Банк задач по математике

Задача 2546

Доказать непосредственно сходимость следующего ряда и найти его сумму:

1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\ldots +\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}}+\ldots .

?

Задача 2547

Доказать непосредственно сходимость следующего ряда и найти его сумму:

\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}\right)+\ldots +\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right)+\ldots .

?

Задача 2548

Доказать непосредственно сходимость следующего ряда и найти его сумму:

\frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}+\ldots +\frac{2n-1}{2^{n}}+\ldots .

?

Задача 2549

Доказать непосредственно сходимость следующего ряда и найти его сумму:

\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\ldots +\frac{1}{n(n+1)}+\ldots .

?

Задача 2550

Доказать непосредственно сходимость следующего ряда и найти его сумму:

\frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 7}+\ldots +\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}+\ldots .

?

Задача 2551

(а)(б)

Доказать непосредственно сходимость следующего ряда и найти его сумму ( $\left|q\right|<1$ ):

?

(а)

$q\sin \alpha +q^{2}\sin 2\alpha +\ldots +q^{n}\sin n\alpha +\ldots$ ;

(б)

$q\cos \alpha +q^{2}\cos 2\alpha +\ldots +q^{n}\cos n\alpha +\ldots$ .

Задача 2552

Доказать непосредственно сходимость следующего ряда и найти его сумму:

\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right).

?

Задача 2553

Исследовать сходимость ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\sin nx$ .

?

Задача 2554

Доказать, что если ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится, то ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }A_{n}$ , где

A_{n}=\sum _{i=p_{n}}^{p_{n+1}-1}a_{i} \quad (p_{1}=1, \ p_{1}<p_{2}<\ldots ),

полученный в результате группировки членов данного ряда без нарушения порядка следования их, также сходится и имеет ту же сумму. Обратное неверно; привести пример.

?

Задача 2555

Доказать, что если члены ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ положительны и ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }A_{n}$ , полученный в результате группировки членов этого ряда, сходится, то данный ряд также сходится.

?

Задача 2556

Исследовать сходимость ряда:

1-1+1-1+1-1+\ldots .

?

Задача 2557

Исследовать сходимость ряда:

0{,}001+\sqrt{0{,}001}+\sqrt[3]{0{,}001}+\ldots .

?

Задача 2558

Исследовать сходимость ряда:

\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots +\frac{1}{n!}+\ldots .

?

Задача 2559

Исследовать сходимость ряда:

1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\ldots +\frac{1}{2n-1}+\ldots .

?

Задача 2560

Исследовать сходимость ряда:

\frac{1}{1001}+\frac{1}{2001}+\frac{1}{3001}+\ldots +\frac{1}{1000n+1}+\ldots .

?

Задача 2561

Исследовать сходимость ряда:

1+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+\ldots +\frac{n}{2n-1}+\ldots .

?

Задача 2562

Исследовать сходимость ряда:

1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\ldots +\frac{1}{(2n-1)^{2}}+\ldots .

?

Задача 2563

Исследовать сходимость ряда:

\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{4}}+\ldots +\frac{1}{n\sqrt{n+1}}+\ldots .

?

Задача 2564

Исследовать сходимость ряда:

\frac{1}{\sqrt{1\cdot 3}}+\frac{1}{\sqrt{3\cdot 5}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}+\ldots .

?

Задача 2565

Доказать, что ряд чисел, обратных членам арифметической прогрессии, расходится.

?

Задача 2566

Доказать, что если ряды $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ $(A)$ и $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ $(B)$ сходятся и $a_{n} \leqslant c_{n} \leqslant b_{n}$ $(n=1,2,\ldots )$ , то ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }c_{n}$ $(C)$ также сходится. Что можно сказать о сходимости ряда $(C)$ , если ряды $(A)$ и $(B)$ расходятся?

?

Задача 2567

(а)(б)

Пусть даны два расходящихся ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ и $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ с неотрицательными членами. Что можно сказать о сходимости рядов:

?

(а)

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\min (a_{n},b_{n})$ ;

(б)

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\max (a_{n},b_{n})$ ?

Задача 2568

Доказать, что если ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ ( $a_{n}\geqslant 0$ ) сходится, то ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}^{2}$ также сходится. Обратное утверждение неверно; привести примеры.

?

Задача 2569

Доказать, что если ряды $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}^{2}$ и $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}^{2}$ сходятся, то сходятся также ряды

\sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}b_{n}\right|, \quad \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n})^{2}, \quad \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\left|a_{n}\right|}{n}.

?

Задача 2570

Доказать, что если $\displaystyle \lim_{n \to \infty }na_{n}=a \neq 0$ , то ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ расходится.

?

Задача 2571

Доказать, что если ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ с положительными и монотонно убывающими членами сходится, то $\displaystyle \lim_{n \to \infty }na_{n}=0$ .

?

Задача 2572

Является ли сходящимся ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ , если

\lim _{n \to \infty }(a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{n+p})=0

при $p=1,2,3,\ldots$ ?

?

Задача 2573

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующего ряда:

a_{0}+\frac{a_{1}}{10}+\ldots +\frac{a_{n}}{10^{n}}+\ldots \quad (\left|a_{n}\right|<10).

?

Задача 2574

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующего ряда:

\frac{\sin x}{2}+\frac{\sin 2x}{2^{2}}+\ldots +\frac{\sin nx}{2^{n}}+\ldots .

?

Задача 2575

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующего ряда:

\frac{\cos x-\cos 2x}{1}+\frac{\cos 2x-\cos 3x}{2}+\ldots +\frac{\cos nx-\cos (n+1)x}{n}+\ldots .

?

Задача 2575.1

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующего ряда:

\frac{\cos x}{1^{2}}+\frac{\cos x^{2}}{2^{2}}+\ldots +\frac{\cos x^{n}}{n^{2}}+\ldots .

?

Задача 2576

Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость следующего ряда:

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n}+\ldots .

?

Задача 2577

Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость следующего ряда:

1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots .

?

Задача 2577.1

Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость следующего ряда:

\frac{1}{\sqrt{1\cdot 2}}+\frac{1}{\sqrt{2\cdot 3}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}+\ldots .

?

Задача 2578

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

\frac{1000}{1!}+\frac{1000^{2}}{2!}+\frac{1000^{3}}{3!}+\ldots +\frac{1000^{n}}{n!}+\ldots .

?

Задача 2579

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

\frac{(1!)^{2}}{2!}+\frac{(2!)^{2}}{4!}+\ldots +\frac{(n!)^{2}}{(2n)!}+\ldots .

?

Задача 2580

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

\frac{1!}{1}+\frac{2!}{2^{2}}+\frac{3!}{3^{3}}+\ldots +\frac{n!}{n^{n}}+\ldots .

?

Задача 2581

(а)(б)

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

?

(а)

$\dfrac {2\cdot 1!}{1}+\dfrac {2^{2}\cdot 2!}{2^{2}}+\dfrac {2^{3}\cdot 3!}{3^{3}}+\ldots +\dfrac {2^{n}n!}{n^{n}}+\ldots$ ;

(б)

$\dfrac {3\cdot 1!}{1}+\dfrac {3^{2}\cdot 2!}{2^{2}}+\dfrac {3^{3}\cdot 3!}{3^{3}}+\ldots +\dfrac {3^{n}n!}{n^{n}}+\ldots$ .

Задача 2582

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

\frac{(1!)^{2}}{2}+\frac{(2!)^{2}}{2^{4}}+\frac{(3!)^{2}}{2^{9}}+\ldots +\frac{(n!)^{2}}{2^{n^{2}}}+\ldots .

?

Задача 2583

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

\frac{1000}{1}+\frac{1000\cdot 1001}{1\cdot 3}+\frac{1000\cdot 1001\cdot 1002}{1\cdot 3\cdot 5}+\ldots .

?

Задача 2584

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

\frac{4}{2}+\frac{4\cdot 7}{2\cdot 6}+\frac{4\cdot 7\cdot 10}{2\cdot 6\cdot 10}+\ldots .

?

Задача 2585

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sqrt{2}-\sqrt[3]{2}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt[5]{2}\right)\cdots \left(\sqrt{2}-\sqrt[2n+1]{2}\right).

?

Задача 2585.1

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ , где

a_{n}= \begin{cases} 1/n, & \text{если } n=m^{2}, \\ 1/n^{2}, & \text{если } n \neq m^{2} \end{cases} \quad (m \text{ — натуральное число}).

?

Задача 2585.2

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

\sum _{n=1}^{\infty }nx\prod _{k=1}^{n}\frac{\sin ^{2}k\alpha }{1+x^{2}+\cos ^{2}k\alpha }.

?

Задача 2586

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^{2}}{\left(2+\dfrac {1}{n}\right)^{n}}.

?

Задача 2587

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^{n+1/n}}{\left(n+\dfrac {1}{n}\right)^{n}}.

?

Задача 2588

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{\sqrt[n]{\ln n}}.

?

Задача 2589

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^{n-2}}{(2n^{2}+n+1)^{n+1/2}}.

?

Задача 2589.1

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^{5}}{2^{n}+3^{n}}.

?

Задача 2589.2

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

\sum _{n=2}^{\infty }\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n(n-1)}.

?

Задача 2590

Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда:

\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}+\ldots .

?

Задача 2591

Доказать, что если

\lim _{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q \quad (a_{n}>0),

то $a_{n}=o(q_{1}^{n})$ , где $q_{1}>q$ .

?

Задача 2591.1

Пусть для членов знакоположительного ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ ( $a_{n}>0$ ) выполнено неравенство

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leqslant \rho <1 \text{ при } n>n_{0}.

Доказать, что для остатка ряда $R_{n}=a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots$ имеет место оценка

R_{n} \leqslant a_{n_{0}}\frac{\rho ^{n-n_{0}+1}}{1-\rho }, \quad \text{если } n \geqslant n_{0}.

?

Задача 2591.2

Сколько членов ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{\left[(2n)!!\right]^{2}}{(4n)!!}$ , где $\left[(2n)!!\right]^{2}=2\cdot 4\cdots 2n$ , достаточно взять, чтобы соответствующая частная сумма $S_{n}$ отличалась от суммы ряда $S$ меньше, чем на $\varepsilon =10^{-6}$ ?

?

Задача 2592

Доказать, что если $\displaystyle \varlimsup_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q<1$ ( $a_{n}>0$ ), то ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится.

Обратное утверждение неверно. Рассмотреть пример

\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+\ldots .

?

Задача 2593

Доказать, что если для ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ ( $a_{n}>0$ ) существует

\lim _{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q, \tag {А}

то существует также

\lim _{n \to \infty }\sqrt[n]{a_{n}}=q. \tag {Б}

Обратное утверждение неверно: если существует предел (Б), то предел (А) может и не существовать. Рассмотреть пример

\sum _{n=1}^{\infty }\frac{3+(-1)^{n}}{2^{n+1}}.

?

Задача 2594

Доказать, что если $\displaystyle \varlimsup_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_{n}}=q$ ( $a_{n}>0$ ), то:

при $q<1$ ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится;
при $q>1$ этот ряд расходится (обобщенный признак Коши).

?

Задача 2595

Исследовать сходимость ряда:

\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2+(-1)^{n}}{2^{n}}.

?

Задача 2596

Исследовать сходимость ряда:

\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a\cos ^{2}n\pi /3}{2^{n}}.

?

Задача 2597

Исследовать сходимость ряда:

\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^{3}\left[\sqrt{2}+(-1)^{n}\right]^{n}}{3^{n}}.

?

Задача 2597.1

Исследовать сходимость ряда:

\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1+\cos n}{2+\cos n}\right)^{2n-\ln n}.

?

Задача 2598

Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать сходимость ряда:

\left(\frac{1}{2}\right)^{p}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^{p}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)^{p}+\ldots .

?

Задача 2599

Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать сходимость ряда:

\frac{a}{b}+\frac{a(a+d)}{b(b+d)}+\frac{a(a+d)(b+2d)}{b(b+d)(b+2d)}+\ldots \quad (a>0,\ b>0,\ d>0).

?

Задача 2600

Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать сходимость ряда:

\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n!e^{n}}{n^{n+p}}.

?

Задача 2601

Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать сходимость ряда:

\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt{n!}}{(2+\sqrt{1})(2+\sqrt{2})\cdots (2+\sqrt{n})}.

?

Задача 2602

Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать сходимость ряда:

\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n!n^{-p}}{q(q+1)\cdots (q+n)} \quad (q>0).

?

Задача 2603

Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать сходимость ряда:

\sum _{n=1}^{\infty }\frac{p(p+1)\cdots (p+n-1)}{n!}\cdot \frac{1}{n^{q}}.

?

Задача 2604

Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать сходимость ряда:

\sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}\right]^{p}\cdot \frac{1}{n^{q}}.

?

Задача 2605

Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать сходимость ряда:

\sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{p(p+1)\cdots (p+n-1)}{q(q+1)\cdots (q+n-1)}\right]^{\alpha } \quad (p>0,\ q>0).

?

Задача 2606

Доказать, что если для знакоположительного ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ ( $a_{n}>0$ ) при $n \to \infty$ выполнено условие

\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=1+\frac{p}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right),

то

a_{n}=o\left(\frac{1}{n^{p-\varepsilon }}\right),

где $\varepsilon >0$ произвольно мало; причем, если $p>0$ , то $a_{n}\downarrow 0$ при $n \to \infty$ , т.е. $a_{n}$ при $n \geqslant n_{0}$ , монотонно убывая, стремится к нулю, когда $n \to \infty$ .

?

Задача 2607

Определив порядок убывания общего члена $a_{n}$ , исследовать сходимость ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ , если

a_{n}=\frac{n^{p}+a_{1}n^{p-1}+\ldots +a_{p}}{n^{q}+b_{1}n^{q-1}+\ldots +b_{q}}, \quad \text{где } n^{q}+b_{1}n^{q-1}+\ldots +b_{q}>0.

?

Задача 2608

Определив порядок убывания общего члена $a_{n}$ , исследовать сходимость ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ , если

a_{n}=\frac{1}{n^{p}}\sin \frac{\pi }{n}.

?

Задача 2609

Определив порядок убывания общего члена $a_{n}$ , исследовать сходимость ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ , если

a_{n}=\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^{p}\ln \frac{n-1}{n+1} \quad (n>1).

?

Задача 2610

Определив порядок убывания общего члена $a_{n}$ , исследовать сходимость ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ , если

a_{n}=\ln ^{p}\left(\sec \frac{\pi }{n}\right).

?

Задача 2611

Определив порядок убывания общего члена $a_{n}$ , исследовать сходимость ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ , если

a_{n}=\log _{b}^{n}\left(1+\frac{\sqrt[n]{a}}{n}\right) \quad (a>0,\ b>0).

?

Задача 2612

Определив порядок убывания общего члена $a_{n}$ , исследовать сходимость ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ , если

a_{n}=\left[e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]^{p}.

?

Задача 2613

Определив порядок убывания общего члена $a_{n}$ , исследовать сходимость ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ , если

a_{n}=\frac{1}{n^{1+k/\ln n}}.

?

Задача 2614

Определив порядок убывания общего члена $a_{n}$ , исследовать сходимость ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ , если

a_{n}=\frac{1}{n^{1+1/n}}.

?

Задача 2614.1

Доказать признак Жамэ: знакоположительный ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ ( $a_{n}>0$ ) сходится, если

\left(1-\sqrt[n]{a_{n}}\right)\frac{n}{\ln n} \geqslant p>1 \quad \text{при } n>n_{0},

и расходится, если

\left(1-\sqrt[n]{a_{n}}\right)\frac{n}{\ln n} \leqslant 1 \quad \text{при } n>n_{0}.

?

Задача 2615

Доказать, что ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ ( $a_{n}>0$ ) сходится, если существует $\alpha >0$ такое, что $\dfrac {\ln \dfrac {1}{a_{n}}}{\ln n} \geqslant 1+\alpha$ при $n \geqslant n_{0}$ , и расходится, если $\dfrac {\ln \dfrac {1}{a_{n}}}{\ln n} \leqslant 1$ при $n \geqslant n_{0}$ (логарифмический признак).

?

Задача 2616

Исследовать сходимость ряда с общим членом:

a_{n}=n^{\ln x} \quad (x>0).

?

Задача 2617

Исследовать сходимость ряда с общим членом:

a_{n}=\frac{1}{(\ln \ln n)^{\ln n}} \quad (n>1).

?

Задача 2618

Исследовать сходимость ряда с общим членом:

a_{n}=\frac{1}{(\ln n)^{\ln \ln n}} \quad (n>1).

?

Задача 2619

Пользуясь интегральным признаком Коши, исследовать сходимость ряда с общим членом:

a_{n}=\frac{1}{n\ln ^{p}n} \quad (n>1).

?

Задача 2620

Пользуясь интегральным признаком Коши, исследовать сходимость ряда с общим членом:

a_{n}=\frac{1}{n(\ln n)^{p}(\ln \ln n)^{q}} \quad (n>2).

?

Задача 2620.1

Исследовать сходимость ряда

\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\ln 2\cdot \ln 3\cdots \ln (n+1)}{\ln (2+p)\cdot \ln (3+p)\cdots \ln (n+1+p)} \quad (p>0).

?

Задача 2620.2

Исследовать сходимость ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {\nu (n)}{n^{2}}$ , где $\nu (n)$ — число цифр числа $n$ .

?

Задача 2620.3

Пусть $\lambda_{n}$ ( $n=1,2,\ldots$ ) — последовательные положительные корни уравнения $\tg x=x$ .

Исследовать сходимость ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\lambda_{n}^{-2}$ .

?

Задача 2621

Исследовать сходимость ряда $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty }\dfrac {1}{\ln (n!)}$ .

?

Задача 2622

Доказать, что ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ с положительными монотонно убывающими членами сходится или расходится одновременно с рядом $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}$ .

?

Задача 2623

Пусть $f(x)$ — положительная монотонно невозрастающая функция.

Доказать, что если ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }f(n)$ сходится, то для остатка его

R_{n}=\sum _{k=n+1}^{\infty }f(k)

справедлива оценка

\int _{n+1}^{+\infty }f(x)\, dx<R_{n}<f(n+1)+\int _{n+1}^{+\infty }f(x)\, dx.

Пользуясь этим, найти сумму ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n^{2}}$ с точностью до $0{,}01$ .

?

Задача 2624

Доказать признак Ермакова: пусть $f(x)$ — положительная монотонно убывающая функция и

\lim _{x \to \infty }\frac{e^{x}f(e^{x})}{f(x)}=\lambda .

Ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }f(n)$ сходится, если $\lambda <1$ , и расходится, если $\lambda >1$ .

?

Задача 2625

Доказать признак Лобачевского: ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ с положительными и монотонно стремящимися к нулю членами сходится или расходится одновременно с рядом $\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty }p_{m}2^{-m}$ , где $p_{m}$ — наибольший номер членов $a_{n}$ , удовлетворяющих неравенству $a_{n} \geqslant 2^{-m}$ ( $n=1,2,\ldots ,p_{m}$ ).

?

Задача 2626