5.4

Функциональные ряды

[99/98%]
Показать
LaTeX
Задача 2716

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞nxn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{x^{n}}.
?
Задача 2717

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞(−1)n2n−1(1−x1+x)n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{2n-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{n}.
?
Задача 2718

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞nn+1(x2x+1)n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{n+1}\left(\frac{x}{2x+1}\right)^{n}.
?
Задача 2719

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞1⋅3⋯(2n−1)2⋅4⋯(2n)(2x1+x2)n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1\cdot 3\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdots (2n)}\left(\frac{2x}{1+x^{2}}\right)^{n}.
?
Задача 2720

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞n⋅32n2nxn(1−x)n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n\cdot 3^{2n}}{2n}x^{n}(1-x)^{n}.
?
Задача 2721

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞2nsin⁡nxn2. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{2^{n}\sin ^{n}x}{n^{2}}.
?
Задача 2722

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞(−1)n(x+n)p. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{(x+n)^{p}}.
?
Задача 2723

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞npsin⁡nx1+nq(q>0; 0<x<π). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^{p}\sin nx}{1+n^{q}} \quad (q>0;\ 0<x<\pi ).
?
Задача 2724

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда (ряд Ламберта):

∑n=1∞xn1−xn. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{1-x^{n}}.
?
Задача 2725

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞[x(x+n)n]n. \sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{x(x+n)}{n}\right]^{n}.
?
Задача 2726

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞xn1+x2n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{1+x^{2n}}.
?
Задача 2727

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞xn(1+x)(1+x2)⋯(1+xn). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{(1+x)(1+x^{2})\cdots (1+x^{n})}.
?
Задача 2728

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞ne−nx. \sum _{n=1}^{\infty }ne^{-nx}.
?
Задача 2729

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞1n!n⋅11+a2nx2. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}\cdot \frac{1}{1+a^{2n}x^{2}}.
?
Задача 2730

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞(2−x)(2−x1/2)(2−x1/3)⋯(2−x1/n)(x>0). \sum _{n=1}^{\infty }(2-x)\left(2-x^{1/2}\right)\left(2-x^{1/3}\right)\cdots \left(2-x^{1/n}\right) \quad (x>0).
?
Задача 2731

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞(n+x)nnn+x. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(n+x)^{n}}{n^{n+x}}.
?
Задача 2732

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞xnynxn+yn(x>0; y>0). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}y^{n}}{x^{n}+y^{n}} \quad (x>0;\ y>0).
?
Задача 2733

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞xnn+yn(y⩾0). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n+y^{n}} \quad (y \geqslant 0).
?
Задача 2734

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞∣x∣n2+∣y∣n2n. \sum _{n=1}^{\infty }\sqrt[n]{\left|x\right|^{n^{2}}+\left|y\right|^{n^{2}}}.
?
Задача 2735

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞ln⁡(1+xn)ny(x⩾0). \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\ln (1+x^{n})}{n^{y}} \quad (x \geqslant 0).
?
Задача 2736

Определить область сходимости (абсолютной и условной) следующего функционального ряда:

∑n=1∞tg⁡n(x+yn). \sum _{n=1}^{\infty }\tg ^{n}\left(x+\frac{y}{n}\right).
?
Задача 2737

Доказать, что если ряд Лорана ∑n=−∞+∞anxn\displaystyle \sum_{n=-\infty }^{+\infty }a_{n}x^{n} сходится при x=x1x=x_{1} и при x=x2x=x_{2} (∣x1∣<∣x2∣\left|x_{1}\right|<\left|x_{2}\right|), то этот ряд сходится также при ∣x1∣<∣x∣<∣x2∣\left|x_{1}\right|<\left|x\right|<\left|x_{2}\right|.

?
Задача 2738

Определить область сходимости ряда Лорана

∑n=−∞+∞n2∣n∣xn \sum _{n=-\infty }^{+\infty }\frac{n}{2^{\left|n\right|}}x^{n}

и найти его сумму.

?
Задача 2739

Определить области сходимости (абсолютной и условной) рядов Ньютона:

?
(а)

∑n=1∞x[n]n!\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {x^{[n]}}{n!};

(б)

∑n=1∞1np⋅x[n]n!\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n^{p}}\cdot \dfrac {x^{[n]}}{n!};

(в)

∑n=1∞(ex)ny[n]nn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {(ex)^{n}y^{[n]}}{n^{n}},

где x[n]=x(x−1)⋯[x−(n−1)]x^{[n]}=x(x-1)\cdots \left[x-(n-1)\right].

Задача 2740

Доказать, что если ряд Дирихле ∑n=1∞annx\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {a_{n}}{n^{x}} сходится при x=x0x=x_{0}, то этот ряд сходится также при x>x0x>x_{0}.

?
Задача 2741

Доказать, что для равномерной сходимости на множестве XX последовательности fn(x)f_{n}(x) (n=1,2,…n=1,2,\ldots) к предельной функции f(x)f(x) необходимо и достаточно, чтобы

lim⁡n→∞{sup⁡x∈Xrn(x)}=0, \lim _{n \to \infty }\left\{ \sup _{x \in X}r_{n}(x)\right\} =0,

где rn(x)=∣f(x)−fn(x)∣r_{n}(x)=\left|f(x)-f_{n}(x)\right|.

?
Задача 2742

Что значит, что последовательность fn(x)f_{n}(x) (n=1,2,…n=1,2,\ldots):

?
(а)

сходится на интервале (x0,+∞)(x_{0},+\infty );

(б)

сходится равномерно на каждом конечном интервале (a,b)⊂(x0,+∞)(a,b) \subset (x_{0},+\infty );

(в)

сходится равномерно на интервале (x0,+∞)(x_{0},+\infty )?

Задача 2743

Для последовательности

fn(x)=xn(n=1,2,…)(0<x<1) f_{n}(x)=x^{n} \quad (n=1,2,\ldots ) \quad (0<x<1)

определить наименьший номер члена N=N(ε,x)N=N(\varepsilon ,x), начиная с которого отклонение членов последовательности в данной точке xx от предельной функции не превышает 0,0010{,}001, если x=110,110,…,110m,…x=\dfrac {1}{10},\dfrac {1}{\sqrt{10}},\ldots ,\dfrac {1}{\sqrt[m]{10}},\ldots

Сходится ли эта последовательность равномерно на интервале (0,1)(0,1)?

?
Задача 2744

Сколько членов ряда ∑n=1∞sin⁡nxn(n+1)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {\sin nx}{n(n+1)} следует взять, чтобы частная сумма Sn(x)S_{n}(x) отличалась при −∞<x<+∞-\infty <x<+\infty от суммы ряда меньше чем на ε\varepsilon? Произвести численный расчет при:

?
(а)

ε=0,1\varepsilon =0{,}1;

(б)

ε=0,01\varepsilon =0{,}01;

(в)

ε=0,001\varepsilon =0{,}001.

Задача 2745

При каких nn будет обеспечено выполнение неравенства

∣ex−∑i=0nxii!∣<0,001(0⩽x⩽10)? \left|e^{x}-\sum _{i=0}^{n}\frac{x^{i}}{i!}\right|<0{,}001 \quad (0 \leqslant x \leqslant 10)?
?
Задача 2746

Исследовать последовательность fn(x)=xnf_{n}(x)=x^{n} на равномерную сходимость в указанных промежутках:

?
(а)

0⩽x⩽120 \leqslant x \leqslant \dfrac {1}{2};

(б)

0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1.

Задача 2747

Исследовать последовательность fn(x)=xn−xn+1f_{n}(x)=x^{n}-x^{n+1} на равномерную сходимость на сегменте 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1.

?
Задача 2748

Исследовать последовательность fn(x)=xn−x2nf_{n}(x)=x^{n}-x^{2n} на равномерную сходимость на сегменте 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1.

?
Задача 2749

Исследовать последовательность fn(x)=1x+nf_{n}(x)=\dfrac {1}{x+n} на равномерную сходимость на промежутке 0<x<+∞0<x<+\infty.

?
Задача 2750

Исследовать последовательность fn(x)=nx1+n+xf_{n}(x)=\dfrac {nx}{1+n+x} на равномерную сходимость на сегменте 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1.

?
Задача 2751

Исследовать последовательность fn(x)=xn1+xnf_{n}(x)=\dfrac {x^{n}}{1+x^{n}} на равномерную сходимость в указанных промежутках, где ε>0\varepsilon >0:

?
(а)

0⩽x⩽1−ε0 \leqslant x \leqslant 1-\varepsilon;

(б)

1−ε⩽x⩽1+ε1-\varepsilon \leqslant x \leqslant 1+\varepsilon;

(в)

1+ε⩽x<+∞1+\varepsilon \leqslant x<+\infty.

Задача 2752

Исследовать последовательность fn(x)=2nx1+n2x2f_{n}(x)=\dfrac {2nx}{1+n^{2}x^{2}} на равномерную сходимость в указанных промежутках:

?
(а)

0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1;

(б)

1<x<+∞1<x<+\infty.

Задача 2753

Исследовать последовательность fn(x)=x2+1n2f_{n}(x)=\sqrt{x^{2}+\dfrac {1}{n^{2}}} на равномерную сходимость на промежутке −∞<x<+∞-\infty <x<+\infty.

?
Задача 2754

Исследовать последовательность fn(x)=n(x+1n−x)f_{n}(x)=n\left(\sqrt{x+\dfrac {1}{n}}-\sqrt{x}\right) на равномерную сходимость на промежутке 0<x<+∞0<x<+\infty.

?
Задача 2755

Исследовать последовательности на равномерную сходимость на промежутке −∞<x<+∞-\infty <x<+\infty:

?
(а)

fn(x)=sin⁡nxnf_{n}(x)=\dfrac {\sin nx}{n};

(б)

fn(x)=sin⁡xnf_{n}(x)=\sin \dfrac {x}{n}.

Задача 2756

Исследовать последовательности на равномерную сходимость на промежутке 0<x<+∞0<x<+\infty:

?
(а)

fn(x)=arctg⁡nxf_{n}(x)=\arctg nx;

(б)

fn(x)=xarctg⁡nxf_{n}(x)=x\arctg nx.

Задача 2757

Исследовать последовательность fn(x)=en(x−1)f_{n}(x)=e^{n(x-1)} на равномерную сходимость на промежутке 0<x<10<x<1.

?
Задача 2758

Исследовать последовательность fn(x)=e−(x−n)2f_{n}(x)=e^{-(x-n)^{2}} на равномерную сходимость в указанных промежутках:

?
(а)

−l<x<l-l<x<l, где ll — любое положительное число;

(б)

−∞<x<+∞-\infty <x<+\infty.

Задача 2759

Исследовать последовательность fn(x)=xnln⁡xnf_{n}(x)=\dfrac {x}{n}\ln \dfrac {x}{n} на равномерную сходимость на промежутке 0<x<10<x<1.

?
Задача 2760

Исследовать последовательность fn(x)=(1+xn)nf_{n}(x)=\left(1+\dfrac {x}{n}\right)^{n} на равномерную сходимость в указанных промежутках:

?
(а)

на конечном интервале (a,b)(a,b);

(б)

на интервале (−∞,+∞)(-\infty ,+\infty ).

Задача 2761

Исследовать последовательность fn(x)=n(x1/n−1)f_{n}(x)=n(x^{1/n}-1) на равномерную сходимость на сегменте 1⩽x⩽a1 \leqslant x \leqslant a.

?
Задача 2762

Исследовать последовательность fn(x)=1+xnnf_{n}(x)=\sqrt[n]{1+x^{n}} на равномерную сходимость на сегменте 0⩽x⩽20 \leqslant x \leqslant 2.

?
Задача 2763

Исследовать последовательность

fn(x)={n2x,если 0⩽x⩽1n;n2(2n−x),если 1n<x<2n;0,если x⩾2n f_{n}(x)= \begin{cases} n^{2}x, & \text{если } 0 \leqslant x \leqslant \dfrac {1}{n}; \\ n^{2}\left(\dfrac {2}{n}-x\right), & \text{если } \dfrac {1}{n}<x<\dfrac {2}{n}; \\ 0, & \text{если } x \geqslant \dfrac {2}{n} \end{cases}

на равномерную сходимость на сегменте 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1.

?
Задача 2764

Пусть f(x)f(x) — произвольная функция, определенная на сегменте [a,b][a,b], и fn(x)=[nf(x)]nf_{n}(x)=\dfrac {[nf(x)]}{n} (n=1,2,…n=1,2,\ldots).

Доказать, что fn(x)⇉f(x)f_{n}(x) \rightrightarrows f(x) (a⩽x⩽ba \leqslant x \leqslant b) при n→∞n \to \infty.

?
Задача 2765

Пусть функция f(x)f(x) имеет непрерывную производную f′(x)f'(x) в интервале (a,b)(a,b) и

fn(x)=n[f(x+1n)−f(x)]. f_{n}(x)=n\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right].

Доказать, что fn(x)⇉f′(x)f_{n}(x) \rightrightarrows f'(x) на сегменте α⩽x⩽β\alpha \leqslant x \leqslant \beta, где a<α<β<ba<\alpha <\beta <b.

?
Задача 2766

Пусть fn(x)=∑i=0n−11nf(x+in)f_{n}(x)=\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{n}f\left(x+\frac{i}{n}\right), где f(x)f(x) — непрерывная на (−∞,+∞)(-\infty ,+\infty ) функция. Доказать, что последовательность fn(x)f_{n}(x) сходится равномерно на любом конечном сегменте [a,b][a,b].

?
Задача 2767

Исследовать характер сходимости следующего ряда ∑n=0∞xn\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }x^{n}:

?
(а)

на интервале ∣x∣<q\left|x\right|<q, где q<1q<1;

(б)

на интервале ∣x∣<1\left|x\right|<1.

Задача 2768

Исследовать характер сходимости следующего ряда:

∑n=1∞xnn2 на сегменте −1⩽x⩽1. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n^{2}} \text{ на сегменте } -1 \leqslant x \leqslant 1.
?
Задача 2768.1

Исследовать характер сходимости следующего ряда:

∑n=0∞xnn! на интервале (0,+∞). \sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!} \text{ на интервале } (0,+\infty ).
?
Задача 2769

Исследовать характер сходимости следующего ряда:

∑n=0∞(1−x)xn на сегменте 0⩽x⩽1. \sum _{n=0}^{\infty }(1-x)x^{n} \text{ на сегменте } 0 \leqslant x \leqslant 1.
?
Задача 2770

Исследовать характер сходимости следующего ряда:

∑n=1∞(xnn−xn+1n+1);−1⩽x⩽1. \sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{x^{n}}{n}-\frac{x^{n+1}}{n+1}\right); \quad -1 \leqslant x \leqslant 1.
?
Задача 2771

Исследовать характер сходимости следующего ряда:

∑n=1∞x[(n−1)x+1](nx+1);0<x<+∞. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x}{\left[(n-1)x+1\right](nx+1)}; \quad 0<x<+\infty .
?
Задача 2772

Исследовать характер сходимости следующего ряда:

∑n=1∞1(x+n)(x+n+1);0<x<+∞. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(x+n)(x+n+1)}; \quad 0<x<+\infty .
?
Задача 2773

Исследовать характер сходимости ряда

∑n=1∞nx(1+x)(1+2x)⋯(1+nx) \sum _{n=1}^{\infty }\frac{nx}{(1+x)(1+2x)\cdots (1+nx)}

в промежутках:

?
(а)

0⩽x⩽ε0 \leqslant x \leqslant \varepsilon, где ε>0\varepsilon >0;

(б)

ε⩽x<+∞\varepsilon \leqslant x<+\infty.

Задача 2774

Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость в указанных промежутках следующих функциональных рядов:

?
(а)

∑n=1∞1x2+n2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{x^{2}+n^{2}}, −∞<x<+∞-\infty <x<+\infty;

(б)

∑n=1∞(−1)nx+2n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {(-1)^{n}}{x+2^{n}}, −2<x<+∞-2<x<+\infty;

(в)

∑n=1∞x1+n4x2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {x}{1+n^{4}x^{2}}, 0⩽x<+∞0 \leqslant x<+\infty;

(г)

∑n=1∞nx1+n5x2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {nx}{1+n^{5}x^{2}}, ∣x∣<+∞\left|x\right|<+\infty;

(д)

∑n=1∞n2n!(xn+x−n)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {n^{2}}{\sqrt{n!}}(x^{n}+x^{-n}), 12⩽∣x∣⩽2\dfrac {1}{2} \leqslant \left|x\right| \leqslant 2;

(е)

∑n=1∞xn[n2]!\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {x^{n}}{\left[\dfrac {n}{2}\right]!}, ∣x∣<a\left|x\right|<a, где aa — произвольное положительное число;

(ж)

∑n=1∞sin⁡nxn4+x43\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {\sin nx}{\sqrt[3]{n^{4}+x^{4}}}, ∣x∣<+∞\left|x\right|<+\infty;

(з)

∑n=1∞cos⁡nxn2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {\cos nx}{n^{2}}, ∣x∣<+∞\left|x\right|<+\infty;

(и)

∑n=1∞sin⁡nxnn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {\sin nx}{n\sqrt{n}}, ∣x∣<+∞\left|x\right|<+\infty;

(к)

∑n=2∞ln⁡(1+x2nln⁡2n)\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty }\ln \left(1+\dfrac {x^{2}}{n\ln^{2}n}\right), ∣x∣<a\left|x\right|<a;

(л)

∑n=1∞x2e−nx\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }x^{2}e^{-nx}, 0⩽x<+∞0 \leqslant x<+\infty;

(м)

∑n=1∞arctg⁡2xx2+n3\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\arctg \dfrac {2x}{x^{2}+n^{3}}, ∣x∣<+∞\left|x\right|<+\infty.

Задача 2775

Исследовать на равномерную сходимость в указанных промежутках следующий функциональный ряд ∑n=1∞sin⁡nxn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {\sin nx}{n}:

?
(а)

на сегменте ε⩽x⩽2π−ε\varepsilon \leqslant x \leqslant 2\pi -\varepsilon, где ε>0\varepsilon >0;

(б)

на сегменте 0⩽x⩽2π0 \leqslant x \leqslant 2\pi.

Задача 2776

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке следующий функциональный ряд:

∑n=1∞2nsin⁡13nx;0<x<+∞. \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\sin \frac{1}{3^{n}x}; \quad 0<x<+\infty .
?
Задача 2777

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке следующий функциональный ряд:

∑n=1∞(−1)nx+n;0<x<+∞. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{x+n}; \quad 0<x<+\infty .
?
Задача 2778

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке следующий функциональный ряд:

∑n=2∞(−1)nn+sin⁡x;0⩽x⩽2π. \sum _{n=2}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{n+\sin x}; \quad 0 \leqslant x \leqslant 2\pi .
?
Задача 2779

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке следующий функциональный ряд:

∑n=1∞(−1)n(n−1)/2n3+ex3;∣x∣⩽10. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{\sqrt[3]{n^{3}+e^{x}}}; \quad \left|x\right| \leqslant 10.
?
Задача 2780

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке следующий функциональный ряд:

∑n=1∞cos⁡2nπ3n2+x2;−∞<x<+∞. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos \dfrac {2n\pi }{3}}{\sqrt{n^{2}+x^{2}}}; \quad -\infty <x<+\infty .
?
Задача 2781

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке следующий функциональный ряд:

∑n=1∞sin⁡xsin⁡nxn+x;0⩽x<+∞. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin x\sin nx}{\sqrt{n+x}}; \quad 0 \leqslant x<+\infty .
?
Задача 2782

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке следующий функциональный ряд:

∑n=1∞(−1)[n]n(n+x);0⩽x<+∞. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{[\sqrt{n}]}}{\sqrt{n(n+x)}}; \quad 0 \leqslant x<+\infty .
?
Задача 2783

Может ли последовательность разрывных функций сходиться равномерно к непрерывной функции? Рассмотреть пример

fn(x)=1nψ(x)(n=1,2,…), f_{n}(x)=\frac{1}{n}\psi (x) \quad (n=1,2,\ldots ),

где

ψ(x)={0,если x иррационально;1,если x рационально. \psi (x)= \begin{cases} 0, & \text{если } x \text{ иррационально}; \\ 1, & \text{если } x \text{ рационально}. \end{cases}
?
Задача 2784

Доказать, что если ряд ∑n=1∞∣fn(x)∣\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\left|f_{n}(x)\right| сходится равномерно на [a,b][a,b], то ряд ∑n=1∞fn(x)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }f_{n}(x) также сходится равномерно на [a,b][a,b].

?
Задача 2785

Если ряд ∑n=1∞fn(x)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }f_{n}(x) сходится абсолютно и равномерно на [a,b][a,b], то обязательно ли ряд ∑n=1∞∣fn(x)∣\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\left|f_{n}(x)\right| сходится равномерно на [a,b][a,b]?

Рассмотреть пример ∑n=0∞(−1)n(1−x)xn\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(1-x)x^{n}, где 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1.

?
Задача 2786

Доказать, что абсолютно и равномерно сходящийся ряд

∑n=1∞fn(x)(0⩽x⩽1), \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x) \quad (0 \leqslant x \leqslant 1),

где

fn(x)={0,если 0⩽x⩽2−(n+1);1nsin⁡2(2n+1πx),если 2−(n+1)<x<2−n;0,если 2−n⩽x⩽1, f_{n}(x)= \begin{cases} 0, & \text{если } 0 \leqslant x \leqslant 2^{-(n+1)}; \\ \dfrac {1}{n}\sin ^{2}\left(2^{n+1}\pi x\right), & \text{если } 2^{-(n+1)}<x<2^{-n}; \\ 0, & \text{если } 2^{-n} \leqslant x \leqslant 1, \end{cases}

нельзя мажорировать сходящимся числовым рядом с неотрицательными членами.

?
Задача 2787

Доказать, что если ряд ∑n=1∞φn(x)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\varphi_{n}(x), члены которого суть монотонные функции на сегменте [a,b][a,b], сходится абсолютно в концевых точках этого сегмента, то данный ряд сходится абсолютно и равномерно на сегменте [a,b][a,b].

?
Задача 2788

Доказать, что степенной ряд ∑n=0∞anxn\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n} сходится абсолютно и равномерно на любом сегменте, целиком лежащем внутри его интервала сходимости.

?
Задача 2789

Пусть an→∞a_{n} \to \infty так, что ряд ∑n=1∞∣1an∣\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\left|\dfrac {1}{a_{n}}\right| сходится.

Доказать, что ряд ∑n=1∞1x−an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{x-a_{n}} сходится абсолютно и равномерно на любом ограниченном замкнутом множестве, не содержащем точек ana_{n} (n=1,2,…n=1,2,\ldots).

?
Задача 2790

Доказать, что если ряд ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} сходится, то ряд Дирихле ∑n=1∞annx\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {a_{n}}{n^{x}} сходится равномерно при x⩾0x \geqslant 0.

?
Задача 2791

Пусть ряд ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} сходится. Доказать, что ряд ∑n=1∞ane−nx\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-nx} сходится равномерно в области x⩾0x \geqslant 0.

?
Задача 2792

Показать, что функция f(x)=∑n=1∞sin⁡nxn3f(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {\sin nx}{n^{3}} непрерывна и имеет непрерывную производную в области −∞<x<+∞-\infty <x<+\infty.

?
Задача 2793

Показать, что функция

f(x)=∑n=−∞+∞1(n−x)2 f(x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\frac{1}{(n-x)^{2}}
?
(а)

определена и непрерывна во всех точках, за исключением целочисленных: x=0,±1,±2,…x=0,\pm 1,\pm 2,\ldots;

(б)

периодическая с периодом, равным 11.

Задача 2794

Показать, что ряд ∑n=1∞[nxe−nx−(n−1)xe−(n−1)x]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\left[nxe^{-nx}-(n-1)xe^{-(n-1)x}\right] сходится неравномерно на сегменте 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1, однако его сумма есть функция, непрерывная на этом сегменте.

?
Задача 2795

Определить области существования функций f(x)f(x) и исследовать их на непрерывность, если:

?
(а)

f(x)=∑n=1∞(x+1n)nf(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\left(x+\dfrac {1}{n}\right)^{n};

(б)

f(x)=∑n=1∞x+n(−1)nx2+n2f(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {x+n(-1)^{n}}{x^{2}+n^{2}};

(в)

f(x)=∑n=1∞x(1+x2)nf(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {x}{(1+x^{2})^{n}}.

Задача 2796

Пусть rkr_{k} (k=1,2,…k=1,2,\ldots) — рациональные числа сегмента [0,1][0,1]. Показать, что функция

f(x)=∑k=1∞∣x−rk∣3k(0⩽x⩽1) f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\left|x-r_{k}\right|}{3^{k}} \quad (0 \leqslant x \leqslant 1)

обладает следующими свойствами: 1) непрерывна; 2) дифференцируема в иррациональных точках и недифференцируема в рациональных.

?
Задача 2797

Доказать, что дзета-функция Римана

ζ(x)=∑n=1∞1nx \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{x}}

непрерывна в области x>1x>1 и имеет в этой области непрерывные производные всех порядков.

?
Задача 2798

Доказать, что тэта-функция

θ(x)=∑n=−∞+∞e−πn2x \theta (x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }e^{-\pi n^{2}x}

определена и бесконечно дифференцируема при x>0x>0.

?
Задача 2799

Определить область существования функции f(x)f(x) и исследовать ее на дифференцируемость, если:

?
(а)

f(x)=∑n=1∞(−1)nxn+xf(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {(-1)^{n}x}{n+x};

(б)

f(x)=∑n=1∞∣x∣n2+x2f(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {\left|x\right|}{n^{2}+x^{2}}.

Задача 2800

Показать, что последовательность

fn(x)=1narctg⁡xn(n=1,2,…) f_{n}(x)=\frac{1}{n}\arctg x^{n} \quad (n=1,2,\ldots )

сходится равномерно на интервале (−∞,+∞)(-\infty ,+\infty ), но

[lim⁡n→∞fn(x)]x=1′≠lim⁡n→∞fn′(1). \left[\lim _{n \to \infty }f_{n}(x)\right]'_{x=1} \neq \lim _{n \to \infty }f_{n}'(1).
?
Задача 2801

Показать, что последовательность

fn(x)=x2+1nsin⁡n(x+π2) f_{n}(x)=x^{2}+\frac{1}{n}\sin n\left(x+\frac{\pi }{2}\right)

сходится равномерно на интервале (−∞,+∞)(-\infty ,+\infty ), но

[lim⁡n→∞fn(x)]′≠lim⁡n→∞fn′(x). \left[\lim _{n \to \infty }f_{n}(x)\right]' \neq \lim _{n \to \infty }f_{n}'(x).
?
Задача 2802

При каких значениях параметра α\alpha для последовательности

fn(x)=nαxe−nx(1) f_{n}(x)=n^{\alpha }xe^{-nx} \tag {1}

(n=1,2,…n=1,2,\ldots):

?
(а)

она сходится на сегменте [0,1][0,1];

(б)

последовательность (1) сходится равномерно на [0,1][0,1];

(в)

возможен предельный переход под знаком интеграла

lim⁡n→∞∫01fn(x) dx? \lim _{n \to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)\, dx?
Задача 2803

Показать, что последовательность fn(x)=nxe−nx2f_{n}(x)=nxe^{-nx^{2}} (n=1,2,…n=1,2,\ldots) сходится на сегменте [0,1][0,1], но

∫01[lim⁡n→∞fn(x)] dx≠lim⁡n→∞∫01fn(x) dx. \int _{0}^{1}\left[\lim _{n \to \infty }f_{n}(x)\right]\, dx \neq \lim _{n \to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)\, dx.
?
Задача 2804

Показать, что последовательность fn(x)=nx(1−x)nf_{n}(x)=nx(1-x)^{n} (n=1,2,…n=1,2,\ldots) сходится неравномерно на сегменте [0,1][0,1], однако

lim⁡n→∞∫01fn(x) dx=∫01lim⁡n→∞fn(x) dx. \lim _{n \to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)\, dx=\int _{0}^{1}\lim _{n \to \infty }f_{n}(x)\, dx.
?
Задача 2805

Законен ли переход к пределу под знаком интеграла в выражении

lim⁡n→∞∫01nx1+n2x4 dx? \lim _{n \to \infty }\int _{0}^{1}\frac{nx}{1+n^{2}x^{4}}\, dx?
?
Задача 2806

Найти:

lim⁡x→1−0∑n=1∞(−1)n+1n⋅xnxn+1. \lim _{x \to 1-0}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot \frac{x^{n}}{x^{n}+1}.
?
Задача 2807

Найти:

lim⁡x→1−0∑n=1∞(xn−xn+1). \lim _{x \to 1-0}\sum _{n=1}^{\infty }(x^{n}-x^{n+1}).
?
Задача 2808

Найти:

lim⁡x→+0∑n=1∞12nnx. \lim _{x \to +0}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^{n}n^{x}}.
?
Задача 2808.1

Найти:

lim⁡x→∞∑n=1∞x21+n2x2. \lim _{x \to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{2}}{1+n^{2}x^{2}}.
?
Задача 2809

Законно ли почленное дифференцирование ряда

∑n=1∞arctg⁡xn2? \sum _{n=1}^{\infty }\arctg \frac{x}{n^{2}}?
?
Задача 2810

Законно ли почленное интегрирование ряда

∑n=1∞(x12n+1−x12n−1) \sum _{n=1}^{\infty }\left(x^{\frac{1}{2n+1}}-x^{\frac{1}{2n-1}}\right)

на сегменте [0,1][0,1]?

?
Задача 2811

Пусть f(x)f(x) (−∞<x<+∞-\infty <x<+\infty) — бесконечно дифференцируемая функция и последовательность ее производных f(n)(x)f^{(n)}(x) (n=1,2,…n=1,2,\ldots) сходится равномерно на каждом конечном интервале (a,b)(a,b) к функции φ(x)\varphi (x).

Доказать, что φ(x)=Cex\varphi (x)=Ce^{x}, где CC — постоянная величина. Рассмотреть пример fn(x)=e−(x−n)2f_{n}(x)=e^{-(x-n)^{2}}, n=1,2,…n=1,2,\ldots

?
Задача 2811.1

Пусть функции fn(x)f_{n}(x), n=1,2,…n=1,2,\ldots, определены и ограничены на (−∞,+∞)(-\infty ,+\infty ) и fn(x)⇉φ(x)f_{n}(x) \rightrightarrows \varphi (x) на каждом сегменте [a,b][a,b]. Следует ли отсюда, что

lim⁡n→∞sup⁡xf(x)=sup⁡xφ(x)? \lim _{n \to \infty }\sup _{x}f(x)=\sup _{x}\varphi (x)?
?