5.9

Бесконечные произведения

[60/100%]
Показать
LaTeX
Задача 3051

Доказать равенство

∏n=2∞(1−1n2)=12. \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{1}{2}.
?
Задача 3052

Доказать равенство

∏n=2∞n3−1n3+1=23. \prod _{n=2}^{\infty }\frac{n^{3}-1}{n^{3}+1}=\frac{2}{3}.
?
Задача 3053

Доказать равенство

∏n=2∞[1−2n(n+1)]=13. \prod _{n=2}^{\infty }\left[1-\frac{2}{n(n+1)}\right]=\frac{1}{3}.
?
Задача 3054

Доказать равенство

∏n=0∞[1+(12)2n]=2. \prod _{n=0}^{\infty }\left[1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2^{n}}\right]=2.
?
Задача 3055

Доказать равенство

∏n=1∞cos⁡π2n+1=2π. \prod _{n=1}^{\infty }\cos \frac{\pi }{2^{n+1}}=\frac{2}{\pi }.
?
Задача 3056

Доказать равенство

∏n=1∞cos⁡x2n=sin⁡xx. \prod _{n=1}^{\infty }\cos \frac{x}{2^{n}}=\frac{\sin x}{x}.
?
Задача 3057

Доказать равенство

∏n=1∞ch⁡x2n=sh⁡xx. \prod _{n=1}^{\infty }\ch \frac{x}{2^{n}}=\frac{\sh x}{x}.
?
Задача 3058

Доказать равенство

∏n=0∞(1+x2n)=11−x(∣x∣<1). \prod _{n=0}^{\infty }(1+x^{2^{n}})=\frac{1}{1-x} \quad (\left|x\right|<1).
?
Задача 3059

Доказать равенство

π2=22⋅22+2⋅22+2+2⋯ . \frac{\pi }{2}=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\cdots .
?
Задача 3060

Доказать равенство

∏n=1∞3n3n−1⋅3n3n+1=2π33. \prod _{n=1}^{\infty }\frac{3n}{3n-1}\cdot \frac{3n}{3n+1}=\frac{2\pi }{3\sqrt{3}}.
?
Задача 3061

Доказать сходимость и определить значение следующего бесконечного произведения:

∏n=3∞n2−4n2−1. \prod _{n=3}^{\infty }\frac{n^{2}-4}{n^{2}-1}.
?
Задача 3062

Доказать сходимость и определить значение следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞[1+1n(n+2)]. \prod _{n=1}^{\infty }\left[1+\frac{1}{n(n+2)}\right].
?
Задача 3063

Доказать сходимость и определить значение следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞(2n+1)(2n+7)(2n+3)(2n+5). \prod _{n=1}^{\infty }\frac{(2n+1)(2n+7)}{(2n+3)(2n+5)}.
?
Задача 3064

Доказать сходимость и определить значение следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞a(−1)n/n(a>0). \prod _{n=1}^{\infty }a^{(-1)^{n}/n} \quad (a>0).
?
Задача 3065

Следует ли из сходимости произведений ∏n=1∞pn\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }p_{n} и ∏n=1∞qn\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }q_{n} сходимость произведений:

?
(а)

∏n=1∞(pn+qn)\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }(p_{n}+q_{n});

(б)

∏n=1∞pn2\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }p_{n}^{2};

(в)

∏n=1∞pnqn\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }p_{n}q_{n};

(г)

∏n=1∞pnqn\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }\dfrac {p_{n}}{q_{n}}?

Задача 3066

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞1n. \prod _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}.
?
Задача 3067

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞(n+1)2n(n+2). \prod _{n=1}^{\infty }\frac{(n+1)^{2}}{n(n+2)}.
?
Задача 3068

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞(1+1np). \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{1}{n^{p}}\right).
?
Задача 3069

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=2∞(1−1n). \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-\frac{1}{n}\right).
?
Задача 3070

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=2∞(n2−1n2+1)p. \prod _{n=2}^{\infty }\left(\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1}\right)^{p}.
?
Задача 3071

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=n0∞n2+a1n+b1n2+an+b,где n2+an+b>0 при n⩾n0. \prod _{n=n_{0}}^{\infty }\frac{n^{2}+a_{1}n+b_{1}}{n^{2}+an+b}, \quad \text{где } n^{2}+an+b>0 \text{ при } n \geqslant n_{0}.
?
Задача 3072

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=n0∞(n−a1)(n−a2)⋯(n−ap)(n−b1)(n−b2)⋯(n−bp),где n0>bi (i=1,2,…,p). \prod _{n=n_{0}}^{\infty }\frac{(n-a_{1})(n-a_{2})\cdots (n-a_{p})}{(n-b_{1})(n-b_{2})\cdots (n-b_{p})}, \quad \text{где } n_{0}>b_{i} \ (i=1,2,\ldots ,p).
?
Задача 3073

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=0∞n+1n+2. \prod _{n=0}^{\infty }\sqrt{\frac{n+1}{n+2}}.
?
Задача 3074

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞nn2+1. \prod _{n=1}^{\infty }\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}.
?
Задача 3075

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞1+1nn. \prod _{n=1}^{\infty }\sqrt[n]{1+\frac{1}{n}}.
?
Задача 3076

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞nn2. \prod _{n=1}^{\infty }\sqrt[n^{2}]{n}.
?
Задача 3077

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞(1+xn)e−x/n. \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{x}{n}\right)e^{-x/n}.
?
Задача 3078

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞(1−xc+n)ex/n,где c>0. \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{x}{c+n}\right)e^{x/n}, \quad \text{где } c>0.
?
Задача 3079

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞(1−xn). \prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n}).
?
Задача 3080

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞(1+xn2n). \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{x^{n}}{2^{n}}\right).
?
Задача 3081

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞[1+(1+1n)n2xn]. \prod _{n=1}^{\infty }\left[1+\frac{\left(1+\dfrac {1}{n}\right)^{n^{2}}}{x^{n}}\right].
?
Задача 3082

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞(1−xn)ex/n+x2/2n. \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{x}{\sqrt{n}}\right)e^{x/\sqrt{n}+x^{2}/2n}.
?
Задача 3083

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞(1+xnnp)cos⁡xnnq. \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{x^{n}}{n^{p}}\right)\cos \frac{x^{n}}{n^{q}}.
?
Задача 3084

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞(sin⁡xnxn)p. \prod _{n=1}^{\infty }\left(\dfrac {\sin \dfrac {x}{n}}{\dfrac {x}{n}}\right)^{p}.
?
Задача 3085

Исследовать сходимость следующего бесконечного произведения:

∏n=1∞ln⁡(n+x)−ln⁡nn. \prod _{n=1}^{\infty }\sqrt[n]{\ln (n+x)-\ln n}.
?
Задача 3086

Доказать, что произведение ∏n=1∞cos⁡xn\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }\cos x_{n} сходится, если сходится ряд ∑n=1∞xn2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }x_{n}^{2}.

?
Задача 3087

Доказать, что произведение ∏n=1∞tg⁡(π4+αn)\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }\tg \left(\dfrac {\pi }{4}+\alpha_{n}\right) (∣αn∣<π4\left|\alpha_{n}\right|<\dfrac {\pi }{4}) сходится, если абсолютно сходится ряд ∑n=1∞αn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\alpha_{n}.

?
Задача 3088

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующее бесконечное произведение:

∏n=1∞[1+(−1)n+1n]. \prod _{n=1}^{\infty }\left[1+\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right].
?
Задача 3089

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующее бесконечное произведение:

∏n=1∞[1+(−1)n+1n]. \prod _{n=1}^{\infty }\left[1+\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}\right].
?
Задача 3090

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующее бесконечное произведение:

∏n=1∞[1+(−1)n+1np]. \prod _{n=1}^{\infty }\left[1+\frac{(-1)^{n+1}}{n^{p}}\right].
?
Задача 3091

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующее бесконечное произведение:

∏n=2∞[1+(−1)nln⁡n]. \prod _{n=2}^{\infty }\left[1+\frac{(-1)^{n}}{\ln n}\right].
?
Задача 3092

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующее бесконечное произведение:

∏n=2∞nn+(−1)n. \prod _{n=2}^{\infty }\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+(-1)^{n}}.
?
Задача 3093

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующее бесконечное произведение:

∏n=1∞n(−1)n. \prod _{n=1}^{\infty }n^{(-1)^{n}}.
?
Задача 3094

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующее бесконечное произведение:

∏n=1∞n(−1)nn. \prod _{n=1}^{\infty }\sqrt[n]{n^{(-1)^{n}}}.
?
Задача 3095

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующее бесконечное произведение:

∏n=1∞[1+(−1)n(n−1)/2n]. \prod _{n=1}^{\infty }\left[1+\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{n}\right].
?
Задача 3096

Показать, что произведение

(1+11)(1−13)(1−15)(1+12)(1−17)(1−19)(1+13)⋯ \left(1+\frac{1}{\sqrt{1}}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{7}}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{9}}\right)\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cdots

расходится.

?
Задача 3097

Показать, что произведение

(1+11α)(1−12α)2(1+13α)(1+14α)(1−15α)2(1+16α)⋯ \left(1+\frac{1}{1^{\alpha }}\right)\left(1-\frac{1}{2^{\alpha }}\right)^{2}\left(1+\frac{1}{3^{\alpha }}\right)\left(1+\frac{1}{4^{\alpha }}\right)\left(1-\frac{1}{5^{\alpha }}\right)^{2}\left(1+\frac{1}{6^{\alpha }}\right)\cdots

сходится абсолютно при α>1\alpha >1 и сходится условно при 12<α⩽1\dfrac {1}{2}<\alpha \leqslant 1.

?
Задача 3098

Показать, что произведение

(1+12+12)(1−12)(1+13+13)(1−13)⋯ \left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cdots

сходится, хотя ряд

(12+12)+(−12)+(13+13)+(−13)+… \left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}\right)+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\ldots

расходится.

?
Задача 3099

Показать, что произведение ∏n=1∞(1+αn)\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }(1+\alpha_{n}), где

αn={−1k,если n=2k−1;1k+1k+1kk,если n=2k, \alpha _{n}= \begin{cases} -\dfrac {1}{\sqrt{k}}, & \text{если } n=2k-1; \\ \dfrac {1}{\sqrt{k}}+\dfrac {1}{k}+\dfrac {1}{k\sqrt{k}}, & \text{если } n=2k, \end{cases}

сходится, хотя оба ряда ∑n=1∞αn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\alpha_{n} и ∑n=1∞αn2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\alpha_{n}^{2} расходятся.

?
Задача 3100

Пусть

ζ(x)=∑n=1∞1nx \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{x}}

(дзета-функция Римана) и pnp_{n} (n=1,2,…n=1,2,\ldots) — последовательные простые числа.

Доказать, что ∏n=1∞(1−1pnx)−1=ζ(x)\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }\left(1-\dfrac {1}{p_{n}^{x}}\right)^{-1}=\zeta (x).

?
Задача 3101

Доказать, что произведение ∏n=1∞(1−1pn)−1\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty }\left(1-\dfrac {1}{p_{n}}\right)^{-1} и ряд ∑n=1∞1pn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{p_{n}}, где pnp_{n} (n=1,2,…n=1,2,\ldots) — последовательные простые числа, расходятся (Эйлер).

?
Задача 3102

Пусть an>0a_{n}>0 (n=1,2,…n=1,2,\ldots) и

anan+1=1+pn+O(1n1+ε)(ε>0). \frac{a_{n}}{a_{n+1}}=1+\frac{p}{n}+O\left(\frac{1}{n^{1+\varepsilon }}\right) \quad (\varepsilon >0).

Доказать, что

an=O∗(1np). a_{n}=O^{*}\left(\frac{1}{n^{p}}\right).
?
Задача 3103

С помощью формулы Валлиса доказать, что

1⋅3⋅5⋯(2n−1)2⋅4⋅6⋯(2n)∼1πn. \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}.
?
Задача 3104

Доказать, что выражение

an=n!ennn+1/2 a_{n}=\frac{n!e^{n}}{n^{n+1/2}}

имеет отличный от нуля предел AA при n→∞n \to \infty.

Вывести отсюда формулу Стирлинга

n!=Ann+1/2e−n(1+εn), n!=An^{n+1/2}e^{-n}(1+\varepsilon _{n}),

где lim⁡n→∞εn=0\displaystyle \lim_{n \to \infty }\varepsilon_{n}=0, A=2πA=\sqrt{2\pi }.

?
Задача 3105

Согласно Эйлеру гамма-функция Γ(x)\Gamma (x) определяется следующей формулой:

Γ(x)=lim⁡n→∞n! nxx(x+1)⋯(x+n). \Gamma (x)=\lim _{n \to \infty }\frac{n!\, n^{x}}{x(x+1)\cdots (x+n)}.

Исходя из этой формулы:

?
(а)

представить функцию Γ(x)\Gamma (x) в виде бесконечного произведения;

(б)

показать, что Γ(x)\Gamma (x) имеет смысл для всех действительных xx, не равных целому отрицательному числу;

(в)

вывести свойство

Γ(x+1)=xΓ(x); \Gamma (x+1)=x\Gamma (x);
(г)

получить значение Γ(n)\Gamma (n) для nn целого и положительного.

Задача 3106

Пусть функция f(x)f(x) собственно интегрируема на сегменте [a,b][a,b] и

δn=b−an,fin=f(a+iδn)(i=1,2,…,n). \delta _{n}=\frac{b-a}{n}, \quad f_{in}=f(a+i\delta _{n}) \quad (i=1,2,\ldots ,n).

Доказать, что

lim⁡n→∞∏i=0n(1+δnfin)=e∫abf(x) dx. \lim _{n \to \infty }\prod _{i=0}^{n}(1+\delta _{n}f_{in})=e^{\int _{a}^{b}f(x)\, dx}.
?
Задача 3107

Доказать, что

lim⁡n→∞∏i=0n−1(a+ib)n∑i=0n−1(a+ib)=2e, \lim _{n \to \infty }\frac{\sqrt[n]{\displaystyle \prod _{i=0}^{n-1}(a+ib)}}{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}(a+ib)}=\frac{2}{e},

где a>0a>0 и b>0b>0.

?
Задача 3108

Пусть fn(x)f_{n}(x) (n=1,2,…n=1,2,\ldots) — непрерывные функции на интервале (a,b)(a,b) и ∣fn(x)∣⩽cn\left|f_{n}(x)\right| \leqslant c_{n} (n=1,2,…n=1,2,\ldots), где ряд ∑n=1∞cn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }c_{n} сходится.

Доказать, что функция

F(x)=∏n=1∞[1+fn(x)](∣fn(x)∣<1) F(x)=\prod _{n=1}^{\infty }\left[1+f_{n}(x)\right] \quad (\left|f_{n}(x)\right|<1)

непрерывна на интервале (a,b)(a,b).

?
Задача 3109

Найти выражение для производной функции

F(x)=∏n=1∞[1+fn(x)]. F(x)=\prod _{n=1}^{\infty }\left[1+f_{n}(x)\right].

Каковы достаточные условия существования F′(x)F'(x)?

?
Задача 3110

Доказать, что если 0<x<y0<x<y, то

lim⁡n→∞x(x+1)⋯(x+n)y(y+1)⋯(y+n)=0. \lim _{n \to \infty }\frac{x(x+1)\cdots (x+n)}{y(y+1)\cdots (y+n)}=0.
?