Приближение непрерывных функций многочленами

Построить многочлен $P_{n}(x)$ наименьшей степени $n$, принимающий заданную систему значений:

Чему приближенно равны $P_{n}(-1)$, $P_{n}(1)$, $P_{n}(6)$?

Написать уравнение параболы $y=ax^{2}+bx+c$, проходящей через три точки: $A(x_{0}-h,y_{-1})$, $B(x_{0},y_{0})$, $C(x_{0}+h,y_{1})$.

Вывести формулу для приближенного извлечения корней $y=\sqrt{x}$ ($1 \leqslant x \leqslant 100$), используя значения $x_{0}=1$, $y_{0}=1$; $x_{1}=25$, $y_{1}=5$; $x_{2}=100$, $y_{2}=10$.

Вывести приближенную формулу вида

используя значения $\sin 0^{\circ }=0$, $\sin 30^{\circ }=\dfrac {1}{2}$, $\sin 90^{\circ }=1$.

Пользуясь этой формулой, приближенно найти $\sin 20^{\circ }$, $\sin 40^{\circ }$, $\sin 80^{\circ }$.

Построить для функции $f(x)=\left|x\right|$ на сегменте $[-1,1]$ интерполяционный многочлен Лагранжа, приняв за узлы точки: $x=0,\pm \dfrac {1}{2},\pm 1$.

Заменив функцию $y(x)$ многочленом Лагранжа, приближенно вычислить $\displaystyle \int_{0}^{2}y(x)\, dx$, где

Составить многочлены Бернштейна $B_{n}(x)$ для функций $x$, $x^{2}$, $x^{3}$ на сегменте $[0,1]$.

Написать формулу многочленов Бернштейна $B_{n}(x)$ для функции $f(x)$, заданной на сегменте $[a,b]$.

Приблизить функцию $f(x)=\dfrac {\left|x\right|+x}{2}$ на сегменте $[-1,1]$ многочленом Бернштейна $B_{4}(x)$.

Построить графики функций $y=\dfrac {\left|x\right|+x}{2}$ и $y=B_{4}(x)$.

Приблизить функцию $f(x)=\left|x\right|$ при $-1 \leqslant x \leqslant 1$ многочленами Бернштейна четного порядка.

Написать многочлен Бернштейна $B_{n}(x)$ для функции

Вычислить многочлен $B_{n}(x)$ для функции $f(x)=\cos x$ на сегменте $-\dfrac {\pi }{2} \leqslant x \leqslant \dfrac {\pi }{2}$.

Доказать, что $\left|x\right|=\displaystyle \lim_{n \to \infty }P_{n}(x)$ на сегменте $[-1,1]$, где

Пусть $f(x) \in C[a,b]$ и

Доказать, что $f(x) \equiv 0$ при $x \in [a,b]$.

Пусть $f(x)$ — непрерывная $2\pi$-периодическая функция и $a_{n}$, $b_{n}$ ($n=0,1,2,\ldots$) — ее коэффициенты Фурье. Доказать, что тригонометрические многочлены Фейера

равномерно сходятся к функции $f(x)$ на отрезке $[-\pi ,\pi ]$.

Построить многочлен Фейера $\sigma_{2n-1}(x)$ для функции