−12+15+17−14+…1+\dfrac {1}{3}-\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{5}+\dfrac {1}{7}-\dfrac {1}{4}+\ldots;

(б)

1−12−14+13−16−18+…1-\dfrac {1}{2}-\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{3}-\dfrac {1}{6}-\dfrac {1}{8}+\ldots.

Задача 2663

Члены сходящегося ряда ∑n=1∞(−1)n+1n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}} переставить так, чтобы он стал расходящимся.

?
Задача 2664

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

∑n=1∞(−1)n(n−1)/22n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{2^{n}}.
?
Задача 2665

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

∑n=1∞(−1)n(2n+1003n+1)n. \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\left(\frac{2n+100}{3n+1}\right)^{n}.
?
Задача 2666

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

1+12+13−14−15−16+17+18+19−…. 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\ldots .
?
Задача 2666.1

Пусть

∑n=1∞(−1)nbn,(1) \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}b_{n}, \tag {1}

где bn>0b_{n}>0 и bn→0b_{n} \to 0 при n→∞n \to \infty. Следует ли отсюда, что ряд (1) сходится? Рассмотреть пример

∑n=1∞(−1)n2+(−1)nn. \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{2+(-1)^{n}}{n}.
?
Задача 2667

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

∑n=1∞ln⁡100nnsin⁡nπ4. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\ln ^{100}n}{n}\sin \frac{n\pi }{4}.
?
Задача 2668

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

∑n=1∞(−1)nsin⁡2nn. \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{\sin ^{2}n}{n}.
?
Задача 2669

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

∑n=1∞(−1)nnn+100. \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{\sqrt{n}}{n+100}.
?
Задача 2670

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

∑n=2∞(−1)nn+(−1)n. \sum _{n=2}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}+(-1)^{n}}.
?
Задача 2671

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

∑n=1∞sin⁡(πn2+k2). \sum _{n=1}^{\infty }\sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+k^{2}}\right).
?
Задача 2672

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

∑n=1∞(−1)[n]n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{[\sqrt{n}]}}{n}.
?
Задача 2673

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

∑n=1∞(−1)nnn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{n}}.
?
Задача 2673.1

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

∑n=2∞1ln⁡2ncos⁡πn2n+1. \sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{\ln ^{2}n}\cos \frac{\pi n^{2}}{n+1}.
?
Задача 2674

Доказать, что знакочередующийся ряд b1−b2+b3−b4+…+(−1)n−1bn+…b_{1}-b_{2}+b_{3}-b_{4}+\ldots +(-1)^{n-1}b_{n}+\ldots (bn>0b_{n}>0) сходится, если

bnbn+1=1+pn+o(1n), \frac{b_{n}}{b_{n+1}}=1+\frac{p}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right),

где p>0p>0 (см. задачу 2606(н): доказать, что если для знакоположительного ряда ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} (an>0a_{n}>0) при n→∞n \to \infty выполнено условие anan+1=1+pn+o(1n)\dfrac {a_{n}}{a_{n+1}}=1+\dfrac {p}{n}+o\left(\dfrac {1}{n}\right), то an=o(1np−ε)a_{n}=o\left(\dfrac {1}{n^{p-\varepsilon }}\right), где ε>0\varepsilon >0 произвольно мало; причем, если p>0p>0, то an↓0a_{n}\downarrow 0 при n→∞n \to \infty).

?
Задача 2675

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)n−1np. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n^{p}}.
?
Задача 2676

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)n−1np+1/n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n^{p+1/n}}.
?
Задача 2677

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=2∞ln⁡[1+(−1)nnp]. \sum _{n=2}^{\infty }\ln \left[1+\frac{(-1)^{n}}{n^{p}}\right].
?
Задача 2678

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)n−12nsin⁡2nxn. \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\frac{2^{n}\sin ^{2n}x}{n}.
?
Задача 2679

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)nx+n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{x+n}.
?
Задача 2680

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=2∞(−1)n[n+(−1)n]p. \sum _{n=2}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{\left[n+(-1)^{n}\right]^{p}}.
?
Задача 2681

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)n−1[n+(−1)n−1]p. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{\left[\sqrt{n}+(-1)^{n-1}\right]^{p}}.
?
Задача 2682

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞sin⁡nπ4np+sin⁡nπ4. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin \dfrac {n\pi }{4}}{n^{p}+\sin \dfrac {n\pi }{4}}.
?
Задача 2683

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)nn−1n+1⋅1n100. \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{n-1}{n+1}\cdot \frac{1}{\sqrt[100]{n}}.
?
Задача 2684

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)n(n−1)/2n1002n. \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n(n-1)/2}\frac{n^{100}}{2^{n}}.
?
Задача 2685

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)nn2n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{n^{2}\sqrt{n}}.
?
Задача 2686

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=2∞sin⁡nπ12ln⁡n. \sum _{n=2}^{\infty }\frac{\sin \dfrac {n\pi }{12}}{\ln n}.
?
Задача 2687

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)[n]np. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{[\sqrt{n}]}}{n^{p}}.
?
Задача 2688

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)[ln⁡n]n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{[\ln n]}}{n}.
?
Задача 2689

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующий ряд:

∑n=1∞(−1)n−1[1⋅3⋅5⋯(2n−1)2⋅4⋅6⋯(2n)]p. \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left[\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}\right]^{p}.
?
Задача 2690

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=1∞sin⁡n⋅sin⁡n2n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin n\cdot \sin n^{2}}{n}.
?
Задача 2691

Исследовать сходимость следующего ряда:

∑n=1∞sin⁡n2. \sum _{n=1}^{\infty }\sin n^{2}.
?
Задача 2692

Пусть

R(x)=a0xp+a1xp−1+…+apb0xq+b1xq−1+…+bq R(x)=\frac{a_{0}x^{p}+a_{1}x^{p-1}+\ldots +a_{p}}{b_{0}x^{q}+b_{1}x^{q-1}+\ldots +b_{q}}

— рациональная функция, где a0≠0a_{0} \neq 0, b0≠0b_{0} \neq 0 и ∣b0xq+b1xq−1+…+bq∣>0\left|b_{0}x^{q}+b_{1}x^{q-1}+\ldots +b_{q}\right|>0 при x>n0x>n_{0}.

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

∑n=n0∞(−1)nR(n). \sum _{n=n_{0}}^{\infty }(-1)^{n}R(n).
?
Задача 2693

Исследовать сходимость ряда:

11p−12q+13p−14q+15p−16q+…. \frac{1}{1^{p}}-\frac{1}{2^{q}}+\frac{1}{3^{p}}-\frac{1}{4^{q}}+\frac{1}{5^{p}}-\frac{1}{6^{q}}+\ldots .
?
Задача 2694

Исследовать сходимость ряда:

1+13p−12p+15p+17p−14p+…. 1+\frac{1}{3^{p}}-\frac{1}{2^{p}}+\frac{1}{5^{p}}+\frac{1}{7^{p}}-\frac{1}{4^{p}}+\ldots .
?
Задача 2695

Исследовать сходимость ряда:

1+13p−11p+15p+17p−13p+19p+111p−15p+…. 1+\frac{1}{3^{p}}-\frac{1}{1^{p}}+\frac{1}{5^{p}}+\frac{1}{7^{p}}-\frac{1}{3^{p}}+\frac{1}{9^{p}}+\frac{1}{11^{p}}-\frac{1}{5^{p}}+\ldots .
?
Задача 2696

Исследовать сходимость ряда:

1−22q+13p+14p−25q+16p+17p−28q+19p+…. 1-\frac{2}{2^{q}}+\frac{1}{3^{p}}+\frac{1}{4^{p}}-\frac{2}{5^{q}}+\frac{1}{6^{p}}+\frac{1}{7^{p}}-\frac{2}{8^{q}}+\frac{1}{9^{p}}+\ldots .
?
Задача 2697

Доказать, что ряды:

?
(а)

sin⁡x+sin⁡2x2+sin⁡3x3+…\sin x+\dfrac {\sin 2x}{2}+\dfrac {\sin 3x}{3}+\ldots;

(б)

cos⁡x+cos⁡2x2+cos⁡3x3+…\cos x+\dfrac {\cos 2x}{2}+\dfrac {\cos 3x}{3}+\ldots

не абсолютно сходятся в интервале (0,π)(0,\pi ).

Задача 2698

Для рядов

∑n=1∞cos⁡nxnp,∑n=1∞sin⁡nxnp(0<x<π) \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos nx}{n^{p}}, \quad \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n^{p}} \quad (0<x<\pi )

определить для совокупности параметров (p,x)(p,x):

?
(а)
(б)

область неабсолютной сходимости.

Задача 2698.1

Исследовать сходимость рядов:

?
(а)

∑n=2∞(−1)nnnln⁡n\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty }\frac{(-1)^{n}\sqrt[n]{n}}{\ln n};

(б)

∑n=2∞sin⁡(n+1n)ln⁡(ln⁡n)\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty }\frac{\sin \left(n+\dfrac {1}{n}\right)}{\ln (\ln n)};

(в)

∑n=10∞sin⁡nn+10sin⁡n\displaystyle \sum_{n=10}^{\infty }\frac{\sin n}{n+10\sin n}.

Задача 2699

Для ряда

∑n=1∞(−1)n−1(1+p)(2+p)⋯(n+p)n! nq \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\frac{(1+p)(2+p)\cdots (n+p)}{n!\, n^{q}}

определить:

?
(а)

область абсолютной сходимости;

(б)

область условной сходимости.

Задача 2700

Исследовать сходимость ряда

∑n=1∞(mn), \sum _{n=1}^{\infty }\binom {m}{n},

где (mn)=m(m−1)⋯(m−n+1)n!\dbinom {m}{n}=\dfrac {m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}.

?